CC BY
14ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ (ECONOMIC SCIENCE)
Балдин А.В.
доктор техн. наук, профессор, МГТУ им. Н.Э. Баумана (Россия, г. Москва)
Ерошок И.Д.
аспирант, МГТУ им. Н.Э. Баумана (Россия, г. Москва)
ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПРИМЕРЕ МАРШРУТИЗАЦИИ ГОРОДСКОЙ ТРАНСПОРТНОЙ СЕТИ
Аннотация: в работе рассмотрены вопросы создания сценариев учебных курсов. Основной задачей разработки программных компонентов системы обучения является возможность создания алгоритмической структуры обучающих фрагментов, представляющих тестовые задания, практикумы, просто информационную поддержку и т.д. На базе данной инструментальной среды разработана практическая работа на тему статистического анализа, моделирования и прогнозирования пассажиропотоков в маршрутной сети города.
Исследование пассажиропотоков считается одним из важных этапов проектирования и организации маршрутной сети городского пассажирского транспорта. Целью данной статьи является разработка учебного сценария, направленного на выявление скрытых закономерностей пассажиропотоков на остановочных пунктах автобусных маршрутов с последующим этапом разработки взаимосвязанных моделей случайных потоков с заданными автокорреляционными свойствами. В работе кроме оценки автокорреляции, и спектрального анализа проводится анализ главных компонент, который позволяет существенно сократить размерность многомерного временного ряда пассажиропотоков на остановочных пунктах маршрута.
УДК 1
Ключевые слова: учебный сценарий, практическая работа, гибридная среда, маршрут, пассажиропоток, спектральный анализ, автокорреляционная функция, главные компоненты, факторный анализ.
Введение - Методика сборки и структуризации приложений
обучающей системы
В статье приводится описание разработанной инструментальной среды формирования учебного сценария практической работы, объем которой определяется количеством разнородных учебных фрагментов [1], в том числе мультимедийных [2], запуска приложений математических пакетов [3,4], интерактивных фрагментов [5] тестовых заданий и т.д [6,7].
Одним из вариантов описания сценария в программной среде обучающей системы является трек приложений учебных элементов (Рисунок 1), которые представляют некоторую линейную последовательность элементарных приложений и могут представлять просто информационные кадры, расширенные практикумы с достаточно сложным интерактивом.
Рис. 1. Трек приложений обучающей системы
В работе предлагается универсальная схема описания программных учебных приложений с передачей по окончанию выполнения кода завершения (например, процента решенного тестового задания). Предлагается программный механизм условных переходов между параметризуемыми приложениями, что позволяет достаточно просто, но эффективно создавать учебный сценарий с алгоритмической структурой (Рисунок.2).
И -►
~Н И4
-н Ио )-►
.I4
Рис. 2. Алгоритмическая структура приложений
В разработанном приложении создания практических работ имеется возможность запуска учебных приложений с возможность включения ОЬБ-объектов [8] программных математических пакетов [9,10,11].
^Мо^)----
Расчетные алгоритмы
I ^
Программные
Базы данных
Рис. 3. Интегрированная структура сценария учебной методики
Конструирование такого сценария определяется возможностями инструментальной среды [12,13], а именно, формализованным описанием функционала элементарного приложения (обучающего фрагмента), среды алгоритмизации сценария и среды формирования иерархии сценариев, описание функционала которой приведено ниже.
Формализованное описание элементарного приложения
В общем случае учебный сценарий представляет собой совокупность элементарных приложений и развязки по данным. Фрагмент имеет структуру:
Fi = (и, di, ai, аи Si, ги р) (1)
где Ь - тип фрагмента (информационный, расчетный, выбор и т.п.); & -уровень сложности (для тестового контроля); а - уровень доступа к фрагменту; а - операция сравнения уровня доступа пользователя и уровня доступа фрагмента <, <, =, >, >), - время принудительного окончания предъявления; п - подмножество признаков, связанных с данным фрагментом, р1 -параметризация при активации. ai ^ {гр, Гп, гь, г, ги Го}, где
Гр — признак запрета перехода от данного фрагмента к предыдущему в последовательности;
гп — признак запрета перехода от данного фрагмента к следующему в последовательности;
гь — признак запрета отката на один шаг назад по треку предъявления фрагментов;
ri — признак запрета возможности произвольного доступа к данному фрагменту;
г8 — признак запрета приостановки предъявления фрагмента; Г — признак запрета отображения названия фрагмента; г0 — признак запрета возможности перехода от данного фрагмента к другому произвольному фрагменту.
Матрица смежности фрагментов (переходы):
T = ЮЦ, где Су — условие, определяющее переход от ьго фрагмента к _]-
му.
(г- а- ф^) уц (Ц- ву щ^ц)), ¡=1..Ы, если переход
предусмотрен; 0, в противном случае, где
Сч •
N — количество фрагментов в структурном элементе;
Гц — результат предъявления фрагмента;
ац — операция сравнения фактического и заданного результатов предъявления фрагмента <, <, =, >, >);
— продолжительность предъявления фрагмента;
вц — операция сравнения фактической и заданной продолжительности предъявления фрагмента <, <, =, >, >);
Уц — логическая операция комбинирования условий на результат и продолжительность предъявления фрагмента (V, А);
Ф^) — функция определения фактического результата предъявления фрагмента
— функция определения фактической продолжительности предъявления фрагмента Fi.
N
Условие корректности переходов определяется как V/ = , Л С = 0.
]=1 1
Структурный элемент представляет 5 =< (^>, ¡=1где — 1-й фрагмент; Т — матрица смежности фрагментов.
Варианты завершения фрагмента могут быть следующими:
• завершился сам (завершились все его мм-потоки),
• был завершен пользователем (пользователь нажал кнопку),
• был завершен проигрывателем (истекло время до принудительного завершения проигрывания).
Уровень доступа определяет вложенность структуры сценария, что позволяет создавать иерархию сценариев, а использование механизмов блокировок реализовать структуру вложенных процессов. Параметризация приложения дает возможность не только настройки, но решения вопросов согласования по данным различных приложений, включенных в один учебный сценарий.
Сценарий практической работы по моделированию городской маршрутной сети
В целом, разработанные инструментальные средства включают конструкторы учебных тестовых заданий (УТЗ), тестов и структурных элементов (СЭ) (Рисунок 4).
О) к
_о ^ ш
X I о
_о го н с; Ч х
р 3 I
X О 1-
I ар-|
о щ ^ X о
Рис. 4. Инструментальные средства создания практической работы
В результате использования конструктора тестовых заданий на выходе получается мультимедийный фрагмент, который воспроизводит задания закрытого типа, на соответствие, на порядок, на кластеризацию и другие. Конструктор структурных элементов объединяет все созданные для данной практической работы информационные фрагменты и тестовые задание в единую алгоритмическую структуру, где после решения тестового задания следующий учебный фрагмент выбирается в зависимости от результата решения задания. С терминологической точки зрения можно сказать, что лекция содержит лишь информационные фрагменты и представляет линейный трек, а тест состоит только из тестовых заданий. Помимо сформированного сценария для практической работы с помощью конструктора тестов создается и тест, который строится на основе адаптивных алгоритмов [14], основанных на Марковских цепях [15] и методах стохастической аппроксимации [16].
Далее в работе поставлена задача формирования практической работы моделирования маршрутной сети города. Сценарий работы включает в себя весь спектр статистических методов, методов многомерного анализа [17], имитационного моделирования [18], гравитационных и энтропийных методов построения матрицы корреспонденций [19,20] и других методов и моделей (Рисунок 5).
и» и»
1 о та о
Й м
ИЙ
р
'М
Г) В
Г6
ЕС м
та
»
ЕЕ та
М
Я Н Я Л
Г6 Г5
Я
О
не та
М 0\ о н
6Г
о
я та о я м ЕС Я М
м та
Е та
н ЕЕ О Не
Г5 Г6
н я
Информационный фрагмент
Учебное тестовое задание
Вызов сервисных подпрограмм
Работа в пакетах программ
Учебное тестовое задание
Регрессионный анализ ..... Спектральный анализ
Дисперсионный анализ
Модели авторегрессии ..... Модели скользящего среднего
Теория временных рядов
УТЗ временные
Генерация параметров ряда
Моделирование^ в пакете
Кластерный анализ
Смешанные модели
А л
Сравнение результатов
Конец
да V У
По всем каждому из включенных в работу методов сначала дается информационный фрагмент, содержащий основные теоретические сведения. Затем предъявляется тестовое задание. Если задание не выполнено выполняется возврат к изучению теоретических сведений. Если выполнено, то случайным образом выбирается маршрут и для обучаемого формируются временные ряды пассажиропотоков. По этим данным обучаемый должен выполнить расчеты в соответствующих математических пакетах. Результаты выполнения воспринимаются системой как тестовое задание. Если результаты сравнения дали отрицательный результат, то расчеты повторяются. Если положительный, то выполняется переход к другому методу.
Вся статистика ответов и результатов расчета сохраняется в виде отчета по практической работе, которую преподаватель может просмотреть в любое удобное время. Ниже приведены описание некоторых учебных фрагментов.
Учебный фрагмент - статистический анализ пассажиропотоков
В работе должен быть проведен детальный статистический анализ множества автобусных маршрутов города г. Красноярск. В данной статье приведены основные результаты, которые сопровождаются примерами анализа пассажиропотоков одного из маршрута №85 (Рисунок 6), который является первым по популярности.
яЬт ■ —.
V V.
Рис. 6. Схема маршрута №85
Маршрут №85 проходит через Исторический центр города, соединяя город с запада на восток, проходя через Октябрьский мост. Временной ряд пассажиропотоков (Рисунок 7) на остановочных пунктах (ОП) имеет явно выраженный циклический характер с наложенным возрастающим трендом.
График выбранных переменных (рядов)
Рис. 7. Временной ряд пассажиропотока маршрута №85
График показывает объемы пассажиропотоков в осенние месяцы ОП с порядковыми номерами 14, 15, 16. Эти ОП достаточно территориально близки, но как будет показано выше, такая тесная взаимосвязь характерна и для территориально разнесенных ОП.
Помимо основных характеристик маршрута, таких как неравномерность по часам, неравномерность по направлениям и другим, проведен корреляционный и спектральный анализ пассажиропотоков (Рисунок 8).
Корр. СтОш 362
Спектр. анализ: 14 Число набл.: 90
-0,5 0,0 0,5
1,4Е5
1,2Е5
I 1Е5
| 80000 о
60000
с
40000
О!
20000
0 0,
_ 1
1
Т Л т
— —Ли .....Л-...
1,4Е5 1,2Е5 1Е5
80000 60000 40000 20000 0
0 ,05 0, 10 0 ,15 0,20 0,25 0 ,30 0,35 0 ,40 0 ,45 0,50 Частоту
а) автокорреляционная функция б) периодограмма
Рис. 8. Характеристики пассажиропотока на маршруте №85
Э I— -1,0
,0
Так, все пассажиропотоки имеет явно выраженную сезонную составляющую на частоте 0.144, что соответствует недельному циклу. Кроме того, наблюдается еще сезонная составляющая на частоте 0.28, что соответствует полунедельной составляющей. Вклад этой компоненты меньше, но ее учет может повысить точность результатов моделирования.
Всего база данных содержит более 90 маршрутов, по которым получаются приблизительно подобные результаты. Основная задача обучаемого использовать максимум методов, которые дают практические результаты и включить их в отчет по выполнению
Учебный фрагмент - Метод главных компонентов анализ пассажиропотоков
Если корреляционный анализ определяет меру взаимосвязи между двумя показателями, то целью метода главных компонент является выявление общей взаимосвязи сразу всех показателей [21]. Предполагается, что имеется p показателей {^}pi=i. с вектором средних m=(mi,...,mp) и ковариационной матрицей D=(aij). Метод анализа главных компонент определяет структурную взаимосвязь между этими показателями, а суть метода состоит в том, что ищутся
линейные комбинации исходных переменных
p p
Л1 = Zai j >™> ^ p = Za pj ' (1)
j=1 j=1
которые удовлетворяют условиям ортогональности (cöv(^i,^j)=0, i,j=1..p) и
p p
монотонности дисперсии Оц2> ... > и ^= ^l<Jii .). При этом
i=i i=i
линейная комбинация ^ = ••• + alp^p называется первой главной
p
компонентой, если {aXi}f=x = arg max D(^ ), ^ah. = 1. Дисперсия первой
aii i=1
Р Р
главной компоненты равна г) = а!jо у . Аналогично из решения
(=1 ]=1
задачи оптимизации ищутся остальные главные компоненты Г =аг1^1 +... + агрЪ,р, с добавлением условия ортогональности ко всем
предыдущим. Геометрическая интерпретация данного линейного преобразования приведена на рисунке 4..
Рис. 9. Геометрическая интерпретация главных компонент
В нашей ситуации роль исходной системы показателей играют пассажиропотоки на всех остановочных пунктах и имеются временные ряды пассажиропотоков за некоторый период времени. Сами главные компоненты являются абстрактными величинами (линейными комбинациями пассажиропотоков на ОП). Для выбранного маршрута №85 таблица информативности главных компонент представлена ниже (Таблица 1).
Таблица 1 - Информативность главных компонент
Собст.значения (М_85_РядПоДням) Выделение: Главные компоненты
Значен. Собств. Знач. % общей дисперс. Кумулятивн. Собств. Знач. Кумулятивн. %
1 6,53 81,68 6,53 81,68
2 0,41 5,09 6,94 86,77
3 0,30 3,74 7,24 90,51
4 0,25 3,10 7,49 93,61
5 0,18 2,30 7,67 95,90
6 0,14 1,80 7,82 97,70
7 0,10 1,22 7,91 98,93
8 0,09 1,07 8,00 100,00
Анализ таблицы показывает, что три главных компоненты дают более 90% информативности, т.е. по этим трем временным, используя модель множественной регрессии, возможно восстановление пассажиропотоков на всех ОП с потерей точности всего 10%. Априори среднее значение главных компонентов равно 0, а СКО - 1 (Таблица 2).
Таблица 2 - Описательные статистики временных рядов главных компонент
Описательные статистики (М_85_РядПоДням_и_Факторы|
Переменная Сред нее Минимум Максим. Ст.откл. Асимметрия
Р1 -0,00 -1,29 1,99 1,00 0,83
¥2 0,00 -2,23 2,52 1,00 0,24
¥3 0,00 -2,42 2,27 1,00 -0,18
Кроме того, достаточно интересен характер автокорреляционных функций первых главных компонент (Рисунок 10).
Лаг 1 2
3
4
5
6
7
8 9
10 11 12
13
14
15
Корр. СтОш 316 ,1031 314 ,1025 401 ,1020 390 ,1014 285 ,1008 272 ,1002 833 ,0996 266 ,0990 281 ,0984 372 ,0978 380 ,0972 278 ,0966 272 ,0960 788 ,0954 244 ,0948 0
Автокорреляцион. функция Р1
(Стандартные ошибки - оценки белого шума)
I
С]
а
с
9,41 18,76 34,25 49,05 57,05 64,43
Р
, 0022 ,0001 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000
134.3 0,000 141,5 0,000 149,7 0,000 164,1 0,000
179.4 0,000 187,7 0,000 195,7 0,000 264,1 0,000 270,7 0,000 0
-Дов. интерв.
Лаг Корр. СтОш
1 + 458 ,1031
2 + 447 ,1025
3 + 484 ,1020
4 + 443 ,1014
5 + 425 ,1008
6 + 464 ,1002
7 + 386 , 0996
8 + 421 , 0990
9 + 398 ,0984
10 + 382 , 0978
11 + 320 , 0972
12 + 339 , 0966
13 + 275 , 0960
14 + 246 ,0954
15 + 301 , 0948
0 I— -1,0
Автокорреляцион. функция Р2
(Стандартные ошибки - оценки белого шума)
С Р
19,73 ,0000
38,77 ,0000
61,33 ,0000
80,43 ,0000
98,23 0,000
119,7 0,000
134.7 0,000
152.8 0,000
169.1 0,000
184.4 0,000
195.2 0,000
207.5 0,000 215,7 0,000 222,4 0,000 232,4 0,000 0
С]
а) автокорреляций 1-ой компоненты б) автокорреляций 2-ой компоненты
Лаг Корр. СтОш
1 + 130 ,1031
2 + 152 ,1025
3 + 026 ,1020
4 + 195 ,1014
5 + 315 ,1008
6 + 238 ,1002
7 + 062 , 0996
8 + 012 , 0990
9 + 145 , 0984
10 + 218 , 0978
11 + 145 , 0972
12 + 049 , 0966
13 + 094 , 0960
14 + 122 , 0954
15 - 042 , 0948
Автокорреляцион. функция Р3
(Стандартные ошибки - оценки белого шума)
II
0 I-
-1,0
С Р
1,60 ,2058
3,79 ,1505
3,85 ,2777
7,56 ,1090
17,35 23,00
0039 0008
23.40 ,0015
23.41 ,0029
25,57 ,0024 30,54 ,0007
32,78 ,0006 33,03 ,0010
33,99 ,0012 35,62 ,0012
35,82 ,0019
-Дов. интерв.
Лаг Корр. СтОш
-15 ,0395 1147
-14 -,038 1140
-13 -,003 1132
-12 ,0328 1125
-11 ,1070 1118
-10 ,1656 1111
-9 ,0913 1104
-8 ,1132 1098
-7 ,0483 1091
-6 ,0253 1085
-5 ,0885 1078
-4 ,0902 1072
-3 ,0793 1066
-2 ,0755 1060
-1 ,0764 ,1054
-,000 1048
,0531 ,1054
,0671 1060
,0287 1066
,0918 1072
,0493 1078
6 ,0654 1085
-,002 1091
,0435 1098
9 ,0504 1104
10 -,022 1111
11 -,003 1118
12 -,022 1125
13 ,0538 1132
14 ,0229 1140
15 , 0295 1147
0 -1,0
Кросскорреляцион. функция Первый: F1 Сдвинут^2
■
щ
_
1
_ ■
_ □
]
_ -1
□ —1
□
в) автокорреляций 3-ей компоненты г) кросскорреляция главных. компонент Рис. 10. Автокорреляционные и кросскорреляционные функции главных
компонент
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
-0,5
0,0
0,5
,0
Дов. интерв
0
-0,5
0,0
0,5
,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
Если у первой главной компоненты (Рисунок 10.а) характер автокорреляционной функции имеет явно выраженный циклический характер, то у второй - монотонный и сильно затянутый (Рисунок 10.б), а у третьей автокорреляция практически статистически незначима (Рисунок 10.в). Кросскорреляционная функция также статистически незначима (Рисунок 10.г).
В связи с полученными результатами статистического анализа, когда практически два-три абстрактных временных ряда могут восстановить все пассажиропотоки в работе предлагается модель генерации этих потоков, представленная ниже.
Учебный фрагмент - Модель генерации временного ряда с заданной автокореляционной функцией
Поскольку при имитационном моделировании обслуживания маршрута необходимо восстановление адекватных взаимосвязанных пассажиропотоков на всех ОП, в работе предлагается алгоритм генерации этих потоков на основе обратного преобразования главных компонентов. По определению, главные компоненты независимы между собой, что позволяет адекватно решить задачу генерации выборочной траектории временного ряда каждой главной компоненты, поскольку никакая другая информация для его генерации не требуется. Базовой моделью генерации является модель стационарного временного ряда с заданной автокорреляционной функцией.
Для генерации пассажиропотока с автокорреляцией Я(т) предлагается следующий алгоритм. Предположим, что рассматривается последовательность Х[
Я( 0 —
N-ш
X
I +ш
длиной N. Для т=1,2,... будет выполняться соотношение Я(ш) = —(—— Vх1
N - ш ~
, которое приводит к поиску решения системы уравнений Я(т)=Ы(х(, х(+т) относительно Х[. Для генерации последовательности формируется совокупность случайных, одинаково распределенных и независимых случайных величин
1=1,2,___ с нулевым математическим ожиданием, которая преобразуется в
п
последовательность $ г = Ё хг цг+] 7=1,2,.....
г=1
Из условия Мц[=0 следует, что М$г = МЁх1 ц(+] = МцЁх1 = 0, т.е.
г=1 1=1
математическое ожидание линейного преобразования также равно 0. При этом
М$ ] $ ] + 1 = М
Ёх п+] •Ёх п+]+1
I =1 I =1
п п
= Ё Ё х1хЩ (Пг + ] ■ Пг+]+1) , (2)
г=1 г=1
Г0, г Ф к +1
где М(ци 4 • ¡) = \ 2 . Поскольку для значений ¡>1, это
] ] \мц , г = к +1
п п
2'
возможно только при к<1, и к=г-1 т.е. М$$-+1 = Мц2ЁЁх^к , то на основании
г =1 г =1
замены переменных суммирования получаем, что
п п
М$ ] $ ]+1 = Мц2 ЁЁ х{хк = Мц2 Я( I), т.е. ковариационная функция Я(ш)
временного ряда £ имеет заданную по условиям формирования случайного временного ряда, а для решения системы алгебраических уравнений предлагается использовать итерационную процедуру Зейделя.
Учебный фрагмент - Результаты восстановления
Следующим этапом после генерации выборочных рядов главных компонентов пассажиропотоков на основании модели множественной регрессии реализуется линейное преобразование для формирования пассажиропотока на определенном ОП (Рисунок 5) с полученными коэффициентами регрессии (Таблица 2) в пассажиропотоки на всех ОП. На рисунке приведен пример восстановления для ОП №30.
Рис.11. Исходный и восстановлен временной ряд пассажиропотоков
Таблица 3 - параметры регрессии восстановления пассажиропотоков на ОП
Итоги регрессии для зависимой переменной: 30 (M_85_РядПоДням_и_Факторы) R= ,97338091 R2= ,94747040 Скоррект. R2= ,94565904
F(3,87)=523,07 p<0,0000 Станд. ошибка оценки: 8,7433_
БЕТА Ст.Ош. В Ст.Ош. 1(87) p-знач.
N=91 БЕТА В
Св.член 176,7802 0,916548 192,8762 0,000000
F^ -0,829519 0,024572 -31,1128 0,921626 -33,7586 0,000000
F2 0,486947 0,024572 18,2639 0,921626 19,8171 0,000000
F3 0,149166 0,024572 5,5948 0,921626 6,0706 0,000000
При этом точность восстановления, которая может быть выражена через множественный коэффициент (Я=0.97) корреляции достаточно велика.
Заключение
Таким образом, показана робастность предложенного подхода к моделированию пассажиропотоков с заданными статистическими характеристиками на основе результатов анализа главных компонент с последующим обратным преобразованием в пассажиропотоки на отдельных ОП. Сам алгоритм основан на полученных данных статистического анализа, который дал возможность по двум-трем временным рядам восстанавливать все пассажиропотоки на всех ОП. Такой подход дает более адекватную модель взаимосвязанного временного ряда пассажиропотоков, который необходим для
включения в обобщенную имитационную модель обслуживания автобусного маршрута.
Таким образом, инструментальные средства гибридной обучающей среды позволяют формировать алгоритмическую структуру программных приложений за счет задания переходов между приложениями по условиям его завершения с использованием стандартизованного интерфейса, что и создает пользовательский сценарий. Все механизмы направлены на оперативное создание методик, имея типовой, отработанный набор универсальных приложений. Кроме механизмов создания сценариев в предложена модель структуризации сценариев, которая позволяет реализовать синхронизацию приложений.
Для приведенных в статье методов и алгоритмов разработаны соответствующие программные приложения, которые включены в гибридную обучающую систему. В результате обучающий имеет возможность проводить статистический анализ пассажиропотоков на выбранных остановочных пунктах и анализировать кросскорреляционные связи между ними. На основе проведенного анализа имеется возможность запуска приложения генерации модельного ряда пассажиропотока и сравнительного анализа с исходным рядом пассажиропотока, по характеристикам которого проводилась генерация ряда.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
Drijvers, P. (2015). Digital technology in mathematics education: Why it works (or doesn't). In Selected regular lectures from the 12th international congress on mathematical education (pp. 135-151). Springer, Cham.
Alessio, F. G., Brambilla, M. C., Calamai, A., de Fabritiis, C., Demeio, L., Franca, M., ... & Petrini, M. (2019). New Multimedia Technologies as Tools for a Modern Approach to Scientific Communication and Teaching of Mathematical Sciences.
In The First Outstanding 50 Years of "Universitá Politécnica delle Marche" (pp. 393402). Springer, Cham.
Brenner, A., Shacham, M., & Cutlip, M. B. (2005). Applications of mathematical software packages for modelling and simulations in environmental engineering education. Environmental Modelling & Software, 20(10), 1307-1313. Wick, D. (2009). Free and open-source software applications for mathematics and education. In Proceedings of the twenty-first annual international conference on technology in collegiate mathematics (pp. 300-304). Louisiana New Orleans. Kachiashvili, K. J., Gordeziani, D. G., Melikdzhanian, D. Y., Khuchua, V. I., & Stepanishvili, V. A. (2018). Software packages for automation of environmental monitoring and experimental data processing. In Geoecology and Computers (pp. 273278). Routledge.
Wei, G., Shen, H., & Xuehua, R. (2018, December). Case Study on the Design and Teaching of MOOC: English Grammar. In 4th International Conference on Economics, Management, Law and Education (EMLE 2018). Atlantis Press. Haendler, T., Neumann, G., & Smirnov, F. (2019). An interactive tutoring system for training software refactoring. Instructor, 1, 4.
Yang, H., & Jia, Q. (2017, October). Automatic synchronization technology of report data based on OLE. In AIP Conference Proceedings (Vol. 1890, No. 1, p. 040065). AIP Publishing.
Semenov, A. S., Khubieva, V. M., & Kharitonov, Y. S. (2018, September). Mathematical Modeling of Static and Dynamic Modes DC Motors in Software Package MATLAB. In 2018 International Russian Automation Conference (RusAutoCon) (pp. 1-5). IEEE.
Morokhovets, H. Y., Saienko, M. S., Lysanets, Y. V., & Silkova, O. V. (2018). THE USE OF MAPLE MATHEMATICAL SOFTWARE IN TEACHING MEDICAL AND BIOLOGICAL PHYSICS. The Medical and Ecological Problems, 22(1-2), 6365.
Ahmetovic, D., Armano, T., Bernareggi, C., Berra, M., Capietto, A., Coriasco, S., ... & Taranto, E. (2018, October). Axessibility: a LaTeX Package for Mathematical Formulae Accessibility in PDF Documents. In Proceedings of the 20th International ACM SIGACCESS Conference on Computers and Accessibility (pp. 352-354). ACM. Shyshkina, M., Kohut, U., & Popel, M. (2018). The Systems of Computer Mathematics in the Cloud-Based Learning Environment of Educational Institutions. arXiv preprint arXiv:1807.01770.
Greefrath, G., Hertleif, C., & Siller, H. S. (2018). Mathematical modelling with digital tools—a quantitative study on mathematising with dynamic geometry software. ZDM, 50(1-2), 233-244.
Benveniste, A., Metivier, M., & Priouret, P. (2012). Adaptive algorithms and stochastic approximations (Vol. 22). Springer Science & Business Media. Poznyak, A. S., Najim, K., & Gomez-Ramirez, E. (2018). Self-learning control of finite Markov chains. CRC Press.
Robbins, H., & Monro, S. (1951). A stochastic approximation method. The annals of mathematical statistics, 400-407.
Dezin, A. A. (2018). Multidimensional analysis and discrete models. CRC Press. Bychkov, I. V., Oparin, G. A., Feoktistov, A. G., Sidorov, I. A., Bogdanov, V. G., & Gorsky, S. A. (2016). Multiagent control of computational systems on the basis of meta-monitoring and imitational simulation. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 52(2), 107-112.
Solomon, J., Peyre, G., Kim, V. G., & Sra, S. (2016). Entropic metric alignment for correspondence problems. ACM Transactions on Graphics (TOG), 35(4), 72. Andronov, A. (2009). On some approach to an estimation of correspondence matrix of transport network.
Markauskaite, L. (2007). Exploring the structure of trainee teachers' ICT literacy: the main components of, and relationships between, general cognitive and technical capabilities. Educational Technology Research and Development, 55(6), 547-572.
