CC BY
71
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 18 Выпуск 4
УДК 511.42 DOI 10.22405/2226-8383-2017-18-4-106-114
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ НЕВЫРОЖДЕННЫХ ФУНКЦИЙ НА КОРОТКИХ ОТРЕЗКАХ
В.И. Берник (г. Минск), Н.В. Бударина (г. Москва), A.B. Луневич (г. Минск),
X. О'Доннел (г. Йорк)
Аннотация
В работе получены оценки сверху и снизу количества нулей функций специального вида, а также оценка меры множества точек в которых такие фукции принимают малые значения. Пусть fi (х), ..., fn (ж) функции определенные на интервале I, п +1 раз дифференцируемы и вронскиан из производных почти везде на I отличен от 0. Такие функции называются невырожденными. Задача о распределении нулей функции F (х) = anfn (х) + ... + aifi (х) + ао, aj G Z, 1 < j < п имеет важное значение в метрической теории диофантовых приближений.
Пусть Q > 1 достаточно больше целое число, а интервал I имеет длину Q 1, 0 < -j < 1. В работе получены оценки сверху и снизу для количества нулей функции F (х) на интервале ^^и |aj | < Q, 0 < ^ < 1. При 7 = 0 такие оценкибыли получены А. С. Пяртли, В. Г. Спринджуком, В. И. Берпиком, В. В. Бересневичем, П. В. Будариной.
Ключевые слова: невырожденные функции, нули невырожденных функций.
Библиография: 22 названия.
DISTRIBUTION OF ZEROS OF NONDEGENERATE FUNCTIONS ON SHORT CUTTINGS
V. I. Bernik (Minsk), N.V. Budarina (Moscow), A.V. Lunevich (Minsk), H. O'Donnel
(York)
Abstract
The paper presents newly obtained upper and lower bounds for the number of zeros for functions of a special type, as well as an estimate for the measure of the set where these functions attain small values. Let fi (x), ..., fn (x) be functions differentiate on the interval I, n + 1 times and Wronskian from derivatives almost everywhere on I is different from 0. Such functions are called nondegenerate. The problem of the distribution of the zeros of the function F (x) = anfn (x) + ... + aifi (x) + a0, aj G Z, 1 < j < n is important in the metric theory of Diophantine approximations.
Let Q > 1 be a sufficiently large integer, and the interval I has length Q-7, 0 < j < 1. We obtain upper and lower bounds for the number of zeros of the function F (x) on the interval /, with |aj | < Q, 0 < j < 1. For 7 = 0 such estimates were obtained by A. S. Pyartli, V. G. Sprindzhuk, V. I. Bernik, V. V. Beresnevitch, N. V. Budarina.
Keywords: nondegenerate functionsons, zeros of nondegenerate functionsons.
Bibliography: 22 titles.
1. Введение
К задаче о количестве и распределении действительных нулей многочленов
Р = (х) = апхп + ап-1 + ... + а1х + а0
как в математическом анализе, теории чисел и теории вероятностей в последние годы приковано большое внимание [1, 2, 3, 18, 19, 20, 21, 22].
Основой результатов статей [4, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17] является метрическая теорема о свойствах множеств разрешимости неравенств вида |Рга (ж)| < С?-™, и> > 0 и распределений действительных корней Рп(х) при достаточно большом ф и многочленах Рп (х) степени deg Р = п и высоты Н = Н (Р) = тах |aj1 < Я.
0<3<п
В данной работе мы обобщаем эти результаты на класс функций
Ъ {Я, I) = {Рп (х) : н (Рп) < Я] ,1г = тах |/г (х% I = тах [1г]
х£1 0«п
(1)
где
Рп (х) = ап¡п (х) + ... + а\/\ (х) + ао, функции (х), /2 (х), ..., /п (х) — п + 1-раз непрерывно-дифференцируемы и вронскиан их
производных
(х) =
¡1 (X) ... & (х) Я (X) ... Я (х)
Я (х) ... % (х)
отличен от нуля для всех всех х (в смысле меры Лебега) на интервале I. Такие функции /1 (х), ..., /п (х) будем называть невырожденными на I.
2. Основной текст статьи
Теорема 1. На, любом интервале 1,^1 = Я-1, 0 <7 < 1 количество нулей функций Рп (х) Е Ъ (Я, /) не превосходит с1п12Г1+3Оп+1ц,Р
Теорема 2. Существует с2 > 0 что на, любом интервале 1,^1 = Я-1, 0 < 7 < 70 не менее с2Яп+1ц1 количество нулей функций Р2 (х) Е Ъ /).
Теорема 3. Обозначим через М2 (I, Я) множество х Е I, для которых система неравенств
(| Р2 (X)) | <Я-2, (Х)\< 6оЯ
имеет решение хотя бы для одной функции Р2 Е Ъ2 (О). Тогда при достаточно малом 50 справедливо неравенство
Ц.М2 (I, Я) < (2)
Покажем как из теоремы 3 следует теорема 2. Введем множество В1 = 1\М2 (I, Я). Из (2) следует, что
3
Ц.В1 > -ц1. (3)
Пусть х Е В1. С помощью принципа ящиков Дирихле нетрудно доказать, что существует функция Р2 Е Ъ2 (Я) такая, что
|*2 (х) < сзЯ-2. (4)
Так как х € В\, то наряду с (4) верно неравенство
| (ж) |> №. (5)
Неравенство (5) определяет интервал Т\ с центром в точке х\ меры
№ = 2сз ¿о1^-3. (6)
Возьмем точку € В2 С /\Мг (I, О) \Т1 и аналогичным образом найдем другую функцию € Т2 (Я), У которой действительный корень а2 удовлетворяет неравенству
|Ж2 - 0^1 < 3.
Такую процедуру можно продолжать и строить £ нулей функции ^2 € (Я) ДО тех пор, пока
* * * 3 < 4/ * *
|Ж2 - а2| <Сб23г-1^3р1.
выполняется неравенство Ь ■ 2с5$° 1Я 3 < 4откуда следует, что количество нулей не менее
Прежде, чем приступить к доказательству теорем приведем несколько лемм о невырожденных функциях. Всюду в дальнейшем
тах | /' (х) | < с6 (7)
х£(а, Ь)
Лемма 1. Пусть а0, ..., аN-1, 01, ..., Рп € Ми{+ж} таковы, что а0 > 0, аи > Рк > 0, к = 1, ..., N — 1м0 < Р < ж. Пуст ь f : (а, Ь) ^ М ест ь Ы-раз непрерывно дифференцируемая функция, такая, что И 1 /) (х)1 > рп. Тогда множество В2 тех х € (а, Ъ),
х£(а, Ь)
удовлетворяющих системе неравенств
j \f (х) < ас| \
I ßk < | f(к) | < ак (к = 1, N - 1) J -
ßk < | f(к) | < ак (к = 1, ..., N - 1) является объединением, не более (N + 1) /2 интервалов длины, не более
min 31~к+1 (ак/ßl)l/l~k. 0<k<l<N
Лемма 1 следует из лемм 5 и 6 в [2].
Лемма 2 (6). Существует постоянная До = Д0 (с-в, М) такая, что для любого интервала К длиной не более Д0 для любой функции Fn (х) G Fi (Q, f) , Н (F) ^ Q,
inf min
xEll<j<n
F (i)
» Q.
Лемма 3 (6). При условии х € (а, Ь) мера множества решений системы неравенств
|^п (ж)| <5,^' (х) 1<К,Н (Р) < Я (8)
не превосходит с7 (бКЯп~1) («+1)(2«-1),
При п = 2 показатель степени в (8) равен 1/9.
Доказательство теоремы 1. Разложим функции Ру (х) на интервале I в ряд Тейлора в нуле ац фун кции Ру (х), лежащем в Р
^ (х) = ^ (ау) + Ц (ац) (х — ац) + (О (х — «и)2 , С Е (х, ац).
Так как Р (а^) = 0, ^ — а^ | < ц.1 = Я-1,
\Р" (Сз) | < ттЯ, Щ (ац) (х — аи)| < п1Я1-1,
то при достаточно большом Я имеем для всех х Е I оценку
^^ (х^ < 2п1Я1-1. (9)
Введем вектор Ь = (ап, ..., а\), состоящий из коэффициентов функции Р^ (х) и множество функций Fj (х) с одним и тем же вектором Ь обозначим Ъ (Ь). При достаточно большом Я верно неравенство
#Ъ (Ь) = (2 Я + 1)п < 2п+1Яп.
Занумеруем функции Р^) (х) , j = 0,1,..., 2С8п12п+1Яп+1, нули которых лежат на интер-
Щ (х) = Р, (х) — Ро (х) = (1г
которые являются различными целыми числами и
тах ^^ > 2пкЯ1-1
вопреки (9). Полученное противоречие доказывает теорему 1.
Доказательство теоремы 3 поделим на три этапа в зависимости от величин модуля производной ^2 (ж) | на интервале Р Обозначим через С (I, ф) множество х Е I, для которого выполняется неравенство
^2 (Х^ <Я-2, \Р' (Х)\< С9Я, а через С (I, Я) множество х Е I, для которого выполняется система неравенств
^2 (х) <Я-2,Я5 < (ж)|< 5оЯ, (10)
Предложение 1. Справедливо неравенство
»С1 (I, Я) < 2-4^. (11)
Доказательство. Будем считать, что система неравенств (10) рассматривается на интервале монотонности функции Р2 (ж). Тогда множество ж Е I, для которых верна система неравенств (10) содержится в интервале, который можно записать в виде
а (Р):= {х Е I : ^ — а1 (Р^ < СюЯ-2^' (А)|}). (12)
Наряду с интервалами а (Р) рассмотрим интервал
а1 (Р):= {х Е I : ^ — а1 ^ < Сц^' (/З1 )|}). (13)
Из (12) и (13) следует неравенство
^а (Р) < С11С-О[Я-2^а1 (Р) . (14)
Зафиксируем вектор Ь = (а1, 0,2), координаты которого являются коэффициентами Р2 (х). Интервалы а1 (Р), имеющие один и тот же вектор Ь объединим в один класс Ъ2 (Ь). Покажем,
что при подходящем выборе С10 интервалы а ^1) и а (Р22) не пересекаются. Предположим противное:
¿1 = а1 (Р1) П а1 Ш =
и хо Е «ь Разложим функцию Р^ (х) , ] = 1, 2 на интервалах а ^1) и а (Р2) в ряд Тейлора и оценим значения |Fj (жо)|. Имеем
(хо) < № ( а^ + ^ (а1) (х — а^ + Ру (^) (х — а1)2 , & Е (хо, а^. Нетрудно видеть, что
(хо) | < 2С1о
и
К (хо) = <Е Ъ, й = 0, ( ,
^ Ы| = ^2 (хо) — Р1 (жо)| < 4с 1о. 1 }
Неравенство (15) при сю = | противоречиво. Из того, что интервалы а (Р) не пересекаются следует, что
^ /а1 (Р) </Р (16)
^ ет (ь)
Воспользуемся неравенством (16). тогда из (14) и (16) следует
^ ^ /а (Р) < 4с-о16оМI < 2-4/1, ь ^ет(ь)
поскольку из неравенства ^' (ж)| < 5оЯ следует, что а,1 принимает не более 5Я значений.
Предложение 2. Обозначим через С (I, Я) множество х Е I для, которых система неравенств
^2 (х^ <Я-2, 1 < ^' (ж)| 8 имеет хотя бы одно решение в функциях Р2 (х) Е С (I, Я). Тогда,
/С2 (I, Я) < 2-4/Р
Доказательство. Введем при фиксированном Ь = 0,2 класс функций с одним и тем же Ь, Ъ( )
а2 :={х Е1 : ^ — а^ (Г) < с^Я-1^ (А)-1} (17)
из определения а (Р) и а2 (Р) следует
/а (Р) < с-^а2 (Р). (18)
Интервал а2 (-Р\) будем называть существенным, если не существует интервала а2 (Р2), Р2 Е Ъ (Ь), такого что
/а2 (Р1) йир а2 (Р2) > 0.5/а2 (Р1). (19)
Если же такой интервал найдется, т. е. при некотором Р2 (х) Е Ъ (Ь) выполняется неравенство
/а2 (Р1) 8ИрСТ2 (Р2) > 0.5/(72 (Р1) ,
то интервал а2 (Р1) будем называть несущественным.
В случае существенных интервалов воспользуемся (18). Тогда из ^ ц,а2 (F) < 2ц,1 и (18)
Fer
получим
^ ^ 1А.а (F) < С\зц,1. (20)
ь F er(b)
В случае несущественных интервалов разложим функции F2 (х) и F2, (х) на интервале а2 (F) в ряд Тейлора и оценим их модули сверху пользуяс (6). Получим систему неравенств
laix + bl < cuQ~1, |ai| < 2Q8,
откуда
о. bl
X +--
a\
< cuQ~lal1. (21)
Неравенство (21) выполняется для интервала с центром в точке — ^ длиной 2с14^_ 1а'11. Просуммируем эту величину по &1, количество которых не превосходит а затем по
а1, |а1| < 2Q5. Получим оценку С]^^5-1ц,1, которая вместе с (20) завершает доказательство предложения 2.
Предложение 3. Обозначим через В3 множество решений системы неравенств
К/(х) + а,1Х + ао| < С1б^2, 1 а2!' (х)1 < си. (22)
Тогда
Ц.В3 < 2-4^1.
Для доказательства предложения 3 применим к системе неравенств (10), (20) лемму 3 при 6 = Q-3, С16 = К. Получим
^В33 < 2-4д9
что меньше 2-4ц,1 при 0 < ^ < 9 и достаточно большом Q. Из предложений 1—3 следует теорема 3.
3. Заключение
В дальнейших работах авторы предполагают привести применения результатов статьи в метрической теории диофантовых приближений и при получении оценок сверху для размерности Хаусдорфа резонансных множеств.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ибрагимов, И. А., Маслова, И. Б. О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов. II. Коэффициенты с ненулевым средним // Теория вероятн. и ее примен., 1971 vol. 16, Р. 595-503
2. Запорожец, Д. Н. Ибрагимов, И. А. О площади случайной поверхности. Вероятность и статистика // Зап. научн. сем. ПОМП. 2010, vol. 384, Р. 154-1750.
3. Берник, В. И., Гётце, Ф. Распределение действительных алгебраических чисел произвольной степени в коротких интервалах // Изв. РАН. Сер. матем., 2015, vol. 79, no.l, P. 21-42.
4. Beresnevich, V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers // Acta Arith,
1999, Vol. 90, no. 8, P. 97-112.
5. Beresnevich, V., Bernik V. On a metrical theorem of W. Shmidt. Acta Arith // Acta Arith, 1996, vol. 75, P. 219-233.
6. Beresnevich, V. A. Grasher type theorem for convergence on maifolds // Acta Matth. Hung, 2002, vol. 94(1—2), P. 99-130.'
7. Baker, R. Metric diophantine aProximation on manifolds //J. Lond. Math. Soc., 1976, vol. 14, P. 43-48.
8. Berink, V. On the exact order of approximation of zero by the values of integer-valued polynomials // Acta. Arith., 1989, vol. 53, no. 1, P. 17-28.
9. Berink, V. Kleinbok, D., Marguli Y. 2001 Khinchine-tvpe theorems on manifolds: the convergence case for standart and multiplicative versions // Jntern. Math. Res., vol. 9, P. 453-486.
10. Berink, V., Götze, F. Distribution of real algebraic numbers of arbitarv degree in short intervals // Jzv. Math. RAN., 2015, vol. 79, no. 1, P. 18-39.
11. Berink, V., Gusakova, A., Götze F. On ponts with algebraically conjugate coordinates close to smooth curves // Moscow Journal of Combinations and Number Theory, 2016, vol. 6, iss. 2-3, P. 56-101.
12. Kleinbok, D., Margulis, G. Flow on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds // Ann. of Math., 1998, vol. 148 no. 2, P. 339-360
13. Mahker K. Über das Mass der Menge aller S-Zhlen // Math. Ann.,1932, vol. 106, P. 131-139.
14. Pyartlv, A. Diophantine approximation on submanifolds of euclidion space // Funk. Analis and its application, 1969, vol. 3, no. 4, P. 303-306
15. Shmidt, W. Metrische Satze über simultane Approximationen abhangiger Grossen // Monatsh. Math.,1964, vol. 68, P. 145-166
16. Sprindzuk, V. Achievements and problems of the theory of Diophantine approximations // Uspekhi mat. Baur.,1980, vol. 35, no. 4, P. 3-68.
17. Sprindzuk, V. Mahler problem in metric theory numbers, Eng. trans. // Amer. Math. Soc. Providence, 1969.
18. Götze, F. Koleda, D., Zaporozhets, D. Distribution of complex algebraic numbers // Proc. Amer. Math. Soc., 2017, vol. 145, no. 1, (), 61-71.
19. Bernik A., Götzeb F., Kukso О. Bad-approximable points and distribution of discriminants of the product of linear integer polynomials // Чебышевский сб., 2007m vol. 8, no. 2, P 140-147
20. Bernik A., Götzeb F., Gusakova A. On the distribution of points with algebraically conjugate coordinates in a neighborhood of smooth curves // Записки IIOMII. 2016, P. 14-47
21. Beresnevich V., Bernik V., Götze F. Integral polynomials with small discriminants and resultants // Adv. Math., 2016, vol. 298, P. 393-412."
22. Koleda, D. V. On the density function of the distribution of real algebraic numbers // Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 2017, vol. 29, P. 179-200.
REFERENCES
1. Ibragimov, I. A., Maslova, N. B., 1971 " On the Expected Number of Real Zeros of Random Polynomials. II. Coefficients With Non-Zero Means Theory Probab. Appl, vol. 16, pp. 486-493
2. Zaporozhets, D. N. Ibragimov, I. A.2010 "On random surface area" Journal of Mathematical Sciences, vol. 176, pp. 190-202.
3. BepnuK, B. H., Teme, <3>. 2015 "Distribution of real algebraic numbers of arbitrary degree in short intervals" Izvestiya: Mathematics, vol. 79, no.l, P. 21-42.
4. Beresnevich, V. 1999, "On approximation of real numbers by real algebraic numbers", Acta Arith Vol. 90, no. 8, pp. 97-112.
5. Beresnevich, V., Bernik V. 1996 "On a metrical theorem of W. Shmidt. Acta Arith" Acta Arith, vol. 75, pp. 219-233.
6. Beresnevich, V. A. 2002 "Grasher type theorem for convergence on maifolds", Acta Matth. Hung, vol. 91(1 2). pp. 99-130.
7. Baker, R. 1976 "Metric diophantine approximation on manifolds" J. Lond. Math. Soc., vol. 14, pp. 43-48.
8. Berink, V. 1989 "On the exact order of approximation of zero by the values of integer-valued polynomials", Acta. Arith., vol. 53, no. 1, pp. 17-28.
9. Berink, V. Kleinbok, D., Marguli Y. 2001 "Khinchine-tvpe theorems on manifolds: the convergence case for standart and multiplicative versions", Jntern. Math. Res., vol. 9, pp. 453486.
10. Berink, V., Götze, F. 2015 "Distribution of real algebraic numbers of arbitarv degree in short intervals", Jzv. Math. RAN., vol. 79, no. 1, pp. 18-39.
11. Berink, V., Gusakova, A., Götze F. 2016 "On ponts with algebraically conjugate coordinates close to smooth curves", Moscow Journal of Combinations and Number Theory, vol. 6, iss. 2-3, pp. 56-101.
12. Kleinbok, D., Margulis, G. 1998 "Flow on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds", Ann. of Math., vol. 148 no. 2, pp. 339-360
13. Mahker K. 1932 "Über das Mass der Menge aller S-Zhlen", Math. Ann., vol. 106, pp. 131-139.
14. Pyartlv, A. 1969 "Diophantine approximation on submanifolds of euclidion space", Funk. Analis and its application, vol. 3, no. 4, pp. 303-306
15. Shmidt, W. 1964 "Metrische Satze über simultane Approximationen abhangiger Grossen", Monatsh. Math., vol. 68, pp. 145-166
16. Sprindzuk, V. 1980 "Achievements and problems of the theory of Diophantine approximations", Uspekhi mat. Baur. vol. 35, no. 4, pp. 3-68.
17. Sprindzuk, V. 1969 "Mahler problem in metric theory numbers", Eng. trans. Am,er. Math. Soc. Providence
18. Götze, F. Koleda, D., Zaporozhets, D. 2017 "Distribution of complex algebraic numbers", Proc. Am,er. Math. Soc., vol. 145, no. 1, (), 61-71.
19. Bernik A., Götzeb F., Kukso O. 2007 "Bad-approximable points and distribution of discriminants of the product of linear integer polynomials", Chebyshevskii Sbornik, vol. 8, no. 2, pp.140-147
20. Bernik A., Götzeb F., 2016 "Gusakova A. On the distribution of points with algebraically conjugate coordinates in a neighborhood of smooth curves", Zapiski POMI, pp. 14-47
21. Beresnevich V., Bernik V., Götze F. 2016 "Integral polynomials with small discriminants and resultants", Adv. Math., vol. 298, pp. 393-412.
22. Koleda, D. V. 2017 "On the density function of the distribution of real algebraic numbers" Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, vol. 29, pp. 179-200.
