CC BY
60
УДК 51 (075): 378.6
Бурмистрова Наталия Александровна
Кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики Омского филиала федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Академия бюджета и казначейства Министерства финансов Российской Федерации», bur_na_a@mail.ru, Омск
ЦЕЛИ, СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ КУРСА «МАТЕМАТИКА» В ЭКОНОМИЧЕСКОМ ВУЗЕ В УСЛОВИЯХ КОМПЕТЕНТНОСТНОГО ПОДХОДА
Burmistrova Natalia Alexandrovna
Candidate of Pedagogics, an associate professor of the chair of Higher Mathematics, The Omsk branch offederal state institution of higher professional education “Academy of Budget and Treasury of Ministry of Finance of the Russian Federation ”, bur_na_a@mail.ru, Omsk
THE GOALS, STRUCTURE AND THE CONTENTS OF THE ACADEMIC DISCIPLINE “MATHEMATICS” IN ECONOMIC INSTITUTE OF HIGHER EDUCATION IN CONDITIONS OF THE USAGE OF COMPETENCE APPROACH
Ускорение темпов социально-экономического развития страны значительно повышает требования, предъявляемые к выпускникам высшей профессиональной школы. Необходимость соответствия результатов образования, как потребностям личности, так и запросам общества требует принципиально нового подхода к определению его целей, содержания и технологий обучения.
В соответствии с Концепцией модернизации российского образования на период до 2010 г. обновление содержания образования, разработка нового поколения стандартов напрямую связывается с реализацией компетентнос-тного подхода [3]. Основная идея компетентностного подхода заключается в том, что главный результат образования - это не отдельные знания, умения и навыки, а способность и готовность выпускника к эффективной и продуктивной деятельности в различных социально-экономических ситуациях.
В отечественной педагогике и психологии глубокий анализ проблемы компетентностного подхода в профессиональном образовании содержится в работах В. И. Байденко, Г И. Ибрагимова, А. М. Новикова, М. В. Пожарской, С. Е. Шишова и др. Теоретические предпосылки разработки компетентностного подхода заложены в исследованиях российских ученых
В. В. Давыдова, П. Я. Гальперина, В. Д. Шадрикова, П. М. Эрдниева, И. С. Якиманской. Главное в их трудах - ориентация на усвоение обобщенных знаний, умений и способов деятельности.
Изучение зарубежного педагогического опыта показывает, что в контексте соответствия качества профессионального образования запросам личности, рынка труда и социума, главенствующую роль в процессе подготовки специалистов приобретает ориентация на компетентность как интегративное качество, обуславливающее готовность человека осуществлять определенные виды деятельности, в т. ч. в профессиональной сфере.
Таким образом, компетентностный подход демонстрирует ориентацию профессионального образования не на передачу знаний, которые постоянно устаревают, а на формирование профессиональной компетентности будущего специалиста. В рамках настоящей статьи под профессиональной компетентностью будем понимать сложившееся в процессе обучения и развивающееся в ходе профессиональной деятельности интегративное качество, образованное системой ключевых, базовых и специальных компетентностей.
Раскрывая содержание указанных компетентностей, обратимся к мнению
А. М. Новикова [6], который считает, что профессиональная компетентность помимо технологической подготовки включает ряд других компонентов, имеющих метапрофессиональный характер и необходимых сегодня специалистам различного профиля. В их составе можно выделить следующие качества:
- качества личности (мотивацию, ценностные ориентации, целеустремленность, самостоятельность; творческий подход к делу; умение постоянно учиться и обновлять знания);
- качества мышления (гибкость, абстрактность мышления; системное и экспертное мышление);
- коммуникативные качества (коммуникабельность; способность к сотрудничеству; умение вести диалог).
Такие качества являются необходимыми для любой профессиональной деятельности и носят название ключевых компетентностей, формирование их - прерогатива общеобразовательной школы, а задача вуза, опираясь на ключевые компетентности ученика, ставшего студентом, помочь ему в овладении базовыми компетентностями.
Базовые компетентности можно охарактеризовать как способность решать задачи, необходимые для овладения определенной профессией, опираясь на личный опыт, приобретенный в различных ситуациях, не только в обучении, но и в процессе общения, в том числе с коллегами. Более того, базовые компетентности включают также способность человека оценивать себя в той ситуации, когда он решает задачи в плане смыслосодержания и контекста решения [2].
В свою очередь, специальные компетентности отражают специфику конкретной сферы профессиональной деятельности и могут быть рассмотрены как результат реализации ключевых и базовых компетентностей в области учебного предмета или конкретной области профессиональной деятельности.
Обобщая сказанное, определим роль компетентностного подхода в определении целей и содержания математического образования на экономических факультетах вузов.
Поскольку в качестве главного результата профессионального образования можно рассматривать готовность выпускников быть копетентными в будущей профессиональной деятельности, то результатом математической подготовки экономистов должна стать не просто совокупность предметных знаний, умений и навыков выпускников, а возможность их деятельностного применения в будущей профессиональной деятельности. В этой связи, очевидна необходимость усиления прикладной направленности курса высшей математики. При этом решение вопроса о прикладной экономической направленности математического образования следует рассматривать в контексте формирования как предметной (математической) компетентности, так и матапредметных (познавательной, коммуникативной, ценностно-ориентированной) компетентностей, входящих в состав профессиональной компетентности будущего экономиста.
Учитывая вышесказанное, выделим основную цель изучения дисциплины «Математика» для экономических специальностей вузов.
В соответствии с требованиями квалификационной характеристики Государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования специальностей направления 080100 «Экономика» нами был проведен анализ профессиональной деятельности экономиста [1]. Конкретизация видов профессиональной деятельности, их характеристика позволили определить основную цель дисциплины «Математика», состоящую в формировании у студентов способов деятельности, необходимых в будущей профессиональной деятельности, и, в первую очередь, умения моделировать экономические процессы.
В соответствии с целью учебной дисциплины «Математика» обратимся к рассмотрению ее структуры, включающей в соответствии с требованиями ГОС к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы, три взаимосвязанных блока:
- математические структуры и методы их анализа;
- экономико-математические методы;
- экономико-математические модели.
В рамках настоящей статьи под термином «экономико-математическая модель» будем понимать математическое описание (в виде уравнений, неравенств и пр.) основных закономерностей экономического процесса, проведенное в целях исследования и управления [4].
Указанная выше цель и структура учебной дисциплины «Математика» определяют содержание математикой подготовки будущих экономистов. При этом очевидно, что содержание математических знаний, умений и навыков студентов не должно ограничиваться включением теоретического материала и задач абстрактного характера. За математическими понятиями студенты должны научиться видеть конкретные профессиональные объекты,
их взаимодействие, что, в свою очередь, обеспечивается использованием метода математического моделирования реальных экономических процессов. Ввиду того, что существует несколько вариантов включения математического моделирования в учебный процесс, представляется целесообразным введение элементов моделирования в курс математики в качестве одной из ее содержательно-методических линий. В ходе реализации этой линии студенты должны получить представление о сущности формализации и о методе моделирования, научиться строить и исследовать простейшие, характерные для будущей профессиональной деятельности модели.
Учитывая требования ГОС ВПО экономических специальностей в части содержания учебной дисциплины «Математика» выделим типы математических моделей, используемых для анализа реальных экономических процессов при обучении математике, а также примеры экономико-математических моделей, построение и исследование которых целесообразно в рамках учебного курса (таблица).
№ Раздел курса «Математика» Математические модели Экономические процессы Экономико- математические модели
1 2 3 4
1 Элементы аналитической геометрии Вектор; уравнение линии; уравнение поверхности Представление экономических величин в векторной форме; определение рыночного равновесия в модели спроса и предложения Функции полезности; кривые безразличия; модель спроса и предложения
2 Линейная алгебра Матрица; уравнение; система линейных уравнений Функционирование экономического объекта в рамках соответствия затрат выпуску Модель многоотраслевого баланса; модель равновесных цен; модель международной торговли
3 Введение в исследование операций Система линейных неравенств; платежная матрица; граф; сетевой график Максимизация прибыли, минимизация издержек при заданных ограничениях; сетевое планирование Задачи линейного программирования; задачи динамического программирования; сетевой график
Окончание таблицы
1 2 3 4
4 Математический анализ Числовая последовательность; функция; предел функции; производная функции; коэффициент эластичности функции; интеграл; дифференциальное уравнение; числовой и степенной ряд Непрерывное начисление процентов; расчет предельных величин, коэффициентов эластичности; определение объема выпуска продукции; дисконтирование денежных потоков Модель непрерывного начисления процентов; производственные функции; модели фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции
5 Элементы теории вероятностей и математической статистики Вероятность случайного события; функция распределения случайной величины; закон распределения случайной величины Расчет надежности ценных бумаг; определение качества продукции, суммы страхового взноса Модель системы массового обслуживания
Содержание таблицы показывает, что практически каждый раздел курса «Математика» предполагает обращение к различным математическим моделям, их построению, исследованию, что оказывает ощутимую помощь при анализе моделируемых с их помощью экономических процессов, интерпретации полученных результатов и принятии качественных решений в будущей профессиональной деятельности.
Поскольку применение математического моделирования будущими экономистами сводится к выбору (построению) математической модели исследуемого процесса, решению математической задачи и содержательной интерпретации полученных результатов, то данная процедура обычно вызывает затруднения у студентов, так как требует сочетания формального и неформального мышления. В этой связи, использование математических моделей и обучение моделированию должны присутствовать на протяжении изучения всего курса математики.
Это предполагает, в первую очередь, создание запаса математических моделей, описывающих экономические процессы. Такими моделями являются основные понятия математики: функция, уравнение, система уравнений, неравенство, производная, интеграл, вероятность, процент и т. д.
Далее необходимо сформировать знания и умения, необходимые для исследования математических моделей. Речь идет об исследовании функций, решении уравнений, неравенств и их систем, интегрировании и дифференцировании функций и пр.
И, наконец, требуется научить студентов строить и исследовать модели реальных процессов, характерных для будущей профессиональной деятельности. Другими словами, следует научить студентов переводить задачу на язык математики, интерпретировать результат решения на языке реальной ситуации, определять соответствие полученных и исходных данных.
В контексте вышесказанного рассмотрим пример включения в содержание курса «Математика» одной из экономико-математических моделей балансового типа.
Результат анализа Государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования специальностей направления 080100 «Экономика» демонстрирует необходимость рассмотрения в курсе дисциплины «Математика» в структуре обязательных дидактических единиц таких понятий как собственные значения и собственные векторы матриц. Несмотря на внешнюю абстрактность указанных понятий, их изучение может быть мотивировано рассмотрением прикладных аспектов в области экономики. В этой связи, обратимся к раскрытию содержания и методических особенностей изучения темы «Собственные значения и собственные векторы матриц» для экономических специальностей вузов.
Ввиду того, что к моменту изучения данной темы студенты знакомы с такими математическими моделями как вектор, матрица, операциями над ними, при введении понятий собственного значения и собственного вектора квадратной матрицы может быть использовано следующее определение [5].
л пхп
Число X называют собственным значением квадратной матрицы А ,
X = (х7...х„ у,
для которого выполня-
если существует ненулевой вектор ется равенство
А - X = Х- X (1)
Вектор Х из уравнения (1) есть собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению X.
Для нахождения собственного значения X нужно выполнить преобразования матричного уравнения (1)
А - X-X-X = 0 ^ (А-ХЕ]-X = 0 (2)
Полученное уравнение можно представить в виде однородной системы линейных уравнений (СЛУ)
о
А
Поскольку вектор Х - ненулевой, то однородная СЛУ имеет нетривиальное решение, что, в свою очередь, возможно лишь при условии равенства нулю определителя основной матрицы системы, т. е.
\А -Щ = 0 (4)
Результатом решения характеристического уравнения (4) являются X. — собственные значения матрицы А.
С целью нахождения собственных векторов матрицы А для каждого X. необходимо записать однородную СЛУ (3), решить ее методом Гаусса и найти фундаментальную систему решений (ФСР). Векторы, составляющие ФСР однородной СЛУ, и есть собственные векторы матрицы А.
В качестве примера экономического процесса, исследование которого возможно с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы, можно привести процесс взаимных закупок товаров. Рассмотрим экономико-математическую модель международной торговли для стран S1,S2,...,Sn, имеющих торговые бюджеты в размере х1,х2,...,хп соответственно.
Пусть а..- доля торгового бюджета страны £. , которая тратится на покупку товаров в стране Si. Тогда структурная матрица международной торговли имеет вид
Л, Б2 ... 5*,, — страны покупатели
\
Ґ аи ау2 . . а
а2\ С122 * . а
а , . п 2 . а
1П
2 п пп J
^« — страны продавцы
Поскольку бюджет страны расходуется на покупку товаров как внутри страны, так и за рубежом и его условно можно считать равным единице, справедлива формула
аи+а21+... + ап1= 1, / =070 (5)
Таким образом, в силу условия (5) сумма элементов любого столбца структурной матрицы торговли равна единице.
Для любой страны S выручку от внешней и внутренней торговли можно представить формулой
р1 =ап-х1+а,2-х2+...+ ат ■ хп = 1, / =(уг)
(6)
Тогда условие сбалансированной (бездефицитной) торговли имеет вид
Р, ~ х, или А ■ X = X, где X
( \ хх
х2
КХ„у
векторы торговых бюджетов.
Выполнив преобразования матричного уравнения, получаем
А • X - Е • X — 0
(А - Е) X — 0 (7)
В уравнении (7) вектор X- собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению А=1.
Рассмотрим пример решения задачи экономического содержания [7]. Пример. Известна структурная матрица торговли трех стран. Найти соотношение торговых бюджетов в условиях сбалансированной торговли.
1Ч0А АабШеу Еоааео
0/3 1/4 1/2л
А —
1/3 1/2 12 13 14 0
ША
Аабіаіеу
Еоааео
Решение
Для решения задачи достаточно найти собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению А=1.
Запишем и решим методом Гаусса однородную СЛУ
(а~е)-Х = 0:
2 1 1 п ,
---х, + — х9 + — х, = 0; -12
3 1 4 . 2 3 1
1 1 1 ПІ*
— X,---х, + — х, =0; -6
3 2 2
1 1
-х, + —х9
3 4 2
-х3 = 0. | -12
-8 3 6
2-3 3
4 3 -12
У
'0 -9 18 ' ґо 1 -2" ґо 1 -2" "0 1 -2 Л
2 -3 3 -3/2,
,0 9 -18, V2 -3 у2 0 -3; ,1 0
X =— X
3’
Xо
2 х.
3
В полученном общем решении Хр х2 — базисные, Х3 — свободная переменные.
Найдем ФСР однородной СЛУ, содержащей (п-г)=1 решений, где п=3 -число переменных, г=2 - ранг системы. При нахождении каждого из решений ФСР одной из свободных переменных поочередно придаем значение, равное единице, остальным - равное нулю, а значения базисных переменных находим из общего решения.
Таким образом, собственный вектор матрицы, отвечающий собственному
^3 л
значению X — 1, имеет вид X —
V 2;2;\
V2 У
или X — (3;4;2).
Ответ: Отношение торговых бюджетов стран в условиях бездефицитной торговли составляет 3:4:2.
Предложенный методический прием введения понятий собственного значения и собственного вектора матрицы с использованием экономикоматематической модели международной торговли обеспечивает мотивацию изучения абстрактных математических понятий, что, в свою очередь, способствует реализации прикладной направленности темы и, соответственно, решению одной из главных задач высшей школы - подготовку студентов к будущей профессиональной деятельности.
Таким образом, реализация компетентностного подхода обеспечивает значительное усиление прикладной направленности содержания математического образования будущих экономистов, используя в качестве средства обучения метод математического моделирования реальных экономических процессов.
Библиографический список
1. Государственные образовательные стандарты высшего профессионального образования. [Электронный ресурс]. - Российское образование. Федеральный портал. Режим доступа: http://www.ed.ru
2. Компетентностный подход в педагогическом образовании: Коллективная монография [Текст]/Под ред. проф. В. А. Козырева и проф. Н. Ф. Радионовой. -СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2004. - 392 с.
3. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 г. [Текст] // Официальные документы в образовании. - 2002. - № 4. - С. 18-19.
4. Лопатников, Л. И. Экономико-математический словарь [Текст] / Л. И. Лопатников - М.: ABF, 1996. - 704 с.
5. Красс, М. С. Математика в экономике. Основы математики [Текст]: учебник / М. С. Красс. - М.: ИД ФБК - ПРЕСС, 2005. - 472 с.
6. Новиков, А. М. Профессиональное образование России. Перспективы развития. [Текст] / А. М. Новиков. - М.: ИЦПНПО РАО, 1997. - 254 с.
7. Солодовников, А. С. Математика в экономике [Текст]: учебник /
A. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов, И. Г. Шандра. - Ч. 1. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 384 с.
8. Ильязова, М. Д. Компетентностный подход и задачи развития современной высшей школы [Текст] / М. Д. Ильязова // Сибирский педагогический журнал. -2008. - № 3. - С. 61-78.
9. Баликаева, М. Б. Специфика компетентностного подхода в процессе развития самообразования студентов вуза [Текст] / М. Б. Баликаева // Сибирский педагогический журнал. - 2007. - № 3. - С. 21-29.
10. Щербакова, В. В. К вопросу о профессиональной компетентности [Текст] /
B. В. Щербакова // Сибирский педагогический журнал. - 2008. - № 2. -
C. 139-146.
11. Сурнина, Т. Ю. Развитие тьюторских компетенций как способ совершенствования деятельности современного преподавателя [Текст] / Т. Ю. Сурнина // Сибирский педагогический журнал. - 2008. - № 3. - С. 169-180.
12. Медведева, Л. Д. Ориентировочная основа педагогического процесса подготовки специалистов экономического профиля [Текст] / Л. Д. Медведева, А. В. Хмелевский // Сибирский педагогический журнал. - 2008. - № 2. -
С. 165-170.
