CC BY
37
Трибоспектроскопия фрактальных поверхностей
В.Л. Попов12, O.K. Дудко1,3
1 Берлинский технический университет, Берлин, D-10623, Германия 2 Международный центр исследований по физической мезомеханике материалов, Томск, 634021, Россия 3 Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, Харьков, 61077, Украина
В настоящей работе мы исследуем вопрос, в какой степени по наблюдаемой макроскопической силе трения можно восстановить форму микроскопического потенциала взаимодействия, ответственного за формирование силы трения. Теоретически исследуется зависимость статической силы трения двух тел, соединенных быстро осциллирующей связью, движущихся в периодическом и во фрактальном потенциалах, от амплитуды осцилляций. Показано, что эта зависимость имеет особенности, позволяющие делать заключения о параметрах потенциала. Полученные результаты позволяют интерпретировать эксперименты по трению трибологических систем при наличии ультразвукового воздействия.
1. Введение
Для формулировки адекватных моделей трения и износа важно знать характерный масштабный уровень, на котором протекают процессы, ответственные за формирование силы трения. Зачастую выделение такого определяющего масштаба оказывается нетривиальным, поскольку существенный вклад в силу трения дают процессы, одновременно протекающие на различных масштабных уровнях. Так, многие технические поверхности имеют микронеоднородности на многих масштабах. Экспериментальные исследования показывают, что, например, поверхности железнодорожных рельсов или асфальтового покрытия дорог являются самоподобными в широком интервале волновых векторов и могут быть отнесены к классу фрактальных1 [1-3].
В настоящей работе мы исследуем вопрос, в какой степени по наблюдаемой макроскопической силе трения можно восстановить форму микроскопического потенциала взаимодействия, ответственного за формирование силы трения. При этом в качестве модели трения мы используем обобщенную модель Томлинсона [4]. Несмотря на простоту, она описывает многие существен-
1 Поверхности железнодорожных колес и рельсов обнаруживают фрактальную структуру в интервале длин волн от 0.3 мм до 1 см [2]
ные черты сухого трения и с различными вариациями интенсиво эксплуатировалась в последнее время в физике трения (см., например, [5-8]). Можно показать, что длинноволновая часть спектральной плотности потенциала взаимодействия двух тел непосредственно связана с формой его поверхности. Поэтому изучение микроскопического потенциала взаимодействия дает информацию о статистических свойствах поверхности. Это позволяет нам говорить о трибоспектроскопии топографии поверхностей трения.
Статья построена следующим образом: в разделе 2 мы делаем краткое введение в модель Томлинсона. Третий раздел посвящен обобщению модели Томлинсона на случай периодических внешних воздействий. Мы показываем, что под действием высокочастотного внешнего воздействия макроскопический закон трения — зависимость средней скорости скольжения от среднего значения приложенной силы — претерпевает существенные изменения, по которым можно судить о характерном волновом векторе потенциала взаимодействия. Четвертый раздел посвящен вычислению силы трения покоя системы двух тел, соединенных быстро осциллирующей связью. В пятом разделе рассмотрена аналогичная задача о движении двух тел, соединенных быстро осциллирующей связью, во фрактальном потенциале. И в этом случае изменение силы трения покоя в
© Попов В.Л., Дудко O.K., 2003
зависимости от амплитуды колебаний позволяет сделать заключения о параметрах фрактального потенциала.
2. Модель Томлинсона
Рассмотрим одномерное движение тела в периодическом потенциале с вязким затуханием. Уравнение движения тела в таком потенциале имеет вид
тх = F -цх - N Бт(2пх/а), (1)
где х — координата тела; т — его масса; F—действующая на тело сила; ц — коэффициент затухания; N — амплитуда периодической силы; а — длина волны периодического потенциала. Модель Томлинсона описывает многие существенные черты сухого трения. Действительно, приложение к телу достаточно малой силы приводит только к его малому смещению из минимума потенциальной энергии, после чего дальнейшее движение прекращается. Возникающую силу противодействия мы макроскопически воспринимаем как силу трения покоя. Очевидно, что равновесие в периодическом потенциале в присутствии постоянной тангенциальной силы невозможно при превышении этой силой некоторого критического значения, воспринимаемого макроскопически как максимальная сила трения покоя, после преодоления которой начинается макроскопическое скольжение тела1. В модели (1) критическое значение силы равно N. При полном отсутствии диссипации энергии дальнейшее движение продолжалось бы даже и в отсутствие силы. Наличие диссипации приводит к тому, что для поддержания макроскопически равномерного движения необходимо приложить некоторую силу, тем меньшую, чем меньше диссипация: при малой диссипации начавшееся движение может продолжаться и под действием силы, меньшей критической. С макроскопической точки зрения это означает, что сила трения скольжения, вообще говоря, может быть меньше силы трения покоя, что также является характерной чертой сухого трения.
Любое макроскопическое движение тела в данной модели, в том числе и равномерное движение, с микроскопической точки зрения представляет собой суперпозицию движения с постоянной скоростью и периодических осцилляций, как это показано на рис. 1, а. На нем схематически представлены результаты численного интегрирования уравнения (1) при некоторых конкретных параметрах модели. Тангенциальная сила F сначала медленно возрастала от нуля, а затем опять убывала. На графике отложена мгновенная скорость тела V как функция мгновенной силы. Тело сначала находилось в
1 Под «макроскопическим» поведением тела мы понимаем здесь поведение тела на пространственном масштабе, существенно превышающем период потенциала. Напротив, шкала, определяемая периодом потенциала, рассматривается нами в данном контексте как микроскопическая.
состоянии покоя. После преодоления силой критического значения начинается движение с конечной макроскопической скоростью, которая возрастает примерно пропорционально приложенной силе. При убывании силы движение продолжается и при силах, меньших силы трения покоя. При некотором критическом значении скорости макроскопическое движение, однако, внезапно прерывается, тело совершает несколько колебаний в потенциальном минимуме и приходит в состояние покоя.
На макроскопическом уровне мы не воспринимаем микроскопических колебаний. Описанное выше состояние движения с макроскопической точки зрения представляет собой квазистационарный процесс трения. Зависимость средней скорости от приложенной силы макроскопическим наблюдателем воспринимается как макроскопический закон трения (рис. 1, б).
В случае сильного затухания макроскопический закон трения может быть найден в аналитической форме: в этом случае в уравнении (1) можно пренебречь инерционным членом и переписать его в виде
■ ■
_____________1________I_________________.
V
Рис. 1. Зависимость мгновенной скорости V от мгновенной силы ^ сила медленно нарастала от нуля до максимального значения, превышающего силу трения покоя, и затем опять убывала до нуля (а); макроскопическое представление этого же процесса: макроскопический закон трения (б)
Рис. 2. Закон трения в модели Томлинсона с сильным затуханием
цх = F - N 8т(2ях/а). (2)
Для усредненной по времени скорости движения имеем тогда
п(х) = F - N(ът(2пх^)/а)^. (3)
Время пребывания тела вблизи точки х очевидно обратно пропорционально его скорости движения, поэтому усреднение по времени можно заменить усреднением по координате с весом 1/х(х). Для среднего значения ^т(2ях(£)/а}) получаем:
í
(sm^ra (t)/a)) =
sin(2nx/a)
x (x)
dx
f-Ldx
í x( x )
2 П
sin z
-dz
0 F/N - sin i
2 п
f________1_______dz
0 F/N - sin z
2п
2 n 1
f________1_______dz
J F/N - sin z
—. (4)
N
С учетом (3) имеем для средней скорости движения тела в периодическом потенциале при F > N 2пЫ
2 п
Í—/——dz J F/N - sin z
= V(F/N)2 -1. (5)
Зависимость приложенной силы F от средней скорости скольжения, воспринимаемая макроскопическим
наблюдателем как закон трения системы, имеет вид (рис. 2):
F =
Jn 2 + (П x) )2.
(6)
Отметим, что закон трения (6) не зависит от пространственного периода потенциала. Таким образом, восстановление микроскопического потенциала по стационарной силе трения невозможно.
Ситуация существенно изменяется, если наряду с постоянной компонентой приложить к телу быстро осциллирующую силу.
3. Движение в периодическом потенциале под действием периодических сил
Предположим теперь, что тангенциальная сила F осциллирует во времени. Закон трения мы находим, вычисляя среднюю скорость движения под действием заданной силы. Возможна и обратная постановка вопроса: мы можем задать осциллирующую скорость движения тела в периодическом потенциале и исследовать необходимую для поддержания такого движения силу. После усреднения по времени силы, которая в этом случае очевидно будет представлять собой суперпозицию постоянной и осциллирующей составляющих, мы и в этом случае получим определенную зависимость средней скорости скольжения от средней силы, то есть закон трения. Ниже мы ограничимся только существенно более простой с математической точки зрения задачей об определении силы при заданной периодически меняющейся скорости.
Допустим, что на движение с постоянной скоростью v0 наложено периодическое возмущение с амплитудой v
v = v0 + vx cos Ш. (7)
Координата тела как функция времени равна
v1 •
X = х0 + v01 + — sin Wt, w
а сила, действующая на него, имеет вид F = n(v 0 + v1 cos wt) +
(8)
+ N sin
2п
x0 + v01 + — sin wt w
(9)
Здесь и ниже мы не выписываем «силу инерции» тх, поскольку ее среднее значение тождественно равно нулю.
Для того чтобы подчеркнуть основные черты получаемого при этом «закона трения», мы начнем со случая отсутствия диссипативной силы и будем искать среднее значение консервативной части силы (9), которую мы обозначим через F:
F = N sin
2п
x 0 + v01 + ——sin wt w
(10)
Идею вычисления проще всего понять в случае, когда амплитуда осцилляций скорости много меньше средней скорости скольжения v1 « V0 (случай произвольной амплитуды осцилляций будет рассмотрен позже). В предположении малой амплитуды осцилляций функцию (10) можно разложить по малому параметру v 0:
F = N | бш —— (х0 + v0 г) +
(її)
2п 2п / ч Vi .
+ — cos — (х 0 + V 01)— sin w a a w
Каково среднее по времени значение этой силы? Возможны три случая:
1. Если средняя скорость движения равна нулю v0 = 0, то средняя сила равна
(f) = N sin — х0.
a0
(12)
Она может принимать любое значение из интервала -IN < И < N и очевидно соответствует силе трения покоя.
2. При отличной от нуля средней скорости движения
аш
v0 Ф 0 и при выполнении условия v0 Ф — среднее
2п
значение силы тождественно равно нулю
(13)
3. Наконец, если скорость равна v0 = —, то сред-
2п
нее значение первого члена в (11) равно нулю, а второе слагаемое приводит к ненулевому значению средней силы
(F) = 0.
/с-\ ЛГ™] . 2п
(F) = N------------sin — х0.
aw a
(14)
Величина силы зависит от начальной координаты и может принимать произвольное значение в интервале
N
<
aw
рости движения.
N
aw
при неизменной средней ско-
Таким образом, закон трения выглядит как схематически показано на рис. 3, а. Опущенная выше диссипативная сила приведет только к равномерной деформации графика пропорционально скорости (рис. 3, б).
Существенной чертой закона трения в присутствии внешнего периодического воздействия является наличие плато постоянной скорости не только при нулевой, но и при конечных скоростях. Отметим, что скорость, соответствующая первому плато, равна отношению пространственного периода потенциала взаимодействия к временному периоду внешней силы. Это дает принципиальную возможность при известной частоте воздействия экспериментально определить волновой вектор потенциала. Как будет показано ниже, такая возможность отсутствует, при условии, что потенциал взаимодействия не является периодическим.
Другую возможность определения характерного волнового вектора потенциала открывает изменение силы трения покоя как функции амплитуды колебаний. Чтобы показать это, возвратимся к рассмотрению воздействия, описываемого уравнением (7), однако теперь не предполагаем малости возмущения. Среднее значение силы (10) может быть вычислено аналитически с использованием следующих разложений [9]: cos(y sin Ш) = J0 (у) +
+ 2^ (-1) kJ 2 k (V )cos(2kwt),
k=1
sin(v cos wt) =
(15)
= 2£ (-1)k J2 k+1 (V) cos((2k + 1)wt), (16)
k=0
где Jn (у) — функция Бесселя n-го порядка и
V = -
2nv1
aw
(17)
Это среднее значение тождественно равно нулю при всех скоростях, за исключением скоростей, удовлетворяющих условию
<
Рис. 3. Закон трения (зависимость средней скорости от средней силы) при наличии периодических осцилляций скорости: без затухания (а); с затуханием (б). Характерной чертой закона трения в присутствии периодического внешнего воздействия являются плато постоянной скорости
Рис. 4. Зависимость ширины плато 0-го, 1-го, 2-го и 3-го порядков от амплитуды колебаний скорости. При увеличении амплитуды колебаний ширина плато нулевого порядка уменьшается и обращается в нуль при v1/ V0 = 2.4
wa
v0 = — = V0 n
2п
(18)
где V0 — скорость, соответствующая первому плато; п — целое число. При значениях скорости, определяемых уравнением (18), среднее значение силы равно
2п
F = N (-1) nJn (v „/V,)sin—X 0.
(19)
При каждом из дискретных значений скорости (18) сила зависит от начальной координаты и, таким образом, может принимать произвольное значение в определенном интервале, определяемом шириной соответствующего плато:
-|NJn(vl/V0)\ < F < \NJn(vjV0)\. (20)
Зависимости ширины плато от амплитуды периодических осцилляций скорости представлены на рис. 4. Видно, что по мере роста амплитуды колебаний ширина плато нулевого порядка уменьшается и при некоторой амплитуде обращается в нуль. Вместе с ней обращается в нуль макроскопическая сила трения покоя.
4. Сила трения покоя для системы двух тел, соединенных быстро осциллирующей связью
Рассмотренный выше режим заданной скорости экспериментально проще всего осуществить для пары тел, связанных быстро осциллирующей связью длины
l = 10 +Al sin wt, (21)
схематически изображенной на рис. 5. С целью дальнейшего обобщения на движение во фрактальном потенциале рассмотрим движение в произвольном потенциале U = U(x) при наличии постоянной внешней силы F. Уравнение движения для центра масс двух тел имеет вид
2mX = F - 2nX -
дU (х - l/ 2) дU (х +1/ 2)
дх
дх
(22)
В предположении, что частота осцилляции длины связи намного больше, чем характерная частота собственных колебаний системы в потенциале и(х), можно усреднить уравнение (22) по периоду быстрых осцилляций связи (это усреднение мы будем обозначать чертой над соответствующей переменной). Для «медленной» компоненты движения имеем тогда
2тх = F - 2^х -
dU (х -1 (t )/2) dU (х +1 (t )/2)
дх
дх
(23)
В частности, при отсутствии макроскопического движения
_ дU(х -1(t)/2) дU(х +1(t)/2)
F = +
(24)
Эх Эх
Это выражение определяет макроскопически наблюдаемую «силу трения покоя» осциллирующей пары.
В частном случае периодического потенциала U =-U0 cos kx имеем
F = U0k[sin(k(х - (l0 + Al sin wt)/2)) + + sin(k(х + (l0 + Al sin wt)/2)) =
= 2U 0 k sin кх
kl0
cos 0 cos 2
kAl
- sin wt
kl0
- sin--------sin
2
kAl
- sin wt
J-
(25)
Усреднение по времени, с учетом (15), дает
kl
F = 2U 0 k sin кх cos^0 J,
kAl
22
Максимальное значение этой силы имеет макроскопический смысл максимальной силы трения покоя :
к\0
Fs = 2U 0 k cos —— J0
kAl
(26)
22
Функция Бесселя нулевого порядка обращается в нуль при значении аргумента 2.4048. Таким образом, сила статического трения осциллирующей пары в периодическом потенциале обращается в нуль при
Рис. 5. Два тела, соединенных связью переменной длины, движущиеся в периодическом потенциале
— = 2.4048, 2
(27)
что дает принципиальную возможность определения характерного волнового вектора потенциала взаимодействия по зависимости статической силы трения от амплитуды осцилляций.
5. Движение осциллирующей пары во фрактальном потенциале
Как уже упоминалось во введении, микроскопическая структура поверхностей трения часто имеет фрактальный характер и тем самым не характеризуется определенным волновым вектором. Рассмотрим фрактальный потенциал вида
А-2
U (x) = I c(k) cos(kx + ф— )dk,
(28)
c(k) = c0 k
Здесь у—показатель степени, определяющий фрактальную размерность потенциала; kx и k2 — характерные волновые вектора, в интервале между которыми имеет место самоподобие потенциала; 9k — случайная фаза, которую мы будем считать 8-коррелированной: (cos9k cos9k') = d(k - k'), треугольные скобки обозначают усреднение по ансамблю. Принимая в простейшем случае, что потенциальная энергия взаимодействия тела с поверхностью повторяет форму его поверхности:
2
h( x) = | a(k )cos(kx + фк )dk,
можно оценить характерные значения фрактального индекса у по данным о спектральной плотности формы поверхности трения. Спектральная плотность
Г2у = k_s
характеризуется показателем экспоненты 8 = 2у. Экспериментальные измерения на поверхностях железнодорожных колес дают для показателя 8 характерные значения между 1.2 и 2 [2]. Показатель степени у лежит, таким образом, в интервале от 0.6 до 1. В дальнейшем мы исследуем интервал фрактальных показателей от 0.5 до 1.5. В (28) удобно перейти к дискретному представлению интеграла:
2
U (x) = Ak X c(k) cos(kx + ф/і),
(29)
где Ак — шаг интегрирования. Сила, действующая на тело со стороны потенциала, равна
к2
И (х) = -Ак ^ с(к )к бш(£х + ф к).
к
Сила, действующая на пару тел со связью длины I, записывается как
F (x) = -Ak^ c(k)k[sin(k(x -l/2) + фk) +
ki
+ sin(k (x + l/ 2) + фk)] =
k2
= -2 Ak X c(k )k sin(kx + фk) x
kl0 ( kAl .
cos-------cos I--------sin mt |-
2 I 2
. к10 . ( кА1 . )
-I —2—sinшг I . (30)
После усреднения по периоду осцилляций связи получаем
Их) =
^ * г /1 \ 1 • а \ к1п г кА1
= -2Ак > с(к)к Бш(кх + фк )соб---------J0-.
22
(31)
Для определения максимальной силы трения покоя осциллирующей пары во фрактальном потенциале отметим, во-первых, что эта сила является случайной функцией начального положения тела. Другими словами, имеется определенная функция распределения статических сил трения. Эта функция распределения может быть найдена только численно. С другой стороны, среднее значение статической силы трения очевидно имеет тот же порядок величины, что и среднее значение среднеквадратичного значения силы. Основные особенности зависимости статической силы трения от амплитуды осцилляции связи мы можем поэтому выявить, определив среднее значение квадрата силы, действующей на пару в потенциале:
F (x) ) = 2Ak x
x X c(k )c(k ')kk ^ sin(kx + ф k) sin(k 'x + ф^ )^ x
k k
kl0 k'l0 kAlr k'Al
x cos-------cos--------J 0--------J 0------.
2 2 0 2 0 2
(32)
Угловые скобки означают здесь усреднение по ансамблю. Учитывая предположение о независимом распределении фаз при различных волновых векторах, среднее значение ^ш(кх + фк )Бш(кх + фк')) равно нулю при любых к Ф к' и равно 1/2 при к = к'. Для среднего значения квадрата силы имеем, таким образом,
kl0
F(x) = Ak2 X c(k)2k2 cos2 ^ J02| — I =
k =ki
kAl
= Ak | c(k )k 2 cos2 —0 J1-----1 dk.
(33)
Отметим, что в этом выражении шаг интегрирования не исчез. Физически это означает, что интервал волновых векторов, на котором исчезает корреляция фазы, является существенным параметром фрактального по-
x
Y
ОС
тенциала. Этот параметр, однако, не играет существенной роли для дальнейшего.
Выражение (33) может быть упрощено в случае большой величины средней длины связи /0. Если эта длина является «макроскопически большой» в том смысле, что она намного больше любого характерного микроскопического масштаба (в нашем случае /0 » 2 тс/Т1, то функция со.2(Т/0/2) в подынтегральном выражении (33) изменяется намного быстрее других подынтегральных сомножителей и может быть заменена на ее среднее значение 1/2:
р(*)2) = АТIс( Т )2 Т 2 302
ТА/
¿Т.
Сила трения в этом случае не зависит от средней длины связи. Характерная величина средней силы трения покоя дается выражением
I с( Т )2 Т
ТА/
¿Т =
АТс02
2
IТ
ТА/
¿Т .
(34)
Прежде всего отметим, что асимптотическая зависимость силы трения покоя при больших значениях амплитуды осцилляций (А/ » 1/Т1) легко может быть оценена аналитически. Действительно, при больших значениях аргумента имеет место следующее асимптотическое выражение для функции Бесселя:
со.
Заменяя в (34) быстро осциллирующую функцию
ТА/ > 4 2 / Т \ П |
^ со.
2 ) пТА/ 12 4 У
ее средним значением
пТА/
, получим
— |АТс,
р.
2 Т 2
пА/
I Т1-2у ¿к « А/_1/2.
(35)
Асимптотика зависимости силы трения от амплитуды колебаний является универсальной и не может быть использована для определения параметров фрактального потенциала.
Важный вывод, который можно сделать на основании уравнения (35), состоит в том, что имеется критическое значение фрактального индекса у с = 1. При у > 1
интеграл IТ1-2у¿Т в (35) расходится на нижнем пределе, а при у < 1 — на верхнем. Это означает, что при
Рис. 6. Зависимость средней силы трения покоя от амплитуды осцилляций длины связи при трех значениях фрактального индекса у
у >1 основной вклад в силу трения дают малые волновые вектора (мезоуровень), а при у < 1 — большие волновые вектора (микроуровень). Соответственно следует ожидать, что при у > 1 в зависимости статической силы трения от амплитуды колебаний будет наблюдаться особенность при А/ >> 1/Т1, а для у < 1 — при А/ >> 1/Т2. Таким образом, из зависимости силы трения от амплитуды колебаний можно найти как раз тот характерный волновой вектор, который определяет силу трения. Исключение составляет только случай, когда фрактальный индекс потенциала в точности равен критическому значению у с = 1. В этом случае все волновые вектора дают примерно равный вклад в силу трения. Особенности в зависимости силы трения от амплитуды колебаний в этом случае должны наблюдаться при обоих граничных волновых векторах, хотя и намного слабее, чем при некритических значениях фрактального индекса.
Исследуем детально форму зависимости (34) в области амплитуд колебаний, сравнимых с обратными значениями характерных граничных волновых векторов. На рис. 6 представлены результаты численного расчета согласно формуле (34) при трех значениях фрактального индекса: у < 0.5, 1 и 1.5. Как и следовало ожидать, при больших амплитудах наклон зависимости в двойной логарифмической шкале равен -1/2, что соответствует зависимости ^ А/~12. Амплитуды колебаний, соответствующие 2 • 2.4048/ Т1 и 2 • 2.4048/ Т2 отмечены вертикальными линиями (2.4048 есть значение аргумента, при котором функция 30 (2) обращается в нуль). Вблизи этих значений имеются особенности зависимости силы трения от амплитуды колебаний в виде затухающих осцилляций. Таким образом, измеряя зависимость силы статического трения пары тел с осциллирующей связью от амплитуды колебаний, возможно найти характерный волновой вектор, «отвечающий» за формирование силы трения в рассматриваемой трибологической системе.
6. Заключение
В настоящей статье мы рассмотрели модификацию закона трения под действием высокочастотных возбуждений. Рассмотренная система может быть экспериментально реализована в виде двух тел, соединенных пьезоэлементом, совершающим высокочастотные колебания. Мы показали, что имеется критическое значение фрактальной экспоненты потенциала взаимодействия. При меньших значениях этого показателя (что является типичным для формы многих технических поверхностей) определяющим масштабом в процессе трения является микроскопический масштаб порядка самой малой длины волны в спектральном разложении формы поверхности (или потенциала взаимодействия). При больших значениях определяющим является масштаб порядка самого большого волнового вектора в спектральном разложении. Этот масштаб можно назвать мезоскопическим. В обоих случаях зависимость статической силы трения от амплитуды осцилляций имеет особенность при величине амплитуды порядка характеристической длины волны. Этот факт открывает возможность экспериментального изучения характерного масштаба про-
цессов трения путем изучения закона трения осциллирующих трибосистем.
Литература
1. Persson B.N.J., Bucher F, Chiaia B. Elastic contact between randomly rough surfaces: Comparison of theory with numerical results // Phys. Rev. B. - 2002. - 65 (18): Art. No. 184106.
2. Bucher F. The contact between micro-rough rails and wheels // PhD The-
sis. - Berlin: TU Berlin, 2002.
3. Попов В.Л., Псахъе С.Г., Шилъко E.B. и др. Исследование зависимос-
ти коэффициента трения в системе «рельс - колесо» как функции параметров материала и нагружения. // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. -№ 3. - C. 17-25.
4. Tomlinson G.A. A molecular theory of friction // Philos. Mag. - 1929.-V. 7. - P. 905-939.
5. Persson B.NJ. Sliding friction. Physical principles and applications. - New
York: Springer Verlag, 2000. - 516 p.
6. Zaloj V, Urbakh M., Klafter J. Atomic scale friction: What can be deduced
from the response to a harmonic drive? // Phys. Rev. Lett. - 1998. - V. 81.-No. 6. - P. 1227.
7. Zaloj V, Urbakh M., Klafter J. Modifying friction by manipulating normal
response to lateral motion // Phys. Rev. Lett. - V. 82. - No. 24. - 1999. -P. 4823-4826.
8. Popov V.L. A theory of the transition from static to kinetic friction in boun-
dary lubrication layers // Solid State Commun. - 2000. - V. 115.- P. 369373.
9. Barone A., Paterno G. Physics and applications of the Josephson effect. -
New York: Wiley & Sons, 1982. - 529 p.
Tribospectroscopy of fractal surfaces
V.L. Popov12 and O.K. Dudko1,3
1 Berlin Technical University, Berlin, D-10623, Germany
2 International Research Center on Physical Mesomechanics of Materials, Tomsk, 634021, Russia
3 Karazin Kharkov National University, Kharkov, 61077, Ukraine
In the present paper we study the problem of how adequately one can derive the microscopic interaction potential, which is responsible for friction force generation, from the macroscopic friction force. Theoretical consideration is given to the oscillation-amplitude dependence of static friction force of two solids with fast-oscillating bonds, which move in periodic and fractal potentials. The dependence is shown to possess peculiarities that allow conclusions about the parameters of the potential. The results obtained make it possible to interpret experiments on friction of tribological systems subjected to ultrasound action.
