CC BY
26
ЭКОН ОМИКА, ЭКС S И Г О Л
■ НЕГИ Г| 1 ШАЛЬНЫЕ а ЭНЕРГЕТИК [па иштпмшшт И
УДК 332.14
ЦЕПИ МАРКОВА В МОДЕЛИРОВАНИИ СИСТЕМ С ЭМЕРДЖЕНТНЫМИ СВОЙСТВАМИ
Г.Н. МАРЧЕНКО*, И.В. МАТВЕЕВ**, С.Н. МИХАЙЛОВ*
*Казанский государственный энергетический университет **Чувашский государственный университет
На базе одномерных отображений предложены два способа построения класса стохастических матриц и, тем самым, предложены два класса неоднородных цепей Маркова. Показано существование в построенных неоднородных цепях Маркова так называемого в нелинейной динамике «детерминированного хаоса», который представляет большой интерес при моделировании систем с эмерджентными свойствами, включая моделирование системы экономической безопасности.
Эмерджентные (emergent - внезапно возникающий) свойства присущи многим системам любой природы (технической, экологической, социальной, финансово-экономической и т.п.) и в большей степени эти свойства проявляются в большой системе (т.е. в системе, состоящей из большого числа элементов), если между ее элементами имеется динамическая причинно-следственная связь. Безусловно то, что задачи исследования большой системы с динамическими причинно-следственными связями между ее элементами порождают проблемы системного уровня и поэтому, казалось бы, для решения этих проблем естественно воспользоваться системным анализом. К сожалению, как это отмечено в [1], системный подход, разрабатывавшийся с начала прошлого века и бурно обсуждавшийся с 60-х годов ХХ века, так и не был создан. Точнее говоря, он не был доведен до того уровня, когда вполне определенные общие методики стало возможным применять к конкретным задачам. Известные всем примеры удачного анализа систем обычно демонстрируют изобретательность и фантазию их создателей, а также глубокое понимание ими существа дела и принципиальные трудности, связанные с обобщением предложенных методов. Альтернативой системному анализу являются методы синергетики, бурно вторгающиеся в последнее время в различные области знания (см., например, [2-4]). Безусловно то, что теория бифуркации и теория катастроф - это тот математический аппарат, с помощью которого могут быть исследованы математические модели, описывающие системы с эмерджентными свойствами. Однако в последние годы использование компьютеров совместно с аналитическим изучением нелинейностей (нелинейных отображений и нелинейных систем дифференциальных уравнений) на базе, в том числе, тех же теорий бифуркаций и катастроф привело к появлению ряда новых понятий, а именно таких, как
© Г.Н. Марченко, И.В. Матвеев, С.Н. Михайлов Проблемы энергетики, 2004, № 11-12
«странный аттрактор», «нелинейная динамика», «фрактальные структуры» и т.д. Все эти понятия вошли в круг проблем, которыми занимается синергетика. По нашему мнению, с одной стороны, нелинейная динамика - это тот современный математический аппарат, который призван к адекватному описанию моделей реальных систем с эмерджентными свойствами. С другой стороны, математические модели, описывающие системы с эмерджентными свойствами, в своем большем числе являются, по-видимому, стохастическими и поэтому если, например, изучаемая система имеет дискретное конечное число своих состояний и ее динамика связана с дискретным временем, то математическим аппаратом для моделирования таких систем является теория цепей Маркова. Заметим, что концепция цепи Маркова, состоящая в постулировании переходных вероятностей, является настолько плодотворной, а математический аппарат - достаточно простым, что в настоящее время теория цепей Маркова находит свои приложения практически из всех областей знания (см., например, [5-9]). Таким образом, синтез математических аппаратов нелинейной динамики и теории цепей Маркова, описывающих модели систем с дискретным конечным числом состояний и с дискретным временем, а также обладающих эмерджентными свойствами, является актуальной задачей. Заметим, что к таким системам относится, в частности, и система экономической безопасности [10-12].
Цель данной работы - применить методы нелинейной динамики к моделям цепей Маркова, а именно: с помощью нелинейных дискретных одномерных отображений построить неоднородные цепи Маркова и изучить свойства полученных таким образом новых цепей. Дело в том, что в настоящее время получены и исследованы многие нелинейные отображения, в том числе двумерные и многомерные (см., например, [1, 2, 13-24]). Однако, во всяком случае авторам данной работы, не известны нелинейные отображения стохастических матриц самих в себя. Безусловно то, что не представляет собой большого труда построение нелинейных отображений произвольных матриц самих в себя, однако здесь возникает исследуемая в данной работе задача в том случае, когда нелинейные отображения матриц самих в себя ищутся в классе стохастических матриц. В теории цепей Маркова только последние матрицы и представляют интерес.
В данной работе предлагаются два следующих способа построения стохастических матриц путем отображений их самих в себя.
1. Легко доказать следующее:
Утверждение 1. Матрица
где Е - единичная матрица; Р - стохастическая матрица, а величины Я1 ,а2 ,...аN удовлетворяют условиям
( N Л
N
(1)
^ к=1 у к=1
N ___
ак ^0, ^ак < 1, к = 1^
к=1
и, следовательно, 0 < ак < 1, также является стохастической матрицей.
© Проблемы энергетики, 2004, № 11-12
Действительно, во-первых,
Qi,j =
N 1 N / \
1 -Е ak 5и + Е ak (Pk— 0,
к=1
к=1
где 5(у - символ Кронекера (элемент единичной матрицы). Это неравенство
следует из (2) и того факта, что любая целая положительная степень стохастической матрицы также является стохастической матрицей, т.е.
(Рк — 0. Доказательство же того, что С = АВ является стохастической
матрицей, если А и В - стохастические матрицы, достаточно очевидно. Действительно, так как
п
сц = Е атЬк/ ^ 0 < а*'к <1,0 < Ьт <1, к=1
а также
пп
Е ат = Е Ь*'к = 1,
к =1 к =1
то
0 < су < 1ц Есу = Е Еа*к ьк = Еак Еьк =1
у=1 у=1к=1 к=1 у=1
и, следовательно, матрица С - стохастическая матрица. Следовательно, любая целая положительная степень стохастической матрицы также будет стохастической матрицей.
Во-вторых, вновь учитывая стохастичность матрицы Рк, находим п ( N Л п N п/\
Е=1 1 - Еак |Е5i,j + Еак Е(рк\,у = Ь
у=1 ^ к=1 )у=1 к=1 у=1
т.к.
п п / \
Е 5„у=ьЕ р I=1-
у=1 у=1
Следовательно, матрица Q является стохастической.
Примечательность доказанного утверждения состоит в том, что равенство (1) при условии (2) позволяет производить отображения в классе стохастических матриц. Такое отображение, например при заданных N и Р, может быть построено на базе преобразования величин {ак}. Однако очевиден следующий
факт: если а^ = ф(ак ) - некоторое отображение а° е [0,1] в ак е [0,1], то условие в © Проблемы энергетики, 2004, № 11-12
виде Е а\ < 1 может, при заданной функции ф отображения, и не выполняться.
к=1
Поэтому имеет смысл ввести новые величины {Ьк } по формулам
а1 = ЪХЪ2 ...bN, а 2 = ( - Ъ1 )Ъ2 ..■ЪN, а 3 = ( - Ъ2 )Ъ3 ..■ЪN,
(3)
aN-1 =(1 - ЪN - 2 )ЪN-1ЪN, aN = ( - ЪN-1 )ЪN;
при этом будут выполняться следующие необходимые в (2) соотношения:
0 < а1 + а2 = Ъ2Ъз ...ЪN < 1 0 < а1 + а2 + аз = Ъз^ ...ЪN < 1
0 < а1 +... + aN-1 = ЪN—lЪN < 1
0 < а1 +... + aN = ЪN < 1
и, более того, Ък е [0,1], к = 1, N .
Таким образом, в настоящей работе с учётом (3) предлагается исследование класса стохастических матриц Q вида
й = (1 -ЪN)E + Ъ1Ъ2..^Р + (1 -Ъ1 )Ъ2..^Р2 +... + (1 -ЪN-1 ;ЪNPN . (4)
В частности, при N = 2 из (4) имеем
й = (1 - Ъ2 )Е + Ъ1Ъ2 Р + (1 - Ъх )Ъ2 Р2. (5)
Фрагмент рабочего документа МаШСАБ [25], в котором построен класс стохастических матриц й при начальных значениях *1, У1 и заданной матрице Р в (5), имеет вид, приведённый на рис. 1, на котором также в качестве примера принято логистическое отображение ф(х) = 4Ах( 1 - х).
Заметим, что в последнем рабочем документе МаШСАБ функции отображения х и у самих в себя могут быть заданы разными или с разными
значениями их параметров, например параметра А , в логистическом
отображении. И вообще, в соответствии с (4) семейство стохастических матриц й может быть построено с помощью N различных одномерных отображений. Легко доказать следующее:
Утверждение 2. Число слагаемых в (4), т.е. значение N, ограничено и оно определяется, по сути, размерностью квадратной стохастической матрицы Р .
ОЯЮШ := 1 А := 0.9 Ф(х):= А • х • (1 - х) • 4
П(х) := И' ф(х)'
Н(х):=
0 if х < 0
х if 0 < х < 1
1 if х > 1
' 1 0 0
.11. Е 0 1 0
,0 0 1
' 6 3 1
II. Р 5 4 1
к 3 2 5
0.1
N := 104 і := 2...N х1 := 0.3 хі := П(хі -1) у1 := 0.8 уі := П(уі -1)
0(і):=(1 - хі )• Е + хі • уі • Р + (1 - уі )• хі • Р
N
Ч:=П Ф(і)
і=2
' 0.876 0.091 0.032' ' 0.678 0.233 0.088"
0(1) = 0.152 0.816 0.032 0(2) = 0.388 0.524 0.088
^ 0.098 0.064 0.838у ^ 0.268 0.174 0.558 У
' 0.73 0.201 0.07 " ' 0.817 0.135 0.048'
0(3) = 0.334 0.596 0.07 N 1) 1 5 0.225 0.727 0.048
0.21 0.138 0.652, ^ 0.145 0.095 0.76 у
' 0.62 0.275 0.105 ' 0.519 0.315 0.167'
Q(N) = 0.457 0.438 0.105 ч = 0.519 0.315 0.167
^ 0.319 0.206 0.475 > ^ 0.519 0.315 0.167 У
Рис. 1. Первый способ построения класса стохастических матриц при N = 2
Для доказательства этого утверждения введём Определение
Многочлен X) от действительной переменной X, тождественно равный
нулю при замене X на некоторую квадратную матрицу А, т.е. такой, что матрица ¥(А) - нулевая матрица, называется аннулирующим многочленом для матрицы А.
Имеет место
теорема Кели-Гамильтона [26]. Характеристический многочлен
2
^ (X) = а^(А - XE )= (-1)" Xй + (-1)”-1 Xй-ЧгА +... + detA
(6)
является аннулирующим многочленом для матрицы А, где 1гА и detA -соответственно след и определитель матрицы А .
Доказательство данной теоремы достаточно простое. Действительно, из (6)
Здесь X - матрица собственных векторов матрицы А ; п - размерность матрицы А.
Последнее равенство выражает п-ю степень матрицы через её низшие степени и, тем самым, доказывает высказанное выше утверждение 2.
2. Класс стохастических матриц может быть построен не только вариацией коэффициентов {як } в (1), но и непосредственно итерированием элементов самой стохастической матрицы. Для того чтобы в процессе итерирования выполнялось условие стохастичности матрицы, достаточно в (3) принять Ьп = 1 и проводить
итерацию величин Ьк € [0,1], к = 1, N — 1, где N = п - размерность стохастической матрицы. Заметим, что для стохастической матрицы размерности п х п число различных функций одномерных отображений может быть равно п(п — 1).
Так, для п = 2 имеем
где 0 < ф( р) < 1 и 0 <у( р) < 1 - функции одномерных отображений.
Для п = 3 фрагмент рабочего документа МаШСАБ рассматриваемого способа построения стохастических матриц имеет вид, изображённый на рис. 2.
Как следует из рис. 2, при А = 0,9 в логистическом отображении математическая модель приобретает эмерджентные свойства в виде так называемого «детерминированного хаоса» [1, 3, 13-24].
Таким образом, в результате выполненной работы показано существование в построенных неоднородных цепях Маркова так называемого «детерминированного хаоса», что представляет большой интерес при моделировании «больших» систем, включая системы экономической надежности и безопасности.
ORIGIN := 1 A := 0.9 Ф(х):= 4A • x • (1 - x)
Q(x) := И' ф(х)'
M1,1 М 2 *4 £ М1 - 1 1 1М 2
P := ci S М 2,2 ci £ ci М2 - 1 1 - М2,2
i M 1 CO % (1 - М 3,1 jМ 3,2 1 1 М 2
H(x):=
0 if x < 0
x if 0 < x < 1
1 if x > 1
' 0 2
M := 0.1 3 9
,7 6
P :=
0 0.2 0.8
0.27 0.63 0.1
0.42 0.18 0.4
i := 2...N j := 1...3 xu := Mj,1 xy := n(xj,i -1) yj4 := Mj,2 yj,i := n(yj,i -1)
x1,i y1,i (1 - x1i^ ' у 1,i 1 -y1,i " 0 0.576 0.424'
P(i) := x2,i y2,i ( - x2,i^ ' y2,i 1 -y2,i P(2) = 0.245 0.079 0.676
x3,i y3,i ( - x3,i; • y3,i 1 -y3,i _ ^ 0.653 0.211 0.136 y
' 0 0.812 0.188' ' 0 0.548 0.452"
P(N -1) = 0.353 0.545 0.103 P(N) = 0.285 0.047 0.669
^ 0.181 0.224 0.595y ч 0.772 0.096 0.133 y
Рис. 2. Второй способ построения класса стохастических матриц при n = 3 Summary
On the basis of one-dimensional displays two ways of construction of a class of stochastic matrixes are offered and, thus, two classes of non-uniform Markov's of circuits are offered. Existence in constructed non-uniform Markov's of circuits so-called in nonlinear dynamics of "the determined chaos" which represents the big interest at modelling systems with emergent properties, including modelling of system of economic safety is shown.
Литература
1. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 335 с.
2. Кольцова Э.М., Гордеев Л.С. Методы синергетики в химии и химической технологии. - М.: Химия, 1999. - 253 с.
3. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. - М.: Мир, 1999. - 335 с.
4. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. - М.: Мир, 2000. - 333 с.
5. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы.- М.: Сов.радио, 1997.-488 с.
6. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. -М.: Наука, 1969. - 511 с.
7. Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. - М.: Сов. радио, 1973. - 111 с.
8. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам.- М.: Наука, 1986.- 495 с.
9. Николаев В.Н., Матвеев В.В. Математические методы и модели последовательного принятия решений в микроэкономике и бизнесе. - М.: Прогресс-традиция, 2002. - 524 с.
10. Грунин О.А., Грунин С.О. Экономическая безопасность организации. - С.-Петербург: ПИТЕР, 2002. - 160 с.
11. Бурков В.Н., Грацианский Е.В., Дзюбко С.И.,и др. Модели и механизмы управления безопасностью. - М.: СИНТЕГ, 2001. - 153 с.
12. Ильичев А.В. Начала системной безопасности. - М.: Научный мир, 2003.- 455 с.
13. Хакен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1980. - 404 с.
14. Пригожин И.Р. От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1985. - 327 с.
15. Гленедорф П., Пригожин И.Р. Термодинамическая теория структуры устойчивости и флуктуации. - М.: Мир, 1973. - 432 с.
16. Пригожин И.Р., Стенгерс И. Порядок из хаоса. - М.: Прогресс, 1986. - 280 с.
17. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. - М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000. - 350 с.
18. Малинецкий Г.Г. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 255 с.
19. Мякишев Ю., Морозов К. Компьютеры как инструмент изучения нелинейностей // Компьютер пресс. - 1998. - №3. - С. 206-212.
20. Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора: Учеб. пособие. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 144 с.
21. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. и др. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. - М.: Наука, 1992. - 544 с.
22. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560 с.
23. Кимо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 304 с.
24. Яновский Л.П. Контролирование хаоса в моделях экономического роста // Экономика и математические методы. - 2002. - Т. 38. - №1. - С. 16-23.
25. Плис А.И., Сливина Н.А. МАТИСАБ: математический практикум. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 655 с.
26. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера.- Киев: Технжа, 1975.-766с.
Поступила 19.01.2004
