3Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН № 6 (92) 2019
- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ =
УДК 330.45
В01: 10.35330/1991-6639-2019-6-92-122-131
КОМПЬЮТЕРНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПОТОКОВЫХ СЕТЕЙ
Предложен метод снижения размерности задачи синтеза потоковой сети Р-го ранга оптимальности. Метод основан на построении и использовании в процессе оптимизации цепочки базовых графов (БГ), на которых происходит синтез потоковой сети минимальной стоимости, имеющих различные степени вершин, так, что синтез сети Р-го ранга на плотном базовом графе (ПБГ) заменяется решением задачи синтеза на неплотном БГ (НБГ) с последующей коррекцией полученной сети на ПБГ. Проведен обширный вычислительный эксперимент, показавший эффективность предложенного метода - значения целевой функции (стоимость сети) в задаче синтеза сети Р-го ранга по цепочке базовых графов и непосредственно на ПБГ различаются лишь на доли процента, а время решения задачи на компьютере снижается при этом примерно в 5 раз при построении сети 4-го ранга.
Ключевые слова: потоковая сеть, задача синтеза, экономические параметры, ранг оптимальности сети, снижение размерности задачи, цепочка базовых графов, вычислительный эксперимент.
1. Ранги экстремумов Рассмотрим задачу минимизации вогнутой функции при линейных ограничениях, приведенных к равенствам путем введения вспомогательных переменных:
Задача (1)-(3) существенно многоэкстремальна, т.к. локальный экстремум в ней достигается почти в каждой угловой точке многогранника ограничений (2)-(3), поэтому локальный экстремум не информативен, а глобальный, как правило, недостижим за экономически оправданное время решения задачи на компьютере. В связи с этим в работах [1, 2] было введено понятие и дано определение ранга экстремума для задачи (1)-(3). Суть его состоит в следующем.
В том случае, когда фиксированы (п — т) компонент вектора х = (х1; ...;хп), вопрос об оптимизации не возникает. Напротив, когда ни одна из компонент вектора х не фиксирована и может изменяться в пределах, определяемых системой ограничений (2), (3), решением задачи (1)-(3) является глобальный экстремум. В соответствии с этим ранг экстремума следует определять тем количеством варьируемых переменных, которое не приводит к уменьшению полученного значения целевой функции.
Определение 1. Вектор хР, удовлетворяющий системе (2)-(3), назовем вариацией P-го ранга вектора x, удовлетворяющего системе (2)-(3), если значение каких-либо (п — т — Р) его компонент совпадает со значением этих же компонент вектора х.
P-го РАНГА ОПТИМАЛЬНОСТИ
В.Ч. КУДАЕВ, М.Б. АБАЗОКОВ
Институт информатики и проблем регионального управления -филиал ФГБНУ «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук» 360000, КБР, г. Нальчик, ул. И.Арманд, 37-а E-mail: iipru@rambler.ru
f(x) ^ min, gi(x) = 0, i = 0, ...,m, x E Rn, x>0.
(1) (2) (3)
Определение 2. Вектор х*, удовлетворяющий системе (2)-(3), назовем экстремумом Р-го ранга задачи (1)-(3), если для любой его вариации Р-го ранга хР выполняется неравенство / (х*) < / ( Хр).
Очевидно, что экстремум (п — т)-го ранга является глобальным.
Градация экстремумов позволяет для задач на графах конкретизировать системный принцип оптимальности: «Любая часть оптимальной системы оптимальна (при фиксации граничных условиях с остальной сетью)» путем установления взаимосвязи между рангом экстремума, его нелокальностью и величиной частей графа, оптимизация каждой из которых необходима для получения экстремума заданного ранга.
2. Потоковая сетевая задача с вогнутой целевой функцией Рассмотрим задачу
шЫ, «)
= У)*1ев, = (5)(б)
1ег+ кег] ]ег]
Уц > 0, 4(1,}) е й, (7)
где Г (В; Б) - заданный двухзвенный орграф сети; В и Б - множество его вершин и дуг;
С1¡, - искомое значение величины потока, заданные удельная стоимость и длина (1; ])-й дуги; Q - заданный поток в сеть; д£ - заданный расход потока в -м узле сети. Целевая функция (4) отражает стоимость потока сети, ограничение (5) есть уравнение неразрывности потока, соотношение (6) говорит о том, что узел 1 является источником потока. Функция С1)(у1}) непрерывна, строго вогнута и возрастает, = 0. В связи с сильной
вогнутостью целевой функции экстремумы могут достигаться лишь в угловых точках транспортного многогранника (5)-(7), которым соответствуют остовные деревья заданного графа возможных соединений сети. Задача, как известно, является NP-полной. Для ее нелокального решения предложено несколько методов: в работе [3] - на основе метода погружения и отсечения [4], а в работе В.А. Трубина, В.С. Михалевича, Н.З. Шора [5] - на основе метода ветвей и границ. Но ни одним из методов не решена задача с большим количеством вершин и дуг графа Г(В;0) [6] и тем более на полном графе, содержащем
^ рёбер. В случае, когда каждая пара вершин (1,]) графа Г(В;0) соединена дугами
О-,}}, (], 0, получим п(п — 1). В связи с существенной многоэкстремальностью и большой размерностью задачи (4)-(7) в работах [1],[2] было введено понятие, дано определение ранга экстремума и доказано условие ранговой оптимальности.
3. Схема метода ранговой оптимизации сети Поскольку экстремумы (локальные, глобальные) в задаче (4)-(7) в силу строгой вогнутости целевой функции могут достигаться только в угловых точках многогранника (5)-(7), то переходу из одной угловой точки в смежную ей при поиске Р-оптимальной сети соответствует на языке теории графов внесение в текущее остовное дерево Т некоторой хорды е из Г(В; Б) и удаление инцидентной ей дуги на Т. При этом изменятся потоки только по дугам контура КТ+е, замыкаемого хордой е на дереве Т. Такой контур назовем фрагментом 1-го ранга сети, соответствующим текущему дереву Т. Каждый фрагмент 1-го ранга представляет собой связный подграф графа сети наименьшей размерности, значение переменных которой однозначно определяется значением варьируемой переменной и значениями переменных на его границе. Аналогичным образом строятся фрагменты 2-го и более
высоких рангов, получаемые внесением в дерево Т двух или более хорд. Замыкаемые при этом хордами контуры должны быть связным подграфом графа Г(В;Б), т.к. оптимизация на несвязных фрагментах может быть рассмотрена по отдельности и, следовательно, имеет меньший ранг. Для того чтобы связать определение фрагмента Р-го ранга с сетью Р-го ранга, дадим следующее определение.
Определение 3. Решение задачи (4)-(7) { назовем оптимальным по фрагментам
Р-го ранга сети, если для любого фрагмента Р-го ранга сети Фтр, выделяемого деревом Т на графе Р(В;й), будет выполнено неравенство
1,]'еФТР 1,]'еФТр
где - любое допустимое решение задачи, но такое, что р^] = р^- € Фт,р.
В работах [1], [2] была доказана следующая теорема.
Теорема (условиеранговой оптимальности для сетевой задачи).
1) Отличные от нуля компоненты потокораспределения сети Р-го ранга выделяют на графе Р(В;й) ориентированное остовное дерево с корнем в источнике сети.
2) Экстремум Р-го ранга является глобальным на выпуклой линейной комбинации вершин транспортного многогранника, имеющих смежность в промежутке [1, Р] к точке экстремума.
3) Для того чтобы решение { Р1]}--е[) задачи (4)-(7) было экстремумом Р-го ранга,
необходимо и достаточно, чтобы оно было оптимально по всем фрагментам Р-го ранга сети.
Утверждение 2) устанавливает взаимосвязь между рангом экстремума в задаче и его нелокальнстью. Утверждение 3) является конкретизацией системного принципа оптимальности: «Любая часть оптимальной системы оптимальна (при фиксации граничных условиях с остальной сетью)».
Из условия ранговой оптимальности следует метод динамической декомпозиции сети в процессе решения задачи. Его суть в следующем.
При оптимизации 1-го ранга на очередной итерации выделяется очередная хорда ( / ,]) и соответствующий ей фрагмент 1-го ранга (контур сети). Проведя оптимизацию полученного фрагмента, определяем очередную независимую переменную относительно полученного решения и переходим к оптимизации соответствующего фрагмента. Процесс оптимизации 1 -го ранга системы завершается при получении решения, которое не может быть улучшено внесением любой из хорд полученного остовного дерева (и соответствующей переориентации потоков).
Далее переходим к оптимизации 2-го ранга. Для этого выделяем на каждой очередной итерации очередную пару хорд и соответствующие им фрагменты 1 -го ранга. В том случае, когда эти фрагменты пересекаются, формируем фрагмент 2-го ранга - объединение двух фрагментов 1-го ранга. Решаем задачу оптимизации фрагмента 2-го ранга и переходим к следующей итерации. В том случае, если фрагменты 1 -го ранга не пересекаются, также переходим к следующей итерации, т.к. оптимизация фрагментов 1 -го ранга по отдельности была проведена при оптимизации 1 -го ранга системы.
Аналогичным образом, после проведения оптимизации (Р-1) ранга системы проводим оптимизацию Р-го ранга. Для этого формируем наборы из Р свободных переменных, объединение соответствующих фрагментов 1 -го ранга которых образует связный подграф графа системы, и проводим оптимизацию таких фрагментов. Оптимизация системы прекращается при достижении оптимума Р-го ранга либо заданного времени решения задачи на компьютере.
Таким образом, метод ранговой оптимизации сетевых систем состоит в сведении оптимизации сети к оптимизации ее фрагментов Р-го ранга. Рассмотрение только связных Р-фрагментов позволяет существенно снизить размерность задачи. Дальнейшее снижение размерности может быть достигнуто за счет динамики размерности самого базового графа Г(В; Б), на котором решается задача синтеза Р-оптимальной потоковой сети.
4. Снижение размерности задачи компьютерного проектирования
Р-оптимальной потоковой сети Ключевым моментом при оценке сложности алгоритма оптимизации Р-го ранга являются количество свободных хорд базового графа и ранг оптимизации.
Будем считать, что проверка определения лучшего Р-фрагмента сети проходит за фиксированное время. Тогда количество вариаций, которые нужно сделать, чтобы один раз
к! „
пройти по списку хорд кандидатов на вставку, равно —--, где Р - ранг оптимизации, а
Р. (К Р)-
к - количество хорд (дуги, не входящие в начальное остовное дерево). Для плотного графа, графа с полными ячейками (см. рис. 1 б), к вычисляется по формуле к = т — 2(п — 1), где п - количество вершин базового графа, т - количество всех дуг базового графа.
В связи с экспоненциальным ростом количества операций (переборов) вариантов даже при условии рассмотрения только связных контуров (фрагментов) снизить существенно размерность задачи (количество переборов) при построении Р-оптимальной сети можно только за счет снижения размерности БГ. В данной работе для этого рассматриваем 2 типа БГ (рис. 1).
а)
б)
Рис. 1. Ячейка НБГ (а) и ячейка ПБГ (б)
БГ, имеющий ячейки с меньшим количеством связей, назовем неплотным БГ (НБГ), с большим количеством связей - плотным БГ (ПБГ). Снижение размерности задачи без утраты показателя максимальной минимизации стоимости сети достигается на основе цепочки действий, изображенной на рисунке 2.
Рис. 2. Схема укрупненного алгоритма
При таком строении алгоритма, как показал масштабный ВЭ по компьютерному проектированию сети 4-го ранга, размерность задачи снижается ~ на 1 ранг.
5. Вычислительный эксперимент Проведен обширный вычислительный эксперимент (ВЭ) на идеализированном графе с п = 100, одинаковыми значениями расстояний между смежными вершинами, потреблением потока в вершинах и удельной стоимостью потока с(х) = Vx. Вычисления проводились на ноутбуке с процессором Intel® Core™ i7 3537U.
Результаты оптимизации 4-го ранга на НБГ с начальным решением (остовным деревом «Расческа») и дальнейшая корректировка полученного решения на ПБГ представлены в таблицах 1, 2 и на рисунках 3, 4.
Таблица 1
Оптимизация 1 оптимизация 2 оптимизация 3 оптимизация 4 оптимизация
Стоимость сети до оптимизации 264,111 233,894 233,623 233,623
Количество улучшений 88 2 0 3
Улучшение 30,217 0,271 0 0,058
Время ~ (час:мин:сек) < 0:04:29 < 0:01:02 < 0:06:29 < 2:10:09
Стоимость сети после оптимизации 233,894 233,623 233,623 233,565
Ниже в таблице 2 представлены полученные результаты по коррекции сети 4-го ранга на ПБГ.
Таблица 2
Оптимизация 1 оптимизация 2 оптимизация 3 оптимизация
Стоимость сети до оптимизации 233,565 226,142 226,050
Количество улучшений 9 1 3
Улучшение 7,423 0,092 0,359
Время ~ (час:мин:сек) < 0:00:58 < 0:02:06 < 1:38:40
Стоимость сети после оптимизации 226,142 226,050 225,691
Рис. 3. Процесс построения сети 4-го ранга на НБГ с начального остовного дерева «Расческа»
Далее продолжаем оптимизацию, перенося решение на плотный базовый граф (граф с полными ячейками) и доводим сеть до 3 ранга оптимальности
Рис. 4. Процесс коррекции сети 4-го ранга, полученной на НБГ на ПБГ
На графике представлен ход оптимизации для начального остовного дерева «Расческа». По оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат - стоимость. Серыми линиями показана оптимизация 4-го ранга на НБГ, а черными линиями - оптимизация 3-го ранга на ПБГ.
Рис. 5. График хода оптимизации
Для сравнения с полученным решением был также проведен вычислительный эксперимент компьютерного проектирования сети 4-го ранга непосредственно на ПБГ. При этом было получено решение, остовное дерево и стоимость которого представлены на рисунке 6.
Рис. 6.
Время решения задачи составило ^ = 22 часа 15 минут, а стоимость сети С6 = 225,29. Сравнение этого результата с полученным по схеме укрупненного алгоритма (рис. 2.) (г5 = 4 часа 4 мин., С5 = 225,69):
^ = 5,47
* 100% =
225,69-225,29 225,69
* 100% = 0,17%
показывает эффективность представленного метода снижения размерности задачи. Действительно, время построения сети 4-го ранга снизилось более чем в 5 раз, а стоимость увеличилось лишь на доли процента.
Представим теперь статистику по построению четырех сетей из различных начальных остовных деревьев («Расческа», «Лесенка», «БЕЕ», «Змейка») 3-го ранга оптимальности по двум важнейшим показателям - стоимости сетей и времени компьютерного проектирования. На основе информации по ВЭ, представленной в таблице 1, на рисунке 3, а также в Приложении (см. в таблице 3 и на рисунках 7-9), получим:
1. Среднее значение стоимости сети 3-го ранга на НБГ:
= с1+с2+с3+с4 =235,536. ср 4 '
2. Разброс значений стоимости относительно среднего:
ЛС1 =
Сср С1
С
0,0081,
ср
С
0,0081,
ср
= с^ ^ -0,0081,
3 с » •>
сср
АС4 = Сср-С4 « -0,0081.
4с
сср
Как видно, разброс полученных значений относительно среднего мал. 3. Среднее время компьютерного проектирования сети 3-го ранга на НБГ:
^ ср
11+12+13+ 14 4
11 мин.
6. Приложение
Здесь представлена большая часть информации по проведенному вычислительному эксперименту (ВЭ). Необходимая же информация по проведенному ВЭ, отражающая суть динамического процесса оптимизации сети, представлена в пункте 5 статьи.
5
Таблица 3
«Лесенка» «ГЕЕ» «Змейка»
СО - начальная стоимость 248,928 247,797 671,463
Оптимизация 1 ранга Количество улучшений 52 54 99
Улучшение 15,034 10,161 433,827
Время ~ (час:мин:сек) < 0:02:59 < 0:02:29 < 0:04:49
С1 - стоимость сети 1 ранга 233,894 237,636 237,636
Оптимизация 2 ранга Количество улучшений 2 2 2
Улучшение 0,721 0,187 0,187
Время ~ (час:мин:сек) < 0:01:10 < 0:01:06 < 0:01:01
С2 - стоимость сети 2 ранга 233,623 237,449 237,449
Оптимизация 3 ранга Количество улучшений 0 0 0
Улучшение 0 0 0
Время ~ (час:мин:сек) < 0:04:55 < 0:07:04 < 0:06:53
С3 - стоимость сети 3 ранга 233,623 237,449 237,449
Рис. 7. Процесс оптимизации на НБГ с начального остовного дерева «Лесенка»
2-оптимальное дерево (237,449) 3-оптималыюе дерево (237,449)
2-оптимальное дерево (237,449) 3-0ПТИМальН0е дерево (237,449)
Рис. 9. Процесс оптимизации на НБГ с начального остовного дерева «Змейка»
Заключение
Проведённый обширный вычислительный эксперимент компьютерного проектирования оптимальных по стоимости потоковых сетей большой размерности на динамически изменяющемся базовом графе сети, существенно снижающем размерность задачи построения сети 4-го ранга, показал его эффективность. При этом время построения сети 4-го ранга сократилось более чем в 5 раз в сравнении с непосредственным компьютерным проектированием на ПБГ, а стоимость сети увеличилась лишь на доли процента.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудаев В. Ч. Ранги экстремумов и структурная оптимизация больших сетевых систем // Известия КБНЦ РАН. 2016. № 4(72). С. 15-24.
2. Кудаев В. Ч., Абазоков М.Б. Ранговая оптимизация потоковых сетей // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 4(24). С. 178-185.
3. Булатов В.П., Кассинская Л.И. Некоторые методы минимизации вогнутой функции на выпуклом многограннике // Методы оптимизации и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР. 1987. С. 151-172.
4. Туй Х. Вогнутое программирование при линейных ограничениях // Доклады АН СССР. 1964. Т. 159. № 1. С. 32-35.
5. Трубин В.А., Михалевич В.С., Шор Н.З. Оптимизационные задачи производственно-транспортного планирования. М.: Издательство «Наука», 1986. 260 с.
6. Меренков А.П., Сеннова Е.В., Сумароков С.В. и др. Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, водо-, нефте- и газоснобжения. Новосибирск: Наука, 1992. 407 с.
REFERENCES
1. Kudaev V.Ch. Rangi ekstremumov i strukturnaya optimizatsiya bol'shikh setevykh sistem [Ranks of extrema and structural optimization of large network systems] // News of the KBSC RAS. 2016. No. 4 (72). Рр. 15-24.
2. Kudaev V.Ch., Abazokov M.B. Rangovaya optimizatsiyapotokovykh setey [Rank optimization of streaming networks] // Bulletin of KRAUNC. Phys.-mat. science. 2018. No 4 (24). Pр. 178-185.
3. Bulatov V.P., Kassinskaya L.I. Nekotoryye metody minimizatsii vognutoy funktsii na vypuklom mnogogrannike [Some methods for minimizing a concave function on a convex polyhedron] // Metody optimizatsii i ikh prilozheniya [Optimization Methods and Their Applications]. Irkutsk: SEI SB AS USSR. 1987. Рр.151-172.
4. Tui H. Vognutoye programmirovaniye pri lineynykh ogranicheniyakh [Concave programming under linear constraints] // Doklady AN SSSR. 1964. T. 159. No. 1. Рр. 32-35.
5. Trubin V.A., Mikhalevich V.S., Shor N.Z. Optimizatsionnyye zadachi proizvodstvenno-transportnogo planirovaniya [Optimization problems of production and transport planning] // Publishing House. M.: Science, 1986. 260 p.
6. Merenkov A.P., Sennova E.V., Sumarokov S.V. and other. Matematicheskoye modeliro-vaniye i optimizatsiya sistem teplo-, vodo-, nefte- i gazosnobzheniya [Mathematical modeling and optimization of heat, water, oil and gas supply systems]. Novosibirsk: Nauka, 1992. 407 p.
COMPUTER DESIGN OF STREAM NETWORKS OF P-th OPTIMALITY RANK
V.Ch. KUDAEV, M.B. ABAZOKOV
Institute of Computer Science and Problems of Regional Management -branch of Federal public budgetary scientific establishment "Federal scientific center "Kabardin-Balkar Scientific Center of the Russian Academy of Sciences" 360000, KBR, Nalchik, 37-a, I. Armand St.
E-mail: iipru@rambler.ru
A method for reducing the dimension of the synthesis problem of a stream network of the P-th rank of optimality is proposed. The method is based on the construction and use in the process of optimization of a chain of basic graphs (BG), on which a stream network of minimum cost is synthesized, having various degrees of vertices, so that synthesis of a network of rank R on a dense base graph (DBG) is replaced by the solution of the synthesis problem on a loose BG (LBG) with subsequent correction of the resulting network on the DBG. An extensive computational experiment was carried out, which showed the effectiveness of the proposed method - the value of the objective function (network cost) in the task of synthesizing a network of rank P according to the chain of basic graphs and directly on the DBG differ by only a fraction of a percent, and the time to solve the problem on the computer decreases about 5 times with the construction of a network of 4th rank.
Keywords: stream network, synthesis problem, economic parameters, network optimality rank, task dimensionality reduction, chain of basic graphs, computational experiment.
Работа поступила 03.12.2019 г.
