Трендовые модели в экономических исследованиях Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 330.45:519.8

ТРЕНДОВЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

С. П. ФУКИНА,

старший преподаватель кафедры финансов и кредита E-mail: svetlanapf@yandex.ru Институт экономики, управления и права, г. Казань

В статье приводятся результаты исследования кривых роста, выражающих систематическое изменение определенного процесса. Выделены виды кривых роста, отражающие тенденции социально-экономической динамики. С помощью статистических методов и экономико-математического моделирования построена трендовая модель, характеризующая динамику развития показателя промышленного предприятия.

Ключевые слова: кривая, рост, тренд, временной ряд, динамика, моделирование, регрессия.

Возможность достижения предприятием поставленных целей, в том числе устойчивого развития, во многом зависит от обоснованности принимаемых управленческих решений. Изменчивость внешней и внутренней среды предприятия требует выбора адекватных решений органов управления, а эффективность системы менеджмента обусловливается правильностью оценки этапа развития предприятия (становление, рост, зрелость, спад), его возможностями и имеющимся потенциалом (материальными, финансовыми и трудовыми ресурсами). Доказано, что анализ и прогнозирование тенденций развития не могут обходиться без экономико-математического моделирования процесса функционирования социально-экономической системы (экономики страны, отрасли, предприятия). Построение экономико-математической модели предполагает приближенное описание какого-либо явления внешнего мира или процесса, выраженное с помощью математической символики.

Динамические процессы, происходящие в социально-экономических системах, чаще всего проявляются в виде ряда последовательно распо-

ложенных в хронологическом порядке значений определенного показателя, который в своих изменениях отражает развитие изучаемого экономического явления. Значения показателей служат основой для разработки трендовых моделей.

Под трендом понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени. В связи с этим экономико-математическая динамическая модель, в которой развитие моделируемой социально-экономической системы отражается через тренд ее основных показателей, называется трендовой моделью. Тренд выражается следующим образом:

где У— тренд;

у1,...,у1 — временной ряд (уровни ряда); 1= 1,..., п — периоды (интервальный динамический ряд).

Для выявления тенденции во временных рядах, а также для построения и анализа трендовых моделей используется аппарат теории вероятностей, математической статистики и экономико-математического моделирования.

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики — выявление тенденции динамики конкретного показателя и прогнозирование развития изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени.

Построение трендовых моделей осуществляется на базе кривых роста. Кривые роста — это модели тенденции временного ряда, характеризующие зависимость уровней ряда от времени. Изучаемый показатель (объем продукции, выручка от реализации, прибыль и др.) характеризуется тем, что

его результат в любой момент времени ^ зависит от значения у не только в настоящее время, но и в прошедшие периоды: ¿—1,2Следовательно, для построения трендовой модели большое значение приобретают не только фактические показатели, но и данные за предшествующие этапы.

В настоящее время выделяют следующие кривые роста, выражающие те или иные качественные свойства развития:

- полиномиальные;

- экспоненциальные;

- степенные;

- 8-образные.

Полиномиальные кривые роста имеют следующий вид:

у = а0 + а/ (полином первой степени — линейная форматренда);

у = а0 + а1 + а2*2 (полином второй степени — парабола);

у = а0 + а1 + а2*2 + а^3 (полином третьей степени).

Параметр ах называют линейным приростом, параметр а2 — ускорением роста, параметр а3 — изменением ускорения роста.

Установлено, что полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимирования и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

В свою очередь использование экспоненциальных и степенных кривых роста предполагает зависимость дальнейшего развития от достигнутого уровня: прирост функции зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяют следующие разновидности экспоненциальных кривых: простую и модифицированную экспоненту.

Простая экспонента представлена в виде функции:

У = аЪ',

где у1 — фактические уровни временного ряда; ^ — период времени (месяц, квартал, год и т.д.);

йи Ь — положительные числа, при этом, если Ь> 1, то функция возрастает с ростом времени

а если Ь<\ — функция убывает. Модифицированная экспонента имеет вид: у = к + аЪ*,

где йи Ь — постоянные величины: й<0,0<й< 1; к — асимптота этой функции, т. е. функция неограниченно приближается (снизу) к величине к. Степенная функция имеет следующий вид: У* = а*Ъ,

где b — коэффициент эластичности; — базисный коэффициент роста.

Степенная кривая предполагает разную меру пропорциональности изменений уровней динамического ряда во времени. При b > 0 кривая характеризует непрерывный рост уровней, а при b <0 — их снижение.

В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, потом ускоряются, а затем снова замедляются, стремясь к какому-либо пределу. Примерами могут служить динамика производительности труда и его оплаты, динамика роста и развития социально-экономической системы, динамика показателей уровня жизни, моделирование показателей смертности, ввод объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары и т. п.

Для моделирования таких процессов используются степенные функции (производственная функция), экспоненциальные функции (производственная функция с учетом научно-технического прогресса), S-образные кривые роста (кривая Гомперца и логистическая кривая).

Кривая Гомперца имеет следующий вид:

yt = ,

где a,b — положительные параметры,

к — асимптота функции.

Для построения трендовой модели развития крупнейшего промышленного предприятия автомобилестроения России ОАО «КАМАЗ» был использован динамический ряд выручки от реализации (табл. 1).

Группа организаций «КАМАЗ» — крупнейшая автомобильная корпорация Российской Федерации, включающая более 150 организаций, расположенных в России, СНГ и странах дальнего

Таблица 1

Динамика денежной выручки, млн руб.

Год t Выручка, yt

1997 1 2 752,044

1998 2 1 315,578

1999 3 6159,574

2000 4 16 484,397

2001 5 24 753,6

2002 6 23 304,8

2003 7 29 326,6

2004 8 46 479,1

2005 9 54 098

2006 10 76 558

2007 11 113 138

2008 12 115 966

2009 13 64 876

200 ООО

150 ООО

100 000

50 000

-50 000 -

зарубежья, является лидером российского грузового автомобилестроения. Предприятие выпускает более 30 моделей, свыше 400 комплектаций грузовой автомобильной техники.

Установлено, что в условиях экономического кризиса и падения спроса продажи ОАО «КАМАЗ» в 2009 г. сократились на 45,5 % и составили 25,9тыс. грузовиков. Несмотря на это, доля продаж ОАО «КАМАЗ» на российском рынке в сегменте грузовых автомобилей массой 14—40 т увеличилась в 2008 г. до 28 % и в 2009г. - до 55 %. В 2009г. по результатам деятельности валовая прибыль корпорации сократилась на и составила 5,5 млрд руб. В целом финансовое состояние ОАО «КАМАЗ» было охарактеризовано как стабильное благодаря мерам антикризисной программы и государственной поддержке.

Из анализа данных табл. 1 очевидно, что тенденция уровней ряда неустойчива: с 1997 по 2008 г. прослеживается рост показателя, а в 2009 г. — его спад. Минимальная выручка предприятия в течение исследуемого периода составляла 1 315,6 млн руб., максимальная — 115 966 млн руб. Наличие колебаний в динамическом ряду усложнило выявление типа кривой роста и потребовало качественного изучения характера развития объекта.

Визуальный анализ точечного разброса уровней ряда (денежной выручки ОАО «КАМАЗ») (рис. 1) показал, что трендовая модель может иметь следующие виды:

- линейный;

- экспоненциальный;

- степенной.

Для определения типа тенденции (вид кривой роста) был проведен качественный анализ изучаемого процесса. В статистике для выявления закономерности или тенденции развития явления применяются следующие методы обработки рядов динамики:

- сглаживания путем укрупнения интервалов во

времени;

- скользящей средней;

- проверки статистических гипотез;

- аналитического выравнивания.

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Выручка Линейный

Степенной ■Экспоненциальный

Рис. 1. Типы трендовых моделей, характеризующих разброс анализируемого показателя за 1997—2009гг., млн руб.

Метод укрупнения интервалов основан на объединении периодов времени, к которым относятся уровни ряда.

После укрупнения интервалов тенденция роста стала очевидной: 3409,065 <21 514,266 < 43 301,233 < 92 634,500 млн руб. (табл. 2).

Однако недостаток этого метода заключается в том, что он выявляет наличие линейной тенденции роста, но не подтверждает наличия других типов роста.

Использование метода скользящей средней позволило сгладить ряд динамики, выразить общую тенденцию.

Расчет скользящей средней осуществлен по формуле:

Уг-1 + Уг + Л+1

Уг

3

В результате сглаженный ряд в меньшей степени, чем фактический, подвержен колебаниям, возникающим вследствие случайных причин, и более четко выражает основную тенденцию за изучаемый период.

Таблица 2

Динамика выручки в ОАО «КАМАЗ» по укрупненным периодам, млн руб.

Выручка у{

Период г Общая за три года В среднем за год

1997-1999 1 10 227,196 3 409,065

2000-2002 2 64 542,797 21 514,266

2003-2005 3 129 903,7 43 301,233

2006-2009 4 370 538 92 634,5

По данным исследуемого предприятия результаты расчета скользящей средней не позволили установить типа динамики, а лишь подтвердили тенденцию роста выручки (табл. 3).

Таким образом, определить тип кривой роста посредством использования двух упомянутых методов не удалось, так как они обеспечивают лишь выравнивание рядов динамики.

Наиболее обоснованным приемом выявления типа тенденции послужила проверка статистических гипотез о постоянстве показателя динамики.

Для подтверждения гипотезы о линейности трендовой модели поданным предприятия на основе расчетов скользящей средней были вычислены ее цепные абсолютные изменения и средние изменения по временным интервалам, включающим в себя по 3—4 года (табл. 3).

Неравенство средних изменений по интервалам Лк (табл. 3) позволяет отклонить гипотезу о линейности трендовой модели. Учитывая тот факт, что соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами не всегда можно выразить линейной зависимостью, в исследовании использованы нелинейные трендовые модели.

Результаты проверки гипотезы о том, что динамика выручки предприятия представляет собой экспоненциальную кривую роста, приведены в табл. 4.

Средние изменения цепных темпов роста Дк по второму и третьему интервалам практически одинаковы: 1,26347105 и 1,23886436 (табл. 4), что подтверждает гипотезу о постоянстве показателей динамики.

Для подтверждения гипотезы несущественности различий между средними изменениями цепных

Таблица 3

Выявление типа тенденции динамики, млн руб.

Цепные абсолютные Среднее изменение

Год г Выручка у{ Скользящие средние у1 изменения Д, = у, - у, _1 поинтервалам Дк

1997 1 2 752,044 0 0 0

1998 2 1 315,578 3 409,065 0 0

1999 3 6 159,574 7 986,516 4 577,451 6035,067

2000 4 16 484,397 15 799,190 7 812,674

2001 5 24 753,6 21 514,266 5 715,075

2002 6 23 304,8 25 795 4 280,734 7262,323

2003 7 29 326,6 33 036,833 7 241,833

2004 8 46 479,1 43 301,233 10 264,4

2005 9 54 098 59 045,033 15 743,8 13673,025

2006 10 76 558 81 264,667 22 219,633

2007 11 113 138 101 887,333 20 622,667

2008 12 115 966 97993,333 -3 894

2009 13 64 876 0 0 0

Выявление типа тенденции динамики

Год г Выручка ур млн руб. Скользящие средние У, , млн руб. Цепные темпы роста д; =2± У, -1 Среднее изменение поинтервалам Дк

1997 1 2 752,044 0 0 0

1998 2 1 315,578 3 409,065 0 0

1999 3 6 159,574 7 986,516 2,342729033 1,89423141

2000 4 16 484,397 15 799,19 1,978233021

2001 5 24 753,6 21 514,266 1,361732166

2002 6 23 304,8 25 795 1,198971901 1,26347105

2003 7 29 326,6 33 036,833 1,280745623

2004 8 46 479,1 43 301,233 1,310695638

2005 9 54 098 59 045,033 1,363587796 1,23886436

2006 10 76 558 81 264,667 1,376316721

2007 11 113138 101 887,333 1,253771627

2008 12 115 966 97 993,333 0,961781314

2009 13 64 876 0 0 0

Таблица 4

Таблица 5

Результаты расчетов показателей

Интервал aAk mAk md aI II Г-критерий t крит

I 0,496 0,286 0,288 2,1875 2,7764

II 0,057 0,033

темпов роста Ак по первому и второму интервалам необходимо проверить различия по ¿-критерию Стьюдента. Для этого были рассчитаны следующие статистические показатели: - среднее квадратическое отклонение:

1

Z (А, -м)2

3 -1

средняя ошибка среднего изменения:

т •

тм 73'

средняя случайная ошибка разности двух средних:

т„

критерий Стьюдента: г =

1тм2+mMi2;

а1 -а

Результаты расчетов приведены в табл. 5.

Согласно данным табл. 5, критическое значение ¿-критерия Стьюдента для четырех степеней свободы вариации (й1 + п2 — 2) больше его фактического значения (2,7764 > 2,1875). Следовательно, вероятность того, что различие среднегодовых темпов роста в первом и втором интервалах случайно, и гипотеза о равенстве приростов не отклоняется. На основании этого был сделан вывод, что трендовая модель может иметь экспоненциальный вид.

Для проверки гипотезы о том, что тренд может быть представлен экспоненциальной или степенной кривой роста, был применен метод аналитического выравнивания. Он предполагает, что общая тенденция развития процесса (явления) рассчитывается как функция времени:

У = I (г).

Определение теоретических (расчетных) уровней у1 производится на основе адекватной математической модели, которая наилучшим образом аппроксимирует основную тенденцию рядадинамики.

Для определения типатрендовой модели были построены уравнения регрессии для экспоненциальной и степенной функций:

- для экспоненциальной — у( = аеы\

- для степенной — у(= а1ь.

Для выявления параметров уравнения экспоненциального и степенного трендов была произве-

дена линеаризация посредством логарифмирования каждого члена уравнения. После преобразования уравнения получили следующий вид:

- In у = ln а + bt — экспоненциальный линеаризованный тренд;

- In у = In а + b*In t — степенной линеаризованный тренд.

Расчет параметров функций был осуществлен с помощью метода наименьших квадратов, в котором в качестве решения принята точка минимума суммы квадратов отклонений между расчетными и фактическими уровнями:

Z(y - yt)2 ^ min>

где yt — выравненные (расчетные) уровни; yi — фактические уровни. Расчет параметров функций по данным динамики выручки в ОАО «КАМАЗ» был произведен с помощью пакета прикладных программ Microsoft Office Excel.

Результаты расчетов параметров линеаризованного экспоненциального уравнения представлены в табл. 6.

По данным табл. 6 получено уравнение:

In у = 1п 7,795124 + 0,328897 t. После преобразования экспоненциальная функция представлена следующим уравнением:

y = 2 428,7 e°'329t. Коэффициенты корреляции R и детерминации R2, как известно, являются статистическими оценками адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии. Коэффициент детерминации R2 характеризует вклад фактора (факторов) в изменение результативного показателя.

Коэффициент детерминации Л2 равен 0,838809 (табл. 7). Это свидетельствует о том, что изменения зависимой переменной yt, главным образом, можно объяснить изменениями времени t, следовательно, тип связи выбран верно.

Критерий Фишера ^-критерий позволил проверить достоверность уравнения регрессии, т. е. оп-

Таблица 6

Показатели линеаризованного экспоненциального уравнения регрессии

Показатель Коэффициент Стандартная ошибка Г-статистика

^-пересечение 7,795124 0,345043 22,59176

Переменная Х1 0,328897 0,043471 7,565836

!=i

Таблица 7

Результаты корреляционно-регрессионного моделирования выручки в ОАО «КАМАЗ» по экспоненциальной динамике

Показатель Величина

Множественный Я 0,915865

^-квадрат 0,838809

Нормированный ^-квадрат 0,824155

Стандартная ошибка регрессии 0,58646

Количество наблюдений 13

^-критерий 57,24188

Т критич 4,844335669

Таблица 8

Показатели линеаризованного степенного уравнения регрессии

Показатель Коэффициент Стандартная ошибка Г-статистика

^-пересечение 7,108812 0,345772 20,55922

Переменная Х1 1,722746 0,183509 9,38779

Таблица 9

Результаты корреляционно-регрессионного моделирования выручки в ОАО «КАМАЗ» степенной динамике

Таким образом, результаты корреляционно-регрессионного моделирования характеризуют связь между выручкой и временем как функциональную и значимую. Выходит, что приведенное уравнение является приемлемым и может быть использовано в качестве трендовой модели.

Результаты расчетов параметров линеаризованного степенного уравнения по данным исследуемого предприятия представлены в табл. 8.

На основе данных табл. 8 получено уравнение: 1пу = 1п7,108812 + 1,72271п^.

Степенная функция после проведения операции потенцирования получила следующий вид:

140 000

120 000

100 000

80 000

60 000

40 000

20 000

Показатель Величина

Множественный Я 0,942887

^-квадрат 0,889035

Нормированный ^-квадрат 0,878948

Стандартная ошибка регрессии 0,486586

Количество наблюдений 13

^-критерий 88,13059784

критич 4,844335669

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

""" ■' Выручка

■ Степенной тренд

Рис. 2. Трендовая модельдинамики выручки ОАО «КАМАЗ» в 1997—2009 гг.

млн руб.

У = 1222,7 *'1221.

Оценка результатов моделирования денежной выручки предприятия представлена в табл. 9.

Коэффициент детерминации Л2 равен 0,889035 (табл. 9). Следовательно, решенное уравнение хорошо аппроксимирует эмпирические данные и функциональная зависимость достаточно высокая.

Степенное уравнение парной регрессии также является весьма значимым, так как К > Р

' факт критич

(88,13059784 > > 4,844335669), где ^критич -табличное значение ^-критерия Фишера.

Следовательно, полученное уравнение также является приемлемым и может быть использовано в качестве уравнения трендовой модели.

Анализ результатов корреляционно-регрессионного моделирования экспоненциального и степенного уравнений показал, что динамика денежной выручки ОАО «КамАЗ», выраженная в виде степенной кривой роста, имеет тесную связь с фактором времени (0,889035 > 0,838809). Исходя из этого, степенная функция является более значимой среди всех приведенных (рис. 2).

0

Таким образом, степенная трендовая модель У - 1222,7 11'1221, отражающая динамику выручки в ОАО «КАМАЗ», достаточно достоверно характеризует сложившуюся тенденцию.

Список литературы

Установленный тип динамики показателя роста денежной выручки позволит анализировать и прогнозировать тенденцию развития любого показателя предприятия.

1. Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: основы моделирования и первичная обработкаданных. М.: Финансы и статистика, 1983.

2. Елисеева И. И., Рукавишников В. О. Логика прикладного статистического анализа. М: Финансы и статистика, 1982.

3. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: учебник / под ред. И. И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 1995.

4. Каяйкина М. С. Выбор типа линии при аналитическом выравнивании динамических рядов урожайности сельскохозяйственныхкультур // Записки ЛСХИ, Ленинград — Пушкин, 1972. Т. 196.

5. Орлова И. В., Половников В. А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учеб. пособие. М.: ИНФРА-М, 2010.