7Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН № 4(114) 2023
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Трассировка больших разветвленных трубопроводных гидравлических сетей высокого ранга оптимальности на динамическом базовом графе
М. Б. Абазоков, В. Ч. Кудаев
Институт прикладной математики и автоматизации -филиал Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук 360000, Россия, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А
Аннотация. В статье представлен метод трассировки больших разветвленных трубопроводных гидравлических сетей высокого ранга оптимальности. Новизна метода состоит в том, что в процессе увеличения ранга оптимизации проектируемых сетей динамически снижается размерность заданного избыточного графа возможных соединений узлов сети друг с другом. При этом избыточный граф возможных соединений узлов сети последующего ранга формируется из сетей предыдущего ранга оптимальности. Метод обеспечивает компьютерное решение задачи трассировки больших сетей, содержащих более ста узлов, седьмого ранга оптимальности. Система предназначена для компьютерного проектирования больших трубопроводных сетей регионального и межрегионального водоснабжения и трубопроводных оросительных сетей.
Ключевые слова: трубопроводная потоковая сеть, компьютерное проектирование, трассировка, динамический граф возможных соединений узлов сети, снижение размерности, увеличение ранга оптимальности
Поступила 26.07.2023, одобрена после рецензирования 03.08.2023, принята к публикации 08.08.2023
Для цитирования. Абазоков М. Б., Кудаев В. Ч. Трассировка больших разветвленных трубопроводных гидравлических сетей высокого ранга оптимальности на динамическом базовом графе // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2023. № 4(114). С. 39-54. Б01: 10.35330/1991-6639-2023-4-114-39-54
Tracing of large branched pipeline hydraulic networks of high optimality rank with graph presentation
M.B. Abazokov, V.Ch. Kudaev
Institute of Applied Mathematics and Automation -branch of Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of Sciences 360000, Russia, Nalchik, 89 A Shortanov street
Abstract. The paper deals with a tracing technique for large branched pipeline hydraulic networks of the high optimality rank. The novelty of the method is that while increasing the optimization rank of the designed networks, the redundant graph of possible connections between nodes is dynamically reduced. In this case, the redundant graph of the follow-up rank is formed from previous networks rank. The method provides a computer solution to the problem of tracing of large networks containing more than one
© Абазоков М. Б., Кудаев В. Ч., 2023
УДК 519.85; 519.17
DOI: 10.35330/1991-6639-2023-4-114-39-54 EDN: DEWOQW
Научная статья
MSC: 90С27; 90С90
Original article
hundred nodes of the seventh optimality rank. The system is developed for large pipeline networks design of regional and interregional pipe distribution network (PDN) for irrigation purpose.
Keywords: pipeline flow network, computer design, tracing, dynamic graph of possible connections of network nodes, dimension reduction, optimality rank increase
Submitted 26.07.2023, approved after reviewing 03.08.2023, accepted for publication 08.08.2023
For citation. Abazokov M.B., Kudaev V.Ch. Tracing of large branched pipeline hydraulic networks of high optimality rank with graph presentation. News of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of RAS. 2023. No. 4(114). Pp. 39-54. DOI: 10.35330/1991-6639-2023-4-114-39-54
1. Постановка задачи синтеза разветвленной потоковой сети Задача синтеза потоковой сети состоит в следующем:
О) = ^ cij(xij)lij ^ min, (1)
ij eD
^ Xij - ^ х]к =в1 Vj *1e В, (2)
хц = Q, (3)
ierj к erj
I
Хц > 0, 4(1,]) Е Б, (4)
где Г (В, Б) - заданный избыточный граф возможных соединений вершин сети; В и Б -множества его вершин и дуг; х^, с^, - искомое значение величины потока, заданные удельная стоимость и длина (¿,-й дуги; Q - заданный поток в сеть; д£ - заданный расход потока в /-м узле сети; Г+ и Г- - множества дуг, входящих и исходящих из узла ].
Функция С1)(х1]) для любой дуги (1,]) Е Б является гладкой и строго вогнутой. Вследствие этого локальный и глобальный экстремумы задачи могут достигаться только в вершинах транспортного многогранника (2-4). Задача является существенно многоэкстремальной.
2. Существующие методы решения и их недостатки
Недостатки существующих методов [1-3] рассмотрены в монографии [4, с. 114-123]. Основной же недостаток состоит в том, что уже при п > 80 (где п - количество узлов сети) существующие методы решения задачи не срабатывают.
Рассмотрим наиболее известные методы решения задачи: метод погружения и метод ветвей и границ.
2.1. Метод погружения
Метод погружения для решения задачи минимизации вогнутой функции на выпуклом многограннике изложен в работе [5]. В работах [1-2] метод модифицирован для решения задачи синтеза потоковой сети с целевой функцией (1) на транспортном многограннике (2-4).
Суть метода состоит в следующем. Из текущей угловой точки выпуклого многогранника ограничений переходим в такую смежную к ней, в которой значение целевой функции меньше, чем в исходной. При достижении угловой точки транспортного многогранника, в которой значение целевой функции меньше, чем в смежных с ней, проводим из этой угловой точки прямые, проходящие по ребрам многогранника ограничений через смежные с
ней точки вне многогранника, и определяем на них точки, в которых целевая функция достигает того же значения, что и в исходной угловой точке локального экстремума. По этим точкам проводится секущая гиперплоскость, отделяющая от многогранника ограничений полученный симплекс, вершиной которого является точка локального экстремума, запоминается значение целевой функции в этой угловой точке. Далее определяется на полученном многограннике следующая точка экстремума и т.д. до тех пор, пока на очередной итерации текущий многогранник не будет целиком погружен в отсекаемую часть. После этого определяется та из отсеченных угловых точек, в которой значение локального экстремума целевой функции минимально.
В монографии [4, с. 131-132] отмечен следующий недостаток метода: «При п = 51 возникали трудности из-за медленной сходимости вычислительного процесса отсечений. Поэтому было предложено осуществлять сдвиг отсекающей гиперплоскости на некоторую величину ^ что привело к труднорешаемой проблеме выбора данной величины: при повышенном значении h пропускаются локальные экстремумы целевой функции, а при малых h процесс оптимизации требует чрезмерного машинного времени».
Метод ветвей и границ, представленный в работе [3], основан на последовательном делении множества допустимых решений с отбрасыванием подмножеств, которые имеют высокую нижнюю оценку минимизируемой функции. Теоретически это обеспечивает получение глобального минимума, но с заданной допустимой погрешностью. В монографии [4] отмечено, что если эта величина мала, то процесс сходится медленно. Добавим, что целевая функция аппроксимируется вогнутой кусочно-линейной функцией с несколькими звеньями, что уже дает значительную погрешность в решении задачи минимизации вогнутой функции на транспортном многограннике. Увеличение же количества звеньев приводит к резкому увеличению времени решения задачи.
Для существенно многоэкстремальных задач большой размерности локальный экстремум не информативен, а глобальный, вообще говоря, недостижим. Поэтому в работах [6-8] было введено и использовано понятие ранга экстремума решения задачи синтеза потоковой сети.
Определение 1. Точкой экстремума Р-го ранга задачи (1-4) назовем такую угловую точку {*£/}..транспортного многогранника (2-4), которая является точкой глобального
минимума на выпуклой линейной комбинации вершин многогранника, достижимых из этой точки.
Как известно, любой точке (вершине) транспортного многогранника соответствует базисное решение. Переведем определение 1 на язык теории сетей.
Определение 2. Р-фрагментом сети назовем замыкаемые любыми Р хордами графа Г (В, й) Р контуров на текущем остовном дереве Т графа Г (В, й).
Теорема (условиеранговой оптимальности для сетевой задачи).
1). Отличные от нуля компоненты потокораспределения сети Р-го ранга вы-
деляют на графе Г (В, й) ориентированное остовное дерево с корнем в источнике сети.
2). Экстремум Р-го ранга является глобальным на выпуклой линейной комбинации вершин транспортного многогранника, имеющих смежность в промежутке [1, Р] к точке экстремума.
2.2. Метод ветвей и границ
3. Ранги экстремумов
3). Для того чтобы решение {xiгде х^ = 0 V(i,j) £ Т, задачи (1-4) было экстремумом Р-го ранга, необходимо и достаточно, чтобы оно было оптимально по всем фрагментам Р-горанга на Т, т.е.
^ ' cij(xij) к] — у' cij(xij) hj, (ч)еФТ}Р (i.j)ED
где [xij}^eD - любое допустимое решение задачи, но такое, что х^ = хi V(i,j) £ Фт,р.
Доказательство теоремы приведено в работе [9].
Условие ранговой оптимальности является конкретизацией системного принципа оптимальности: «Любая часть оптимальной системы оптимальна (при фиксации граничных условий с остальной сетью)».
Метод ранговой оптимизации сетевых систем состоит в сведении оптимизации сети к оптимизации ее фрагментов все более высокого ранга. При этом рассмотрение только связных Р-фрагментов позволяет существенно снизить размерность задачи.
Метод ранговой оптимизации всей потоковой сети представлен в работах [6, 7, 9].
3.1. Суть метода ранговой оптимизации разветвленной потоковой сети
Метод ранговой оптимизации представлен в работах [6-9]. Суть метода состоит в сведении оптимизации сети к оптимизации ее фрагментов все более высокого ранга.
При оптимизации 1-го ранга на очередной итерации выделяется очередная хорда (i,j) и соответствующий ей фрагмент 1-го ранга (контур сети) на Т. Из фрагмента удаляется дуга, встречная хорде. Проведя оптимизацию полученного фрагмента, определяем очередную независимую переменную относительно полученного решения и переходим к оптимизации соответствующего фрагмента. Процесс оптимизации 1-го ранга системы завершается при получении решения, которое не может быть улучшено внесением в оптимизируемое текущее остовное дерево любой из его хорд и соответствующим изменением потоков по образованному при этом контуру.
Далее переходим к оптимизации 2-го ранга. Для этого выделяем на каждой очередной итерации очередную пару хорд и соответствующие им фрагменты 1-го ранга. В том случае, когда эти фрагменты пересекаются, формируем фрагмент 2-го ранга - объединение двух фрагментов 1 -го ранга. Решаем задачу оптимизации фрагмента 2-го ранга и переходим к следующей итерации.
Оптимизация системы прекращается при достижении заданного оптимума Р-го ранга либо заданного времени решения задачи на компьютере. При этом, если фрагменты P-го ранга не пересекаются, то программная система их не рассматривает, т.к. их оптимизация уже была проведена при построении сети (Р-1)-го ранга, что резко снижает размерность задачи синтеза сети. Таким образом, метод ранговой оптимизации сетевых систем состоит в сведении оптимизации сети к оптимизации ее связных фрагментов Р-го ранга.
4. Динамический базовый граф в проектировании потоковых сетей
4.1. Плотный базовый граф
Плотный базовый граф (ПБГ) состоит из 4 вершинных ячеек. Основой алгоритма построения ПБГ является построение ячеек. Каждая ячейка формируется следующим образом:
1. Для каждой текущей вершины i определяется ближайшая к ней вершина j Е В.
2. Для вершин i,j определяется ближайшая к ним вершина к, такая, что
lik + ljk — lip + ljp,Vp ЕВ,р Ф i,j.
3. Определяется ближайшая к вершинам i,j, к вершина г такая, что:
hr + Ijr + Ikr ^ hp + hp + ^крУР e B,p Ф i,j,k.
4. Соединяем вершины ячейки ПБГ дугами.
Ниже на рис. 1 и 2 изображены для наглядности заданные вершины сети и ПБГ. Вершина 0 соответствует источнику сети.
Рис. 1. Вершины потоковой сети Fig. 1. Nodes of the flow network
Рис. 2. ПБГ потоковой сети Fig. 2. Basic dense graph of streaming network
Оценим соотношение времен компьютерного проектирования сети (Р+1)-го и Р-го ран-
rp+i
гов на ПБГ
где к - количество дуг ПБГ, не являющееся ветвями оптимизируемой на
нем сети. Получим:
Т,
р+1
тр 1к
-Р+1
СР
к\Р\(к-Р)\
_=(к-Р)
(Р + 1)\(к-Р-1)\к\ (Р + 1)'
Для ПБГ со 100 вершинами и, значит, примерно с 800 дугами и оптимизируемой на нем 100-вершинной сети со 100 ветвями к = 800 — 100 = 700. Тогда получим
гр4
1 700
Т3
1700
700 - 3
4
= 174,25.
Как следует из проведенных нами экспериментов, Т700 составляет около 4 часов. Тогда получим Т400 = 4* 174,25(час.) = 29 дням.
Отметим следующее:
1. Необходимость использования ПБГ на 1-й фазе оптимального проектирования больших разветвленных потоковых сетей связана с тем, что фактически ПБГ содержит все возможные связи потоками вершин сети друг с другом.
2. Фактическая невозможность использования ПБГ при проектировании больших сетей высокого ранга оптимальности и необходимость перехода при компьютерном проектировании сетей высокого ранга на базовые графы значительно меньшей размерности.
3. Необходимость в силу 1 переноса и коррекции полученных на базовых графах меньшей размерности решений на ПБГ и их коррекции оптимизацией более низкого ранга на ПБГ, что добавляет в РБГ новые перспективные дуги из ПБГ.
к
р
т,
к
к
4.2. Определение разреженного базового графа (РБГ)
и алгоритм его формирования
Пусть задано п остовных деревьев в ПБГ (п > 2) для проектирования сетей высокого ранга оптимальности.
Разреженный базовый граф (РБГ) - это объединение всех п заданных остовных деревьев, т.е. это граф, множество вершин которого равно множеству вершин ПБГ, и множество дуг которого является объединением множеств ветвей всех п деревьев. РБГ является подграфом ПБГ.
Определение РБГ
Пусть задано п деревьев Г1(В,Д1), Г2(В, Д2), ■■■ , ГП(В,ДП), где В - множество вершин, Д£ - множество всех ветвей /-го дерева / = 1 , п. При этом Д1 ^ Д2 ^ ■■■ ^ Дп, т.е. деревья различны по ветвям, но одинаковы по вершинам. РБГ = Г(В,Д), где Д = Д1 и Д2 и - и Дп
Алгоритм формирования РБГ
1. Задаются п остовных деревьев Г1(В, Д1), Г2(В, Д2), —, ГП(В, Дп).
2. Создается пустой граф Г(В, Д).
3. В пустой граф Г(В, Д) копируется дерево Г1(В, Д1).
4.;:= 2.
5. Если } < п, то переходим к пункту 6. Иначе конец алгоритма.
6. Д := Д и Ду
7.} = } + 1 и переходим к пункту 5.
Пример РБГ, составленного из 5 остовных деревьев ПБГ, являющихся 3-оптимальными на ПБГ.
Рис. 3. РБГ из 5 остовных деревьев 3-го ранга оптимальности Fig. 3. Basic spare of 5 spanning trees of the 3rd optimality rank
Рис. 4. Остовные деревья 3-го ранга оптимальности Fig. 4. Spanning trees of the 3rd optimality rank
4.3. Суть метода оптимизации на динамическом базовом графе
Вначале задается N альтернативных начальных остовных деревьев (НОД) на ПБГ. Определяется максимально возможный достижимый за изначально заданное время Т ранг РпТ (далее просто Р) и проводится оптимизация этого ранга каждого НОД на ПБГ.
Поскольку дальнейшая оптимизация более высокого ранга, чем Р, потоковой сети на ПБГ не эффективна (требует существенно большего времени, чем Т), переходим к оптимизации сети на разреженном базовом графе (РБГ), о котором мы говорили ранее.
Запускается цикл, в котором «нужное количество решений» переносятся на РБГ, и проводится оптимизация «соответствующего ранга». Под «нужным количеством решений» подразумевается количество решений на один меньше, чем на предыдущем этапе (в предыдущем цикле), а под «соответствующим рангом» подразумевается ранг на один больше, чем на предыдущем этапе. Другими словами, количество деревьев, из которых формируется РБГ, уменьшается на один, а ранг оптимизации увеличивается на один, т.е. Ртек + Ытек = const, где Ртек - текущий ранг оптимизации, а NTeK - текущее количество деревьев для формирования РБГ.
Нужно учитывать, что
- на каждом этапе берется нужное количество наилучших решений (наименьших по стоимости), полученных на предыдущем этапе,
- после проведения оптимизации на РБГ соответствующего ранга решения переносятся на ПБГ и проводится их оптимизация (Р — 1) ранга (решения соответственно передаются дальше).
Останавливается весь этот процесс (цикл) именно тогда, когда текущее количество деревьев становится равным 1, ибо формирование РБГ из одного дерева не имеет смысла.
Из проведенных экспериментов для множества альтернативных НОД оптимизаций сетей на ПБГ при Т = 12 часов Р = 3,N = 6 получим Р + N = 9.
4.4. Алгоритм оптимизации на динамическом базовом графе
1. Задается N альтернативных начальных остовных деревьев (НОД).
2. Определяется наибольший ранг оптимизации с заданного НОД на ПБГ в течение заданного времени Т - РпТ (в дальнейшем будем писать просто Р).
3. С каждого НОД проводится оптимизация Р-го ранга на ПБГ .
4. Выводятся результаты оптимизации (структура сети, стоимость и значения потоков по ее ветвям). Эти результаты оправляются в пункт 5.1.
5. Переменной / присваиваются все значения от 1 до (Ы — 2) включительно (/ =
1, (N — 2)), и для каждого значения / проводятся следующие операции: 5.1-5.4.
5.1. Из (Ы — ¿) наилучших решений (наименьший по стоимости) формируется РБГ (Р + I — 1)-го ранга (РБГ^-1).
5.2. На графе РБГр+1-1 с решений, полученных в пункте 5.1, проводится оптимизация (Р + ¿)-го ранга. Результаты оптимизации отправляются в пункт 5.3.
5.3. Полученные в пункте 5.2 решения переносятся на ПБГ и проводится их оптимизация (Р — 1)-го ранга.
Заметим, что значение (Р — 1) не зависит от переменной /, т.е. оно неизменно/фиксированно.
5.4. Полученные в пункте 5.3 решения отправляются в пункт 5.1.
4.5. Пример алгоритма для 100-вершинной сети
1. Формирование 6 НОД.
2. Определяется наибольший ранг оптимизации с 6 НОД на ПБГ в течение заданного времени Т (это 3-й ранг).
3. 3-оптимальность на ПБГ.
4. Вывод результатов.
5. Формирование РБГ 5 наилучших решений.
6. Оптимизация 4-го ранга на РБГ.
7. Перенос решений на ПБГ.
8. Оптимизация 2-го ранга на ПБГ.
9. Формирование РБГ 4 наилучших решений.
10. Оптимизация 5-го ранга на РБГ.
11. Перенос решений на ПБГ.
12. Оптимизация 2-го ранга на ПБГ.
13. Формирование РБГ 3 наилучших решений.
14. Оптимизация 6-го ранга на РБГ.
14. Перенос решений на ПБГ.
15. Оптимизация 2-го ранга на ПБГ.
17. Формирование РБГ 2 наилучших решений.
18. Оптимизация 7-го ранга на РБГ.
19. Перенос решений на ПБГ.
20. Оптимизация 2-го ранга на ПБГ.
5. Задача трассировки трубопроводной гидравлической сети
В работе [4] изложены методы оптимального проектирования разветвленных трубопроводных сетей, разработанные в Сибирском энергетическом институте (г. Иркутск) СО РАН. Основу методов составили работы А. П. Меренкова, В. Я. Хасилева и О. А. Некрасовой [10, 11]. В нашей работе [12] задача оптимального проектирования гидравлической
сети разделена на две фазы. На первой фазе решается (представлен метод) задача трассировки сети. В [12] согласованы обе фазы решения задачи синтеза оптимальной трубопроводной гидравлической сети.
В основе метода лежит зависимость стоимости каждой i-й ветви сети от диаметра трубы на ней, стоимостного коэффициента Ъ и гидравлического коэффициента 0 < а < 2:
Cj = а + bdf. (5)
На основе формулы типа Дарси-Вейсбаха ftj = —у- получим
"i
«< = (v) • (6)
Из (5, 6) получим
a M _а / а ОЁ _а\
= a + 7, с^ = ( а + Ьку*/fy y]/j. (7)
Значения гидравлических и стоимостных коэффициентов по трубам из различных материалов представлены в таблице 1 [11, с. 54-55].
Таблица 1. Гидравлические и стоимостные коэффициенты / Table 1. Hydraulic and cost coefficients
Материал труб Коэффициенты
а Р Y к
Сталь 1.4 2 5.3 0.001735
Чугун 1.6 2 5.3 0.001735
Асбестоцемент 1.95 1.85 4.89 0.001180
Пластмасса 1.95 1.774 4.774 0.001052
Общие затраты (капитальные и энергетические) на всю сеть оцениваются функцией
/ Е — \
^(х, Л) = ^ ( Л у + рх^ ) /¿. (8)
Поскольку функция затрат (8) выпуклая и гладкая по h j, то
аД
dF
а rJL а+у
—1 = —Ь^ух/ Л,- у + рх,=0. (9)
у 1 1 ^ 1 к '
Из (9) следует
а+у 1-££
ЛГ~ = ^х£ у. (10)
аЪкУ
Из (10) в свою очередь следует
У а У-а^
Л = (-У+у^Е+7Х. е+у .
1 Чур/ 1
Подставив Л ^ в функцию общих затрат (8) на создание сети, получим
о£ / Е у-а£\ " У Е У-аД
ЪкУх? ((^ Л^х. Е+У ) + рх, (а^)а+У ^х. Е+У ) /, (11)
После ряда преобразований из (11) следует
' " к
Введя обозначения
aß+a
Fi(x) = ( &+Г + ) ^(pk)^li хГ Ii'
( — У а
окончательно получим
Fi(x) = vli xflt'
aß+a
Из таблицы 1 и полученной формулы 5 = рассчитываются значения 5 для гидравлических сетей из любых материалов. Например, для пластмассовых (полиэтиленовых) труб получим 5 = 0,8045.
6. Вычислительный эксперимент
Ниже представлены результаты вычислительного эксперимента на ДБГ.
«Программа для проектирования потоковой сети до 6-го ранга оптимальности на основе прямой и кустовой оптимизации» (свидетельство № 2021680687) была дополнена алгоритмами формирования ДБГ и оптимизацией сетей на нем. Вычислительные эксперименты проводились на этой программе. Проектировались трубопроводные гидравлические сети из полиэтиленовых труб.
6.1. Эксперимент 6-оптимизация на РБГ, сформированном
из 3 остовных деревьев 5-го ранга
Была проведена универсальная невозвратная 6-оптимизация. РБГ был составлен из 3 деревьев со стоимостями 485,876; 492,105; 493,054.
f \ 0,8045
О,\xtj) =
Таблица 2. Дерево 493,054 (потомок дерева «Расческа») / Table 2. Tree 493,054 (descendant of the "Rascheska" tree)
Время проектирования (27 час. 11 мин.)
Таблица 3. Дерево 492,105 (потомок дерева «Змейка») / Table 3. Tree 492,105 (descendant of the "Zmeika" tree)
6-оптимизация Начало Конец
Схема сети 0 Ojump start(492.105y.e.) 76 Ojump firish(485.534y.e.)
M î î V-------- \î î î/......... \î î \/ \î/------ i T/— ' î V ' i î/-- • • î/----- Т/------ j/j J ' i/P " " * J \Î Î Î î M ' ' ' ■"\Î Î î * \î ' • .......' -----\î * i -M *\î \r î i \i \î î \î \î \î .... |
Стоимость 492,105 485,534
Время проектирования (12 час. 50 мин.) 2023,06,09 15:20 2023,06,10 04:10
Таблица 4. Дерево 485,876 (потомок дерева «Диагонали») / Table 4. Tree 485,876 (descendant of the "Diagonali" tree)
6-оптимизация
Начало
Конец
Схема сети
Стоимость
485,876
485,534
Время проектирования (7 час. 30 мин.)_
2023,06,09 15:20
2023,06,09 22:50
Перенос решения на ПБГ и 2-оптимизация Таблица 5. Дерево 485,534 («Расческа») / Table 5. Tree 485,534 ("Rascheska")
6-оптимизация
Начало
Конец
Схема сети
Стоимость
485,534
484,917
Время проектирования (4 мин.)_
2023.06.15 15:21
2023.06.15 15:25
6.2. Эксперимент 7-оптимизация на РБГ, сформированных
из 2 остовных деревьев 6-го ранга Была проведена универсальная невозвратная 7-оптимизация. РБГ был составлен из 2 деревьев со стоимостями 485,876 и 480,441.
Таблица 6. Дерево 485,876 / Table 6. Tree 485,876
I/
/
Таблица 7. Дерево 480,441 / Table 7. Tree 480,441
7-оптимизация Начало Конец
Схема сети 0_0jump_start(480.441y.e.) 0 Ojump start(480.441y.ej
\I V" ! 1 * V* М/Г* ' ' ' Т7~ WV* * * V" • ~ V1V ' f TV VIV * i/--------- V1V 1/----------- ' VW* ' V* XX W\\ • ' ' V...... Vi !/■*"" f 1 * TV Vi/'-' f * I TT*-' Vf/V I f IT ' Vi/ • I/----- Vi/* ; i/'~' • ' ' Vi/' TT---*/--- f * 7/*~'/vv*-' iV www
Стоимость 480,441 480,441
Время проектирования (13 час. 21 мин.) 2023,06,15 12:54 2023,06,16 02:15
6.3. Эксперимент 2-оптимизация на ПБГ Была проведена универсальная невозвратная 2-оптимизация на ПБГ.
Таблица 8. Дерево 565,666 («Елка») / Table 8. Tree 565,666 ("Elka" tree)
2-оптимизация
Начало
Конец
Схема сети
Стоимость
481,418
476,986
Время проектирования (3 мин.)_
2023,05,29 13:50
2023,05,29 13:53
В результате компьютерного проектирования (вычислительного эксперимента) выделено 2 сети наименьшей стоимости и различной структуры. Ниже представлены их структура и стоимость в условных единицах.
Таблица 9. Сети наименьшей стоимости и различной структуры Table 9. Networks of the lowest cost and different structure
476,986
480,758
Ниже в таблице 10 представлена основная числовая информация по оптимальной сети.
Таблица 10. Основная числовая информация по оптимальной сети Table 10. Basic numerical information on the optimal network
Ветви Длина Потоки Стоимость Ветви Длина Потоки Стоимость
сети ветвей по ветвям ветвей сети ветвей по ветвям ветвей
(метр) (литр/с) (в руб.) (метр) (литр/с) (в ру6.)
0 - 1 100 100 196918,6 62 - 72 100 8 25813,59
1 - 2 100 2 8462,628 64 - 74 100 2 8462,628
2 - 3 100 1 4845,446 65 - 75 100 3 11726,45
9 - 10 100 1 4845,446 66 - 76 100 3 11726,45
12 - 13 100 21 56108,42 67 - 77 100 3 11726,45
13 - 14 100 19 51767,95 72 - 82 100 2 8462,628
14 - 15 100 17 47337,03 74 - 84 100 1 4845,446
15 - 16 100 14 40491,77 75 - 85 100 2 8462,628
16 - 17 100 11 33351,06 76 - 86 100 2 8462,628
17 - 18 100 8 25813,59 77 - 87 100 2 8462,628
18 - 19 100 2 8462,628 78 - 88 100 2 8462,628
19 - 20 100 1 4845,446 81 - 91 100 1 4845,446
23 - 24 100 2 8462,628 82 - 92 100 1 4845,446
24 - 25 100 1 4845,446 83 - 93 100 1 4845,446
29 - 30 100 1 4845,446 85 - 95 100 1 4845,446
34 - 35 100 5 17686,37 86 - 96 100 1 4845,446
35 - 36 100 4 14780,08 87 - 97 100 1 4845,446
36 - 37 100 3 11726,45 88 - 98 100 1 4845,446
37 - 38 100 2 8462,628 89 - 99 100 1 4845,446
38 - 39 100 1 4845,446 1 - 12 141,4214 95 267227,3
45 - 46 100 5 17686,37 12 - 23 141,4214 52 164563,3
46 - 47 100 4 14780,08 15 - 26 141,4214 1 6852,495
47 - 48 100 3 11726,45 16 - 27 141,4214 1 6852,495
48 - 49 100 2 8462,628 17 - 28 141,4214 1 6852,495
49 - 50 100 1 4845,446 18 - 29 141,4214 3 16583,7
56 - 57 100 4 14780,08 23 - 34 141,4214 47 151709,3
57 - 58 100 3 11726,45 29 - 40 141,4214 1 6852,495
58 - 59 100 2 8462,628 34 - 45 141,4214 36 122421,4
59 - 60 100 1 4845,446 42 - 53 141,4214 1 6852,495
67 - 68 100 3 11726,45 45 - 56 141,4214 25 91297,44
68 - 69 100 2 8462,628 52 - 63 141,4214 1 6852,495
69 - 70 100 1 4845,446 56 - 67 141,4214 16 63758,04
78 - 79 100 2 8462,628 62 - 73 141,4214 1 6852,495
79 - 80 100 1 4845,446 67 - 78 141,4214 9 40134,18
89 - 90 100 1 4845,446 72 - 83 141,4214 3 16583,7
1 - 11 100 2 8462,628 78 - 89 141,4214 4 20902,19
11 - 21 100 1 4845,446 83 - 94 141,4214 1 6852,495
12 - 22 100 21 56108,42 89 - 100 141,4214 1 6852,495
22 - 32 100 19 51767,95 22 - 31 141,4214 1 6852,495
23 - 33 100 2 8462,628 32 - 41 141,4214 1 6852,495
32 - 42 100 17 47337,03 42 - 51 141,4214 1 6852,495
33 - 43 100 1 4845,446 52 - 61 141,4214 1 6852,495
34 - 44 100 5 17686,37 62 - 71 141,4214 1 6852,495
42 - 52 100 14 40491,77 72 - 81 141,4214 11967,96
44 - 54 100 4 14780,08 13 - 4 141,4214 1 6852,495
45 - 55 100 5 17686,37 14 - 5 141,4214 1 6852,495
52 - 62 100 11 33351,06 15 - 6 141,4214 1 6852,495
54 - 64 100 3 11726,45 16 - 7 141,4214 1 6852,495
55 - 65 100 4 14780,08 17 - 8 141,4214 1 6852,495
56 - 66 100 4 14780,08 18 - 9 141,4214 2 11967,96
Суммарная Итоговая
длина 11284 стоимость
метра сети в руб. 2311211,644
Заключение
1. Разработан метод компьютерного проектирования трассировки потоковых сетей высокого ранга оптимальности. В отличие от существующих методов задача решается не на одном изначально заданном избыточным графе возможных соединений узлов сети друг с другом, а на динамически изменяющемся в ходе оптимизации графе. При этом с ростом ранга оптимальности сети снижается размерность графа.
2. Метод обеспечивает возможность построения сетей до 7-го ранга оптимальности, т.е. любое включение в сформированную сеть от 1 до 7 хорд базового графа и удаление соответствующих дуг сети не приведет к улучшению структуры и снижению стоимости сети. При построении такой сети дистанция по стоимости между сетью P-го и (Р+1)-го ранга резко убывает, что говорит о близости решения к глобальному оптимуму.
3. Метод предназначен для проектирования больших разветвленных трубопроводных сетей регионального и межрегионального водоснабжения, трубопроводных оросительных сетей.
4. Метод обеспечивает возможность компьютерного проектирования не одной, а нескольких сетей равного ранга оптимальности, что важно для проектных организаций т. к. обеспечивает возможность выбора из них наилучшей с точки зрения проектировщиков.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Булатов В. П., Кассинская Л. И. Некоторые методы минимизации вогнутой функции на выпуклом многограннике // В кн. Методы оптимизации и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1987. С. 151-172.
2. Анциферов Е. Г., Ащепков Л. Т., Булатов В. П. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 1. Математическое программирование. Новосибирск: Наука, 1990. 158 с. ISBN 5-02-029658-9.
3. Трубин В. А., Михалевич В. С., Шор Н. З. Оптимизационные задачи производственно-транспортного планирования. Москва: Наука, 1986. 260 с.
4. Меренков А. П., Сеннова Е. В., Сумароков С. В. и др. Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, водо-, нефте- и газоснабжения. Новосибирск: Наука, 1992. 407 с.
5. Туй Х. Вогнутое программирование при линейных ограничениях // Доклады АН СССР. 1964. Т. 159. № 1. С. 32-35.
6. Кудаев В. Ч., Абазоков М. Б. Ранговая оптимизация потоковых сетей // Вестник КРА-УНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 4(24). С. 178-185. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-178-185.
7. Кудаев В. Ч., Абазоков М. Б. Компьютерное проектирование потоковых сетей Р-го ранга оптимальности // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2019. № 6(92). С. 122-131. D0I:10.35330/1991-6639-2019-6-92-122-131.
8. Кудаев В. Ч., Абазоков М. Б. Кустовая оптимизация высокого ранга оптимальности потоковых сетей // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 37. № 4. С. 104-118. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-104-118.
9. Кудаев В. Ч. Ранги экстремумов и структурная оптимизация больших сетевых систем // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2016. № 4(72). С. 15-24.
10. Некрасова О. А., Хасилев В. Я. Оптимальное дерево трубопроводной системы // Экономика и мат. методы. 1970. Т. 4. № 3. С. 427-432.
11. Абрамов Н. Н., Поспелова М. М., Сомов М. А. и др. Расчет водопроводных сетей. Москва: Стройиздат, 1983. 278 с.
12. Абазоков М. Б., Багов М. А., Кудаев В. Ч. Компьютерное проектирование больших трубопроводных сетей высокого ранга оптимальности // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2022. № 4. Т. 22. С. 39-56. DOI: https://doi.org/ 10.47928/1726-9946-2022-22-4-39-56.
REFERENCES
1. Bulatov V.P., Kassinskaya L.I. Some methods for minimizing a concave function on a convex polyhedron. Metody optimizatsii i ikh prilozheniya [Optimization Methods and Applications]. Irkutsk: SEI SO AN USSR, 1987. Pp. 151-172. (In Russian)
2. Antsiferov E.G., Ashchepkov L.T., Bulatov V.P. Metody optimizatsii i ikh prilozheniya. CH. 1. Matematicheskoye programmirovaniye [Methods of optimization and their applications. Part 1. Mathematical programming]. Novosibirsk: Nauka, 1990. 158 p. ISBN 502-029658-9. (In Russian)
3. Trubin V.A., Mikhalevich V.S., Shor N.Z. Optimizatsionnyye zadachi proizvodstvenno-transportnogo planirovaniya [Optimization problems of production and transport planning]. Moscow: Nauka, 1986. 260 p. (In Russian)
4. Merenkov A.P., Sennova E.V., Sumarokov S.V. et al. Matematicheskoye modelirovaniye i optimizatsiya sistem teplo-, vodo-, nefte- i gazosnabzheniya [Mathematical modeling and optimization of heat, water, oil and gas supply systems]. Novosibirsk: Nauka, 1992. 407 p. (In Russian)
5. Tui H. Concave programming under linear constraints. Doklady AN SSSR. 1964. Vol. 159. No. 1. Pp. 32-35. (In Russian)
6. Kudaev V.Ch., Abazokov M.B. Rank optimization of streaming networks. Vestnik KRAUNC. Phys.-Math. Sciences. 2018. No. 4(24). Pp. 178-185. DOI: 10.18454/2079-66412018-24-4-178-185. (In Russian)
7. Kudaev V.Ch., Abazokov M.B. Computer design of flow networks of P-th rank
of optimality. News of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of RAS. 2019. No. 6(92). Pp. 122-131. DOI:10.35330/1991-6639-2019-6-92-122-131. (In Russian)
8. Kudaev V.Ch., Abazokov M.B. Cluster optimization of high-rank optimality of flow networks. Vestnik KRAUNC. Phys.-Math. Sciences. 2021. Vol. 37. No. 4. Pp. 104-118. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-104-118. (In Russian)
9. Kudaev V.Ch. Ranks of extremums and structural optimization of large network systems. News of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of RAS. 2016. No. 4(72). Pp. 15-24. (In Russian)
10. Nekrasova O.A., Khasilev V.Ya. Optimal tree of a pipeline system. Ekonomika i matematicheskiye metody [Economics and Mathematical Methods]. 1970. Vol. 4. No. 3. Pp. 427-432. (In Russian)
11. Abramov N.N., Pospelova M.M., Somov M.A. et al. Raschet vodoprovodnykh setey [Calculation of water supply networks]. Moskow: Stroyizdat, 1983. 278 p. (In Russian)
12. Abazokov M.B., Bagov M.A., Kudaev V.Ch. Computer design of large pipeline networks of high optimality rank. Doklady AMAN. 2022. No. 4. Vol. 22. Pp. 39-56. DOI: https://doi.org/ 10.47928/1726-9946-2022-22-4-39-56. (In Russian)
Информация об авторах
Абазоков Мухаммед Борисович, мл. науч. сотр., Институт прикладной математики и автоматизации - филиал Кабардино-Балкарского научного центра РАН;
360000, Россия, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А;
Abazokov.Mukhammed@yandex.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-6847-403X
Кудаев Валерий Черимович, канд. ф.-м. наук, вед. науч. сотр., Институт прикладной математики и автоматизации - филиал Кабардино-Балкарского научного центра РАН;
360000, Россия, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А;
vchkudaev@mail.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8313-4199
Information about the authors
Abazokov Mukhammed Borisovich, junior researcher, Institute of Applied Mathematics and Automation - branch of Kabardino-Balkarian Scientific Center of the RAS;
360000, Russia, Nalchik, 89 A Shortanov street;
Abazokov.Mukhammed@yandex.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-6847-403X
Kudaev Valery Cherimovich, Ph.D., leading researcher, Institute of Applied Mathematics and Automation - branch of Kabardino-Balkarian Scientific Center of the RAS;
360000, Russia, Nalchik, 89 A Shortanov street;
vchkudaev@mail.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8313-4199
