CC BY
12
ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 2.
УДК 511.36
DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-207-220
Тригонометрические суммы в метрической теории диофантовых приближений
Э. И. Ковалевская
Ковалевская Элла Ивановна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Белорусский государственный аграрный технический университет (г. Минск).
e-mail: ekovalevsk@mail.ru
Это обзор результатов по метрической теории диофантовых приближений на многообразиях в n-мерном евклидовом пространстве, в доказательстве которых используюся тригонометрические суммы.
Мы приводим как классические теоремы, так и современные результаты для многообразий Г dim Г = то, п/2 < то < п. Мы также показываем, как происходит переход от задачи о диофантовых приближениях к оценке тригонометрической суммы или тригонометрического интеграла, и приводим необходимые соображения теории меры.
Если то ^ п/2, то обычно используют другие методы. Например, метод существенных и несущественных областей или методы эргодической теории.
Здесь даны две фундаментальные теоремы рассматриваемой теории. Одну из них в 1977 г. доказал В. Г. Спринджук. Другую теорему в 1998 г. получили Д. И. Клейнбок и Г. А. Маргулис. Первая теорема была доказана методом тригонометрических сумм. Вторая теорема — методами эргодической теории. Для ее доказательства авторами была найдена связь между диофантовыми приближения и однородными динамическими системами.
В заключении кратко упоминаем о тенденциях развития метрической теории диофантовых приближений зависимых величин, даем ссылки на ее современные аспекты.
Ключевые слова: диофантовы приближения, метрическая теория, дифференцируемые многообразия, тригонометрические суммы, метод Ван дер Корпута, метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова.
Библиография: 31 название Для цитирования:
Э. И. Ковалевская. Тригонометрические суммы в метрической теории диофантовых приближений // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 2, с. 207-220.
Аннотация
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 2.
UDC 511.36
DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-207-220
Trigonometric sums in the metric theory of Diophantine
approximation
E. I. Kavaleuskava
Kavaleuskaya Ela Ivanayna — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of department of vysshava mathematics, Belarusian State Agricultural Technic University (Minsk).
e-mail: ekovalevsk@mail.ru
Abstract
It is a survey with respect to using trigonometric sums in the metric theory of Diophantine approximation on the manifolds in n-dimensional Euclidean space.
We represent both classical results and contemporary theorems for Г dim Г = то, n/2 < m < n. We also discuss reduction of a problem about Diophantine approximation to trigonometric sum or trigonometric integral, and indicate measure-theoretic considerations.
If m < n/2 then usually it is used the other methods. For example, the essential and inessential domains method or methods of Ergodic Theory.
Here we cite two fundamental theorems of this theory. One of them was obtained by V. G. Sprindzuk (1977). The other theorem was proved by D. Y. Kleinbock and G. A. Margulis (1998). The first result was obtained using method of trigonometric sums. The second theorem was proved using methods of Ergodic Theory. Here the authors applied new technique which linked Diophantine approximation and homogeneous dynamics.
In conclusion, we add a short comment concerning the tendencies of a development of the metric theory of Diophantine approximation of dependent quantities and its contemporary-aspects.
Keywords: Diophantine approximation, metric theory, differentiable manifolds, trigonometric sums, Van der Corput's method, I. M. Vinogradov's method of trigonometric sums.
Bibliography: 31 titles. For citation:
E. I. Kavaleuskaya, 2019, "Trigonometric sums in the metric theory of Diophantine approximation" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 207-220.
1. Введение
Эта работа расширяет и дополняет [7], [8]. Мы приводим как классические теоремы, так и современные результаты по метрической теории диофантовых приближений на многообразиях.
В теории диофантовых приближений выделяют три подхода [14]. Один их них, глобальный, изучает общие законы аппроксимации, справедливые для всех чисел определенных классов. Второй, индивидуальный подход, имеет дело с аппроксимационными свойствами специальных чисел. Например, е, ж, ln2, 32 и т. д. Третий, метрический подход, занимает промежуточное положение между двумя названными и требует для описания аппроксимационных свойств чисел применения понятий теории меры [14].
Напомним, что метрическая теория диофантовых приближений на многообразиях начала формироваться во 2-й половине прошлого столетия после появления работ И. П. Кубилю-са [10], [11], Дж. В. С. Касселса (1951) (см. [3] гл. 7, с. 161; 197), В. М. Шмидта [28]', [29] и В. Г. Спринджука (1964 г., см. [12]). Эта теория была связана с решением задач, мотивированных классификациями К. Малера (1932 г.) и Дж. Коксмы (1939 г.) трансцендентных чисел. Точнее, с определением меры Лебега множеств цплохоци "хорошо" аппроксимируемых чисел рациональными дробями. С тех пор многие авторы внесли большой вклад в исследование по диофантовым приближениям на многообразиях, установив их арифметические и геометрические свойства. В частности, для более полного описания меры указанных точек была использована размерность Хаусдорфа [2], [17]-[23].
К настоящему времени сформировалось несколько методов для исследования диофантовых приближений на многообразиях: (1) метод тригонометрических сумм, использующий методы математического анализа [1], [2] (гл. 3, § 2), [4]-[8], [10], [11], [16], [21]-[23], [26], [28], [29]; (2) метод существенных и несущественных областей В. Спринджука, основанный на специальных свойствах целочисленных многочленов, [2], [9], [12], [13], [17]-[23]; (3) методы эргодической теории [20], [24], [25].
Для полноты изложения отметим также публикации [30], [31] и приложения метрической теории диофантовых приближений к задачам математической физики [24] (изучение явления резонанса) и к задачам теории коммуникаций [15] (регулировка помех при передаче сигналов).
2. Основная задача
Пусть 71,..., тга £ М, и пусть ад(71,..., 7«) обозначает точную верхнюю грань таких ад > 0, для которых неравенство
||71°1 +-----+ 7гаага|| < а-т, а = тах |а*| = 0, (2.1)
где ||ж|| — расстояние от ж £ М до ближайшего целого, имеет бесконечно много решений в наборах целых чисел (а1,..., ап).
Из "принципа ящиков" Дирихле следует, что
ад(71,... ,7„) ^ п.
В 1926 г. А. Я. Хинчин показал, что ад(71,..., 7га) = п для почти всех (71,..., 7га) £ Мга. Здесь и далее мы имеем в виду меру Лебега.
Вместо неравенства (2.1) можно рассматривать систему неравенств
тах(||71<? ||,..., || 1пд ||) < д-, ь> 0, д£ ^\{0}. (2.2)
Пусть 11(71,..., 7га) обозначает точную верхнюю грань таких V > 0, для которых система неравенств (2.2) имеет бесконечно много решений в целых числах д > 0. В этом случае из "принципа ящиков" Дирихле получим неравенство
■и(7ь ... ,7га) ^ 1/п.
Здесь нижняя граница также достижима (А. Хинчин, 1925 г.) для почти всех (71,..., 7га) £ Мга. В силу "принципа переноса" Хинчина существуют определенные соотношения между величинами ад(71,..., 7га) и г>(71,..., 7га) [14] с. 65. В частности, равенства
ад( 71,..., 7га) =п, ^(71,.. .,7га) = 1/п (2.3)
эквивалентны.
1, . . . , га
них выполняются неравенства (2.3).
Здесь мы имеем в виду, что они "плохо" аппроксимируются рациональными дробями с одним и тем же знаменателем, так как для них система неравенств (2.2) имеет только конечное число решений в целых числах д > 0 для V > 1 /п.
Основная задача состоит в следующем: дать описание многообразий Г т Мга; ё1т Г < п; почти все точки которых (в смысле меры на Г) являются системами плохо аппроксимируемых чисел.
Г
мальным (согласно [14] с. 137).
Г
ё1тГ = 1 в [10]-[12], [29].
3. Некоторые результаты
Сформулируем шесть теорем, в доказательстах которых применяется метод тригонометрических сумм. Более полную информацию можно найти в [2], [13]-[14], [22], [23]. Многообразие Г в этих теоремах имеет большую размерность, т. е.
п/2 < dim Г < п.
Так как dim Г < п, то между точка ми на Г существуют функциональные связи. Так возникает метрическая теория диофантовых приближений зависимых величин, которая исследует многообразия на экстремальность.
Г
делено в Rm+ra, dim Г = т,
Г = (ti,...,tm,fi,...,fn) (3.1)
где ti,... ,tm — независимые переменные в некото рой области Q С Rm, f\,...,fn — непрерывные функции от (ti,... ,tm) С Q. Это предположение не является каким-либо ограничением, Г
ГГ
получим и его "глобальную" экстремальность.
Когда мы делаем переход от независимых величин к зависимым величинам, то первоначально исследуется случай "слабой" зависимости. Итак, рассмотрим топологическое произведение
Г = Г1 х---х Гт, (3.2)
где т — достаточно велико по сравнению с размерноетями компонент Г^.
Г
ствами. Здесь имеем dim Г = 1 (1 ^ г ^ т). В доказательствах соответствующих теорем используется метод оценки тригонометрических сумм И. М. Виноградова.
Теорема 3.1 ([26]). Пусть ki,...,km е N К = max(ki,..., km), К > 1, k = min(ki,..., кт). Предположим, что действительные числа, Х1,..., Хт таковы, что неравенство
||Aiai +-----+ Amam|| < (а[ ■ ■■ ат)-1-1, a- = |а»| + 1,
при некотором фиксированном, 7, 0 < j < (ki + ■ ■ ■ + km)m-2, имеет только конечное число решений в целых числах а1,..., ат. Тогда произведение многообразий
Г = (Xi ,XiX,XiX2,...,\iXki) (г = 1,... ,т) (3.3)
Экстремально, если : 1) т ^ 2, К = 1, и 2) т К3k-i ln К, К ^ 2.
В следующей теореме многообразие задается квадратичными многочленами. Теорема 3.2 ([5]). Для любого данного 5 > 0; неравенство
П 1М1 П ^ill <*-1-& (3.4)
имеет только конечное число решений в целых числах q > 0 для почти всех (ti,..., tm) е Mm.
Экстремальность следующего многообразия обусловлена определенными свойствами дифференцируемых функций. Пусть Ii (г = 1,..., т) — интервалы в R. Пусть ki,..., km определены как в теореме 3.1. Пусть
fij (х) (j = 1,...,ki)
— (к + 1)-раз непрерывно дифференцируемые действительные функции на интервалах и вронскианы,
™ (/а,..., 4 ) = 0 (г = 1,...,т) (3.5)
почти всюду на Рассмотрим многообразие (3.2), где
Г = ( /¿1,..., ) (г = 1,...,т). (3.6)
Здесь каждая компонента является одномерным многообразием общего типа. В [1] было найдено простое условие, связывающее величины т, к1,..., кт и гарантирующее экстремальность Г.
Г
К2 < 1 + к1 + ■ ■ ■ + кт.
В доказательстве теорем 3.2 и 3.3 используется метод Ван дер Корпута для оценки тригонометрических сумм. Отметим, что приведенные теоремы являются примерами "гладких" (дифференцируемых) экстремальных многообразий.
Теперь приведем один из фундаментальных результатов метрической теории диофантовых приближений на многообразиях, доказанный методом тригонометрических сумм.
Теорема 3.4 ([14] с. 78). Пусть т,п £ N 1 ^ п < т. Пуст,ь О — облает,ь в Мт; и пусть ¿з = /?'(^ 1,..., ^т) (1 ^ ,7 ^ п) — действительные функции, определенные в О, удовлетворяющие условиям:
а) частные производные д2/з-/д^д£к непрерывны, в О (1 ^ ^ ^ п) (1 ^ г, к ^ т);
б) определитель (якобиан)
ёе^ д2/3/д ^г д^^)3-,&=1,2,...,га = 0 почти всюду в О,
в) любая линейная комбинация
) = С1(д2/1^ 1д* к) + ■ ■ ■ + Сга(д2 /га/д11д4 к)
с целым,и коэффициентами с1,..., сга, рассматриваемая как функция одной переменной £ ^ (1 ^ к ^ п) при фиксированных остальных переменных, такова, что любой интервал, где она определена, можно разбить на ограниченное, не зависящее от, с1,..., сга число подынтервалов, на которых Л,(^) монотонна. Г
Г
ми. Условие в), имеющее длинную формулировку, просто по содержанию и выполняется для
з
гда выполняется, и его можно исключить из формулировки. Некоторые детали доказательства этой теоремы будут приведены в §§4 — 7 настоящей работы.
Следующая теорема является двумерным аналогом результата Шмидта [29].
Теорема 3.5 ([6]). Пусть поверхность Г С М3 задана уравнением г = /(ж, у), где функция, /
М2
Г М2 Г
( п = 1 , т = 2)
Следующая теорема является новым результатом в теории экстремальных непрерывно дифференцируемых т-мерных многообразий Г = (,Д(ж),..., /м(ж)), ж £ Ет = [0,1) х ■ ■ ■ х [0,1) вМ" (1 ^ т < N).
Пусть h ^ 1 — целое число, mh > N. Рассмотрим преобразование
щ : Emh ^ Rn ,
определяемое уравнениями
(fj (ж) = (fj (Щ, ...,Xh) = fj (Ж1) +-----+ fj (Xh), Xs = (xsl,..., xsm) (1 ^ j ^ N), (1 ^ s ^ h).
Матрица Якоби этого преобразования (Щ,... ,Xh) ^ (fi1(x),..., fiN(ж)) имеет вид
( . \
Эхц dxhm
d(fiN . dtpN \ дхц dxhm )
Теорема 3,6 ([16]). Если для некоторого числа, h, определенного выше, якобиан J (tpi,..., iph) имеет минимальный ранг почт и всюду в Em, то многообра sue Г экстремально.
В доказательстве теоремы используется теория знакопеременных интегралов и формула Парсеваля.
4. Рациональные точки вблизи гладких многообразий
Г
венству (2.2), где п заменяется на m + п. Покажем, что доказательство экстремальности Г приводится к отысканию оценки сверху для числа рациональных точек, имеющих один и тот же знаменатель q и находящихся в близи Г. Идея такого приведения принадлежит Касселсу (1950) (см. [3] гл. 7).
Асимптотическая оценка числа этих точек при q ^ ж должна быть "неулучшаемой т. е. иметь порядок истинного числа таких точек ([14] с. 82-83). Этого можно достить при опреде-
Г
Пусть Em = [0,1) х ■ ■ ■ х [0,1) в Rm, и пусть fi,...,fn — действительные функции от ti,..., tm, определенные в Em с непрерывными производными
d2f
dtidtj
(i,j = 1,2,...,т).
Рассмотрим систему диофантовых неравенств
шах(|М|,..., |М||, ШЦ..., ШЮ < q~v (4.1)
для точек многообразия Г. Из (4.1) следует, что
1и - (Ц/Ч1 <д-1-'" (1 < г < т), - Ъ,/д1 <д-1- (1 < з < п) при некоторых целых числах а^ Ь^. Отсюда находим
(и,...,гт) = (й1 /д,..., ат/д) + 0(д-1-'"), М3(а1/д,...,ат/д)Ц^ д- Ц = 1,2,...,п), (4.2)
где 0 ^ а1 ^ д, так как переменные и принадлежат Ет. Запись X ^ У эквивалетна обозначению X = О (У). Таким образом, мы гадим, что пр и заданном д мера множества тех точек (¿1,... ,Ьт) £ Ет, для которых выполняется (4.1), оценивается величиной
< д-т(1+^Х,(д),
где (д)— число решений в целых числах й1 ,..., ат, 0 ^ а1 ^ д, системы неравенств (4.2).
5. Редукция к тригонометрической сумме или тригонометрическому интегралу
Следующая лемма позволяет получить оценку сверху для числа решений системы диофантовых неравенств, не прибегая к разложению в ряды Фурье характеристических функций соответствующих интервалов. Она дает возможность сразу работать с конечными суммами вместо бесконечных рядов. И. Кубилюс [11] был первым, кто применил эти конструктивные соображения.
Лемма 5.1 ([14] с. 81). Пусть n,q,Q — нату^шьные ч,исла, g%j, п > 0 — действительные числа, (1 ^ г ^ п, 1 ^ j ^ Q). Пусть N(g, Q) — число т,а,ки,х чисел j, для которых величины gij,..., gnj одновременно удовлетворяют неравенствам
|| gu || < q-ri,..., Цдп] || < 9-г". (5.1)
Тогда,
N (g, Q) < q-r ^ ••• ^ | ^ e2™(ci
|cx|<gri |сп|<9Гп 3=i где г = ri + ■ ■ ■ + гп и сим,вол ^ скрывает, величину, зависисящую только от, п. Эта лемма применяется при доказательствах теорем 3.1, 3.4 и 3.5.
Следующая лемма позволяет сразу оценивать меру точек (ii,..., tт) £ Em, для которых выполняется, например, (3.4), без перехода к промежуточным неравенствам типа (4.2). Это используется в доказательстве теорем 3.2, 3.3, 3.5 и 3.6.
Лемма 5.2 ([14] с. 99-100). Для заданных натуральных чисел т,п и Q пусть fj(ж) — действительные измеримые функции, определенные в Em (1 ^ j ^ п) и пусть rj > 0 как в лемме 5.1. Обозначим через ^(д) меру множества тех точек ж £ Em, для, которых выполняется система неравенств
max || fj (ж)|| < q-r> (1 ^^п). (з)
Тогда,
Mi) < q-r V ••• V if e2*i(cih+-+cnin) йж|,
' J J /Em
lci|<9ri |cn|<grn JE
где r = ri + ■ ■ ■ + rn и сим,в ол ^ скрывает, величину, зависисящую только от, п.
6. Упрощения, использующие соображения теории меры
В. Шмидт [29] был первым, кто предложил такие упрощения. Они подробно изложены в [14] с. 85-87. Мы покажем их применение на примере теоремы 3.3. Согласно условиям (3.5) этой теоремы можно считать, что вронскианы W..., fik.) удовлетворяют неравенствам
0 < а ^ W (/ш..., 4) ^ (1 ^¿^m)
с некоторыми числами а, Р и чт0 они монотонны на соответствующих интервалах
Действительно, для заданного 5 > 0 пусть Aj(<S) — множество таких точек ж £ для которых | W(fii,..., fik.)| > 5. Так как W(fii,..., fik.) — непрерывная функция, то Aj(<S) — открытое множество, т. е.
те
= Е ^ k=i
гДе Ьк(5) — интервалы и знак суммы означает объединение непересекающихся множеств. Из того, что Ш(!'г1,...,!\к-) = 0 почти всюду на и следует, что ^ 1^1, когда 5 ^ 0.
Поэтому, рассматривая множество
А1 (5) х---х Ат(5) = ^ /щ (6) х---х 1ткт (5),
вместо I = 11 х ■ ■ ■ х 1т, мы сделаем переход к множеству, мера, которого при достаточно малом 5 будет сколь угодно мало отличаться от меры, исходного множества. Следовательно, достаточно доказать экстремальность Г на интервалах 11к1 (5),...,1ткт(5). Но на этих интервалах вронскианы Ш(1\1,...,1\к-) удовлетворяют неравенствам (!'г1,...,!\к-)1 > ^ и будучи непрерывными функциями, они ограничены в любом замкнутом подыинтервале. Несколько уменьшив длины интервалов, I(5),..., 1ткт ($), мы перейдем к замкнутым интервалам, на которых (/ц,..., /ж-)| ^ Д < Каждый такой интервал представляет собой не более чем, счетную систему подынтервалов, на которых Ш(/¡1,..., /¡к.) монотонны [14] с. 86. Действительно, функции Ш'(/ц,...,/ц..) непрерывны по условию теоремы, и множества [х : Ш(/¡1,..., /¡к.) > 0} [х : Ш(/¡1,..., /¡к.) < 0} открыты и представляют собой не более чем счетные системы интервалов, так что Ш' (/¡1,..., /¡к.) не более чем, счетное число раз меняет знак.
Таким образом, получены разбиения интервалов (5),..., 1ткт ($), в которых обеспечено выполнение условий, указанных в начале этого параграфа. Не прибегая к новым обозначениям, будем полагать, что эти новые интервалы и есть 11,... ,1т. Более того, можем считать, что 11, ■ ■ ■ ,1т — интервалы единичной длины [14] с. 87.
Далее, следует обратить внимание на следующий факт: согласно лемме Бореля-Кантелли,
Г
мость ряда, ^^^ д-т(1+и">Х,и(д), где ^ (д) определено в конце §4, при любом, V > 1/(т + п) (см. [14] с. 83). Очевидно, этот ряд сходится, если при V > 1/(т + п) сходится ряд
те
^ д^+^К (д), (6.1)
я=1
где N(д) — число решений системы неравенств (4.2) при V = Ьо = 1/(т + п), так как ^ (я) ^ N (д). Получение оценки
N(д) < д^(1+^о)-1+е, (6.2)
где е > 0 — как угодно мало, достаточно для обеспечения, сходимости ряда (6.1) при любом V > у0.
7. Некоторые этапы доказательства теоремы 3.4
§§4-6
неравенств во второй строке формул (4.2), применим лемму 5.1. Тогда получим
N(д) < д-п'"° ^ | ^ е2™^(а/д) I (7.1)
с а
где Р(¿1,... , ¿т) = с1/1 + ■ ■ ■ + сп/п, векторы с £ с условием |с| ^ д~"°, векторы а £ Zm имеют координаты а,1,..., ат, удовлетворяющие условиям
0 ^ <ц ^ д (1 ^ г ^ т). (7.2)
Далее, применяем следующие аргументы [14] с. 84-85. Пусть уо — целое число из интервала [ у(1-^°)/2j ^ у0 ^ 2[q(1-®°)/2^е [х] — целая часть х G R. Разделим множество A(y) всех целых точек а = (ai,..., ат) с координатами, удовлетворяющими (7.2), на подмножества As(уо), полагая а = yos + äö, а0 = (aoi,..., аот), 0 ^ ао» < уо (1 ^ г ^ т), s = (si,..., Sm), 0 ^ si ^ S = [y1] (1 ^ i ^ т). Собираем в Ag(уо) все векторы а с одним и тем же s. Получим
— — 1 m я _
Л (а ) = Л (f) + 1 Е (f )ао, + 0(Г1-'0)
для а G As(Уо). Следовательно, соответственно различным множествам Ag(уо) система неравенств во второй строке формулы (4.2) распадается на ^ Sm систем вида
m
l|aoj + ^fcaoi||< q-V0 (г = 1,...,п), (7.3)
i=1
где
= у/,-(—^ ^ = Л"(—)
У < п У
и а« е ^ 0 ^ а0г < у0 (1 ^ г ^ ш).
Чтобы оценить ^0 — число решений системы (7.3), применим лемму 5.1. Получим
с а
где с G Zn, |с| « yv°, и ôq G Zm, 0 ^ a0 < yo (1 ^ i ^ ш). Далее, суммируя по ôq, находим
m
No « y-nvo ^Пmin(9o, IIM^II-1), (7.4)
с i=1
где
n 9 S
= , = яГЛ'() j=1 г y
max |Cj| « yv° (j = 1,..., n). 00
Далее для оценивания соответствующих тригонометрических сумм применяется метод Ван дер Корпута. Затем, суммируя найденные для (7.4) оценки по различным целым векторам s, N( )
в[14]§ 8.
8. Заключение
Здесь дадим краткий комментарий относительно тенденций развития метрической теории диофантовых приближений в 80-е и 90-е годы прошедшего столетия (см. также [22]). Современные аспекты развития и результаты см. в [9], [15]-[21], [23], [27], [31]. 1) Вместо (2.1) можно рассматривать обобщенное неравенство
||7iai +-----+ Intin|| <ф(а), a = max |a»| = 0,
i^i^n
где ф : N ^ R+, ф(а) ^ 0 когда a ^ то и
те
£ фга(а) < то.
ai ,...,ап = i
Такие точки ,..., называются ф- аппроксимируемыми.
2) Отметим, что большинство теорем, которые мы рассмотрели, можно усилить, если экстремальность заменить на "усиленную" экстремальность (оценивать приближения в терминах произведения коэффициентов, а не в терминах высоты линейных форм). Например, см. [5], [18], [22].
3) Стоит упомянуть следующую работу: V. Sprindzuk "Eine diophantische Eigenschaft der Traectorien der Brownischen Bewegung". Wiss. Z. Friedrich-Schiller-Univ. Jena/Thüringen, 21 (1972), p. 157-160. Здесь доказаны две теоремы о приближениях на траекториях случайных процессов. Приведем одну из них.
Теорема ([14] с. 113-116). Пусть £(t) — вероятностный процесс броуновского движения. Тогда, случайные кривые Г = (t,£(t)), 0 ^ t ^ Т, с вероятноет,ью 1 экстремальны.
4) Метрическая теория диофантовых приближений получила развитие и в полях C, Qp, R х C х Qp, рассматриваемых с соответствующими архимедовыми или неархимедовыми метриками (см. [18], [22], [23], [27]).
5) Отметим, что в 1972 г. Спринджук сформулировал центральную проблему рассматриваемой теории ([13], см. также [14] с. 136):
Если fi(x),..., fn(x) —действительные аналитические функции, определенные на, интервале I, причем 1, fi(x),..., fn(x) линейно независимы над полем действительных чисел, то многообразие
r = (fi(x),...,fn(x)), X е I,
экстремально.
Д. Клейнбок и Г. Маргулис в 1998 г. доказали это утверждение [25]. Они нашли связь между диофантовыми приближениями и однородными динамическими системами и использовали методы эргодической теории.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Берник В. И., Ковалевская Э. И. Экстремальное свойство некоторых поверхностей в п-мерном евклидовом пространстве // Матем. Заметки, 1974, Т. 15, № 2. С. 247-254.
2. Берник В. П., Мельничук Ю. В. Диофантовы приближения и размерность Хаусдорфа. -Минск: Наука и техника, 1988.
3. Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. М: Иностр. лит. 1961. (перевод с англ. A.M. Полосуева); Cassels J. W. S. An introduction to Diophantine Approximation. Cambridge Tracts in Math and Math. Phvs., 45. Cambridge Univ. Press. 1957.
4. Ковалевская Э. И. "Гиперболические" диофантовы приближения на аналитических многообразиях // Докл. АН БССР, 1975, Т. 19, № 3. С. 200-203.
5. Ковалевская Э. И. Диофантовы приближения с квадратичными многочленами // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. н. 1975, № 4. С. 5-14.
6. Ковалевская Э. И. Одно геометрическое свойство экстремальной поверхности // Матем. заметки. 1978. № 23(2). С. 177-181.
7. Ковалевская Э. И. Тригонометрические суммы и метрическая теория диофантовых приближений на многобразиях. Материалы конференции // XV Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения посвященная столетию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, Коробова
Николая Михайловича: тезисы докладов международной конференции (Тула, 28-31 мая 2018 г.). - Тула, 2018. С. 257-260.
8. Ковалевская Э. И. Геометрическое и арифметическое описание экстремальных многобра-зий в метрической теории диофантовых приближений. Материалы конференции // XVI Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения и проблемы истории посвященная 80-летию со дня рождения профессора Мишеля Деза.: тезисы докладов международной конференции (Тула, 13-18 мая 2019 г.). - Тула, 2019. С. 239-241.
9. Ковалевская Э. И., Рыкова О. В. Развитие метода существенных и несущественных областей для подсчета векторов с действительными алгебраическими координатами вблизи гладких поверхностей // Чебышевский сборник — Тула: Изд-во ТПГУ, 2013, Т. 14, вып. 4. С. 119-126.
10. Кубилюс И. П. О применении метода академика Виноградова к решению одной задачи метрической теории чисел // Докл. АН СССР. 1949. Том 67. С. 783-786.
11. Кубилюс И. П. О применении метода академика Виноградова к решению одной задачи метрической теории чисел // Докл. АН СССР. 1949. Том 67. С. 783-786.
12. Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел // Минск: Изд-во Наука и техника, 1967. 184 с.
13. Спринджук В. Г. Метод тригонометрических сумм в метрической теории диофан товых приближений зависимых величин // Труды Матем. ин-та АН СССР, 1972. Т. 128, № 2. С. 212-254.
14. Спринджук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений / В. Г. Спринджук // Москва: Изд-во Наука, 1977. 144 с.
15. Adiceam F., Beresnevich V., Leveslev V., Velani S., Zorin E. Diophantine approximation and applications in interference alignment // Advances in Math. 302. 2016, P. 231-279.
16. Bavramoglu M., Jabbarov I. Sh., Kazimova L. G. On some theoretic-functional results concerning the theory of extremalitv and their application // Proc. Inst. Math. Mech. Natl. Acad. Sci. Azerb. 44(2). 2018, P. 229-237.
17. Beresnevich V., Bernik V., Gotze F. Integral polynomials with small discriminants and resultants // Advances in Math. 298. 2016, P. 393-412.
18. Beresnevich V., Ramirez F., Velani S. Metric Diophantine approximation: aspects on recent work. In Dynamics and Analytic Number Theory. LMS Lecture Notes Ser. 437. 2016 (eds. D. Badziahin, A. Gorodnik, N. Reverimhoff). Cambridge Univ. Press (Cambridge. 2016). P. 1-95.
19. Beresnevich V., Lee L., Vaughan R. C., Velani S. Diophantine approximation on manifolds and lower bounds Hausdorff dimension // Math. 63. 2017. P. 762-779.
20. Beresnevich V., Velani S. A note on three problems in metric Diophantine approximation. In recent Trends in Ergodic Theory and Dynamical Systems, Contemp. Math. 631. 2015. Amer. Math. Soc. Providence. R. I. 2015. P. 211-229.
21. Beresnevich V., Vaughan R. C., Velani S., Zorin E. Diophantine approximation on manifolds and the distribution of rational points: contributions to the convergence theory // Int. Math. Research Notices. 2016. P. 1-24.
22. Bernik V. I., DodsonM. M. Metric Diophantine Approximation of Manifolds. Cambridge Tracts in Math. Vol. 137. Cambridge University Press. Cambridge. 1999.
23. Bugeaud Y. Approximation by algebraic numbers. Cambridge Tracts in Math. Vol. 169. Cambridge Univ. Press, 2004.
24. Dodson M. M., Vickers J. A. G. Number Theory and dynamical systems // London Math. Soc. Lecture Note Ser. Vol. 134. Cambridge Univ. Press. 1989.
25. Kleinbock D. Y., Margulis G. A. Flows on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds // Ann. Math. 1998. Vol. 148. P. 339-360.
26. Kovalevskaja E. I. Metric theorems on the approximation of zero by a linear combination of polynomials with integral coefficients, Acta Arith. 1973. Vol. 25. P. 93-104.
27. Kovalevskava E. The convergence part of a Khintchne-tvpe theorem in the ring of adeles // Tatra Mountains Math. Publ. 59. 2014. P. 39-50.
28. Schmidt W. M. Uber Gitterpunkte auf gewissen Flächen // Monatch. Math. 68. 1964, No. 1. P. 59-74.
29. Schmidt W. M. Metrische Sätze Uber simultane Approximationabhängiger Grössen // Monatch. Math. 1964. Vol. 68, No. 2. P. 154-166.
30. Schmidt W. M. Diophantine Approximation. Lecture Notes in Math. Vol. 785. Springer-Verlag, 1980.
31. Steuding J. Diophantine analysis. Course notes from a Summer School. Trends in Math. Birkhäuser. Springer Int. Publ. AG. 2016.
REFERENCES
1. Bernik V. I., Kovalevskaja E. I. Extremal properties of some surface in n-dimensional Euclidean space, Math. Notes, 15(2). 1974, pp. 247-254.
2. Bernik V. I., Melnichuk Yu. V. Diophantine approximation and Hausdorff dimension. Nauka i Nechnika, Minsk, 1988. 23. Cassels J. W. S. An introduction to Diophantine Approximation. Cambridge Tracts in Math and Math. Phvs., 45. Cambridge Univ. Press. 1957.
3. Cassels J. W. S. An introduction to Diophantine Approximation. Cambridge Tracts in Math and Math. Phvs., 45. Cambridge Univ. Press. 1957.
4. Kovalevskaja E. I. "Hyperbolic"approximation on analytic manifolds, Dokl. Akad. Nauk BSSR, vol. 19(3), 1975, pp. 200-203.
5. Kovalevskaja E. I. Diophantine approximation with quadratic polynomials, Vesci Akad. Navuk BSSR. Ser. Fiz.-Mat. Navuk, 4, 1975, pp. 5-14.
6. Kovalevskaja E. I. One geometric property of extremal surface, Math. Notes, 23(2), 1978, pp. 177-181.
7. Kovalevskava, E. I. The trigonometric sums and the metric theory of Diophantine approximation on manifolds, Proc. XV Int. Conf. on Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: Contemporary Problems and Applications devoted to centenary of professor N. M. Korobov. Tula, Russia,'28-31 May 2018, P. 257-260. (In Russian)
8. Kavaleuskava, E. I. Geometric and arithmetic description of extremal manifolds in the metric theory of Diophantine approximation, Proc. XVI Int. Conf. on Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: Contemporary Problems, Applications and Problem of History, devoted to eighty of professor Mishel Deza. Tula, Russia, 13-18 May 2019, P. 239-241.
9. Kovalevskava, E. I., Rvkova O. V. The development of the essential and inessential domains method for the calculation of vectors with real algebraic coordinates near smooth surfaces, Chebvshevskii Sbornik. — Tula: 14, 2013, pp. 119-126.
10. Kubilius I. P. On the application of I. M. Vinogradov's method to the solution of a problem of the metric theory of numbers, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 67, 1949, pp. 783-786.
11. Kubilius I. P. On the metrical problem in the theory of Diophantine approximation, Trudy Akad. Nauk Litov. SSR, Ser. B, 2(18), 1959, pp. 3-7.
12. Sprindzuk V. G. Mahler's problem in metric number theory. Minsk: Izdat. Nauka i Tehnika. 1967. English translation by B. Volkman. Transl. Math. Monographs, 25, Amer. Math. Soc., Providence, RI. 1969.
13. Sprindzuk V. G. The method of trigonometric sums in the metric theory of diophantine approximation of dependent quantities, Proc. Steklov Inst. Math. Akad. Nauk SSSR, 128(2), 1972, pp. 212-228.
14. Sprindzuk V. G. Metric theory of Diophantine approximations. Izdat. Nauka. Moscow, 1977. English translation by R. A. Silverman. John Wiley and Sons. New York - Toronto - London, 1979.
15. Adiceam F., Beresnevich V., Leveslev V., Velani S., Zorin E. Diophantine approximation and applications in interference alignment, Advances in Math., 302 2016, pp. 231-279.
16. Bavramoglu M., Jabbarov I. Sh., Kazimova L. G. On some theoretic-functional results concerning the theory of extremalitv and their application, Proc. Inst. Math. Mech. Natl. Acad. Sci. Azerb., 44(2), 2018, pp. 229-237.
17. Beresnevich V., Bernik V., Gotze F. Integral polynomials with small discriminants and resultants, Advances in Math., 298, 2016, pp. 393-412.
18. Beresnevich V.,Ramirez F., Velani S. Metric Diophantine approximation: aspects on recent work. In Dynamics and Analytic Number Theory. LMS Lecture Notes Ser., 437, 2016 (eds. D. Badziahin, A. Gorodnik, N. Reverimhoff). Cambridge Univ. Press (Cambridge. 2016), pp. 1-95.
19. Beresnevich V., Lee L., Vaughan R. C., Velani S. Diophantine approximation on manifolds and lower bounds Hausdorff dimension Math., 63, 2017, pp. 762-779.
20. Beresnevich V., Velani S. A note on three problems in metric Diophantine approximation. In recent Trends in Ergodic Theory and Dynamical Systems, Contemp. Math., 631, 2015, Amer. Math. Soc. Providence. R. I., 2015, pp. 211-229.
21. Beresnevich V., Vaughan R. C., Velani S., Zorin E. Diophantine approximation on manifolds and the distribution of rational points: contributions to the convergence theory. Int. Math. Research Notices, 2016, pp. 1-24.
22. Bernik V. I., Dodson M. M. Metric Diophantine Approximation of Manifolds. Cambridge Tracts in Math, 137. Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1999.
23. Bugeaud Y. Approximation by algebraic numbers. Cambridge Tracts in Math., 169. Cambridge Univ. Press, 2004.
24. Dodson M. M., Vickers J. A. G. Number Theory and dynamical systems, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 134. Cambridge Univ. Press, 1989.
25. Kleinbock D. Y., Margulis G.A. Flows on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds, Ann. Math., 148, 1998, pp. 339-360.
26. Kovalevskaja E. I. Metric theorems on the approximation of zero by a linear combination of polynomials with integral coefficients, Acta Arith., 25, 1973, pp. 93-104.
27. Kovalevskava E. The convergence part of a Khintchne-tvpe theorem in the ring of adeles, Tatra Mountains Math. Publ., 59, 2014, pp. 39-50.
28. Schmidt W. M. Uber Gitterpunkte auf gewissen Flächen, Monatch. Math. 68(1), 1964, pp. 5974.
29. Schmidt W. M. Metrische Sätze Uber simultane Approximationabhängiger Grössen, Monatch. Math., 68(2), 1964, pp. 154-166.
30. Schmidt W. M. Diophantine Approximation, Lecture Notes in Math., 785. Springer-Verlag, 1980.
31. Steuding J. Diophantine analysis. Course notes from a Summer School. Trends in Math., Birkhäuser. Springer Int. Publ. AG, 2016.
Получено 14.05.2019 г.
Принято в печать 12.07.2019 г.
