CC BY
28УДК 517.96
ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ
И, Е, Егоров, А. Б, Слепцова
Первыми работами об уравнениях с меняющимся направлениями времени, по-видимому, были статьи М. Жеврея, опубликованные еще в 1913-1914 гг. Теория разрешимости краевых задач для линейных уравнений с меняющимся направлением времени построена в работах О. А. Олейник [1], С. А. Терсенова [2] и др.
Данная работа посвящена исследованию разрешимости третьей краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени второго порядка. Исследуется разрешимость поставленных краевых задач в пространстве С. Л. Соболева. С помощью функционального метода при определенных условиях на коэффициенты и на правую часть уравнения доказаны существование обобщенного решения и гладкая разрешимость третьей краевой задачи.
Постановка третьей краевой задачи. Пусть Л С М" — ограниченная область с гладкой границей П4 = О х {£} для 0 ^ £ ^ Т, Бт = Б х (0, Т). В цилиндрической области ф = П х (0, Т) рассмотрим параболическое уравнение
Ъи = к(х,-Ь)щ -Аи + с(ж, £)и = /(ж, £), / € ^(ф). (1)
Положим
Б+ = {(ж,0) : х € 0, к(х, 0) > 0}, = {(ж, 0) : ж € О, к(ж,0) < 0},
© 2010 Егоров И. Е., Слепцова А. В.
£+ = {Т) : х е О, к(х, Т) > О}, Б- = {(х, Т) ■. х е О, к(х, Т) < О}.
Краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области Q такое, что
Пусть Сх — класс гладких функций в области Q, удовлетворяющий краевым условиям (2), (3). При к = 1 поставленная задача совпадает с третьей классической смешанной задачей для параболического уравнения.
Лемма 1. Пусть выполнены условия с — ^ 5 > 0, <т(ж,£) ;:г О для любого (ж, е Бт. Тогда для функции и(х, е Схнмеет место оценка
Доказательство. Рассмотрим выражение (Ьи,и) для и(х, е Сх, из которого после интегрирования по частям с учетом граничных условий (2), (3) получим
(3)
где сг(х, € С(6"т), п — единичный вектор внешней нормали.
С учетом условий леммы из равенства (4) следует
Лемма доказана.
В общем случае при l<(x,t) | ^ C справедливо неравенство [3] ' j^dS
St
< C J ie ^ u\. + M(e)uA dQ
Q V i = l /
(5)
V е > о, и(х,г) е Щ '0(0.
Сформулируем лемму для общего случая.
Лемма 2. Пусть выполнена условия с — — СМ(^) ^ ¿1 > 0, |ст(х, Ь) | ^ С для любого (х,Ь) е Бт. Тогда для функции и(х,Ь) е Сь имеет место оценка
Q
Е
.¿=1
2 | 2 uu
< C2 ||Lu||, C > 0.
Доказательство. Для u(x,t) е CL из равенства (4) с учетом (5) получим
(Lu'u) ^/vi- £u-dQ
Q ^ ¿=i
c-ht-CM(e]
Q
Тогда при e = -Ц имеем
(Lu, u) > J ( - ^^ м^,. + j dQ. ¿
Отсюда следует утверждение леммы 2, если С2 1 = min{i, ¿1}. Лемма доказана.
Определение 1. Функция u е W\'0(Q) называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если выполнено тождество
a(u, n) = - J (ktV + kvt)u dQ
jwqdS = j fndQ (6)
Я
+ J (Еих^+ еиц\ ■
Я ' Бт Я
для любой функции г/ £ удовлетворяющей условиям г/\— = 0,
Бо
^ = 0В дальнейшем нам понадобится известная лемма М. II. Вишика.
Лемма 3. Пусть А — оператор в гильбертовом пространстве Не плотной областью определения ЩА) и с ограниченным обратным оператором в области своих значений Е(А). Тогда область значений Е(А*)
Н
Теорема 1. Пусть выполнены условия с — ^ 5 > 0, а(х, ^ О для любого (х,Ь) £ Ят. Тогда для функции / £ ^(О) существует обобщенное решение и £ Щ1 '0 (О) краевой задачи (1)-(3).
Доказательство. Рассмотрим левую часть тождества (6). Оценив ее значение по модулю, получим оценку
Ки, V)I < С Уи^Уп^д , и € Щ,0О VV € ШЦО,
гдеЩ(Я) = {Г1£\¥ЦС]),Г1\—=0,^ = 0}.
б о
При фиксированном ц £ Щ1 (О) билинейная форма а(и, ц) определяет линейный ограниченный функционал над и £ (О), который в силу теоремы Рисса записывается в виде
а(и, -ч) = (и, ,0, Ап £ Щ'0(О).
А
ям леммы 3. Действительно, (О) является областью определения оператора А и вложено в Щ1 '0 (О) плотным образом. Путем интегрирования по частям с учетом условий г/\— = 0 , г/\—цг = 0 получим
(г], Аг))\$ = а(г],г]) = —- J кг]2с1х + - ^ кг]2с1х
с — —/г4 I ¿<5 + / о-г!гЗ,Я
Я 1 7 Бт
для всех функций ц £ Щ1^). Отсюда
,0 > С,„, п £ Щ(О), С >0,
значит,
N11,0^7^-11^111,0 (7)
о4
Из (7) вытекает, что существует линейный ограниченный оператор Л-1. Нетрудно показать, что интегральное тождество (6) эквивалентно операторному уравнению
Л*и = Г Г е Щ-00, (8)
где Л* — сопряженный к Л оператор. Применяя к оператору лемму 3, получим что область значений Д(А*) совпадавт с Щ1^). Следовательно, уравнение (8) всегда имеет решение и е (0).
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть выполнены условия с——С ^ 6± > О,
|ст(х,Ь)| ^ С для любого (х,Ь) е Бт. Тогда для функции / е Ьъ(0) существует обобщенное решение и е Щ1 '0(0) краевой задачи (1)-(3).
Доказательство. Заметим, что доказательство теоремы 2 совпадает полностью с доказательством теоремы 1. Если установить справедливость оценки (7) для ц е Щ1^), т0 оно аналогично доказательству априорной оценки леммы 2.
Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть выполнены условия с — ^ \кг\ ^ 5 > 0, а(х) ;:г О для любого х е Б к(х,0) > 0, к(х,Т) > 0. Тогда для функции / е Щ*(0), /(х, 0) = 0, существует единственное решение и е (0) краевой задачи (1)-(3).
Доказательство. Для е > 0 положим ЬЕу = -еуи + Ьу. Пусть \к — собственные числа и фк — собственные функции спектральной задачи
-А(рк = \к<Рк, =
где > 0, фк е вещественны.
Система всех собственных функций {фк} составляет базис в пространствах Ь2(П) и Щ21(П), причем их можно выбрать таким образом, что
(фк , фг)о = $к =
Х1=} к
1, к = 1,
! ¿х + ! <г{хХ)^иУ1<1Б = хкб1к.
Бт
N
Приближенные решения uN'Е(х, £) = ю = ^ Ск 'Е(х) будем искать
к=\
как решение краевой задачи
= Щ>0о , (9)
ОС!'Е
с!"'е\^ = О,
' дЬ
N'1
,
1=Т
Т N £ N'£ . Т N Е
где ЬЕи"'Е = —£ии' + Ьи1 ' .
Умножим (9) на СгN'Е и просуммируем полученное равенство по I
от 1 до М, тогда
(ье^^о = Щ,ы)0.
В силу (10) имеем
Не=0 = 0, |4=т = 0. Интегрируя это равенство по £ от 0 до Т, получим
J (—ети + Ьт)т ¿О = J ЩюЗЦ, (11)
Ят Ят
е МММ?'С ЩУ , С5>0. (12)
В силу (12) однозначная разрешимость задачи (9), (10) следует из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Умножим (9) на —В С^'Е и просуммируем по I от 1 до N, тогда
- (Ь£Ю,юи)о = - . (13)
Проинтегрируем равенство (13) по £ от 0 до Т с учетом краевых условий ю|4=о = 0, = 0. Проведя интегрирование по частям, получим
вторую априорную оценку
е ЦюиУо 0+1 + )<О < С УМй о, С6>0. (14)
Я \.=1
Рассмотрим функцию Ь) е С1 [О, Т], Т) = 0. Умножим (9) на Ь) и просуммируем по I от 1 до р, интегрируя полученное равенство по I, получим
- е I и%'ефс0 + [ (ки?'еф + ^ и^£фХг+ сиК'Еф\з0
Я Я ^ 4=1 '
+ J аиК'£ф3Б = J /ф<0, (15)
Бт Я
Р
где ф = ^ ^фДх). ¡=о
Из априорных оценок (12), (14) следует, что существуют подпоследовательность иКк'и и е (0), где
= {щх,ь) е о},
такая, что
иМк^ и слабо в Ь20, ^ ихн слабо в Ь20,
щк^ щ слабо в Ь2(0, ^ Щхъ слабо в Ь2{0).
Ввиду оценки (14) имеем
еЛ и^ ф30
< И««*'6'" Но оН^ко ^ о,о, & 0.
В силу компактности вложения в Ь2(Бт) получаем, что
иЫк,ео |бт ^ и|Бт в Ь2(Бт)- Отсюда и из (15) следует, что
J | кщф + ихн фх¿ + сиф\ 30 + J аифЗБ = J /ф30. Я ^ *=1 ' Бт Я
Множество
Ь = Еп^Ых, р = 1,2,... 1
г=о
плотно в Щ1^). Тогда
У + сщ\ ¿О + У ащ<Б = J Vn £ Щ^О).
Я ^ ®=1 ' Бт Я
Отсюда вытекает, что и £ (О) является обобщенным решением краевой задачи
щ — Д и = Щ — кщ — си + щ = д,
ди
—--Ь а(х)и
дп
|бт = 0, и|4=0 = 0,
где д £ Ь2(О). Стало быть, е ¿2(<3), 1 = 1,п.
Следовательно, предельная функция и £ ' 1 (О) является решением краевой задачи (1)-(3). Единственность решения краевой задачи (1)^(3) вытекает непосредственно из леммы 1. Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1971. (Итоги науки и техники).
2. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.
3. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
4. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Введение в теорию уравнений смешанного типа второго порядка. Якутск: Изд-во Якутск, ун-та, 1998.
г. Якутск
31 мая 2010 г.
