CC BY
106
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
Карасева Р. Б. Транспортная задача как фундаментальная экономико-математическая модель //Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16237.htm.
ART 16237 УДК 519.86
Карасева Римма Борисовна,
кандидат физико-математических наук, заведующая кафедрой высшей математики ФГБОУ ВО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия», г. Омск karaseva rb@mail.ru
Транспортная задача как фундаментальная экономико-математическая модель
Аннотация. Использование экономико-математических моделей дает большие преимущества перед другими способами нахождения наилучшего решения с экономической точки зрения. Транспортная задача является одной из наиболее часто используемых на предприятиях экономико-математических моделей. В статье показаны принципы построения модели транспортной задачи и выделены ее основные свойства, определяющие наличие оптимального решения. Также проведен анализ основных методов нахождения оптимального решения.
Ключевые слова: транспортная задача, экономико-математические модели, оптимальное решение. Раздел: (04) экономика.
Экономико-математическая модель - это математическая модель, описывающая какой-либо экономический процесс или явление. Математические модели широко применяются, поскольку их создание не требует больших финансовых вложений, но при этом результаты исследования получаются очень быстро. Кроме того, есть возможность экспериментировать с исследуемым экономическим процессом, легко проверить правильность предпосылок и условий поставленной экономической задачи. Все эти особенности математических моделей дают им большие преимущества перед экономическими моделями других видов.
Стоит указать, что вопросы экономико-математического моделирования полезно обсуждать с обучающимися вузов как при изучении экономики, так и при изучении математики и иных математических дисциплин [1-3].
Нахождение баланса между стремлением к чрезмерному упрощению экономического явления, с одной стороны, и излишней его детализацией и усложнением - с другой, особенно важно при построении любой математической модели. Модель экономического явления или процесса, с помощью которой можно получить наиболее рациональное решение, имеет преимущества в дальнейшем использовании. Практическая проверка полученных результатов является самым важным критерием качества созданной модели.
Моделирование экономического явления содержит три важнейших этапа: создание экономико-математической модели, нахождение решения математическими методами, анализ полученного решения на оптимальность и на практическую пригодность.
Признак (критерий), на основании которого затем будут сравниваться различные варианты решения и выбираться среди них лучшее, оптимальное решение, определяют на первом этапе создания модели. В качестве такого критерия могут быть и наибольшая прибыль, и наименьшие издержки производства, и максимальная загрузка оборудования, и наименьшие отходы производства и так далее.
Общего признака успешной деятельности предприятия нет. Процесс производства может быть достаточно полно охарактеризован лишь набором экономических показателей.
ниегп
issn 2304-120X Карасева Р. Б. Транспортная задача как фундаментальная экономико-математическая модель //Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16237.htm.
научно-методический электронный журнал
При построении математической модели выделяют также наиболее важный показатель для решаемой задачи. Этот показатель математически выглядит как целевая функция:
L(x)= XПjxj ^ max;
j=1 j j
где Пj - прибыль, получаемая от производства единицы продукции.
Остальные показатели учитываются в системе ограничений. С математической точки зрения этот набор записывается обычно как система уравнений и неравенств.
В стандартном случае ресурсы, которые нужно оптимально распределить на производство продукции, имеют ограничения по количеству. К ресурсам мы отнесем запасы сырья, трудовые ресурсы, мощность оборудования, имеющиеся деньги и так далее. Указать математически факт ограничения имеющихся материалов для использования на выпуск продукции можно с помощью неравенств. Такие неравенства дают ограничения математической модели:
n
X ajXj < W ,
j=1 j j
где atj - норма расхода i -го вида сырья на производство j -го вида продукции;
Wi - запасы i -го вида ресурса.
Нужно помнить и об условиях выполнения договорных поставок. Их запишем также неравенствами:
dj < xt < Dj, i < n,
где dt и Dt - нижняя и верхняя границы производства продукции i -го вида.
Обратный процесс превращения продукции в сырье не допускается. Это условие записывается неравенствами вида: x. > 0, j = 1,2,...,n.
Все уравнения-ограничения, которыми мы отражаем изучаемый экономический процесс, должны быть непротиворечивыми, то есть обязательно должно быть хоть одно решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям.
Не для каждой экономической задачи нужно создавать свою собственную математическую модель. Существуют типовые модели, к которым приводятся множество реальных задач. Экономико-математическая модель, отражающая схожие экономические процессы, называется фундаментальной экономической моделью. В экономическом анализе, в планировании производством на предприятии, управлении производственными силами в территориальных экономических системах, в экономике страны используются около 100 фундаментальных экономико-математических, информационных моделей [4].
Рассмотрим наиболее часто используемую экономико-математическую модель транспортной задачи.
Цель классической транспортной задачи заключается в том, чтобы найти наиболее выгодный план перевозок однородного или взаимозаменяемого продукта из пунктов отправления в пункты назначения. Другими словами, необходимо свести к минимуму общие затраты на перевозку всего объема груза. При этом желательно использовать все мощности поставщиков и удовлетворить спрос всех потребителей.
Постановка транспортной задачи состоит в том, что в каждом пункте отправления есть груз в известных количествах (например, в т или ед.). В нескольких пунктах
ниегп
issn 2304-120X Карасева Р. Б. Транспортная задача как фундаментальная экономико-математическая модель //Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16237.htm.
научно-методический электронный журнал
потребления ждут этот груз. Потребности в грузе в каждом пункте также известны заранее. По условию задачи заданы расстояния (в км) от каждого поставщика до каждого потребителя или стоимость перевозки одной единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю. Нужно определить, сколько груза и в какие именно пункты потребления следует перевезти от каждого поставщика, с тем чтобы спрос в продукте пунктов назначения был удовлетворен, а общий объем транспортной работы (грузооборот) был минимальным.
Запишем условия транспортной задачи математически. Итак, пусть есть поставщики A1, A2,.., Ai,..., Am готовой продукции и n потребителей B2,..., Bi,..., Bn.
При этом a, - число единиц продукта в i -м пункте отправления, b, - спрос в продукте
i j
j -го пункта потребления, cij - транспортные издержки (деньги или расстояние) на перевозку единицы продукта от i -го поставщика в j -й пункт потребления (показателем с i может быть себестоимость перевозок единицы продукта, расстояние между
1J
пунктами отправления и пунктами назначения, время, затраченное на перевозку единицы продукта от поставщика к потребителю). x - количество единиц продукта, пе-
1J
ревозимое из i -го пункта отправления в j -й пункт потребления. Условие задачи удобно изображать в виде таблицы специального вида.
Элементы с,, называются показателями критерия оптимальности; совокупности
1J
всех x i - распределением поставок; объем продукта, имеющийся у каждого постав-
1J
щика, - его мощностью. Учитывая принятые обозначения, условие полного удовлетворения спроса в продукте всех пунктов потребления можно записать в виде уравнения:
m
X = bj, (j = 1,2,., n). (1)
i = 1
Продукт, имеющийся у поставщиков, должен быть полностью вывезен потребителям. Это условие записывается следующим образом:
n
X Xj = a, (i = 1,2,..., m). (2)
j=1 j
Условие, показывающее, что сумма мощностей поставщиков равна спросу всех пунктов потребления, записывается уравнением:
m n
X ar = X bj. (3)
i =1 j =1
Оптимальный вариант плана поставок, характеризующийся минимальным грузооборотом, можно записать в виде целевой функции вида:
, . m n
L (x) = X X С j xt j ^ min. (4)
i=1J=1
Мощности пунктов отправления и спросов потребителей должны быть неотрицательными:
at > 0; bt > 0. (5)
ниегп
issn 2304-120X Карасева Р. Б. Транспортная задача как фундаментальная экономико-математическая модель //Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16237.htm.
научно-методический электронный журнал
Обратные перевозки от потребителей к поставщикам исключаются, то есть
хч > 0, (/ = 1,2,..., т; ] = 1,2,...,п). (6)
Экономико-математическая модель транспортной задачи, описываемая условиями (1) - (6), называется закрытой.
Если сумма мощностей поставщиков не равна сумме мощностей потребителей, то вместо условия (3) используем условия
т п т п
Xа > Xили Xа < XЪ , (7)
I=1 ] =1 ' /=1 ] =1
а вместо условия (2) используем условие
п
Zxij < a, (; = 1,2,..,т).
J=1 'J
Транспортная задача с условием (7) вместо (3) не является открытой.
При составлении графика перевозок продукта важно не забывать об ограничениях пропускных способностей перевозок. Записать это можно также в виде неравенств:
О < Xli <(J,
где (piJ- - предельное число единиц продукта, перевозимое по коммуникациям A B,, за время, оговоренное в условиях задачи.
1 J
Существуют и другие виды модели транспортной задачи, но все модели можно и, как правило, нужно свести к классической фундаментальной модели с помощью преобразований разного вида.
Транспортные задачи произвольного типа при нахождении решений первоначально преобразуют к закрытым задачам и определяют решение, наилучшее для закрытых задач. После этого находят решение первоначальной задачи. Поэтому необходимо владеть приемами правильного решения именно закрытой классической транспортной задачи. Закрытую задачу (1) - (6) называют также задачей с правильным балансом. Она может быть рассмотрена и решена как задача линейного программирования.
Важно отметить, что для того, чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно выполнение равенства (3).
Всякое неотрицательное решение системы линейных уравнений (1) - (2), определяемое матрицей X = (x^ ), называется планом транспортной задачи. Тот план,
, . т n
который минимизирует целевую функцию L(x)= Z Z cnxn- ^ min, называется
i=1J=1
оптимальным планом транспортной задачи. Этот план является наиболее выгодным с экономической точки зрения. Матрица С = (с^ ) называется матрицей тарифов (издержек или транспортных расходов).
Выделим важнейшие свойства модели транспортной задачи, которые гарантируют, что рекомендованная с точки зрения математики процедура нахождения наилучшего решения приводит к искомому.
1. Если m и n - количество поставщиков и потребителей соответственно, то ранг матрицы коэффициентов при неизвестных системы ограничений (5) - (6) транспортной задачи равен m + n - 1.
2. В транспортной задаче всегда существуют допустимые планы, содержащие не более m + n - 1 положительных элементов.
ниегп
issn 2304-120X Карасева Р. Б. Транспортная задача как фундаментальная экономико-математическая модель //Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16237.htm.
научно-методический электронный журнал
3. Транспортная задача всегда имеет оптимальный план.
4. Если в транспортной задаче все числа а\, Ь целые, то она имеет оптимальный целочисленный план.
Решение (план перевозок) назовем допустимым, если оно удовлетворяет системе ограничений (5) - (6), и опорным, если в нем отличны от нуля не более т + п -1 базисных переменных, остальные равны нулю.
При решении закрытых задач придерживаются следующего порядка действий: 1. Условия задачи заносят в специальную таблицу:
Bj Ai Bi B2 ... Bn Запасы поставщиков
Ai С11 Cl2 Cin ai
A2 С 21 C22 C2n a2
An Cmi Cm2 Cmn am
Потребности потребителей b b bn —
2. Находим первоначальный план поставок.
3. Проводим проверку первоначального плана на оптимальности. Если он не является оптимальным, то преобразуем его специальными методами. При этом последовательно переходим от одного плана к другому, уменьшая при этом суммарную стоимость перевозок.
Классическая транспортная задача решается симплекс-методом, но для задач небольшой размерности часто проще и быстрее получить решение задачи иными способами. Укажем основные методы решения транспортной задачи.
1. Итерационное улучшение плана перевозок: требуется построить опорный план и последовательными итерациями получить оптимальное решение. Опорный план находят методами «северо-западного угла», «наименьшего элемента», «двойного предпочтения», «аппроксимаций Фогеля». После нахождения опорного плана нужно применить один из алгоритмов его улучшения: «метод падающего камня», «метод потенциалов».
2. Можно искать решение задачи с помощью теории графов. Рассматривается двудольный граф, у которого пункты производства находятся в верхней доле, а пункты потребления - в нижней. Пункты производства и потребления попарно соединяются ребрами, пропускная способность которых равна бесконечности. На каждом ребре указывается стоимости перевозки единицы потока. К верхней доле искусственно присоединяется исток. Пропускная возможность ребер от истока до пунктов производства считается равной наличному запасу продукта в этих пунктах. При этом цена за единицу потока на этих ребрах равна нулю. Также к нижней доле присоединяется сток. Пропускная способность от потребителей к стоку равна потребности в продукте в этих пунктах. Цена за единицу потока равна нулю. Далее решается задача нахождения максимального потока минимальной стоимости. При решении этой задачи удобно использовать алгоритм Беллмана - Форда.
Отметим, что рассмотренная задача может быть введена в процесс обучения студентов вузов как задача исследовательского характера для повышения уровня математической компетенции обучающихся [5-7].
Ссылки на источники
1. Карасева Р. Б. Тенденции современного математического образования // Актуальные проблемы преподавания математики в техническом вузе. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2015. - № 3. - С. 45-47.
ISSN 2Э04-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
Карасева Р. Б. Транспортная задача как фундаментальная экономико-математическая модель //Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16237.htm.
2. Карасева Р. Б. Математика в системе образования // Гуманитарные и социально-экономические проблемы развития современного общества: сб. науч. тр. (Посвящается 85-летию СибАДИ); под общ. ред. В. П. Плосконосовой. - Омск, 2015. - С. 123-127.
3. Карасева Р. Б. Высшее образование и наука // Развитие дорожно-транспортного и строительного комплексов и освоение стратегически важных территорий Сибири и Арктики: вклад науки: материалы междунар. науч.-практ. конф. Кн. 3. - Омск, 2014. - С. 179-181.
4. Маркин Ю. П. Экономический анализ: учеб. пособие. - 3-е изд., стер. - М.: Изд-во «Омега-Л», 2011.
- С.119-165.
5. Карасева Р. Б. Оценка компетенций выпускника вуза // Вестник СибАДИ. -Омск, 2015. - Вып. 1(41).
- C.137-141.
6. Карасева Р. Б. Повышение уровня математической компетентности студента при введении в процесс обучения задач исследовательского характера // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 3 (март). - С. 16-20. - URL: http://e-koncept.ru/2016/16042.htm.
7. Карасева Р. Б. Оптимальное распределение инвестиций по объектам вложения методами динамического программирования // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. -№ 7 (июль). - С. 62-67. - URL: http://e-koncept.ru/2016/16141.htm.
Rimma Karaseva,
Candidate of Physical-Mathematical Sciences, head of the chair of Higher Mathematics,, Siberian State Automobile and Highway Academy, Omsk karaseva rb@mail.ru
Transportation problem as a fundamental mathematical model
Abstract. Using econometric models gives big advantages over other ways of finding the best solution from an economic point of view. Transportation problem is one of the most commonly used at the enterprises of economic and mathematical models. The paper shows principles of construction of model of the transportation problem and identifies its OS-basic properties that determine an optimal solution. Also the analysis of the main methods for finding optimal solutions is made.
Key words: transportation problem, mathematical model, analysis, main methods for finding optimal solutions. References
1. Karaseva, R. B. (2015). "Tendencii sovremennogo matematicheskogo obrazovanija", Aktual'nye prob-lemy prepodavanija matematiki v tehnicheskom vuze, lzd-vo OmGTU, Omsk, № 3, pp. 45-47 (in Russian).
2. Karaseva, R. B. (2015). "Matematika v sisteme obrazovanija", in Ploskonosova, V. P. (ed.). Gumanitarnye i social'no-jekonomicheskie problemy razvitija sovremennogo obshhestva: sb. nauch. tr. (Posvjashhaetsja 85-letiju SibADI), Omsk, pp. 123-127 (in Russian).
3. Karaseva, R. B. (2014). "Vysshee obrazovanie i nauka", in Razvitie dorozhno-transportnogo i stroitel'nogo kompleksov i osvoenie strategicheski vazhnyh territorij Sibiri i Arktiki: vklad nauki: materialy mezhdunar. nauch.-prakt. konf. Kn. 3, Omsk, pp. 179-181 (in Russian).
4. Markin, Ju. P. (2011). Jekonomicheskijanaliz: ucheb. posobie, 3-e izd., ster., lzd-vo "Omega-L", Moscow, pp. 119-165 (in Russian).
5. Karaseva, R. B. (2015). "Ocenka kompetencij vypusknika vuza", Vestnik SibADI, Omsk, vyp. 1(41), pp. 137-141 (in Russian).
6. Karaseva, R. B. (2016). "Povyshenie urovnja matematicheskoj kompetentnosti studenta pri vvedenii v process obuchenija zadach issledovatel'skogo haraktera", Nauchno-metodicheskij jelektronnyj zhurnal "Koncept", № 3 (mart), pp. 16-20. Available at: http://e-koncept.ru/2016/16042.htm (in Russian).
7. Karaseva, R. B. (2016). "Optimal'noe raspredelenie investicij po ob#ektam vlozhenija metodami dinamich-eskogo programmirovanija", Nauchno-metodicheskij jelektronnyj zhurnal "Koncept", № 7 (ijul'), pp. 6267. Available at: http://e-koncept.ru/2016/16141.htm (in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
Поступила в редакцию Received 04.09.16 Получена положительная рецензия Received a positive review 05.09.16
Принята к публикации Accepted for publication 05.09.16 Опубликована Published 30.11.16
© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2016 © Карасева Р. Б., 2016
www.e-koncept.ru
