Три эквивалентные Гипотезы об одной оценке интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 3 (2010). С. 31-38.

УДК 517.16 + 517.574 + 517.555

ТРИ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ГИПОТЕЗЫ ОБ ОДНОЙ ОЦЕНКЕ

ИНТЕГРАЛОВ

Р.А. БАЛАДАЙ, Б.Н. ХАБИБУЛЛИН

Аннотация. В работе выдвигается гипотеза о точной оценке некоторого определенного несобственного интеграла, зависящего от параметра Л £ (0, +то), через заданную оценку другого определенного интеграла, зависящего от двух параметров t £ [0, +то) и Л. Такая точная оценка доказана здесь для Л ^ 1. Кроме того, получена некоторая оценка и при Л > 1. Последняя оценка, по-видимому, не точная. Мы приводим также две гипотезы, эквивалентные исходной. Истоки наших гипотез — экстремальные задачи для целых, мероморфных и плюрисубгармонических функций нескольких переменных.

Ключевые слова:несобственный интеграл, оценка, неравенство, целая функция, ме-роморфная функция, плюрисубгармоническая функция, проблема Пэли.

1. Введение

«Положительность» («отрицательность») всюду в работе означает “ ^ 0 ”

(соотв.1 “ ^ 0 ”), где отношение порядка ^ и нулевой элемент 0 на рассматриваемом множестве, как правило, естественны по контексту.

Через N, Z, R, C обозначаем множества всех соотв. натуральных, целых, вещественных и комплексных чисел; [-то, +то] := {-то} U R U {+то} — расширенная вещественная ось с естественным отношением порядка.

Функция ф: I ^ [-то, +то], I С [-то, +то], возрастающая (соотв. убывающая), если для любых x1, x2 £ I неравенство x1 ^ x2 влечет за собой нестрогое неравенство ф(х1) ^ ф(х2) (соотв. ф(х1) ^ ф(х2)). Если же для любых x1,x2 £ I из строгого неравенства х1 < x2 следует строгое неравенство ф^) < ф(x2) (соотв. ф(x1) > ф^2)), то ф — строго возрастающая (соотв. строго убывающая) функция на I. Через Inc(1) обозначаем множество всех возрастающих функций на I. Верхний индекс “+”, наряду с тем, что обозначает положительную часть а+ := max{a, 0} (соотв. ф+ := вир{ф, 0}) числа а или функции ф: • ^ [-то, +то], используется также для обозначения всех положительных элементов из множества или класса функций. Так, подмножество всех положительных функций из Inc(1) обозначаем Inc+(/).

Функция ф: [a,b) ^ R, [а, b) С [0, +то], выпуклая относительно2 log, если функция x ^ ф(ех) выпуклая на интервале [loga,logb) С [-то, +то].

В сязи с исследованием в работе [1, Теоремы 1, 2] экстремальных задач о росте плюри-субгармонических, целых и мероморфных функций комплексных переменных в завершение обзора [2, Commentary] была выдвинута

R.A.Baladai, B.N. Khabibullin, Three equivalent hypotheses on estimation of integrals.

© БАЛАДАй Р.А., ХАБИБУЛЛИН Б.Н., 2010.

Работа поддержана РФФИ (гранты 09-01-00046-а, 08-01-97023-р_поволжье_а) и программой “Государственная поддержка ведущих научных школ”, проект НШ-3081.2008.1.

Поступила 15 июня 2010 г.

1 Далее сокращение «соотв.» используется для наречия или предлога «соответственно».

2Если не указано основание логарифма у log, то оно равно числу е, т. е. это функция ln.

Гипотеза 1. Пусть функция S £ Inc+([0, +го)) выпуклая относительно log и для Л ^ 1/2 и 2 ^ n £ N выполнено неравенство

f S(tx)(1 — x2)n-2xdx ^ tA для всех t £ [0, +то). (1)

Jo

Тогда

fn t2A-i n(n — 1) n—Л Л

X S(t)(1+ (2>)2 dt « 2Л П (1 + 2k

Если Гипотеза 1 верна, то в точности оценки (2) при условии (1) легко убедиться на примере возрастающей выпуклой относительно log функции

П— 1

SA,ra(t) • 2(n — 1) П (1 + 2fc) tA = " CA,ratA’ t £ [0, +ТО) Л ^ 2

2

fc=1

где постоянная Сл,Т определена последним равенством. Для Бл,Т в (1) и (2) достигается равенство. Действительно, в обозначениях Г и В для классических гамма- и бета-функций Эйлера [3, гл. VII, § 1] получаем (см. (1))

11

SA,n(tx)(1 — x2)n 2x dx = CA^ tA x(A/2+1) 1(1 — x)(n 1) 1 dx

io 2 Jo

= CA,n tAp(\/2| 1 n 1) = CA,n tA Г(Л/2 + 1) r(n — 1) = —( p(\/2+l,n — 1) = —( -----------------г(Л/2 + n)-----

= CAn ,л_______(Л/2)Г(Л/2) (n — 2)!____________________

2 Г(Л/2) (Л/2) (Л/2 +1) ■ ... ■ (Л/2 + (n — 1))

CA.n---------П-Т7------TVtA = гЛ, (3)

2(n — 1) П(11 2k,

а также (см. (2))

г+го t2A-1 c Г+^ 1

SA.„(t^-—-т—- dt = —^ tA d

,0 (1+ t2A)2 2Л Jo 1+ t2A

Сл,га [1 ,,А СА,п [1 , п(п — 1) Т-ГЛ . А \

= ы1 ГГ®* = «ГI ТГ^115= ^-^П(! + 2^). (4)

2. Случай лишь положительной возрастающей функции 5

В этом разделе мы получим некоторые оценки для интеграла (2) от функции Б без каких-либо условий выпуклости. Так, при А ^ 1 справедлив следующий более общий вариант Гипотезы 1.

Утверждение 1. Пусть Б £ 1пс+([0, +го)) — непрерывная функция и для

2 <А«1

и 2 ^ п £ N выполнено (1). Тогда имеет место неулучшаемая оценка (2).

Доказательство. Сначала дадим грубую оценку функции Б при произвольном значении

параметра А. Такая оценка, в частности, необходима нам для сходимости возникающих

в ходе доказательства различных интегралов и для существования некоторых пределов. Применения этой Леммы 1 далее не объявляются.

Лемма 1. Пусть Б Є 1пс+ ([0, +го)), А ^ 0 и для 2 ^ п Є N выполнено (1). Тогда

( А \п-1 , 2(п — 1) \ Л/2

Б(х) ^ 2(п — 1) 1 +—------- ( 1 +-г---------------) хЛ при всех х ^ 0.

\ 2(п — 1)) V А у

Доказательство леммы 1. Для произвольного числа а Є [0,1] в силу возрастания Б имеем Б(аі) ^ [ Б(іх)(1 — х2)п-2х dx / [ (1 — х2)п-2х dx

а / о а

« *Л / і (1 — х2)"-2х dX = (12—'а-Г-1 ‘ Л = 2(п — 1} ал (1 -1а2)"-і (а*)Л'

Используя замену х = аі, а затем минимизируя по а Є [0,1] дробь в правой части, получаем требуемое (1). □

Далее нам удобнее перейти к новым переменным: обозначить переменную і через г, гх заменить на і, а вместо функции Б рассмотреть функцию

Г:=2(п—1)Б

Тогда неравенство (1) записывается в виде

ПТ

2(п — 1) / Т(і)(г2 — і2)п-2іdt ^ гЛ+2(п-1) для любых г ^ 0, (5)

Jо

а неравенство (2) перейдет в требующее доказательства неравенство

Г+Ж і2Л-1 ? п П- / А

І Т(і)(1 + І2Л)2 dІ^ 4А ‘ І-Т/1 + 2к.

Для непрерывной функции f на [0, +то) введем интегральный оператор

Т

4(г; f) := / f (і)(г2 — і2)кійі, г ^ 0, к Є N. (7)

о

В частности, интеграл из (5) есть в точности /га-2(г;Т).

Далее, введем в рассмотрение операторы Ь и М, действующие на дифференцируемые функции д: (0, +то) ^ К по правилу

1 ,, , , ,г п, ч d (1

і

Легко показать, что

к[_

(к — р)!

Ь‘+1 [/»(■; f)](r) = 2kк! f (г), (10)

где р-ая степень оператора означает его к-кратную суперпозицию.

Лемма 2. Предположим, что функции д и <р соотв. р раз и д + 1 раз непрерывно дифференцируемы на (0, +то) и существуют пределы

, 101+ 1 ЬР-1[д](і) ■М [^](і) =0.

і——0,+ж і

Тогда

Л + Ж Г+Ж

/ Ьр[д](і) М« М(і^і = Ьр-1[д](() Л^+'МЙ*,

00

если интегралы сходятся.

Ь[д](г) := 1 ■ д'(г) М[д](г) := — ^ ^ ■ д(і))

, г > 0.

і=т

Ьр[4(■; f)](г) = 2р^^ 4-р(г; f), р ^ к, (9)

Лемму 2 легко доказать интегрированием по частям.

Лемма 3. Пусть

£2 А-1

РА(£) := (1+ £2А)2 , £ ^ 0 (11)

Тогда для всех д = 0,1,... имеют место соотношения

М9[р л](£) = О(£-2Л-1-29) при £ ^ +то, (12)

М9[рл](£) = О(£2Л-1-29) при £ ^ 0. (13)

Кроме того, при А ^ 1 выполнено условие положительности

М9 [р а](£) ^ 0 для всех £ ^ 0. (14)

Доказательство. Соотношения (12) и (13) можно получить, представляя функцию р л в

виде ряда по степеням от соотв. £-Л при £ ^ +то и £л при £ ^ 0.

Для доказательства (14) при А ^ 1 введем для 0 ^ в ^ 2 класс функций К (в),

являющихся линейными комбинациями с положительными коэффицентами функций вида

ф(£) = — -------^-г , а ^ -1, к ^ 0.

^ } £«(1+ £в)т ’

Например, для нашей функции из (11) имеем р л £ К(2А) при А ^ 1. Поэтому для

получения (14) достаточно показать, что М [ф] £ К (в) для ф £ К (в). Для 0 ^ в ^ 2 и

а ^ —1 получаем

„ „г м / ч ^ 1 1 + а кв

М [ф](£) = —---------------т т +--------------т-г £ К (в).

^£ £Г+а(1 + £в)т £2+а(1 + £в)т £2-в+а(1 + £в)Т-1

Лемма 3 доказана. □

Лемма 4. Для всех к = 0,1,... и р = 0,1,..., к + 1

£р[4(■; Т)](г) = О (гА+2(т+1-р)) , г ^ 0, +го. (15)

Доказательство. Для р = к + 1 из равенства (10) имеем

£т+1[4(■; Т)](г) = 2т ■ к! Т(г) = О(гА) = О(г А+2(т+1-р)), г ^ 0, +го.

Для р ^ к из равенства (9) следует

£р[4(■; Т)](£) = О(/т-р(г; Т)) = о(у £л+1(г2 — £2)т-р 1)

= о ^ г2(т-р) ^ £ л+11£ ) = О(гл+2(т+1-р)), г ^ 0, +го.

Лемма 4 доказана. □

Лемма 5. Для р + д = п — 1, где р ^ 0 и д ^ 0, имеем

111+1 1 Ьр-1[1„_2(.,Т)](*) М9[рл](() = 0.

£^-0,+ж £

Доказательство. По Леммам 3 и 4 при £ ^ 0 получаем

1 Ьр-1[/„-2(-,Т)](£) М9[рл](£) = 1 О(£а+2(т-р)) ■ О(£2А-1-29) = О(£3Л).

По тем же Леммам 3 и 4 при £ ^ +то имеем

1 Ьр-1[/„-2(-,Т)](£) М9[рл](£) = 1 О(£А+2(т-р)) ■ О(£-2А-1-29) = О(£-Л).

Лемма 5 доказана. □

Закончим доказательство Гипотезы 1 для А ^ 1. По (10) левая часть (6) равна

(11) Г+Ж

J [= Т(£)рл(£) 1£

./о

— Ж

ЬТ-1[/„-2(-,Т)](£) М0[рл](£)а£

2П-2

Используем п — 1 раз Лемму 2 и получим 1 г—ж

2»-2 ■ (п — 2)^0

(8)=(7) _______________________1_ I /-га-1 Г Г ( гр^(+\ Л/ТО г

= 2»-2 ■ (п — 2)^0 '

J = 0^2 / Ь0[/„-2(-,Т)](£) МТ-1[рл](£)1£

1 /» + Ж / ('I

2-2 ■ (п — 2)! Л (/’Т(т)(£2 — т2)”"2т 1т) М”_1|РА1<£)

00

Отсюда по соотношению (14) Леммы 2 из условия (5) ввиду положительности функции МТ-1[р л] для А ^ 1 получаем

1 Л+Ж

7 « 2»-- ■ (п - 1)^ £А+2("-1) МТ-1 [Р а|И 1

1 /*+Ж

Ь0[£ А+2(т-1)] МТ-1[р А](£) ё£.

2»-1 ■ (п — 1)! ,/0 Вновь, используя п — 1 раз Лемму 2, устанавливаем оценку

1 р +Ж

7 « 2»- ■ (п — 1)! / ^+2("-1)]рА^

1 г+ж £3 А-1 »-1

= 2»-1 ■ (п — 1)! Х (1+ «2А)2М ^ П (А + 2к)

1 [+Ж £1/2 , п / А

2А1 (1+ ()2 * ^ П( +2к

Отсюда, интегрируя по частям последний интеграл, получаем

1 Л +Ж £-1/2 »-1 , А

7 « А/ тГтт■ П (1 + А

4А Л (1 +£) 2к'

Интеграл здесь легко (после Л. Эйлера) вычисляется с помощью вычетов и равен п [3, гл. V, 74, Пример 3]. Значит последнее неравенство совпадает с неравенством (6). Это завершает доказательство Гипотезы 1 для А ^ 1. □

3. Эквивалентные версии Гипотезы 1

Лемма 6 ([4, Предложение 5.1]). Функция Б: [0, +то) ^ К с Б(0) = 0 — возрастающая и выпуклая относительно 1с^, если и только если найдется возрастающая функция

-: [0, +то) ^ [0, +го), дающая представление

Б(х) = ^

Используя Лемму 6 вместе с Леммой 1 для условия Б(0) = 0, можем записать интеграл из (1) в виде

[ Б(£х)(1 — ж2)Т-2ж ёж =--- ----- [ ( [ -(—) ёт^ 1(1 — х2)»-1.

]0 2(п — ^ Л чЛ т )

Интегрирование по частям дает равенство

[ Б(£х)(1 — х2)га-2х ёх = —- [ -(£х) (1 — х2)»-1 ёх.

Л 2(п — 1) ^ х

Аналогично для интеграла (2) имеем

Г+Ж г,, ч £2Л-1 п 1 [+Ж -(£) ё£

X % + *'2А)2 £ =2ЛХ, ~Г + £2А) •

Таким образом, соотношения (1) и (2) переходят соотв. в неравенства

[' -(£х) (1 — х2)»-11х ^ £ л для всех 0 ^ £ < +то

2(п — 1) Л) х

1 [+Ж -(£) ё£ _(п — 1) т-т( А \ _(п — 1) 1

I о ^ _!_2Д 1 + ^ ( >

2А,/0 £ 1+ £2 Л 2А 2и А2 В(А/2,п)’

где функция - ^ 0 — возрастающая, а в последнем равенстве использованы те же свойства бета-функции Эйлера [3, гл. VII, § 1], что ив (3). Но мы не уменьшим общности рассмотрения, если вместо такой произвольной функции - будем рассматривать произвольную возрастающую функцию Л ^ 0, определенную заменой Л(х2) := 4(»1-1) -(х), х ^ 0, что преобразует последнюю пару соотношений в условие и неравенство

'1 Л(£2 х2)

2 (1 — х2)» 1 ёх ^ (£2)Л/2 для всех 0 ^ £ < +то

0х

+ 2 »- 1

21 М-_ 1

0 £ 1 + £2 Л 2^=А 2Ы А В(А/2, п) ’

Отсюда после замен

х2 = х', £2 = £', А/2 = а > 1/2

и переобозначения переменных х' и £' прежними х и £ получаем

[1 Л(£х^ ч»-1

0

х

(1 — х)» ёх ^ £а для всех 0 ^ £ < +то , (18а)

+

^0 £ 1 + £2а 2 к) 2а В(а,п)

П1 + к =2_: ■ вОпг (18Ъ)

Таким образом, Гипотезе 1 с А > 1 эквивалентна более простая

Гипотеза 2. Пусть а > 1/2. Для любой возрастающей функции Л ^ 0 на [0, +то) из условия (18а) следует неравенство (18Ь).

Возможна еще одна версия рассмотренных гипотез. Во-первых отметим, что из некоторых соображений достаточно доказывать наши гипотезы для гладких функций. Так, можем предполагать, что функция Л в Гипотезе 2 непрерывно дифференцируема, т. е. д := Л' ^ 0 на (0, +то). Тогда интегрированием по частям получается эквивалентная Гипотезам 1 и 2

Гипотеза 3. Пусть а > 1/2. Если д — положительная непрерывная функция на [0, +го), то из условия

( ^ (1 — у)» 1—^д(£х) ёх ^ £а 1 для всех 0 ^ £ < +то (19)

1

0

следует оценка

п + (Ж) -1 » 1

у д(£)1с^1 + £^) а£ ^ _а Д (^ + ач _

к В(а, п)

Т=1

Внутренний интеграл в левой части (19) легко вычисляется и может быть заменен на сумму:

Г (1 — у)»-1 -^1у =—lсg х+^ (1 — хт).

л у т=1 к

4. Некоторые оценки интеграла из (2) при условии (1)

В этом последнем разделе мы приведем некоторые оценки, которые не “дотягивают” до Гипотезы 1, но представляют некоторый интерес. Первая из них сразу следует из заключения eqrefest:S Леммы 1 и цепочки равенств (4).

Утверждение 2. Пусть Б £ 1пс+([0, +го)), А ^ 0 и для 2 ^ п £ N выполнено условие (1). Тогда справедлива оценка

[+Ж Б (£Ь1 £2 Х~1.2 !£ ^ (^1 +1 ■гЛгУ 1 (1 + 2 ■ А/2. (20)

\Т

,/0 (1 + £2 А )2 2 А V 2 п — 1у V А/

По схеме доказательства последнего неравенства в [1, Основная лемма] может быть установлено

Утверждение 3. В условиях Гипотезы 1 справедлива оценка

Г+Ж л2 А-1 1^1 »-1

£2А 1 _(п — 1) т-т / А\ , .

_ Бс1£ « ПЬ(2*)’ <21)

где функция Ь: [0, +то) ^ К определена по правилу

1 . . I ех при х ^ 1,

Ь(х) :=

I ех при х > 1,

и удовлетворяет неравенству Ь(х) ^ е(1 + х) при всех х ^ 0.

Обсуждения Гипотезы 1 приведены также в [5] и [6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хабибуллин Б.Н., Проблема Пэли для плюрисубгармонических функций конечного нижнего порядка // Математический сборник. 1999. Т. 190. №2. С. 145-157.

2. Хабибуллин Б.Н., The representation of a meromorphic function as the quotient of entire functions and Paley problem in Cn: survey of some results // Математическая физика, анализ, геометрия (Украина). 2002. Т. 9. № 2. С. 146-167. Электронная версия по адресам http://arxiv.org/abs/math.CV/0502433 или http://math.bsunet.ru/khb .

3. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного «Наука». Москва. 1987. 688 стр.

4. Кондратюк А. А. Ряды Фурье и мероморфные функции Изд-во «Вища школа». Львов. 1988.

5. Khabibullin B.N. A conjecture on some estimates for integrals // В электронном архиве http://arxiv.org/abs/1005.3913 , arXiv:1005.3913v1 [math.CV]

6. Khabibullin’s conjecture on integral inequalities // Статья в Википедии. 2010. Электронный адрес http://en.wikipedia.0rg/wiki/Categ0ry:Inequalities .

Рустам Алексеевич Баладай,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Булат Нурмиевич Хабибуллин,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]