Ценообразование опционов на основе модели геометрического случайного блуждания в случайной среде Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ЭКОНОМИКА 2007. №2

УДК 336.7

М.Ю. Ермаков, А.В. Лётчиков, Т.Ю. Федоров

ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ ОПЦИОНОВ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

Построена стохастическая модель финансового временного ряда без линейного сноса, позволяющая учитывать эффект памяти в изменениях цен финансовых активов, и получена формула для оценки премии европейского колл-опциона.

Ключевые слова: ценообразование опционов, геометрическое случайное блуждание в случайной среде, предельное распределение.

Когда в апреле 1973 г. в Чикаго была открыта крупнейшая на сегодня биржа по заключению стандартных контрактов с опционами, перед вкладчиками раскрылся новый мир инвестиционных возможностей. Стандартизация условий опционных контрактов и формирование вторичного ликвидного рынка привели к созданию новых инвестиционных инструментов, которые могут принести пользу каждому инвестору, каких бы инвестиционных принципов он ни придерживался - от консервативных до спекулятивных. Неудивительно, что в настоящее время в развитых финансовых системах большая часть всех финансовых инвестиций приходится на рынки производных инструментов. В основе наиболее популярных сегодня опционов лежат такие разнообразные активы, как акции, индексы акций, иностранная валюта, долговые инструменты, товары и даже фьючерсные контракты. Успешная реализация различных инвестиционных стратегий требует знания основных особенностей опционов и оценки их стоимости, адекватной существующей рыночной конъюнктуре. Кроме того, стоимость того или иного опциона, по существу, является оценкой рыночного риска, которому подвергаются исходные активы, а оценка риска - это ключевая задача финансовой теории.

Наиболее широкое применение в финансовой теории при расчете рациональной цены опционов получила классическая модель Блэка-Шоулза, в основе которой лежит предположение, что цена базового актива (например, акции) изменяется по закону геометрического броуновского движения. Однако статистические исследования финансовых временных рядов показали, что существуют эмпирически подтвержденные феномены, которые не свойственны приведенной классической модели. Например, корреляционный анализ некоторых статистических рядов дает основание говорить об эффекте памяти в движении цен и котировок на финансовых рынках, проявляющийся хотя бы в том, что при отсутствии ярко выраженного тренда у каждой акции или курса валют существуют исторически значимые уровни, вблизи которых изменение цены акции или котировки валюты существенно замедляется, что нехарактерно для классической модели геометрического броуновского движения. Такие уровни в техническом анализе финансовых рынков известны как уровни поддержки и сопротивления.

На рис. 1 представлен график изменения цен обыкновенных акций ОАО «МТС» с октября 2004-го по апрель 2006-го г. (недельные данные).

Рис. 1 MTSI - Weekly.

В течение полутора лет поведение цены приведенной акции существенно отличается от классического: нет ни линейного сноса (линейная регрессия логарифмов цен дает горизонтальную прямую), ни роста дисперсии (расчет исторической волатильности не подтверждает увеличения среднего

размаха колебаний порядка sjt). С точки зрения технического анализа на рынке акций присутствует боковой тренд, котировки движутся в горизонтальном диапазоне, ограниченном сопротивлением в районе 225 руб. и поддержкой около 178 руб. за акцию. Для моделирования динамики цены базового актива (и расчета цены опциона) в подобных случаях целесообразно отказаться от использования классического процесса геометрического броуновского движения. Наличие эффекта памяти при эволюции цены требует построения новых моделей на основе стохастических процессов, обладающих этим свойством.

К таким стохастическим процессам относится случайное блуждание в случайной среде. Определим его по следующему правилу. Для начала задается среда, которая представляет собой двустороннюю последовательность

{Pz, z е Z} независимых одинаково распределенных случайных величин из интервала (0,1) . Общую реализацию среды обозначим через e , а ее вероятностное распределение через P (с соответствующим математическим ожиданием M ). Для фиксированной e Xn — Xn ( e, W) - случайное блуждание по целым числам: если Xn — z , то Xn+1 равно z + 1 или z — 1 с вероятностями pz и 1 — pz соответственно, X0 — 0; W в Xn (e,m) означает слу-

чайность блуждания X , порождаемую средой. Общее вероятностное распределение X обозначим Р. Таким образом, Р определяет как случайность выбора среды, так и случайность самого блуждания.

В работах Синая, Кестена, Голосова [1-3] и многих других поведение случайных блужданий в случайных средах подробно изучено. Обзор полученных результатов можно найти в работе [4]. Остановимся на некоторых наиболее важных, по нашему мнению, результатах.

Было доказано, что в том случае, когда распределение случайной величины рг удовлетворяет условию

р V'

<1 или M

M

2

1—p.

p.

p.

LV

1 — p.

J

< 1.

то найдутся константы а Ф 0 и g > 0 , для которых

Xn — a • n

g4n

сходится

при п —— ¥ по распределению (относительно Р) к гауссовской случайной величине с нулевым средним и дисперсией 1. Таким образом, выписанные соотношения являются условием применимости центральной предельной теоремы к случайным блужданиям в случайной среде, что соответствует классическому поведению аналогично геометрическому броуновскому движению.

Наиболее интересным является случай построенной модели, когда

V \2" р,

M

log

p.

1 — p.

0 и 0 < M

log

V

1 — p,

(1)

Доказано, что при этом существует функция Шп (е) (зависящая только от

Хп ( е,Ю)- тп ( е )

реализации случайной среды) такая, что величина

log2 п

схо-

дится по вероятности (относительно Р) к нулю при n —— ¥ . Более того,

тп (е)

распределение

по P сходится (при п —— ¥) к некоторому

s • log п

распределению, не зависящему от реализации случайной среды. Таким образом, при указанных условиях (1) и п —— ¥ функцию распределения случай-

(e,w)

ной величины

2 2 можно аппроксимировать некоторой функцией

s • log п

симметричного распределения F (X) . Плотность полученного распределения равна

2 * (-1)‘ f(‘) = - X exp

к k=0 2k +1

Перейдем к приложению случайных блужданий к моделированию цен рисковых активов. Будем рассматривать дискретную модель

Sn = S0 • exp ( h • Хп ), где Хп = Хп ( е, СО) - случайное блуждание по целым точкам в случайной среде. Согласно этой модели, если Sn = S0 • ehz, то

^+1 = S0 • eh (z+1) = Sn • eh или Sn+1 = S0 • eh(z 1) = Sn • е h с вероятностями pz и 1 — pz соответственно. Иначе говоря, за единичный промежуток

h

времени цена рискового актива может увеличиться в U = е раз с вероятно-

-h

стью pz или уменьшиться во столько же раз (коэффициент d = е ) с вероятностью 1 — pz . Очевидно, что если Хп имеет предельное распределение,

то и Sn имеет некоторое предельное распределение.

Предположим, что вероятности повышения или понижения цены рискового актива не зависят от ее текущего значения и постоянны, то есть

pz = p. Пусть, кроме того, выполняется предположение о нейтральности к

риску, когда ожидаемое повышение цены рискового актива постоянно и равно коэффициенту роста при вложении в безрисковый актив

E[S„,] = p •(Sn • еh) + (1 — p)•(Sn • е-h) = Sn • , h >r >0,

ег — е~h r — d

откуда получаем p = —h-—г или в более привычном виде p =----------------. В

е — е u — d

этом случае выполняются условия применимости центральной предельной теоремы к случайным блужданиям в случайной среде (действительно, pz ° p > 0,5 - константа; математическое ожидание неслучайной величины равно ей самой, а дисперсия равна нулю). Таким образом, в пределе при п —¥ Хп распределено нормально, а Sn = S0 • eXP ( h • Хп ) - логнормально. Полученный результат представляет собой не что иное, как классическую биномиальную модель эволюции цен акции и ее логнормальное приближение. Соответствующий непрерывный случайный процесс, описывающий поведение цены рискового актива называют геометрическим броуновским движением.

Однако, как было показано выше, при выполнении ряда условий случайное блуждание в случайной среде имеет распределение, отличное от нормального. Рассмотрим более подробно этот случай. В условиях бокового тренда, когда цена акции существенно не изменяется ни вверх, ни вниз, можно предположить, что в среднем значения вероятностей p (роста) и 1 — p

Л1 ’У

ются условия (1) и —2-2— имеет негауссовское распределение с плот-

(снижения) равны между собой, а величина волатильности с увеличением периода возрастаем медленно (иначе бы происходили значительные колебания цены акции). Таким образом, при боковом тренде скорее всего выполня-

Х„ (e,w)

о2 • log2 n

ностью распределения f ( V ) .

Обозначим через X случайную величину, имеющую плотность распределения f (V) . Тогда при П Xn (e,W) ~ X • О2 • log2 П и

S, = So • exp (h • X,) ~ So • exp (h • X • s2 log2 n).

По аналогии с геометрическим броуновским движением будем называть такой процесс геометрическим броуновским движением в случайной среде. Рассмотрим его свойства.

ln

S_

So

X, gt = ho2log2 (nt), n ®¥. gt

gt - величина, пропорциональная волатильности рискового актива. В финансовой математике важно по известной волатильности за единичный период (например, день) найти волатильность за период t (например, месяц). Пусть

g1 = ho2 log2 n , gt = ho2 log2 ( nt) . Выражая ho2 из первого равенства

log2 ( nt)

и подставляя во второе, имеем gt = g1-——— . Переходя к пределу, по-

log ( n )

log2 (nt)

лучаем gt = g1 • lim-——— = g1. Таким образом, если период t не

n®¥ log (n)

слишком велик, волатильность актива не возрастает с увеличением рассматриваемого временного интервала.

Математическое ожидание X равно нулю в силу симметричности

функции плотности распределения f (V) относительно нуля. Это означает,

что E[ S, ] = So, то есть ожидаемое изменение стоимости рискового актива

равно нулю и меньше доходности вложения в безрисковый актив. С точки зрения экономической теории и теории арбитража, отказ от нейтральности вероятности к риску недопустим (предполагается, что по акции не выплачиваются дивиденды): участники рынка начнут продавать низкодоходный актив, что приведет к понижению его текущей стоимости и восстановлению паритета доходности активов. Однако на практике в относительно короткие

промежутки времени отказ от нейтральности к риску оправдан. При этом, однако, необходимо учитывать, что произойдут изменения в условиях арбитража: если раньше короткие позиции арбитражеру ничего не стоили, то теперь, за то чтобы взять акции в долг, необходимо заплатить безрисковую процентную ставку (владелец акции может продать ее, вырученные деньги разместить без риска и иметь доход, превышающий ожидаемое изменение цены рискового актива). Вследствие этого, например, изменяется минимальная стоимость колл-опциона: в классической модели С > £ - X • е п, в рассматриваемой ниже - С > ( £ — X ) • е г. Кроме того, потребуется пересмотреть условие паритета колл- и пут-оционов. Финансовые рынки, функционирующие в соответствии с нейтральными к риску вероятностями, - это теоретическая конструкция, некое идеальное приближение реального мира, которое никогда не достигается в реальности. Если бы теория арбитража Росса действительно имела место, мы бы жили в мире совершенных рынков и совершенной информации. Более или менее закон о нейтральности к риску выполняется только в долгосрочном периоде.

Вычислим дисперсию X :

\к Г -,\2

D[X] = +fv2 • f (v)dv = 2+jv2^ jT-UL-expj-(- + 1 P

p к=0 (2k +1) I 8

v

dv

4 ^ (-1) +¥ 2 I (2k +1)2 p2 ,d

= — 14 j v exp-j---------- --- v ^dv =

p к=0 (2k +1)

8

4 j H)

1024

61

p к=0 (2k +1) ( + 2kp)6 45

Соответствующая нормированная плотность распределения (с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией)

,6, , ~ ,— ,\к Г (+,2-2

/х( у ) =

45 р к=о (2k +1) ^ 8

На рис. 2 изображены графики функций плотности распределения га-

ехр (—V 2/2 )

уссовской случайной величины

g(v)

\[2ж

и нормированной

плотности предельного распределения негауссовского поведения случайного блуждания в случайной среде ^ (V ) .

Рис. 2. Функции плотности классической и рассматриваемой моделей

График плотности полученного распределения характеризуется более «узким» и высоким максимумом и широкими «хвостами». Достаточно давно замечено, что логнормальная модель не вполне соответствует эмпирическим данным о распределении цен акций и индексов. В ряде работ указывается, что статистическая выборка отношений логарифмов цен финансовых активов имеет несколько иное эмпирическое распределение частот, чем то, которое предписывается нормальным распределением с соответствующим значением среднего и дисперсии. В частности, как и в рассматриваемом предельном распределении, частоты, близкие к нулю, встречаются относительно чаще, что и обеспечивает узкую высокую вершину на графике. С другой стороны, статистические данные свидетельствуют о том, что на практике значительные изменения цен также происходят гораздо чаще, чем можно было бы предположить исходя из стандартных статистических допущений. Теоретические вероятности больших изменений будут выше по сравнению с нормальным распределением, если для описания доходности выбрать предельное распределение негауссовского поведения случайного блуждания в случайной среде.

Применим полученные результаты для оценки стоимости колл-опционов европейского типа. Наиболее простым подходом к определению справедливой премии европейского опциона является определение математического ожидания будущей выплаты по опциону и ее дисконтирование к текущему моменту времени в соответствии с безрисковой ставкой процента.

Платеж по европейскому колл-опциону на одну акцию со страйком

X в момент его исполнения t = T будет равен CT = max {0, ST — X},

где St - процесс изменения цены акции. Соответственно справедливая цена колл-опциона в момент времени t равна

Ct = e_r(T-t)E[CT ] = e_r(T-t)E[max{0,ST - X}].

Обозначим через A событие, состоящее в том, что колл-опцион будет исполнен. Очевидно, что событие A произойдет в том и только в том случае, если цена ST превзойдет цену исполнения опциона X :

A = { St > X}. Введем дополнительную случайную величину I a - индикатор события me, она равна единице, если событие A происходит, и равна нулю, если событие A не происходит. Очевидно, что в силу задания события

A

CT = max{0,ST -X} = (ST -X)-IA.

Следовательно,

C, = e-r(T-t )E[Ct ] = e- r(T-t)E[( St - X) • IA ] = e-r(T-t)E[ St -I л ] - Xe~r(T-t )E[I a ]

Но математическое ожидание индикатора события равно вероятности самого события:

Рассмотрим вероятность Р{ St > X} . Так как условие ST > X эквивалентно равенству ln|

( ST 1 r X л 1 ( ST 1

T > ln , учитывая, что • ln T

s, t <St > Yt-t s, t

имеет

1

распределение f (v) , и обозначив Z =---------ln

Yt

T-t

( X л

St

где gT-t - ожидае-

мое среднее квадратическое отклонение логарифмов цен за период с ? по Т, деленное на коэффициент -^61/45 , получаем

1

Yt -

P{St >X} = Р| — • In f- >z [= J f (v)dv

St

I

тем,

что

Рассмотрим ожидание E[ St • Ia ]. Воспользуемся

St = St ‘ exP ( Yt-, ‘ X ), где X имеет плотность f ( V ) . Имеем

+¥

E[ St •IA ] = E[ St • exP ( Yt-t ■ x )‘I A ] = St J exP ( Yt-tv ) f ( v ) dv .

z

Объединяя выражения, получаем

Ct = e-r(T-t)St J egT-,v f (v) dv - Xe~r(T-t) J f (v) dv.

z z

Эта формула из-за сложности функции f ( v ) не позволяет рассчитывать премию колл-опциона даже в специализированных программах

p

(Маґкєтаґіеа 5.0). Приняв ограничение УТ_ <--------------» 1,2337 , можно перей-

8

ти к более простому для расчетов виду:

г(Т_) 2 ' ^1

■ Xe~r(T-t) 2 ' d2

p

где

d1 d1 (Z ,gT_t ) ^

k=0

d2 = d2 (Z , gT _t ) = ^

(_1) f 2k +1 f

p

+¥ (2 k+1)2p2

7t _tv------ -----|v|

dv

k=0

(_1> 2k +

+¥ (2 k+1) p

e~ s

1 f

2p2

dv

z = С (X, s,, Yt _ ) = — in

Y->

T _t

ґ X_ Л

st

Вернемся к примеру с акциями МТС (график недельных цен представлен на рис. 1). Были рассчитаны цены 12-недельных опционов со страйком 150 рублей с использованием классической и альтернативной моделей в зависимости от текущей цены акции St (безрисковая процентная ставка - 10 % годовых) на основе исторической волатильности за период. Графики премий в зависимости от цены акции изображены на рис. 3.

Как и следовало ожидать, в случае бокового движения цены актива колл будет стоить дешевле, а пут - дороже, чем на классическом растущем рынке. Таким образом, инвестор, ожидающий, что котировки акций не будут существенно изменяться в ближайшее время, например, в результате стабилизации фундаментальных показателей компании, должен формировать свою

/ / V

Рис. 3. Премии колл- и пут-опционов зависимости от цены базового актива:-----модель Блэка-Шоулза, - - альтернативная модель

стратегию с учетом того, что рынок переоценивает колл-опционы и недооценивает пут-опционы. Так, длинный стрэдл выгоднее построить не покупкой одного колл-опциона и одного пут-опциона, как это делается обычно, а путем покупки двух пут-опционов и открытия длинной позиции по фьючерсу.

Кроме того, на цену опциона существенно влияет форма плотности распределения f ( V ) : опционы «около денег» стоят относительно дешевле, тогда как опционы значительно «вне денег» или значительно «в деньгах» - относительно дороже. Это, в частности, найдет отражение в изменении пропорций в ценах вертикальных спрэдов.

Модель ценообразования опционов на основе геометрического случайного блуждания в случайной среде может быть ценна не только на фондовом, но и на валютном рынке, особенно в том случае, когда процентные ставки в двух валютах приблизительно равны друг другу, а также в инвестиционной оценке для определения стоимости активов с чертами опционов и финансовых рисков.

На любом рынке именно действия инвестора, а не модель ценообразования опциона, являются главным фактором успеха инвестирования. В конечном счете, цена опциона или любого другого актива определяется рыночным спросом и предложением, а не математической моделью. Однако для ориентированного на операции с финансовыми или реальными опционами инвестора, а также при анализе финансового риска игнорирование теоретически обоснованных моделей было бы большой ошибкой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Синай Я.Г. Предельное поведение одномерного случайного блуждания в случайной среде// Теория вероятностей и ее применения. 1982. Т.27, вып. 2. С.247-258.

2. Голосов А.О. О локализации случайного блуждания в случайной среде// Успехи матем. наук. 1984. Т.39, №2. С.145-146.

3. Kesten H. The limit distribution of Sinai’s random walk in a random environment// Physica A. 1986. Vol. 138. P. 299-309.

4. Letchikov A.V. Localization of one-dimensional random walks in random environments// Sov.Sci.Rev.:Sec. C. Math.Phys. 1989. Vol. 8. P. 173-220.

Поступила в редакцию 23.11.06

M. Ermakov, A. Letchikov, T. Fedorov

Geometric random walk in random environment for option pricing

On sideways market log-returns are not normally distributed and the Black-Scholes model gives wrong value of option. In this paper we present a stochastic model of financial time series takes account of ‘memory effect’ in evolution of assets prices, which have been applied to an estimation of the premium for European call option.

Ермаков Михаил Юрьевич,

Лётчиков Андрей Владимирович,

Фёдоров Тимофей Юрьевич

Институт экономики и управления ГОУ ВПО «УдГУ»

426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4 E-mail: [email protected]