Траекторно-волновое движение объекта в Центральном поле сил Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТРАЕКТОРНО-ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ОБЪЕКТА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ

© Валишин Н.Т.*

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева, г. Казань

Исходя из метода У-функции траекторное движение объекта сопряжено с волновым движением. Исследуются свойства волновой природы движения объекта (электрона) в водородоподобном атоме. Показывается способ нахождения конечного решения стационарного волнового уравнения. Рассматриваются сферически симметричные и сферически несимметричные решения. Решение ищется при помощи степенного ряда и численно. Проводится сопоставление с результатами, полученными Шредингером и Бором для водородоподобного атома.

Ключевые слова вариационный принцип, волновая функция, волновое уравнение, волновое движение, траекторное движение, водоро-доподобный атом.

Разработан метод У-функции [1-3], который состоит из локального вариационного принципа (ЛВП) с базовыми теоремами и новой постановки прямой и обратной задачи динамики. Из формулировки локального вариационного принципа (ЛВП) и новой постановки прямой и обратной задачи динамики следует, что траекторное движение объекта, которое описывается системой дифференциальных уравнений

х = / (х) (1)

где х(0 = (хь х2, ..., хп)т- вектор фазовых координат, х е Я", сопряжено волновым движением, удовлетворяющим уравнению

д2У т

—у - хтЖх = 0, Ж =

дг2

д2 У (х, Г)

дх— дxj

(2)

где У(х, 0 - однозначная, конечная, кусочно-непрерывная функция (V-функция) (х е Я", / е Т), дополненные соотношениями для волны и траектории объекта

V (х, Г ) ^ = V (х,0) = 0 (3)

У (х 01 х^ = У (Хм, 0 = 0 (4)

х=хМ 2 ' х=хм (5)

* Доцент кафедры Специальной математики, кандидат физико-математических наук, доцент.

fV = ^ (6)

dé. —

К тому же, если выполняется условие [4] i = х. —— (i, j = 1,3), тогда

j de.

уравнение (2) приводится к виду:

d2V

dt2

-32V2V = 0 (7)

Рассмотрим движение объекта (частицы) в 3-х мерном потенциальном поле сил в декартовой системе координат. Пусть траекторные уравнения объекта (частицы) (1) допускают первый интеграл движения в виде закона сохранения энергии частицы, т.е.

т(Х2 + у 2 + ^ + и (х, у, 2) = Е (8)

где т - масса частицы;

Е - полная энергия частицы; и - потенциальная энергия частицы.

Тогда движение объекта (частицы) полностью описывается следующей системой уравнений (8) и (7):

\т32 ТТ - + и = Е,

2

2 (9)

>V , , S2V2V = 0.

L dt2

Пусть движение объекта происходит в поле кулоновской силы, тогда в (9) второе уравнение с учетом первого примет вид:

dV 2 ( E + Ze2l r )

- -i-'-L AV = 0 (10)

dt2 m

4 d2 d2 d2 где A = —j +--j +--- - оператор Лапласа;

dx dy dz

m - масса объекта (частицы); E - полная энергия объекта (частицы);

U(r) = -Ze2 / r - потенциальная энергия водородоподобного атома.

Применив метод разделения переменных к уравнению (10) (V = X(x, y, z)T(t)), получим следующее стационарное уравнение

-Д02 + CX = 0, (11)

л2 2E 2 Ze2

где До =--, а=-•

m m

В уравнении (11) перейдем к сферической системе координат

X + a2X = 0 (12)

До + r )\r2 dr {' dr j + r 2sinede{ ^ двГ r2 sin2 в дфф

1 д f 2 д ) 1 дГ J) 1 д2 w2 где ——I r2— l + —--1 sine— | + —----- = V2 - оператор

r2 дт \ дт) r sin в дв\ дв ) r2 sin2 в дф2

Лапласа в сферической системе координат.

Применяя также метод разделения переменных (X = RФ©), получим следующие уравнения:

d 2Ф

dp

+ к/Ф = 0,

1 d f . ad&) к12 --1 Sine---= const = -l (l +1),

© sine de{ de) sin2 в (13)

d f 2 dR ) r 2с2

г -1 +-Я -1(I + 1)Я = 0.

dr ^ dr ) а2 . а

-ро

г

Решения первых двух уравнений в (13) известны, интерес представляет третье уравнение. Если в нем сделать замену Я = и / г, то получим

d 2u f к0 & j 2 1(1 +1)

л

dr2 \а-Дг r2

u = 0 (14)

, 2 со2 со2 m где ко =sr~--

Р2 2Е

Полученное уравнение (14) при I = 0 решается с помощью степенного ряда. Учитывая асимптотическое решение уравнения (14) (г ^ да), запишем его общее решение в виде и = с1и- (г) + с2и+ (г) = е'к°г/- (г) + ек°г/+ (г). Подставив его в (14) при I = 0, получим следующие уравнения:

" ' Р

/± (г) ± 2к/±_ (г) + Р /± (г) = 0 (15)

где Д = к20а / Д2 =12в2ю2те /Е2.

Решение уравнения (15) будем искать в виде следующего степенного ряда / (г) = ^ш=0 (г0 - г)т . Уравнение (15) после данной подстановки принимает вид

да

£[(и + 1)^1 + + ДО^о - гГ = 0 (16)

да

r(n -

n=0

„(±)

Отсюда следует, что а0 = 0, а коэффициенты a n+i удовлетворяют рекуррентному соотношению

a+1 & (17)

(n + l)n

Ряд f+ (r) = a<m+) (r0 - r)m обрывается, т.е. a(+)m = 0 при m > n + 1,при условии Д = 2k0n, что приводит к следующему решению

u+n (r) = С exp {V>zm=i fan - r)m (18)

где С - постоянная.

Из равенства Д = 2k0n, которое приводится к виду E3 ¡о2 = -1 Z2eAme / n2,

8

с учетом связи частоты и энергии 2E = То, вытекающего из оптико-механической аналогии [1-3], находим значение энергии n-го состояния электрона

En =- ^ Л (19)

2T n

Отметим, что энергия n-го состояния в точности совпадает с решением, полученным в модели Бора [5] или на основе стационарного уравнения Шре-дингера [6].

Для нахождения второго линейно-независимого решения уравнения второго порядка, спадающего экспоненциально с расстоянием u- n(r ^ да) ~ exp{-konr}, используем формулу Лиувилля, которое для уравнения (14) при

l = 0 принимает вид и_ (г) = Cu+ (r) Г-1—-dr и с учетом решения (18) по-

J (u+ (r))

лучим решение, т.е.

Так как уравнение (14) при l Ф 0 удовлетворяет тем же значениям энергии как и при l = 0, то мы можем построить решения (14) исходя из решения данного уравнения при l = 0 для соответствующих значений энергии. Такие решения находились численно.

Таким образом, при моделировании движения объекта (электрона) в ку-лоновском поле, метод F-функции позволяет установить правило квантования энергии водородоподобного атома, которое полностью совпадает с классическими результатами Шредингера и Бора. Также данные исследования тесно соприкасаются с исследованиями Б.Н. Родимова [7]. При этом дискретность энергии возникает из удовлетворения условий, вытекающих из метода F-функции. В данном подходе стационарное поведение электрона на n-й устойчивом состоянии описывается волной Rn, спадающая экспоненциально к нулю при r ^ ж и амплитуда которой переходит через нуль на сфере с радиусом Бора ron, что означает существование траектории электрона на сфере данного радиуса.

Отметим, что в настоящей работе используется подход к познанию природы электрона и её проявлений, исходя не из возможностей существующих методов измерения, а из признания его единой физической природы, которая содержит в себе без противоречий свою волновую сущность и корпускулярный (траекторный) способ существования.

Список литературы:

1. Валишин Н.Т. Метод V-функции: к моделированию движения квантового объекта // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. - 2010. - № 3. - С. 128-136.

2. Валишин Н.Т. Валишин Ф.Т., Моисеев С.А. Траекторно-волновой подход к динамике электрона в атоме водорода // Бутлеровские сообщения. -2011. - Т. 25, № 5. - С. 1-12.

3. Valishin N.T. A Method of V-Function and the Problems of Trajectory-Wave Dynamics // World Applied Sciences Journal. - 2013. - № 24 (7). - Р. 937-943.

4. Валишин Н.Т. Метод V-функции к освоению волновых измерений в математическом моделировании // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2005. -№ 1. - С. 26-28.

5. Bohr N. On the constitution of atoms and molecules // Philosophical Magazine. - 1913. - V 26. - Р. 1-25, 476-502, 857-875.

6. Schrödinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem (I Mitt) Annalen der Physik. - 1926. - Bd 79. - S. 361-376; (II Mitt) - Ibid. - S. 489-527; (III Mitt) -Ibid. - Bd. 80. - S. 437-490; (4 Mitt) - Ibid. - Bd 81.

7. Родимов Б.Н. Автоколебательная квантовая механика. Физико-математическое наследие: физика (квантовая механика). - М., 2010. - 416 с.