CC BY
5Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
УДК 539.374
ТРЕХМЕРНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ОДНОРОДНОМУ
НАПРЯЖЕННОМУ СОСТОЯНИЮ
С. И. Сенашов*, И. Л. Савостьянова
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: sen@sibsau.ru
Построены новые пространственные решения, которые соответствуют однородному напряженному состоянию. Тем самым показано, что в известной статье В. Прагера 1956 г., найдены не все возможные решения, соответствующие этому состоянию.
Ключевые слова: однородное напряженное состояние, трехмерные пластические течения.
THREE-DIMENSIONAL PLASTIC FLOW CORRESPONDING TO A HOMOGENEOUS STRESS STATE
S. I. Senashov*, I. L. Savostyanova
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: sen@sibsau.ru
We have constructed new spatial solutions that correspond to a uniform stress state. This showed that in the well-known article of V. Prager in 1956, not all possible solutions corresponding to this state were found.
Keywords: uniform stress state, three-dimensional plastic flows.
Работы, в которых рассматриваются трехмерные пластические течения, весьма немногочисленны. Это работы Р. Хилла [1], Д. Д. Ивлева [2], М. А. За-дояна [3] и одного из авторов данной статьи [2; 4-6]. Особняком на этом фоне выглядит работа В. Прагера [7]. В ней подробно рассмотрено однородное пластическое состояние и построены поля скоростей ему соответствующие. Им в, частности показано, что такому состоянию могут соответствовать только поля скоростей в виде полиномов второй степени. Фундаментальность исследования и авторитет автора, казалось, гарантирует, что ошибок в работе нет. Тем не менее, в исследование вкралась неточность и, оказалось, что существуют решения, соответствующие однородному напряженному состоянию, отличные от решений, указанных В. Прагером. Такие решения построены в данной работе.
1. Состояние трехмерного пластического течения может быть описано с помощью следующей системы уравнений
дст. 2
—. = 0, Б. = Хе.., Б.Б. = 2к2, дх. 11 11 11 11 * (1)
^ = СТ. - P, 3 Р = , где ст., Б. - компоненты тензора и девиатора тензора напряжений; X - неотрицательная функция; к* -
ды. ди
предел текучести при чистом сдвиге; 2е.. = —- +--- -
дх. дх1
компоненты тензора скоростей деформации; и. компоненты вектора скорости. По повторяющимся индексам предполагается суммирование. Система урав-
нений (1) - это система из 10 уравнений на 6 компонент тензора напряжений ст. , три компоненты вектора скорости и1 и коэффициент X.
Рассмотрим такое поле скоростей
аехр (аХ( + Рх2 + ух3),
ы2 = Ьехр (аХ( + Рх2 + ух3), (2)
ы3 = сехр (ах( + +Рх2 + ух3).
Предположим, что р - постоянно. Вычислим для этого поля компоненты девиатора тензора напряжений. Получаем
= аац, Б22 = рЬц, Б33 = усц, Б12 = (аЬ + Ра ), Б13 = (ас + уа ), Б23 = (Рс + уЬ ),
ц-2 = 2k2 ((aa)2 + (Р b)2 + (yc)2 +
(3)
+ (аЬ + Ра)2 + (ас + уа )2 + (Рс + уЬ )2 )2.
Из (3) следует, что все компоненты тензора напряжений постоянны, поле скоростей (2) не совпадает с полем скоростей построенным В.Прагером. Поэтому необходимо более тщательно исследовать поля скоростей, которые соответствуют однородному напряженному состоянию.
2. Пусть все ст. и соответствующие им компоненты девиатора тензора напряжений Б. - постоянны.
Тогда, для определения компонент тензора скоростей деформации, кроме уравнений
Б. = Хе.., (4)
мы должны рассмотреть систему из шести уравнений совместности деформации.
Решетневскуе чтения. 2018
д2 elt
д2 х22
52 en
д
д2 e22
'Щ
(
■ = 2-
д2 e и 12
дх1дх2
дх2дх3
de23 de12 5e1
Л
(5)
_ 23 +___|__
дх1 ^ дх1 дх3 дx2 у
Остальные 4 уравнения получаются из (5) круговой перестановкой индексов. Из (4) имеем
ey = Sy / Siieii -
(6)
Подставляем (6) в (5) и, учитывая, что S, - посто-
янны, получаем
д2 e S11 + S.
Sii
д 2en
дх2 дх3
д2 x22 д
д2 e
22 я2 2 12
д2 en
дх1дх2
(
5x1
-S2
д2 x2
дell + S12 ^ +* дell
Л
(7)
дх.
дх2
дх1 у
Остальные 4 уравнения получаем из (7) круговой перестановкой индексов.
Система уравнений (7) есть система шести однородных уравнений относительно шести неизвестных
дЧ
5x. 5x,.
эта система имеет постоянные коэффициен-
ты. Система (7) имеет определитель равный нулю, поскольку она имеет нетривиальное решение, соответствующее полю скоростей (2). Будем считать пе-
ременную
д 2e„
известной и решим систему из 5
дх1дх2
уравнений с пять неизвестными методом Крамера. В результате получим
д2еп д2еп
оХ,. дх,.
■ = с,
дх1дх2
(8)
где оу - постоянные, которые являются отношением
соответствующих определителей системы (7).
Решая последовательно уравнения (8), после несложных вычислений получаем
е11 = / (ах1 + Рх2 + ух3) где а, р, у - произвольные постоянные; / - произвольная гладкая функция. Остальные компоненты тензора скоростей деформации без труда определяются из уравнений (6).
Окончательно поле скоростей для однородного напряженного состояния принимает вид и1 = Л/ (ах1 + рх2 + ух3 + 5),
и2 = В/ (ах1 +рх2 +ух3 +5),
и3 = С/ (ах1 + рх2 + ух3 + 5),
Здесь постоянные Л, В, С, а,в, у, 5 без труда определяются через .
Замечание. Случай рассмотренный В. Прагером соответствует тривиальному решению системы (7).
Это означает, что
д2 еп
дх,. дх,.
= 0-
Тогда е11 = ах1 +рх2 +ух3 + 5 . В результате поле скоростей имеет квадратичный вид, что и было исследовано В. Прагером.
Заключение. В результате проведенного исследования показано, что однородному напряженному состоянию соответствует бесконечное количество полей скоростей, а не одно поле как это было приведено в работе [7].
Библиографические ссылки
1. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М. : ГИТЛ, 1956. 408 с.
2. Предельное состояние деформированных тел и горных пород / Д. Д. Ивлев [и др.] М. : Физматлит, 2008.
3. Задоян М. А. Пространственные задачи теории пластичности. М. : Наука, 1992. 382 с.
4. Сенатов С. И., Гомонова О. В., Яхно А. Н. Математические вопросы двумерных уравнений идеальной пластичности / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2012. 137 с.
5. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б. Д. Аннин, В. О. Бытев, С. И. Сенатов. Новосибирск : Наука, Сиб. отд-ние. 1985.
6. Киряков П. П., Сенатов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения к ретению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2001. 190 с.
7. Прагер В. Трехмерное пластическое течение при однородном напряженном состоянии // Механика, сб. переводов и обзоров иностранной литературы. 1958. № 3. С. 23-27.
References
1. Hill R. Matematicheskaya teoriya plastichnosti. [Mathematical theory of plasticity]. Moscow: GITL, 1956. 408 p.
2. Predel'noye sostoyaniye deformirovannykh tel i gornykh porod [Limit state of deformed bodies and rocks] / D. D. Ivlev [et al.]. Moscow: Fizmtlit, 2008.
3. Zadoyan M. A. Prostranstvennyye zadachi teorii plastichnosti. [Spatial problems of plasticity theory] Moscow : Nauka, 1992. 382 p.
4. Senashov S. I., Gomonova O. V., YAkhno A .N. Matematicheskiye voprosy dvumernykh uravneniy ideal'noy plastichnosti. [Mathematical problems of two-dimensional equations of ideal plasticity]. Krasnoyarsk. SibGAU, 2012. 137 p.
5. Gruppovyye svoystva uravneniy uprugosti i plastichnosti [Group properties of elasticity and plasticity equations] / B. D. Annin, V. O. Bytev, S. I. Senashov. Novosibirsk : Nauka, Sib. otdeleniye. 1985.
6. Kiryakov P. P., Senashov S. I., YAkhno A. N. Prilozheniye simmetriy i zakonov sokhraneniya k resheniyu differentsial'nykh uravneniy. [Application of symmetries and conservation laws to the solution of differential equations] Novosibirsk, Izd. SO RAN, 2001. 190 p.
7. Prager V. Trekhmernoye plasticheskoye techeniye pri odnorodnom napryazhennom sostoyanii. [Three-dimensional plastic flow at uniform stress state]. // Mek-hanika, sb. perevodov i obzorov inostrannoy literatury. 1958, № 3. P. 23-27.
© Сенатов С. И., Савостьянова И. Л., 2018
