Трех- и четырехуровневые спиральные фазовые пластинки Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДИФРАКЦИОННАЯ ОПТИКА

ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХУРОВНЕВЫЕ СПИРАЛЬНЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЛАСТИНКИ

Котляр В.В., Ковалев А.А. Институт систем обработки изображений РАН Самарский государственный аэрокосмический университет им. С.П. Королева

Аналитически и численно показано, что вблизи оптической оси или в центре картины дифракции Фраунгофера в области, примерно равной диску Эйри, при дифракции плоской волны на трех- и четырехуровневых спиральных фазовых пластинках (СФП) с треугольной и квадратной апертурами формируется оптический вихрь с топологическим зарядом 1. Составные СФП, набранные из 6 или 4 таких трех- и четырехуровневых СФП, могут формировать оптические вихри с топологическим зарядом 2 и 4.

1 Введение

В последнее время возрос интерес исследователей к оптическим вихрям (optical vortices). Оптический вихрь (ОВ) - это когерентное световое поле, в поперечном сечении которого имеется изолированный ноль (или несколько нулей) интенсивности, а фаза при обходе такой нулевой точки приобретает набег, кратный 2п. Появилось много работ, исследующих распространение оптических вихрей - со-литонов в нелинейных средах [1-4]. В [1] численно исследуются ОВ - солитоны, формирующиеся в нелинейной среде лазерного резонатора. Сингулярные пучки - эллиптиконы, которые описываются функциями Айнса-Гаусса и которые могут быть сформированы в нелокальной нелинейной среде, исследуются в [2]. В [3] экспериментально изучались ОВ с радиальной и азимутальной поляризациями, которые формируются в самофокусирующей среде с керровской нелинейностью. Оптические вихри могут быть сформированы также сложением нескольких волн в нелинейной среде, внутри которой синтезирован спиральный фотонный кристалл [4]. В [5] описывается золотое зеркало - голограмма, которое изготавливалось по технологии лазерного травления с помощью фемтосекундного сапфирового лазера с длинной волны 800 нм и которое использовалось для формирования ОВ из фемтосекундных мощных лазерных импульсов. В [6, 7] с помощью лазерных интерферометров исследовались фазовое распределение [6] и угловой орбитальный момент [7] ОВ, порожденных пучком Лагерра - Гаусса (ЛГ). В [8, 9] описываются новые семейства лазерных пучков, обладающих цилиндрической симметрией и несущих угловой орбитальный момент: круговые частичные пучки [8] и гипергеометрические лазерные пучки [9]. Эти лазерные пучки также являются примерами ОВ. В [10] численно показано, что ОВ, сформированный лазерной модой ЛГ, распространяясь в турбулентной атмосфере (турбулентность выбиралась Колмогоровского типа), сохраняет свой топологический заряд на большом расстоянии: на расстоянии 4 км, если топологический заряд n = 1 и на 2 км, если n = 5 . В [11] описана субапертурная адаптивная оптическая система, которая предназначена для на-

блюдения объектов через турбулентную атмосферу. Каждая субапертура используется для локальной компенсации искажений волнового фронта. Если вместо приемной субапертуры использовать адаптивное зеркало, вносящее локальную фазовую задержку, то можно с помощью небольшого числа субапертурных адаптивных зеркал сформировать ОВ, и передавать с его помощью информацию через турбулентную атмосферу. В [12] исследуются световые поля, сформированные несколькими, разнесенными в пространстве ОВ, каждый из которых создается модой ЛГ. В [13, 14] рассматривалась многоуровневая спиральная фазовая пластинка (СФП), с помощью которой также можно формировать ОВ. Многоуровневая СФП в [14] имела апертуру в виде правильного многоугольника, и было показано, что при любом числе стороно многоугольника вблизи оптической оси будет формироваться ОВ с фазовой сингулярностью (или дислокацией волнового фронта).

В этой работе, продолжая [14], мы на конкретных примерах покажем, как с помощью всего трех-или четырехуровневых СФП, ограниченных правильными треугольником или четырехугольником, можно сформировать ОВ с топологическим зарядом п = 1,2,4 . Кроме того, мы покажем, что ОВ с п = 1 можно сформировать также с помощью трех круглых субапертур, вносящих фазовые задержки 0, 2л/3 и 4п/3 . С помощью таких простых оптических элементов, совмещенных с динамическими адаптивными устройствами [11], можно передавать информацию на большое расстояние, даже в присутствии атмосферной турбулентности [10].

2. Малоуровневые СФП

2.1 Треугольная СФП с тремя уровнями фазы

На рис.1а схематично показана многоуровневая СПФ с аппретурой в виде правильного многоугольника. В [14] приведена формула (уравнение (2) в [14]), которая выражает комплексную амплитуду в плоскости Фурье-спектра как сумму 3Р слагаемых, каждое из которых связано с одной из сторон равных треугольников, на которые разделена вся апертура многоуровневой СФП, ограниченной правильным Р -угольником.

Рис.1 Схема многоуровневой СФП с полиномиальной апертурой (а), интенсивность (б) и фаза (в) картины дифракции Фраунгофера для непрерывной СФП с топологическим зарядом п=6

Приведем здесь эту формулу для удобства:

2жкр2 р=о бш(рр -в^

соб ар соб ар+1

(1)

2бшРэт(рр -в) + созар+1ехр| - созарсозар ехр/ сояар+х

кЯр

где Тр = прр, (рр =( 2ж/Р) р, р = 0, Р -1, ар = рр - ^-в, Р > 3.

На рисунках 1б и 1в для примера показаны интенсивность и фаза картины дифракции Фраунгофера плоской волны на непрерывной СФП (когда Р в (1) стремится к бесконечности) с топологическим зарядом п = 6. Далее мы будем рассматривать СФП с малым числом уровней фазы и ограниченные диафрагмами в виде многоугольников. На рис. 2а показан вид СФП, ограниченной правильным треугольником, площадь которого раз-

Е (р,в) =

делена на три равных треугольника с постоянными фазами 0, 2ж/3 и 4ж/3 . Правильный треугольник можно вписать в окружность радиуса Я . Тогда три вершины треугольника будут иметь полярные координаты (Я, -ж/ 3), (Я, ж/ 3) и

(Я,ж). При Р = 3 для СФП с номером п=1 из формулы (1) можно получить:

Г ь/31 " / ехр (¡в)

8ж V / кр2

ехр

¡кЯр

СОБ(ж/3 -в)

ехр

¡кЯр

СОБ

П+в)

СОБ

П+в)соБ (ж/3 -в)соБ (ж/3 + в) СОБ (ж + в)ш (в-ж/3)п (ж/3 + в)

ехр ¡кЯ рсОБ (ж/ 3 + в)

сОБ (ж/ 3 + в)п (ж+в)п (в- ж 3)

(2)

где (р,в) - полярные координаты Фурье-плоскости,

к - волновое число света, / - фокусное расстояние сферической Фурье-линзы. Из уравнения (2) следует, что при р — 0 вблизи оптической оси сформируется ОВ:

(-3^Ьк2Я3 1

Е (р- о,в)>

рехр (¡в.

2 ■ - . , (3)

48ж/

Выражение (3) можно также получить из уравнения (3) в [14], положив Р=3 и п=1.

На рис. 2б показана рассчитанная интенсивность 11 (р,в) = Е (р,в)|2 в плоскости Фурье-

спектра при дифракции плоской волны на СФП, показанной на рис. 2а. На рис. 2в показана соответствующая фаза светового поля в Фурье-плоскости. Параметры расчета: длина волны Л = 633 нм, Я = 2 мм, / = 150 мм, число отсчетов 512^512. Из рис. 2б, 2в видно, что в центре картины дифракции (на оптической оси) имеется изолированный ноль интенсивности, фаза вблизи которого носит спиральный характер. Также видно, что ОВ имеет площадь, примерно равную диску Эйри с диаметром 1,22/Я (пунктирная окружность на рис. 2в).

а

* х

б

Рис. 2 Дифракция Фраунгофера плоской волны на трехуровневой СФП с треугольной апертурой, разделенной на треугольные субапертуры: фаза ДОЭ (а), интенсивность (б) и фаза (в) света в Фурье-плоскости (пунктиром показан диск Эйри)

2.2 Квадратная СФП с четырьмя уровнями фазы

На рис. 3а показана СФП (п = 1), ограниченная квадратной апертурой, площадь которой разделена на четыре квадратные равные субапертуры с фазами 0 , л/2, ж и 3п/2 . Комплексная амплитуда света в плоскости Фурье-спектра при дифракции плоской волны на СФП (рис. 3а) имеет вид:

E2 (gn)

í sin

ka 2f

-ka

П

sine

-1 sin

kag 2/ ka 2/

sine

kan f

(S-n)

(4)

где sinc(x) = sin (x)/x, (£,,n) - декартовы координаты в Фурье-плоскости, 2a - сторона квадратной апертуры: R = a*J2, R - радиус окружности, в которую вписан квадрат. При £ ^0 и 0 вблизи оптической оси сформируется ОВ и комплексная амплитуда будет пропорциональна выражению:

e2 (s^ o,n о)

-k2 a3

(1-j )(S+ in), (5)

E2 (p^ o,

pexp(i),

(6)

Inf2

или в полярных координатах: "- к2 R3 (1 - i) 442nf2 где £, = pcosd , п = psind .

Кроме изолированного нуля интенсивности в центре картины дифракции имеется множество изолированных нулей, вблизи которых фаза имеет сингулярный (винтовой) характер.

Например, при % = в точках £,п =hfnj(2a), где n = 1,2,3,.... На рис. 3б показана интенсивность картины дифракции Фраунгофера плоской волны на СФП (рис. 3а), а на рис. 3в - фаза картины дифракции. Параметры расчета те же, что и для рис. 2. Несмотря на то, что картина дифракции не обладает круговой симметрией, вблизи ее центра имеется малая область (примерно равная диску Эйри), в которой интенсивность близка к кольцу, а фаза линейно зависит от полярного угла.

к/2 0 к/

п Зк/2

б

Рис. 3 Дифракция Фраунгофера плоской волны на четырехуровневой СФП с квадратной апертурой, разделенной на квадратные субапертуры: фаза ДОЭ (а), интенсивность (б) и фаза (в) света в Фурье-плоскости (пунктиром показан диск Эйри)

На рис. 4а показан другой возможный вариант разделения квадратной апертуры четырехуровневой СФП (п = 1) на четыре одинаковых треугольника с

фазами 0 , п/2, п и 3п/2 . Комплексная амплитуда света в плоскости Фурье-спектра при дифракции плоской волны на СФП (рис. 4а) имеет вид:

а

а

к20 (Щ- П

Е+п Е2 -V2

Е20 (р^ 0,0)',

каЕ | (кал | sinc | —- I ^ | —- I

/ ) I / )

, кап \ I каЕ I-Sinc| —- Icosl

(7)

к2 Я

рехр (00.

(8)

/ ) { /

где Я = а Л. Вблизи оптической оси (Е ^ 0 , П ^ 0) сформируется ОВ и комплексная амплитуда (7) будет пропорциональна выражению:

АЛл/

На рис. 4 показаны рассчитанные интенсивность (б) и фаза (в) картины дифракции Фраунгофера от четырехуровневой СФП (рис. 4а). Видно, что в центре картины дифракции в области, примерно равной диску Эйри с диаметрм 1.22Л,//Я имеет место ОВ с топологическим зарядом 1.

ч \ 0 ч ч ч п/2 \ ф Зтг/2

* # % ч % \ % К \ \ \ \

» х

б

Рис. 4 Дифракция Фраунгофера плоской волны на четырехуровневой СФП с квадратной апертурой, разделенной на треугольные субапертуры: фаза ДОЭ (а), интенсивность (б) и фаза (в) света в Фурье-плоскости (пунктиром показан диск Эйри)

2.3 Составная СФП из трех- и четырехуровневых СФП

Так как рассмотренные ранее малоуровневые СФП имеют апертуру в виде правильного треугольника и квадрата, то с помощью них можно формировать сложные (составные) СФП, присоединяя одну ячейку к другой как в домино. Известно, что с помощью правильных 3-х, 4-х и 6-тиугольников можно без пропусков и наложений заполнить всю плоскость.

В качестве примера на рис. 5 показаны: составная СФП (а), которая получается при объединении четырех квадратных СФП (рис. 4а), повернутых одна относительно другой на ж/2 по часовой стрелке; интенсивность (б) и фаза (в) картины дифракции Фра-унгофера плоской волны на трехуровневой СФП (рис. 5а). Параметры расчета те же, что и на рис. 2 и 3. Из рис. 5 видно, что в центре картины дифракции сформировался ОВ с топологическим зарядом п = 2.

^-7 \ Зтг/2 * » я V 0 * * * , * я/2 » * » . % 5-' * * \ 0 * * Зя/2 V я/2 * * 4 К * ' ч

ь * * Я ' ч * \ * я/2 \''зя/2 * \ * \ * 0 * * « * * \ \ Ч 4 Ч 4 о V я 4 ч 4 Ч

Рис. 5 Четырехуровневая составная СФП (а), состоящая из четырех повернутых относительно друг друга на ж/2 СФП

(рис. 4а); интенсивность (б) и фаза (в) Фурье-спектра

На рис. 6а показана трехуровневая составная СФП, полученная путем объединения шести одинаковых треугольных трехуровневых СФП (рис. 2а) с номерами п = 1. При таком объединении все СФП оказались повернутыми друг относительно друга на ж/3 . На рис. 6б и 6в показаны интенсивность и фаза картины дифракции Фраунгофера при дифракции плоской волны на трехуровневой СФП (рис. 6а). Из рис. 6 видно,

что в центре картины дифракции (на оптической оси) сформировался ОВ с топологическим зарядом п = 2 . Хотя вблизи составной СФП (рис. 6а) образуется ОВ с топологическим зарядом п = 4, в дальней зоне картину дифракции в центре формируют периферийные участки СФП, а как видно из рис. 6а совокупность треугольников, прилежащих к границе апертуры СФП, обладает топологическим зарядом п = 2 .

а

б

а

^ N ^^И

4л/3 * \ >

\ 0 Т271/3. ,2п/3» !

Рис. 6 Трехуровневая составная СФП (а), состоящая из шести треугольных СФП (рис. 2а); интенсивность (б) и фаза (в) в плоскости Фурье-спектра, при дифракции плоской волны на составной трехуровневой СФП (а) (пунктиром показано

светлое кольцо картины дифракции)

На рис. 7а показана такая же составная СФП, но с исключенными внешними областями.

На картине дифракции (рис. 7б) кольцо получается с разрывами, однако при обходе вдоль него фаза меняется на 8п (рис. 7в, область кольца показана пунктирной линией), что соответствует топологическому заряду п = 4 (хотя в центральной части фаза соответствует СФП с п = 2).

3. Трехуровневая СФП, состоящая из трех субапертур ОВ вблизи оптической оси можно сформировать с помощью СФП, состоящей из трех субапертур с постоянными фазами 0 , 2л/3 и 4п/3 .На рис. 8а показана трехуровневая СФП (п = 1), апертура которой состоит из трех круглых субапертур радиуса Я0.

а

в

Рис. 7 Трехуровневая составная СФП (а), состоящая из шести треугольных СФП, как на рис. 6а, но с исключенными внешними областями; интенсивность (б) и фаза (в) в плоскости Фурье-спектра (пунктиром показано светлое кольцо картины дифракции, при обходе которого фаза меняется на 8п )

У к

0 \

1 у * \ * \ # % / »Л / » /

/ # ) 1 2тс/3 / ( \х г » \ .....4я/3 ,

б

Рис. 8 Трехуровневая трехсубапертурная СФП (а); интенсивность (б) и фаза (в) в плоскости Фурье-спектра

а

в

а

Центры трех кругов являются вершинами правильного треугольника со стороной 2Я0.

Комплексная амплитуда света в плоскости Фурье-спектра, которая описывает дифракцию плоской волны на СФП (рис. 8а), имеет вид:

кЯоР^

E3 (р,в) = 2njррj J

ikRp j exp I —— cosí

f

+exp

+exp

f

i2n 3

ikRp (n --—cos I--í

f í6

i4n ikRp (n

-+—— cos I —+ í

3 f í 6

(9)

где Я = 2Я0/-\/з - радиус окружности, в которую вписан треугольник, образованный центрами трех окружностей (рис. 8а).

Вблизи центра картины дифракции (р ^ 0) комплексная амплитуда (9) будет пропорциональна выражению, описывающему ОВ с топологическим зарядом п =1 :

Ез (р^ 0,0) «j f- |pexp (í .

(10)

На рис. 8б и 8в показаны рассчитанные интенсивность и фаза в плоскости Фурье-спектра, которые формируются при дифракции плоской волны на СФП (рис. 8а). Из рис. 8 видно, что вблизи оптической оси в круге диаметром, близким к диаметру диска Эйри, формируется ОВ с п = 1 .

4. Заключение

Рассмотрены трех- и четырехуровневые СФП с апертурами в форме треугольника или квадрата, а также трехуровневая СФП, состоящая из трех круглых субапертур. Для описания дифракции Фраунгофера плоских волн на таких простых ДОЭ получены аналитические выражения. Численно показано, что вблизи оптической оси или в центре картины дифракции Фраунгофера в области, примерно равной диску Эйри, формируется оптический вихрь с топологическим зарядом 1. Также численно показано, что составные СФП, набранные из 6 или 4 таких трех- и четырехуровневых СФП, могут формировать оптические вихри с топологическим зарядом 2 и 4.

Благодарности Работа выполнена при финансовой поддержке

Российско-Американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование»

(грант CRDF RUX0-014-Sa-06), и грантов РФФИ 0807-99007 и 07-07-97600.

Литература

1. Y.J. He, Fusion of necklace-ring patterns into vortex and fundamental solitons in dissipative media,// Y.J. He, H.Z. Wang, B.A. Malomed -Opt. Express 15, No.26, 17502-17508 (2007).

2. S. Lopez-Aguayo, Elliptically modulated self-trapped singular beams in nonlocal nonlinear media: ellipticons, // S. Lopez-Aguayo, J.C. Gutiérrez-Vega,-Opt. Express 15, No.26, 18326-18338 (2007).

3. A.A. Ishaaya, Self-focusing dynamics of polarization vortices in Kerr media,// A.A. Ishaaya, L.T. Vuong, T.D. Grow, A.L. Gaeta, - Opt. Lett. 33, No.1, 13-15 (2008).

4. Bahabad, Generation of Optical Vortex Beams by NonlinearWave Mixing// Bahabad, A. Arie, -Opt. Express 15, No.26, 17619-17624 (2007).

5. J. Strohaberm Ultrashort intense-field optical vortices produced with laser-etched mirrors,// J. Strohaber, T.D. Scarborough, G.J. Uiterwaal, -Appl. Opt. 46, No.36, 8583-8590 (2007).

6. V.G. Denisenko, Mapping phases of singular scalar light fields// V.G. Denisenko, A. Minovich, A.S. Desyatnikov, W. Krolikowski, M.S. Soskin, Y.S. Kivshar, -Opt. Lett. 33, No.1, 89-91 (2008).

7. M. Kolár, Path and phase determination for an interfering photon with orbital angular momentum // M. Kolár, T. Opatrny, G. Kurizki -Opt. Lett. 33, No.1, 67-69 (2008).

8. J.C. Gutiérrez-Vega, "Fractionalization of optical beams: II. Elegant Laguerre-Gaussian modes,"// -Opt. Express 15, No.10, 6300-6313 (2007).

9. V.V. Kotlyar, Family of hypergeometric laser beams, J. // V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, -Opt. Soc. Am. A 25, No.1, 262-270 (2008).

10. G. Gbur, Vortex beam propagation through atmospheric turbulence and topological charge conservation // G. Gbur, R.K. Tyson -J. Opt. Soc. Am. A 25, No.1, 225-230 (2008).

11. M. Aubailly, Imaging with an array of adaptive subaper-tures// M. Aubailly, M.A. Vorontsov, - Opt. Lett. 33, No.1, 10-12 (2008).

12. Y. Izdebskaya, Symmetric array of off-axis singular beams: spiral beams and their critical points// Y. Izdebskaya, V. Shvedov, A. Volyar,- J. Opt. Soc. Am. A 25, No.1, 171-181 (2008).

13. А.А. Ковалев, Дифракция Фраунгофера на многоуровневой (квантованной) спиральной фазовой пластинке// А.А. Ковалев, В.В. Котляр, -Компьютерная оптика, Т.31, №3, С.9-13 (2007).

14. V.V. Kotlyar, Fraunhofer diffraction of the plane wave by the multilevel (quantized) spiral phase plate// V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, - Opt. Lett. 33, No.2, 189191 (2008).