CC BY
13
УДК 681.513.6
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-6-42-50
ТРЕХМЕРНОЕ СЛЕДОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИИ ДЛЯ МАЛОРАЗМЕРНОГО ДИРИЖАБЛЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДА АКАР
Тан Нин, М.С. Селезнева, К.А. Неусыпин, Фу Ли
Предлагается метод трехмерного следования по траектории для малоразмерного дирижабля на основе параметрических описаний траекторий. Желаемые положение, линейные и угловые скорости получаются за счет метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов. Полученная замкнутая система имеет каскадную структуру, состоящую из контура наведения, контура стабилизации ориентации и скорости. Анализирована устойчивость с помощью прямого метода Ляпунова. Результаты моделирования демонстрируют эффективность предлагаемого регулятора.
Ключевые слова: дирижабль, трехмерное следование по траектории, АКАР, каскадная структура, устойчивость по Ляпунову.
Введение. В качестве типичного летательного аппарата легче воздуха, управляемого двигательной установкой и системой рулевого управления, дирижабль рассматривается как важная многоцелевая платформа для различных задач, таких как наблюдение за землей, региональная навигация, телекоммуникации и мониторинг окружающей среды [1, 2]. Для задачи стабилизации дирижабля в [3] используется метод линейного управления. Однако регуляторы на основе линеаризованной модели дирижаблей работают эффективно только вблизи положений равновесия. На основе метода наблюдения за нелинейными возмущениями в [4] предложен регулятор с использованием бэкстеппинга для плоскостного следования траектории для автономного управления дирижаблем. В [5] H и пропорционально-интегральное управление интегрированы в схему управления по траектории для дирижабля AURORA. В [6] разработан адаптивный регулятор следования по траектории в скользящем режиме для дирижабля с параметрическими неопределенностями и неизвестными ветровыми возмущениями. Но несколько существующих работ сосредоточено на следовании траектории только в горизонтальной плоскости, а клапаны надувания и спуска используются для регулировки плавучести дирижабля с целью изменения высоты полета (см., например, [4]). Однако эта схема приведет к увеличению стоимости и снижению грузоподъемности, поэтому она не подходит для таких малоразмерных дирижаблей. Недостатком регулятора на основе бэкстеппинга является условие, при котором, чтобы избежать многократного дифференцирования в системе высшего порядка, нужно ввести какой-то фильтр нижних частот, разрушающий глобальную устойчивость. А в скользящем режиме существуют задержки при переключении управления
Рассмотрим динамическую модель типового дирижабля. Синтезируем трехмерное следование по траектории для малоразмерного дирижабля. Рассмотрим закон векторного управления с помощью метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) и проанализируем устойчивость замкнутой системы.
Математическая модель дирижабля. Динамическое и кинематическое уравнения дирижабля имеют следующий вид [8, 9]:
' X = М-1 (Р + Р, + р),
С 0,„1 (1)
У =
0
3x3
С
3x3 □
ю
X
где
X = [и w V р г д] , 0 = [ф у 0], Р = [
У = \_РТ ©ГI = [[ Уе ze фу 0]
х у
е у е
М
т + т
11
0 0 0 0
-тУо
0
т + т 0 0 0
т26
22
0 0
т + т тУо
т35 0
33
0 0
тУо Р. + т
44
- /
ху
0
0 0
т
35
Р ху
1у + т
55
0
26
—тУо т
0
0
0
Р + т,
66
Р =
( т + т22) wq — ( т + т33) vг + т26 д2 — т35г2 — туОрг — (т + т11 )ид + (т + т33 )vp + т35рг + туО (р2 + д2) (т + т11 )иг — (т + т22) pw — т26 рд — туадг
(у - Р + т55 — тбб ) д^ Рурд + (т26 + т35 ) ( — ^ ) + ^О ( — М,р ) + (т22 — т33 )
( — Р + тб6 — т44 ) рд + Рудг + т26Ъ>р + т35иг + (т33 — т11 ) ^ ((у + т44 — т55 ) рг + Ру (р 2 — г 2 ) - т35^ — т2бид + ^О (VГ — ^ ) + (т11 — т22 )
uw
(5 — О)sin 0 + QU/3 (Сх/ cosа cosР + Су/ sin а — С2/ cosа sin р)
(5 — О)cos0 cosф + QU23 (Сх/ sin а cosР + СуГ cosа + СгГ sin а sin р)
(О — В0sin ф + QU23 (( sin р + С2Г cos р) уОО cos 0 sin ф + QUmxf
QUmyf уОО sin 0 + QUmzf
43
_
Cb =
XA + QU(-Cxu cos a cos p + Cyu sin a - Czu cos a sin p) Ya + QU(Cxu sin a cos p + Cyu cos a + Czu sin a sin p)
Fu = QU(-Cxu sin p + Czu cosp)
lJD
QUmyu + lzXD QU^zu + ^yX A
cos 0 cos у sin у sin ф- sin 0 cos у cos ф sin 0 cos у sin ф + sin у cos ф
sin 0 cos 0 cos ф - cos 0 sin ф
- cos 0 sin у sin 0 sin у cos ф + cos у sin ф cos у cos ф- sin 0 sin у sin ф
Г^1 _
1 - tan 0 cos ф tan 0 sin ф 0 sec 0 cos ф - sec 0 sin ф 0 sin ф cos ф
Здесь [u w v] - линейные скорости дирижабля, выраженные в связанной системе координат; [p r q] - угловые инерционные скорости дирижабля, выраженные в связанной системе координат; P = [xe ye ze ] -местоположение центра объема в географической системе координат дирижабля; 0 = [ф у 0]Г - угол пространственного положения, т.е. угла
Эйлера; М - 6 х 6 - матрица массоинерционных параметров, элементами которой являются масса, моменты инерции, присоединенные массы дирижабля; Fu - 6-мерный вектор управляющих сил и моментов; Fd - 6-
мерный вектор нелинейных элементов динамики дирижабля; Ff - 6-мерный вектор нелинейных элементов внешних сил и моментов, действующих на дирижабль; a = arctan (-w, u); p = arcsin (v/Va); Va = V u2 + w2 + v2
1 2
- воздушная скорость дирижабля; U - объём дирижабля; Q = ^ pVa - динамическое давление; р- воздушная плотность; Ctj, mtj (i = x, y, z; j = f, u)
- аэродинамические коэффициенты; m - масса дирижабля; I (i = x, y, z) -момент инерции; I - произведение момента инерции относительно вертикальной плоскости дирижабля; mij (i, j = 1,- • -,6) - присоединённые массы дирижабля; B - плавучесть; G - сила тяжести; yG - координата центра тяжести дирижабля; ly и lz - абсолютное значение координат места установки двигателя дирижабля; XA - сумма тяги вдоль продольной оси
44
(2)
дирижабля; ХП - разница тяги вдоль продольной оси дирижабля; УА -сумма тяги вдоль вертикальной оси дирижабля; УП - разница тяги вдоль вертикальной оси дирижабля.
Трехмерное следование по траектории. На основе метода АКАР
[10] введём первую совокупность макропеременных в качестве вектора
[11]: у
Р, =[¥1 ¥2 ¥3 ¥4 ¥5 ]Т
= [-Ф1 Ф2 V - Фз р - Ф4 г - Ф5 q - Фб ]Т.
Здесь является разницей вектора X и ф,, г = 1,6, где ф,, г = 1,6 - пока не известные функции, которые понимаются как «команда» внутреннего контура.
Макропеременные, представлены в уравнении (2), должны удовлетворять системе функциональных уравнений
тр, =0, (3)
где Т - диагональная матрица 6-го порядка, которая влияет на качество динамики процессов в замкнутой системе.
Чтобы размерность движения изображающей точки системы (1) понизилась с 12 до 6, нужно декомпозировать систему следующим образом:
хе Уе 2
е
Ф ¥ 0
СЬ 0
3x3
0
с.
3x3 □
ю
Ф1
Ф2
Ф3 Ф4 Ф5 Ф6
(4)
Введём вторую совокупность макропеременных в качестве вектора, чтобы декомпозировать системы (4):
р о = [ ¥7 ¥8 ¥9 ¥10 ¥11 ¥12 ]Т
= [Хе - К Уе - Уе 2е - ^ Ф-Ф^ ¥-¥* В-0*] . (5)
Здесь правый верхний индекс * значит желаемое значение соответствующих переменных, [ ¥7 ¥8 ¥9 ]Т является сигналом рассогласования между желаемым положением и текущим, а [ ¥10 ¥11 ¥12 ]Т является сигналом
рассогласования между желаемой ориентацией и текущей, которые вместе составляют сигнал для контура наведения.
Совокупность введенных макропеременных (5) должна удовлетворять решению системы функциональных уравнений
ТР =0, (6)
о о о ' V /
45
где То - диагональная матрица 6-го порядка, которая также влияет на качество динамики процессов в замкнутой системе.
Подставляя уравнения (4), (5) в (6), найдём фг, г = 1,6 для внутреннего контура:
Ф1 Ф2 Фз
Ф4 Ф5
Фб
(с;) 0
0
3x3
3x3
(с.°)"
с . * л
x
e
-1 . * У e
т Ze* - ¥
1 o ф * o
* V
V е * )
(7)
Подставляя уравнения (2) и (7) в систему функциональных уравнений (3), с учётом динамической модели (1) получим закон управления вида
Fu = M [ф! ф2 ф3 ф4 ф5 фб ] - Щ
Fd~ F
(8)
где
Ф1 Xe
Ф 2 d (с;) 03x3 . * Уе
Ф 3 dt T * Ze
Ф 4 03x3 d (Cí)-1 ф *
Ф 5 dt _ V*
Ф 6 _ V е*
+
+
(C";) 0
0
3x3
3x3
(с)-1
f * * л 1- -1
x x u
e e
* ye * ye w
то * ze * ze V
e + e +
o Ф* Ф* p
* V * V r
V е* е* ) _ q _
(9)
Здесь необходимо ввести важное замечание - заданные желаемые положение и ориентации существуют как производные 2-го порядка, т.е.
Г" * * * i * * Л*Пт ✓—»2
L xe ye ze ф V е J ^с .
Анализ устойчивости. Введём функцию Ляпунова вида
V = 1 ¥т ¥ +—¥т ¥
2 11 2 o o'
Дифференцируя (11) с учётом (3) и (б), получим
V = ¥ Tt ¥ 1 + ^то ¥ о,
(10) (11)
EUmin > 0, где Ämin - минимальное собственное значение матриц T и To, та-
(12)
min
кое что
V <-Ч»п (М2 + IW I2 )<0.
Здесь для произвольного вектора-столбца к, ||к|| = л/ктк .
Для того чтобы предлагаемый регулятор был устойчивым, необходимо и достаточно условие: все диагональные элементы матриц Tt и To являются положительными.
Результаты экспериментальных исследований. В этом разделе в качестве желаемой траектории выбирается спираль для проверки предлагаемого регулятора трехмерного следования по траектории. Длина малоразмерного дирижабля, изучаемого при моделировании, составляет 22,88 м, а его параметры заимствованы из [12]. Желаемая траектория восходящей спирали для моделирования выбирается следующим образом:
[ x* y* z*J = [R sin (ct) 100 +1 R cos (ct )]T, (13)
Vl52 -12
где R = 200 м, c =---, t - время.
R
Соответствующая желаемая ориентация
ф* у* 0*]T
0 ct arcsin
(Х5)
(14)
V-
о го до
so юо
Bps Uñí с
о го ю 60 ео юо
Вреыя/с
С
о го 40 60 во юо
Время/с
Рис. 1. Переходные процессы относительно ориентации
[ф У 0]T
Рис. 2. Переходные процессы относительно воздушной скорости Va
Параметры регулятора выбраны следующем образом: Т = То = 16, где 16 - единичная матрица 6-го порядка. Желаемая скорость задается по траектории V = 15 (м/с). Начальное условие полёта
[Хе (0) Уе (0) 2е (0)]Т = [0 100 200]Т м,
[ф(0) ¥(0) 0(0)]Т =[0 0 0]Т град,
47
т
[и(0) w(0) V(0)]Т =[15 0 0]т м/с,
[р(0) г(0) д(0)]Т =[0 0 0]т рад/с.
На рис. 1 - 6 показаны переходные процессы изменения переменных замкнутой системы.
0 4
рИСО 2
Г
0 20 40 60 80 100
Время/С
О 2
ЦГ/С 1
о
О 20 40
80 100
Время/с
О 20 40
80 100
Время/с
Рис. 3. Переходные процессы относительно угловых
скоростей [p r q]
400
200
2000 F/H о
•2000
О
F /и '-1000
20 40 60
Время/?
L
20 40 60 60 100
Врамя/с
20 40
60 100
Время''г
Рис. 4. Переходные процессы относительно управляющих сил, действующих на дирижабль
4000 2000
Траектория дирижабля
L
V
20 40 60 80 100
Время/с
20 40 €0 60 100
Время/с
О 20 40 60 80 100
Время/с
Рис. 5. Переходные процессы относительно управляющих моментов, действующих на дирижабль
Севером
Рис. 6. Траектория дирижабля: зелёная линия - траектория полёта дирижабля; красный пунктир - заданная траектория
Заключение. Рассмотрена динамическая модель малоразмерного дирижабля. На основе метода АКАР синтезирован закон трехмерного следования по траектории. Проанализирована устойчивость замкнутой системы с помощью функции Ляпунова. Результаты моделирования показали эффективность алгоритма следования по заданной траектории.
Список литературы
1. Khoury G.H., Gillett J.D. Airship Technology. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.
2. Won C.H. Regional navigation system using geosynchronous satellites and stratospheric airships // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 2002. Vol. 38(1). P. 271-278.
3. Research airship 'Lotte' development and operation of controllers for autonomous flight phases / D.A. Wimmer, M. Bildstein, K.H. Well [et al.] // IEEE Int. Conf. Intelligent Robots & Systems. Lausanne, Switzerland. October 2002. P. 55 - 68.
4. Planar path following nonlinear controller design for an autonomous airship / W.X. Zhou, P.F. Zhou, Y.Y. Wang [et al.] // Proc. Inst. Mech. Eng. G, J. Aerosp. Eng. 2019. Vol. 233(5). P. 1879-1899.
5. Azinheira J.-R., Paiva E.-C., Ramos J.-G., S.-S. Bueno. Mission path following for an autonomous unmanned airship // Proc. IEEE Int. Conf. Robot. Automat, San Francisco. 2000. P. 1269 - 1275.
6. Zewei Zheng, Liang Sun. Adaptive Sliding Mode Trajectory Tracking Control of Robotic Airships with Parametric Uncertainty and Wind Disturbance // Journal of the Franklin Institute. 2018. Vol. 355(1). P. 106 - 122.
7. Халил Х.К. Нелинейные системы. М., Ижевск, 2009.
8. Тан Нин. Исследование динамической модели дирижабля // Инженерная физика. 2020. Vol. 169 (1). P. 60-67.
9. Управление воздухоплавательными комплексами: теория и технологии проектировани / В.Х. Пшихопов [и др.]. М.: Физматлит, 2010.
10. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энер-гоатомиздат, 1994.
11. Колесников А.А., Мушенко А.С. Синергетическое управление процессами пространственного движения летательных аппаратов // Авиакосмическое приборостроение. 2004. Vol. 2. P. 38 - 45.
12. Кирилин А.Н. Малоразмерные дирижабли. Конструкция и эксплуатация: учеб. пособие. М.: Изд-во Московского авиационного института, 2003.
Тан Нин, аспирант, ning_bhm@163.com, Россия, Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет),
Селезнева Мария Сергеевна, канд. техн. наук, доцент, m.s.selezneva@mail.ru, Россия, Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет),
Неусыпин Константин Авенирович, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой, neusipin@bmstu.ru, Россия, Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет),
Фу Ли, PhD, профессор, fuli@,buaa.edu.cn, Китайская Народная Республика, Пекин, Пекинский университет авиации и космонавтики
49
THREE-DIMENSIONAL TRAJECTORY TRACKING FOR A SMALL-SIZED AIRSHIP BASED ON THE ACAR METHOD
TangNing, M.S. Selezneva, K.A. Neusypin, Fu Li
In this article, based on parametric descriptions of trajectories, a method of three-dimensional trajectory following for a small-sized airship is proposed. The desired position, linear and angular velocities are obtained by the ACAR method (analytical design of aggregated regulators). The resulting closed system has a cascade structure consisting of a guidance loop, an orientation and velocity stabilization loop. Stability is analyzed using the direct Lyapunov method. The simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed regulator.
Key words: airship; three-dimensional trajectory following; ACAR; cascade structure; Lyapunov stability.
Tang Ning, postgraduate, ning bhm@163.com, Russia, Moscow, Moscow Bauman State Technical University (National Research University),
Selezneva Maria Sergeevna, candidate of technical sciences, docent, m.s.selezneva@mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Bauman State Technical University (National Research University),
Neusypin Konstantin Avenirovich, doctor of technical sciences, professor, head of the chair, neusipin@bmstu.ru, Russia, Moscow, Moscow Bauman State Technical University (National Research University),
Fu Li, PhD, professor, fuli@,buaa.edu.cn, People's Republic of China, Beijing, Beijing University of Aviation and Astronautics
