Метод V-функции: решение прямой и обатной задачи динамики в новой постановке для гармонического осциллятора Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

МЕТОД У-ФУНКЦИИ: РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОБАТНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ В НОВОЙ ПОСТАНОВКЕ ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО _ОСЦИЛЛЯТОРА_

Валишин Н. Т.,

к.ф-м.н., доц. каф.спец.математики КНИТУ-КАИ

Ковалевский И.В, студент 4 курса ФМФ КНИТУ-КАИ Ибрагимов И. С.,

студент 3 курса ФМФ КНИТУ-КАИ

Аннотация.

На базе метода К-функции исследуются свойства волновой природы движения объекта гармонического осциллятора. Из метода У-функции следует, волновое движение объекта неразрывно связано с его траекторным движением. Метод У-функции состоит из локального вариационного принципа и новой постановки прямой и обратной задачи динамики. Получены правила квантования энергии гармонического осциллятора. Получено конечное решение стационарного волнового уравнения. Проводится сопоставление с результатами, полученными Шредингером для гармонического осциллятора.

Ключевые слова: вариационный принцип, гармонический осциллятор, волновое движение, тра-екторное движение, волновая функция, волновое уравнение.

Введение

Как известно, в квантовой механике заложен дуализм волны и частицы. Так, квантовый объект в одних экспериментах проявляет себя как частица, а в других экспериментах как волна. И этот дуализм закрепляется в квантовой механике принципом неопределенности Гейзенберга [1].

В настоящей работе мы предлагаем новый подход, который основывается на корпускулярно-вол-новом монизме к объяснению природы квантового объекта. Нами предложено описание физической реальности, где траекторное движение объекта неразрывно связано с его волновым движением. При этом принимается, что движение частицы определяется физической волной У(хД), а наличие траекторий частицы показывают факт существования частицы. Следует отметить, что классический подход [2], который используется при построении квантовой механики основан на описании реальности с помощью только наблюдаемых в эксперименте величин. Разрабатываемая нами теория опирается на концепцию процесса-состояния, которая вводится для описания сущности и способа существования электрона. Данная концепция исходно формулируется на базе стратегии динамизма [3], где движение (процесс) есть сущность реальности, а траектория (состояние) есть способ существования реальности. Концепция процесса-состояния позволила сформулировать локальный вариационный принцип и осуществить новую постановку прямой и обратной задачи динамики [4-8], которые являются составными частями метода У-функции.

Метод У-функции

Введем х(г) = (х,х2,...,хи)Т - вектор фазовых координат, X е К , где К - «-мерное евклидово пространство и время г еТ . Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

* = / (X) (1)

Будем считать, что система уравнений (1), описывающая траекторное движение объекта, задает состояние рассматриваемого объекта.

Введем также функцию У=У(х,() (X е К ,

г еТ), которую будем называть волновой функцией или У-функцией и ее быстроту (скорость) изменения

жу дг дУТ _ — -—+— 8

& д? дх

с учетом (1).

Рассмотрим изохронную вариацию быстроты изменения волновой функции

(2)

г &у ЛГдУ >|

^ & ) Удг )

+ 8

ГдУТ

дх

8

где

8

8

^ дУ Л _ д

Кдг ) = д

ГдУТ л

дх

8

д/УТ

8У =

дУ дх

дх

8 +

дУТ дх

88

8х;

8/ =8 8х дх

Вариация быстроты (скорости) изменения волновой функции переводит объект из некоторого состояния в новое состояние. Такой переход будем

называть волновым переходом объекта в новое состояние. Величина ЗУ определяет возможный волновой переход из исходного состояния в новое состояние. Величина Зх задает вариации по траектории.

Приведем формулировку локального вариационного принципа (ЛВП):

Из всех возможных переходов в новое состояние осуществляется тот, при котором в каждый момент времени быстрота изменения волновой функции У(х,1) принимает стационарное значение

S

С dV

= 0

(3)

V с1г

Рассмотрим полную вариацию от скорости изменения волновой функции:

= S d

Д1 A + d Сdv dt

dV dt

d

At, (At = dt)

(4)

где

d*V(X, t) n dV(X, t)

dt2

- z

i ,j = 1

ддХддХ,

1 J

f ( X)fj ( X) =z

& V &

_ д т (х А дt дх А

Пусть волновая функция (К-функция) есть однозначная, конечная, кусочно-непревырная функция, удовлетворяющая уравнению:

дУ(х, t) (х)

i=1

dX;

dt

(5)

(х) — компоненты «-мерной вектор-функции правых частей уравнений движения объекта (1).

Теорема I

Для перехода в новое состояние необходимо и достаточно существование ^-функции, удовлетворяющей условию:

Ыу л

A

V dt

= 0.

(6)

Теорема II.

Движение объекта (1) происходит так, что в каждый момент времени вектор фазовой скорости сонаправлен с градиентом волновой функции т.е.

т

dVT dX

f = И X\

(7)

Выводом из теоремы II является то, что движением объекта управляет волна, как в концепции волна-пилот Луи де Бройля [9].

На базе локального вариационного принципа введем новую постановку прямой и обратной задачи динамики.

Прямая задача динамики на базе методаV-функции ставится так:

По заданным дифференциальным уравнениям, описывающим траекторию движения объекта (1), требуется определить волновую функцию У(х,0, которая удовлетворяет уравнению (5)

Краевые условия для уравнения (5) получаются из условия связанности волнового движения объекта с его траекторным движением и из теорем I, II. Условия связанности волны и траектории задают начальное условие для волновой функции:

V (х, г )|/=0 = V (х,0) = 0 (8)

и граничное условие для волновой функции:

V (х, г )| х=0 = V (0, г) = 0 (9)

Два других условия вытекают из теорем I и II. Из теоремы I

^ dt )

d_

dt

dk

Sx

+

d_

dt

dV + dV ddt ddx

t л x

dt = 0

(10)

с учетом,

dVT .

X = const . (11)

dX

получаем соотношение:

Из соотношения (12) следует:

d (dV) = о (,2>

dt V dt J

dV

- = const

dt

В результате второе начальное условие для уравнения (5) получается в виде:

dV (x, t)

dt

Из теоремы II вытекает равенство:

t=о dt

(13)

dV (x ,0)

v = const (14)

дУ дХ

Из равенства (15) следует второе граничное условие:

к ~1Х

(15)

¿у (х, г)

д

х=0

¿у (0, г)

дх

= к ~1х (г) = к-18 (х = 0). (16)

-1

Обратная задача динамики задается так:

Для известной волновой функции У(х,^), которая удовлетворяет уравнению (5), требуется определить дифференциальные уравнения движения объекта (1). Уравнение (5) для удобства запишем в виде:

¿у .Гт™ дУт Сх

—хтЖХ =--, Ж =

д дХ Сг

¿у (х, г)

дХ ■

(17)

При известной волновой функции У(х,() из (7) получаем решение обратной задачи динамики в следующем виде:

7 дУ

X; = к --(18)

Iдх.

Можно показать, что из (10) и теоремы II имеет место равенство

дУ С ■ п

— —х = 0 дх &

В результате уравнение (17) принимает вид

д2У д 2

х Тжх = 0

(19)

(19а)

Полученные здесь результаты используются для моделирования траекторно-волнового движения гармонического осциллятора.

Линейный гармонический осциллятор

Будем рассматривать линейный гармонический осциллятор. Из траекторного уравнения движения объекта (частицы)

тх = -кх (20)

можно получить первый интеграл в виде закона сохранения энергии

кх

тх1

+ ■

= Е.

„ ^ (21) 2 2

Траекторное движение объекта (частицы) сопряжено с волновым движением, которое удовлетворяет уравнению (19а) и при и=1 имеет вид

д2У .2 д2У(х, г) л - х -= 0,

(22)

дг2 дд 2

Уравнение (20) будем интегрировать со следующими начальными условиями

3

х(0) = 0, х(0) = 30 . В результате получим решение как функцию от времени х(г) =-

_ (0

к

— . Скорость объета будем определять через производную по времени от этого решения.

т

где ( =

V

Нам

нужен

х2 (г) = 302 соб2 (0г = 302

квадрат скорости + соз2(0гл

2

частицы, которую получаем в виде . Рассматривая разложение полученной функции по формуле

у

Маклорена, будем иметь 2 2

х (г) = 30

С ( 1 +

1_(2(0г) 2

ЛЛ

+ «(г2)

2

V

У

Для довольно малых значений времени получим

х2 (г) = з2(1 О 2);

Далее используем метод разделения переменных У(х, t) = У(х)ф^) в уравнении (22). Для

нашего случая разделение переменных проводится так:

ф^ )

где X постоянная. Отсюда будем иметь

_= У"(х)

х 2(t )ф(t) У( х)

У" (х) + -1 У х) = о

л

фО) + ф(t) = 0

л

1

л2

(23)

(24)

(25)

(26)

Таким образом, с учетом равенства (23) уравнение (26) будет иметь вид

2 2

ф^) +

лучим

З о

о ^0

Л2

1 2 —т-12

ф(Х) = 0 . Введем безразмерную величину Т = -^Ои в результате по-

Vоо

ф(т) + Зо

2 32 СО л

2

С2

--Т

ф(т) = о

(27)

У

Если в уравнении (27) принять Л = ——, то мы получим уравнение Шредингера для гармонического

О

осциллятора. Решение этого уравнения известно, оно будет конечным непрерывным при собственных зна-

О 0 , 1

чениях-= 2П + 1. В результате получается правило квантования энергии гармонического осцилля-

тора

Йо Йо

= 2п +1.

(28)

ф" + о2ф = о

У " +

то

у = о.

(31)

(32)

Таким образом, в гармоническом осцилляторе, когда траектория объекта (скорость есть функцией времени) известна и на нее накладывается волновая функция, как следует из уравнения (27), получается дискретные значения энергии, как у Шредингера

[10] для гармонического осциллятора. Надо сказать Из граничных и начальных условий (8), (9),

также, что волновая функция Шредингера не несет (14), (16) для К-функции получим начальные усло-физической реальности, а исследует только «тень» от реальности.

Применим теперь метод V-функции. Траектор- дующем виде: ное движение объекта, , непосредственно связано с его волновым движением, удовлетворяющее уравнению (22). Квадрат скорости объекта в (22) определяется из соотношения (21), т.е.

2Е - кх2

2Е - кх2

ных и нача -функции п

вия для функции у(х) и ф^) . Запишем их в сле

х2 =■

(29)

т

Уравнение (22), с учетом (29) примет вид:

д2У

д2

2Е - кх

2

V

т

д2У

У( х) х=о = у(о) = о, У" (х)| х=о= У" (о) = С1; ф(г i=о = ф(о) = о,

ф'(* )| ,=о = ф"(о) = С2.

Введем безразмерную величину £ =

У

дх2

о (30)

Волновая функция К(х,/) ищется в виде тогда уравнение (47) ^тишет вид У(х, t) = у(x)ф(t) . В результате разделения

уу 1

переменных из уравнения (45) получим следую- 1 - £

щие уравнения:

У + Т^ У = о,

х

где Л

mm

m

ml

Для решения уравнения (33) будем использовать систему компьютерной математики Maple. Решение данного уравнения получим в виде

у/(£) = Cx(f-f )hypergeom

5+^Тр+Г

.4 4

виде ряда

5 1

44

л/4^+1

или в

;3\/i 1//j2 ¿4 22 , 1 //?2 C\i о2 0П\г4

Kf) = C^-f )(1 -7(Р -6Г + —(Р -6)(Р -20)f

6

1

(Р - 6)(Р - 20)(Р - 42)f +

120 6 1

5040 362880

Решение уравнения (47) в этой системе имеет вид: ..2

(Р - 6)(Р - 20)(Р - 42)(Р - 72)f8 +...)

1 kx

у( x) = — Qx(E ——)hypergeom E 2

2

5 1 4mm2 ,

- + -J-+1

4 4 V k

5 1 4mm

2

44

k

+1

kx:

, E

и в

виде ряда

9 9 9 9

y(x) = - QX(E - kX_)(1 + _l6k - mm x2 + ^(6k - mm )(20k - mm ) X^ + E 1 2 12 E 480 E2

1 (6k - mm2)(20k - mm2)(42k - mm2^6 +

40320 1

5806080

3

(34)

E

(6k - mm2)(20k - mm2)(42k - mm2)(72k - mm2) 8 .

JA X +...)

Как следует из уравнения (34), непрерывное решение у(х), должно удовлетворять условию.

W

Л

X =.

= о. Выполнение этого условия имеет место лишь при определенных дискретных значениях

собственных частот уравнения (34).

о- 2 2

п m

2

Л = 2 2 п m

n2m2 = 6, Л=nm=20 пЧ2_.

Л2 =

22

п о

Лз =

П 2m2

= 42, Л2 = = 72, •••

п О)2

'о " ^о " "'о " Оо

Отсюда мы получаем следующее правило квантования энергии гармонического осциллятора

E,

•2

2En+1+E2 =AAE2 = 2n2m2

^п+2 п+1 п п о

(35)

Значит в случае, когда траекторное движение объекта непосредственно связано с волновым движением, энергия гармонического осциллятора, как и у Шредингера, может принять только определенные

дискретные значения: Е^ = 6Й2О>2, Е^ = 2оЙ2О2, Е2 = 42ЙО2, Е2 = 72ЙО2.... Причем, если результаты, полученные Шредингерем Е = [ п + — |йо , подставить в равенство (35) мы будем

2

иметь

n + 2 +1) - 2( n +1 +1)

+ 1 n + ■

2.

Й20д = 2й20q , т.е. получаем тождество. Как из-

вестно, у реальных микроскопических осцилляторов, взаимодействующих со светом, могут осуществляться переходы только между соседними уровнями [11], что полностью согласуется нашими результатами, вытекающими из равенства (35). При этом собственные функции будут иметь вид

У1(£) = Л£(1 -£2),

7

У2(£) = N£(1 -£2)(1 - 7 £2),

з

33

¥з(& = Nf(1-f2)(1 - 6f2 + 33 f4), ...

(36)

V

J

1

Заметим, что вронскиан для уравнения (33) принимает постоянное значение, отличное от нуля, т.е.

¥п (4) ~ (4)

ж \п (4), ~ (4)]

: \ (4) ~ (4) - ~ (4) \ (4) = с.

\ (4) ~ (4)

Отсюда получим второе линейно-независимое решение

\ (4) ~П (4) - ~п (4)\ (4) _ ( ~п (4)

(\ (4))2

Л"

V \ (4) | (\ (4))2

~ (4) = с \ (4)|

1

(\ (4))

г&4.

(52)

Так как из соотношений (36) следует, что при 4 ^^ \¥ „(4)\ ^^ , то из (52) получается, что ~ (4) ^ 0 при 4 ^ , т.е. решение принимает в бесконечности конечное значение.

х

Покажем решение ~ (4) = у2 (х) = Сх(1 - х2 )(3 - 7 х2) |

1

(г(1 - г)(3 - 7х2))2

&г, х е (0; <х).

Как видно из графиков функция у (х) в точ- и третий график уточнение первого графика на ин-

л,. ГЛн V 1 - тервалах х е и37; 1), х е (1; 1,5) соответ-

ках х = у 3//, х = 1 терпит конечный разрыв и г ' у у 7

ственно в других масштабах.

при х ^ ад у2 (х) ^ 0 , т.е. функция монотонно Обсуждение

стремиться к нулю. Первый график показывает зна- Метод К-функции для гармонического осцил-

чения функции на интервале х е (0; 1,5), второй лятора позволяет установить соответствующую

6

картину квантования энергии (35), связывающее три соседние уровни, которому удовлетворяет правило квантования энергии гармонического осциллятора Шредингера, что, возможно, имеет принципиальное значение для физики, так как волновая функция, полученная из уравнения Шредингера, не имеет непосредственного физического отношения к волновому движению объекта.

Заключение

Итак, исходя из метода V-функции, любое тра-екторное движение объекта (1) неразрывно связано с его волновым движением (5). В случае гармонического осциллятора, когда траекторное движение частицы не связано с волновым движением, получается уравнение Шредингера (27) для гармонического осциллятора. Если траекторное уравнение неразрывно связано с волновым уравнением, то получаем правило квантования энергии, связывающее три соседние уровни, что согласуется с реальными микроскопическими осцилляторами, взаимодействующими со светом. Также получены конечные решения для гармонического осциллятора.

Литература

1. W.Heisenberg, Die Physikalischen Prinzipien der Quantentheorie, Leipzig, 1930.

2. M.Born, W.Heisenberg, P.Jordan Zur Quantenmechanik II. - Zeitschrift für Physik, 1926, Bd 35, S. 557-615.

3. Валишин Ф.Т. Проблема начала и стратегия динамизма. М.: «Энциклопедист-Максимум», 2018.

4. Валишин Н.Т. Валишин Ф.Т., Моисеев С.А. Траекторно-волновой подход к динамике электрона в атоме водорода. // Бутлеровские сообщения. Т.25.№5,2011г С.1-12

5. Валишин Н.Т. Вариационный принцип и задачи траекторно-волновой динамики. // Вестник КНИТУ-КАИ - 2014. №2. С.181-190.

6. Валишин Н.Т., Павлова К.Е., Давыдов Н.В. Метод У-функции: к моделированию движения объекта в потенциальном поле сил. //Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева №3, 2009.

7. Валишин Н.Т., Давыдов Н.В. Метод У-функции: некоторые решения прямой задачи динамики в новой постановке. //Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева №1, 2008.

8. Валишин Н.Т., Павлова К.Е., Халилова А.И. Метод У-функции: решение прямой и обратной задачи динамики при движении объекта в центральном поле сил. //Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева №3, 2010.

9. Л. де Бройль. Соотношения неопределенностей Гейзенберга и вероятностная интерпретация волновой механики. М.: Мир, 1986.

10. Шредингер Э. Квантование как задача о собственных значениях. В кн.: Вариационные принципы механики. Сборник статей. М. Физма-тгиз, 1959. С.668-704.

11. Л.Л.Голдин, Г.И.Новикова Квантовая физика. Вводный курс М.2002, 496 с.

УДК 519.161_

ПРОГРАМА АВТОМАТИЗАЦН ДШЛЬНОСТ! САНАТОР1Ю «ДЕНИШ1»

Данильченко А.О., Бiлодiд Н.М.

Державний технологгчний утверситет «ЖДТУ», Житомир, Украша

BACKGROUND. The applied task of compiling an optimal schedule for the use of medical procedures can be reduced to an expanded mathematical problem of finding the maximum pair-matching in a two-column graph. The main difficulty in solving this problem is the need to take into account restrictions on the acceptance of procedures. The process of scheduling is very long because the need for its automation is obvious.

Objective. Analysis of the problem of scheduling procedures, developing a mathematical model of the problem and an effective algorithm for its solution, its practical implementation as the main part of the management system of the medical process. Development of the software complex, which provides for the preservation and editing of data about patients, procedures and doctors of the sanatorium, and also performs all other functions and calculations provided by the technical task.

Methods. To achieve this goal, methods of combinatorial optimization, algorithms of graph theory, the basics of database theory, cryptographic basics of data protection were used. Designed and developed software complex.

Results. The conducted researches have proved the possibility of obtaining an acceptable optimal solution of the problem of steam connection with the disappearing arcs for drawing up the schedule of receiving sanatorium procedures. The mathematical model of the problem of scheduling procedures is formulated. The mathematical model of the problem is reduced to the expanded problem of combinatorics for finding the maximum pair-matching in a two-column graph. The method of obtaining the optimal solution is proposed. A software package is developed.

Conclusions. The developed automation system can be used in preventive institutions to optimize their work and automate the scheduling of procedures.

Keywords: Automation system, sanatorium, database, procedures, weights.