ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТКАЗОУСТОЙЧИВЫХ ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 681.3; 629.7

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-2-113-117

ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТКАЗОУСТОЙЧИВЫХ ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

А.Н. Привалов, В.А. Шаров

Исследуются проблема цифрового моделирования надежности информационно-управляющих систем. Показано, что цифровые модели потоков отказов/восстановлений являются частным случаем моделей, основанных на теории полумарковских процессов. На основании 1-преобразования получена зависимость для оценки времени наработки до отказа одного элемента. Показано, что на практике эта зависимость может быть представлена в виде массива данных. Разработан метод формирования из исходного множества массива данных, описывающего дискретное распределение времени наработки до отказа одного из М элементов.

Ключевые слова: информационно-управляющая система, надежность, отказоустойчивость, время наработки до отказа.

Повышение надежности информационно-управляющих систем (ИУС) [1, 2] является одним из условий создания современного эффективного производства при цифровизации экономики. Существует два пути повышения надежности систем исследуемого класса: экстенсивный и интенсивный [3, 4]. Экстенсивный путь означает применение оборудования и элементов с улучшенными характеристиками, влияющими на развитие процессов, приводящих к отказам. Интенсивный путь означает введение в ИУС аппаратной, информационной и алгоритмической избыточности, позволяющей сохранить работоспособность системы при отказе ее элементов за счет аппаратно-программной реконфигурации [5, 6]. Конструкторские решения по обеспечению избыточности принимаются на этапе проектирования ИУС, поэтому необходимо иметь адекватную модель надежности, позволяющую оценивать этот показатель на этапе разработки конструкторской документации. Зависимости, позволяющие оценивать показатели отказоустойчивости, могут в дальнейшем быть использованы либо в качестве системы ограничений, либо в качестве целевой функции оптимизационной задачи проектирования

Естественной моделью для описания развития последовательности отказов-восстановлений во времени является марковский, а в более общем случае - полумарковский [7, 8, 9] процесс. Модели отказов, полученные с использованием концепции непрерывных полумарковских процессов, являются весьма продуктивными, поскольку позволяют получить широкий спектр решений от строго детерминированных до случаев, когда решение представляется с точностью до распределений. Однако получение результатов слабо поддается алгоритмизации, что сдерживает применение подхода для решения практических задач проектирования отказоустойчивых систем. Гораздо более продуктивным является подход, основанный на применении дискретных распределений случайной величины, временного интервала пребывания полумарковского процесса в его состояниях, или времени блуждания по полумарковским процессам [10 - 13].

Для практической реализации этого подхода достаточно разработать математическое и программное обеспечение работы со статистическими рядами, например с гистограммами распределения, что уже может быть выполнено программистом среднего уровня квалификации. Поэтому для успешной цифровизации производства необходимо определить понятие дискретного полумарковского процесса.

Дискретный полумарковский процесс определяется на вероятностном пространстве, включающем два элемента

В = (О, Р), (1)

где О = Оа и О' - множество элементарных событий; Р - вероятностная мера;

Оа = 1оа/ч ©а, \ ! - счетное дискретное множество элементарных событий, формиру-

Г1(а)'"'' Да)''"' У (а);

ющих состояния процесса; о' = |©1((),..., ©'(), •••, ©у ()) - счетное дискретное множество элементарных событий, формирующих временные интервалы; Оа п О' = 0; 0 - пустое множество.

Множества состояний и дискретных временных интервалов формируются как функции от Оа и О', соответственно:

С а (о а )= А = Ца ) ..., аДа ) ..., ау (а)); (2)

С'(о')= Т ^О... 'Д^... 'у(() (3)

Вероятностная мера р|а | ад (а) е А, 1(а) < д(а) < У (а )]= \р | р д(а), 1(а) < < Д (а) < У (а)) характеризует вероятности пребывания процесса в одном из состояний множества (2) для внешнего по

отношению к случайному процессу наблюдателя. Тот факт, что система может находиться в одном и только в одном из состояний, накладывает следующее ограничение на вероятности р- (а ):

3 (а )

Р-(а) = 1 (4)

} (а)=\(а)

Определим множество событий переключения полумарковского процесса как вторую декарто-ву степень (2)

А = { 1 Б ](а\п(а) = [а - (а), ап(а)[ а - (а) е А ап(а) е А\ (5)

где а-(а) - состояние, из которого производится переключение; ап(а) - состояние, в которое процесс переключился.

Поставим в соответствие каждой паре б -(а) п(а) вероятностную меру

р[б 1 Б - (а),п(а) = [а-(а) ап(а) Л а - (а) е А ап(а \(а) < ](а\ п(а) < 3 (а)] = р =[р-(а),п(а). где Р = [р-(а) п(а)] стохастическая матрица.

Значения р-(а) п(а) определяют вероятности возможного переключения из состояния а - (а) в состояние ап(а). По вероятностной мере (6) а - (а) е А могут быть классифицированы, как это показано в таблице.

Классификация состояний процесса

(6)

Состояние Значение меры

Непоглащающее 3(а ) ( Р-(а),п(а)= 1 п(а )=1(а )

Полупоглощающее ) 0 < Е р- (а),п(а)<1 п(а )=1(а)

Поглощающее 1(а) ( Е ( )р-(а),п(а) = 0 п(а )=1(а)

Вероятностная мера р[ | г-(г) е Т, \(г) < ](г) < 3(г)]= { | р-(), \(г) < < ) < 3() характеризует вероятности наступления событий в дискретном полумарковском процессе в точности в момент времени г - (). Тот факт, что события случаются в один из моментов, определенных множеством (3),

накладывает следующее ограничение на вероятности р )

\) р- (() = 1. (7)

Ху )

Определим временные интервалы г, которые начинаются в момент предыдущей смены состояний случайного процесса, и оканчиваются в момент следующей смены состояний (рис. 1).

0

- (а), п(а)

Б

к (а

0

г

п

(а), т(а)

0 ... ,

,- (а)

—V—

а п(а)

Рис. 1. Формирование фактора времени

В соответствии с особенностями формирования временных интервалов можно утверждать, что при реализации последовательности переключений формируется поток событий, отстоящих друг от друга на случайную величину, определяемую вероятностной мерой

1] (а),п(а),-(0(г) = р[г (а - (а) ^(а)^ (а))= 0, г ^ (а)М)= (

1(а) < -^ п(а) < 3(4 1(() < ) < 3(()] = ж-(а),п(а),)4 "г)]

114

где sA д (а) - переключение из любого состояния множества А в ад (а); 'д () - Д(()-й дискретный интервал времени пребывания процесса в текущем состоянии; % д (а) п(а) д() - вероятность переключения из ад (а), в ап(а); в точности за время 'д (); §[' - 'д ()] - смещенная функция Дирака.

Как следует из (8), вероятностная мера, определяющая временные интервалы между событиями в потоке переключений, зависит только от текущего состояния и от состояния, в которое процесс переключится в будущем, и не зависит от предыстории переключений. С учетом (8) может быть определена дискретное распределение времени пребывания в состоянии ад (а), если априорно известно, что из

него полумарковский процесс переключится в ап(а).

fj(a),n(a)(() = ( )\ )j(a),n(a),j(t)4 " tj(t)].

j(()=t (( )

(9)

где

В частном случае, когда tj ()+i — tj (() = т = const, интервалы между переключениями (12) могут быть представлены в виде:

J (t)—1

fj(a ),n(a)(()= j(a ),n(a ),k §[[ — ^ (10)

k=0

Как следует из (10), при определенном количестве отсчетов J (t) и интервале времени т между отсчетами дискретное распределение может быть представлено при расчетах параметров надежности следующим вектором данных:

fj(a),n(a) = [я j(a), j(a),0, Я j(a), j (a),1,-, Я j(a),j(a),k,-, Я j(a),j(a),J(t)—1], (11)

fj (a ),n(a )| = J (t).

С использованием выражений (2), (6), (10) может быть получен параллельный полумарковский процесс, описывающий отказоустойчивую систему:

) = {M-1(tIm(t) IM(12) где |m (() - m-й ординарный полумарковский процесс, описывающий отказы-восстановления в одном компоненте ИУС; М - количество компонентов в ИУС.

В свою очередь, ординарный полумарковский процесс | m представляется в виде множества

состояний Am и полумарковской матрицы hm (t):

Im = {Am, hm (t^ (13)

где Am = fo(m,a), aj(m,a) aJ(m,a) a1(m,a) моделирует начало эксплуатации m-ro компонента ИУС, когда он гарантированно работоспособен; aJ(a m) поглощающее состояние, формируемое после невосстанавливаемого отказа; a ,(m a), 1(m, a)< j(m, a)< J(m, a) моделируют промежуточные

j

состояния системы, возникающие в процессе эксплуатации, например, после сбоев, после восстанавливаемых отказов, после частичного восстановления и т.п.; Нт (')= [кд(т а)п(т а)(')]= рт ® /т (') -

полумарковская матрица, формируемая как прямое произведение стохастической матрицы (6), Рт =[рд (т,а ),п(т,а)], и матрицы чистых дискретных распределений (10),

/т (')= \_1д(т,а)п(т,а)(')].

Вследствие того, что распределения /д(т а) п(т а)(') включенные в полумарковскую матрицу кт ((), являются дискретными, и варианты путей достижения поглощающего состояния составляют

полную группу несовместных событий, формула для определения плотности распределения времени достижения поглощающего состояния будет иметь вид:

да

|т ()]) • ¡У (та), (14)

_к=1 _

где ¡1(т а) - вектор-строка первый элемент которого равен единице а остальные элементы равны нулю; Iу (т а) - вектор-столбец, последний элемент которого равен единице, а остальные элементы равны нулю; Z [...] и X 1[...] - соответственно прямое и обратное 2-преобразование.

Sm (() = I1(m,a) ' Z

—1

Распределение gm (() описывает дискретное время наработки т-го элемента ИУС до отказа, и

имеет вид

gm (()= Е ж-(т,g)5[[ " Ат g^

- (т, g )=0(т, g )

где ж-(т g) - вероятности, рассчитываемые по зависимости (14).

Для распределения (15) может быть получена функция распределения

(15)

(16)

Ст(()= Е ж -(т, g )л[[ - Ат g )],

-(т, g )=0(т, g )

где - -(т, g)х] - смещенная единичная функция Хэвисайда.

Функция (16) также может быть представлена в виде массива данных

Ст = [ж0(т,я) ж1(т,я), ж-(т,я) -], (17)

_ _ ](т,ё) где ж0(т,я) = ж0(т,я); - ж(я) = Е Жк(т,я)

к (т, я )=0(т, я )

Элементы массива (17) означают вероятности того, что к дискретному моменту, определяемому номером элемента в массиве, событие произойдет. Вероятность того, что событие не произойдет, определяется функцией распределения 1 — Ст . Для вероятностей того, что событие не произойдет, мо-дет быть сформирован массив

= [ж0(т,я), ж1(т,я) ж-(т,я) •••]= 1 — ж0(т,я— ж1(т,я) •••,1 — ж-(т,я), •••]. (18) Функция распределения времени до отказа одного из М параллельно работающих элементов определяется по зависимости:

M

Gl/M (() = П[1" Gm (()]•

m=l

Зависимость (19) также может быть представлена в виде массива данных:

Г м м м '

l/M = П ^0(m,g) П ^l(m,g) •••> П 4(m,g) •••

(19)

(20)

_т=1 т=1 т=1

Массив (20) может быть использован в задаче определения времени наработки до отказа одного из М элементов.

30

Таким образом, в настоящей статье сформулировано понятие дискретного полумарковского процесса. которое может быть использовано при решении задачи проектирования отказоустойчивых ИУС. Показано, что с использованием этого понятия задача оценки времени наработки единственного элемента до отказа сведена к задаче возведения в степень Z-преобразования дискретной плотности распределения, а задача оценки времени наработки до отказа одного из M элементов сведена к задаче формирования массивов данных из исходных массивов дискретных плотностей распределения.

Дальнейшие исследования в этом направлении могут быть направлены на разработку прикладной методики для случая, когда поток событий в отказоустойчивой ИУС является пуассонов-ским.

Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта правительства Тульской области в области науки и техники в 2022 г. (Договор ДС/129 от 22.07.2022; г.).

Список литературы

1. Landau I.D., Zito G. Digital Control Systems, Design, Identification and Implementation. Springer, 2006. 484 p.

2. .Astrom J., Wittenmark B., Computer Controlled Systems: Theory and Design. Tsinghua University Press. Prentice Hall, 2002. 557 p.

3. Rousand M. Reliability of Safety-Critical Systems: Theory and Applications, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, USA, 2014. 466 p.

4. Sánchez-Silva M., Klutke G.-A. Reliability and Life-Cycle Analysis of Deteriorating Systems. Springer International Publishing. Switzerland. 2016. 355 p.

5. O'Conner P., Kleyner A. Practical Reliability Engineering, Willey and Sons, USA. 2012.

6. Ларкин Е.В., Сабо Ю.И. Сети Петри-Маркова и отказоустойчивость авионики. Тула: Тул. гос. ун-т., 2004. 205 с.

7. Bielecki T.R., Jakubowski J., Niew^glowski M. Conditional Markov chains: Properties, construction and structured dependence // Stochastic Processes and their Applications. V. 127, N. 4. 2017. P. 1125-1170.

8. Markov A.A. Extension of the law of large numbers to dependent quantities // Izvestiia Fiz.-Matem. Obsch. Kazan Univ., (2-nd Ser.), 1906. P. 135-156.

9. Janssen J., Manca R. Applied Semi-Markov processes. Springer US, 2006. 310 p.

10. Larkin E., Bogomolov A., Privalov A. Discrete model of mobile robot assemble fault-tolerance // Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics), 2019. Volume 11659 LNAI. P. 204 - 215

11. Larkin E.V., Kotov V.V., Kotova N.A. About One Approach to Fault-Tolerant System Modeling. Proceedings of 2019 International Russian Automation Conference, RusAutoCon Art. N 88676802019. 2019; Code 152757.

12. Dubrova E. Fault-Tolerant Design. Springer-Verlag New York. Springer Science+Business Media New York. 2013. XV, 185 p.

13. Larkin E., Akimenko T., Bogomolov A., Krestovnikov K. Mathematical model for evaluating fault tolerance of on-board equipment of mobile robot // Smart Innovation, Systems and Technologies. 2021. 187. P. 383 - 393.

Привалов Александр Николаевич, д-р техн. наук, профессор, privalov. 61 @mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого,

Шаров Вадим Арнольдович, аспирант, vs@aqs.ru, Россия, Шуя, Шуйский филиал Ивановского государственного университета

INFORMATION-MANAGING FA ULT-TOLERANT SYSTEMS DIGITAL SIMULATION

A.N. Privalov, V.A. Sharov

The problem of digital simulation of information-managing system reliability is investigated. It is shown, that digital abstractions offailure/recovery are a special case of models, based on semi-Markov processes theory. On the Z-transform base the dependence for single element time to failure is obtained. It is shown, that on practice the dependence may be represented as data array. The method of formation from initial set the array of time to failure of one element from M is worked out.

Key words: information-managing system, reliability, fault-tolerance, time to failure.

Privalov Aleksandr Nicolaevich, doctor of technical science, professor, privalov.61@mail.ru, Russia, Tula, Tula State Pedagogical University,

Sharov Vadim Arnoldovich, postgraduate, v.a.d.i.m@bk.ru, Russia, Shuya, Shuya branch of Ivanovo State University

УДК 004.032.26

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-2-117-124

СРАВНЕНИЕ МАШИНЫ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ И МЕТОДА ОБРАТНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ОШИБКИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ РАСПОЗНАВАНИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ЧЕЛОВЕКА

Е.С. Абрамова

Данная работа посвящена сравнению машины экстремального обучения и метода обратного распространения ошибки по эффективности распознавания и времени обучения нейронной сети. В данной работе представлены теоретические сведения о машине экстремального обучения и методе обратного распространения ошибки. Также приведены алгоритмы обучения нейронной сети с помощью данных методов. Для проведения эксперимента использовался открытый набор данных, который включает сведения о семи видах физической активности. Проведя экспериментальные исследования, были получены результаты о метриках качества и скорости обучения, на основе которых были сделаны выводы.

Ключевые слова: машина экстремального обучения, метод обратного распространения ошибки, распознавание активности человека, искусственные нейронные сети, акселерометр, гироскоп.

Распознавание активности человека относится к числу задач со многими областями применения: от приложений для спорта и фитнеса до систем контроля действий сотрудников на предприятиях [18]. С постоянно меняющимися вариантами использования и устройствами для распознавания, также

117