Квантовая механика на одномерных геометриях Кэли-Клейна quantum mechanics on one-di- mentional Cayley-Klein geometries Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 530.1, 514.84

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА НА ОДНОМЕРНЫХ ГЕОМЕТРИЯХ КЭЛИ-КЛЕЙНА

Н. А. ГРОМОВ, В. В. КУРАТОВ

Физико-математический институт Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар gromov@dm.komisc.ru, kuratov@dm.komisc.ru

В рамках единого подхода к описанию геометрий Кэли-Клейна рассмотрены две точно решаемые квантовомеханические задачи о гармоническом осцилляторе и кулоновской частице на одномерных пространствах с постоянной кривизной. Для дискретного спектра и соответствующих волновых функций получены общие формулы, содержащие кривизну как параметр.

Ключевые слова: одномерные пространства постоянной кривизны, уравнение Шредингера, гармонический осциллятор, кулоновская частица

N. A. GROMOV, V. V. KURATOV. QUANTUM MECHANICS ON ONE-DI-MENTIONAL CAYLEY-KLEIN GEOMETRIES

Two exactly-solvable quantum mechanical problems, namely harmonic oscillator and Coulomb systems in one-dimensional spaces of constant curvature, are discussed in the context of the unified description of Caley-Klein geometries. General expressions for the discrete eigenvalues and corresponding eigenfunctions of Schrodinger operator are obtained by factorization method. In both cases the space curvature appears in these expressions as a parameter. The energy levels of Coulomb particle are shifted in curved space as compared with flat space up or down, depending on curvature sign: positive or negative. The same is held for the oscillator.

Keywords: one-dimensional constant curvature spaces, Schrodinger equation, harmonic oscillator, Coulomb particle

Введение

Физические системы, допускающие точные аналитические решения уравнения Шредингера, имеют особо важное значение в квантовой механике. Наиболее популярными среди таких систем являются гармонический осциллятор и частица в ку-лоновском потенциале. Их изучение в евклидовом пространстве нулевой кривизны началось сразу же вслед за появлением квантовой механики к концу первой трети прошлого столетия. Немного позже в работах Шредингера [1,2] был найден спектр энергии для аналога кулоновского потенциала на трехмерной сфере Б3 — пространстве постоянной положительной кривизны. Аналогичный результат в случае пространства Лобачевского постоянной отрицательной кривизны получен в работах Инфельда и Шил-да [3,4]. Далее эта задача исследовалась в работах Курочкина, Отчика и Богуша [5, 6]. Интерес к точно решаемым задачам на гиперболоидах с различной сигнатурой метрики имеется и в наши дни [7,8].

Вместе с тем, хорошо известно [9,10], что совокупность всех 3п максимально симметричных п-мерных пространств с постоянной кривизной может быть описана единообразно, с помощью одинаковых

формул для метрики, преобразований под действием группы движений, операторов Бельтрами-Лапла-са и т. д., содержащих, однако, п параметров, каждый из которых принимает по три значения: вещественная единица, нильпотентная единица и чисто мнимая единица, т. е. 'к = 1,1к, г, к = 1, 2,.. .п. Здесь квадрат нильпотентной единицы равен нулю 12к = 0, но произведение разных нильпотентных единиц отлично от нуля 1к 1Р = 1Р 1к = 0, р = к. Кроме того, одинаковые нильпотентные единицы можно сокращать 1к¡ьк = 1. В случае групп движений этих пространств нильпотентные значения параметров соответствуют предельным переходам (контракциям) [11], а чисто мнимые значения - аналитическим продолжениям.

В настоящей работе в рамках единого подхода рассмотрены две квантовомеханические задачи о гармоническом осцилляторе и кулоновской частице на одномерных пространствах Б^') постоянной кривизны: положительной (эллиптическая прямая ' = 1), отрицательной (гиперболическая прямая ' = г) и нулевой (евклидова прямая ' = 1). Методом факторизации [12] найдены общие выражения для дискретных собственных значений и отвечающих им собственных функций оператора Шредингера в слу-

чае осциллятора (раздел 2) и частицы в кулоновском потенциале (раздел 3). В разделе 1 приведено единое описание одномерных геометрий Кэли-Клейна с сохранением в явном виде радиуса кривизны К, что обеспечивает возможность перехода к нулевой кривизне как в пределе К — ж, так и при ' = 1. Следует отметить, что обе задачи по отдельности рассмотрены в работах [13-15].

1. Геометрии Кэли-Клейна ) на прямой

Три одномерные геометрии Кэли-Клейна S1 (') реализуются на полуокружности [10]

^О') = к + = К2, По > 0},

(1)

где параметр ' = 1,1, г, а 1 есть нильпотентная единица такая, что 1 = 0, но 12 = 0. Значение ' = 1 соответствует эллиптической геометрии Б1(1) = Б1 на прямой с постоянной положительной кривизной, при ' = г имеем гиперболическую прямую Б1 (г) = Н1 с постоянной отрицательной кривизной, а в пределе К — ж или при ' = 1 получаем обычную евклидову прямую Б1(1) = Е1 с нулевой кривизной.

Введем на Б^') внутреннюю бельтрамиеву координату {х} соотношением

пи1 х = К—.

ио

(2)

В зависимости от значения параметра ' координата х изменяется в пределах

X е * (') = { -

Я,

К, К) ,

Г = 1,1, ' = г,

(3)

Проще всего получить описание геометрий Б1 (') преобразованием соответствующих формул для эллиптической прямой Б1. Действительно, замена и1 — 'и1 в уравнении окружности и2 + и\ = К2 индуцирует замену бельтрамиевой координаты х — 'х, угла между радиусами-векторами ф — 'ф и расстояния й — 'й. Напомним, что расстояние между точками пропорционально длине дуги между ними. Поэтому расстояние между точками А и В с координатами о'ха = Кtg'фА, О'хв = Кtg'фв пропорционально длине дуги 'йАВ = К'(фв — фА), фв > фА. Отсюда, используя формулу для тангенса разности и переходя к координатам хА, хв, получаем формулу для расстояния между точками А и В

Д ]йА1

Г

хв — ха

1 I '2хвХА 1 + ' Я2

(4)

соответственно, расстояние от начала координат О до точки А(х) равно

К злоа Г К

2

= \х\.

Чтобы найти метрику, рассмотрим расстояние между бесконечно близкими точками А(х + ёх) и В(х), тогда (4) и формула ёз2 = дёх2 дают

9(') = (1+ Г К )

После этого оператор Бельтрами-Лапласа находится стандартным образом

. ,.. 1 ё ^ ё Д(Г> = ^ ах^- ёх =

/ +г 2 0 ёх+'2 1+ёх-ю

х!^ А

К2) ёх'

Радиальная координата в пространстве представляет собой расстояние от начала координат до рассматриваемой точки. Аналог радиальной координаты г на 81(Г) связан с бельтрамиевой координатой х соотношениями

К Гг

х = Г 4 К

К Гх

г = — аг^ап —, Г К

г

К> =

—

П П 2 , 2 / Я,

Г = 1, Г = 1, г,

(6)

т.е. пропорционален углу между радиусами-векторами объемлющего пространства, направленными в начало координат и рассматриваемую точку. Оператор Бельтрами-Лапласа равен второй производной по радиальной координате

Д

ё^ ёг2

и сохраняет свой вид во всех геометриях Б1 (').

2. Гармонический осциллятор на 81(')

Как и в предыдущем разделе, переход от гармонического осциллятора на эллиптической прямой к общему случаю геометрий Кэли-Клейна Б1(') совершается заменой х — 'х бельтрамиевой координаты, преобразованием Д(') = '2Д(х — 'х) оператора Бельтрами-Лапласа, дополненным независимым преобразованием гармонического потенциала

V (х; Г) = -1 V (х — 'х) = 1 тш2х2. Г2 2

(7)

В результате такого преобразования оператор Шредингера для осциллятора на Б1(') приобретает вид

ттг л Н2 Л -2 х2 А ё ( ,2 х2 \ ё

н(х;') = — 2т (1+ ГК2) ёх (1+'2К2) ёх+

1 2 2 +2 тш х .

(8)

В безразмерных величинах

. 1тш 1тш

— К (9)

оператор равен

Нш ~2~

ё

- 0+г'2 р?) 10+'2 р?) ёщ+«2

ё

(10)

2

Задачу на собственные значения будем решать методом факторизации [12]. Для этого выразим оператор (10) через операторы рождения а+ (з) и уничтожения а(з)

Н') = Нш

а+(з )а') + Л

где

а') = — а+(з) = —

(1+ 3 2 £ ) А V +3 р2) НС

1+ з + вС

(1+'2Н

- 1+ 3 ^ "77 + вС

р2; нс

Перемножая операторы и сравнивая с (10), находим условие на в и Л

в2(з) - 32^ = 1, Л')= в'). р2

Из двух решений квадратного уравнения выберем то, которое отвечает положительной энергии

в(з) = 2р +

(11)

Тогда оператор Шредингера равен

Н(з) = Нш

в

а+(з )а') + £

= Нш

3

4р2 2

1

а+ (3 )а(з) + Ъ + +

V4

4р4

(12)

Основное состояние гармонического осциллятора найдем из уравнения а')фо((] 3) = 0, т.е.

(1+ 32р*) 3)+ в(3)СМС; 3) = 0.

Его решение дается функцией

МС; з ) = Со')[1 + з2^

^з2 7 )

в(з)р2

(13)

Для нахождения возбужденных состояний, построим цепочку операторов Шредингера

1

1

2 п+

Нп+1(3) = Нш(ап{з )а+(3) + 1=

= Нш (ка++1{3)ап+1(3) + 1 Лп+1(3^ ,

в которых операторы рождения и уничтожения имеют вид

ап(з) = -Л а+(з) = -¿2

?2\ Н

1+ + вп(з )С

2

рУ

(1+Ф

а их произведения равны

= 1

апап = 2

- (1+ з2р2) НС + вп(з)С

2е\ Н

,2>> I 1

2) НС ^ 1 ' р2у НС

- (1+ 3 2 О ±(1+ 3 2 О Н +

+ ( вп + з2 §) С2 + вп

р2

ап+1 ап+1 =

1

-(1 + з2§) НС (1 + зЪ) НС+

,2 СЛ а

р2

р2) нс

2 2 вп+1 2

^вп+1 - 3 ) С - вп+1

Из равенств

ап(3 )а+(3) + 1 Лп{з) =

= а++1(з )ап+1{з) + 2 Лп+1(з) (14)

получаем систему уравнений

в2п+Л.з) - з2= вп(з)+ з2, р2 р2

Лп+1(з) - вп+Лз) = Лп(з) + вп(з),

откуда

вп+1(з) - вп(з) = ^, р2

вп+1(з) + вп(з) = Лп+1(з) - Лп(з). Решая эту систему, находим

2

вп(з)= в (3) + Чп,

р2

Лп(з) = (2п + 1)в(з) +

22 3 п

(15)

где в(з) дается формулой (11). Уровни энергии должны расти с ростом п: Л = Л0 < Л1 < Л2 < ... < Лп, поэтому должно выполняться условие

,2п

Лп(з) - Лп-1(з) = 3Н + 2\ 1 + > 0- (16)

р

1

34

4р4

При 3 = 1,1 это неравенство не накладывает ограничения на п. Только при 3 = г на гиперболической прямой имеется ограниченное число дискретных уровней

1

1

п = 0,1, 2,...,птах < 2р\ \1 + -р4, (17)

после чего идет сплошной спектр. Кроме того, эта формула показывает, что при наличии кривизны спектр энергии осциллятора не является эквидистантным.

Уровни энергии гармонического осциллятора на прямой с геометрией Б^з) равны Еп(3) = 1 НшЛп(з) и в размерных величинах описываются формулой

Еп(з)= 32 2гпВ2 (п2 + п + 2) +

+Нш(п+2)(1+3 4 ■

(18)

1

2

2

2

При ' = 1 получаем уровни энергии осцил- В частности, лятора на эллиптической прямой Б1. Спектр энергии осциллятора на Б1, в отличие от классического случая евклидовой прямой, где Еп(1) = Нш (и + , не

j ) = a+(j j) =

является эквидистантным. Как следует из (16), интервалы ДЕп увеличиваются с ростом и -уровни энергии располагаются реже.

Иная ситуация со спектром осциллятора на гиперболической прямой Н с отрицательной кривиз-

ной

En(i) = -

h2

2mR2

[и2 + n + 2) +

(n

h2

4m2w2R4'

(19)

где в соответствии с (17) индекс и пробегает целочисленные значения от 0 до итах =

1 + 4т2ш2К4/Н2 , а далее идет сплошной

спектр. Здесь квадратные скобки обозначают целую часть числа. Интервалы между уровнями энергии

AEn =

h2

mR2

(У

11 4m2w2

2 V1 + h2 R4 -n

уменьшаются с ростом и, т.е. с ростом энергии уровни сгущаются и стремятся к наибольшему значению

E =

m.n.x.

h2

8mR2

-1) ■

(20)

Из формул (14) следуют сплетающие соотношения для операторов Нк

ап(')Нп(Г) = Нп+1(')ап(О), Нп(Г)а+(Г)= а+(Г)Нп+1(Г), с помощью которых легко показать, что функция

Фп(Г) = а+Г)а+Г)а+(Г)... а+^Г)ф0п)(Г) (21)

будет собственной функцией гамильтониана с энергией Еп(') (18), т.е. Нфп = Епфп. Волновая функ-

(п)

ция Фо является основным состоянием оператора

Hn, а именно Hn(j)^0n)(j) = En(j)ф0п)(j) и находится из уравнения an(j)^0n)(j) = 0. Пользуясь соотношением

(n)

- (1+ j2 В d +

1+ j2^2

Î2

ßn(j)p2 2j2

(1+j2 9>

ßnU)p2 2 j2

+ 1

получаем

фп(с; j) = C

(j) (

1+ j%)

.2 f P2

dë'

ßU)p:

2

^+1

з-i n

dë j2 ïï (1+j27)

ß(j)p2

n1

= a+ (j^1+ j2 )

ßl(j)p2 ' 2j2

=С14 >i( 1+j2 )

ßia)p2 ' 2j2

Ф2 (ë; j ) = a+(j )a+ (j )^2)(ë; j) =

= C2(j)

(4ß+2i) ë2 - 2 j2

ß2(j)p2 " 2j2

P"

и так далее.

В случае стандартного гармонического осциллятора волновая функция основного состояния с энергией Е0 = 1 Нш может быть получено из (13) в пределе р — ж или при ' = 1. Действительно,

Фо (О = Со ехр { - ' 1п (1 + '2 Рт) ) =

= Со 6ХР{ - 212 >2

Остальные решения находятся либо предельным переходом в формуле (22), либо действием оператора рождения а+ на основное состояние

Ф.(() = Сп (а+)п Фо(0 =

ß(lpг = C„e-

= 2- n A;{ - dë + * =

p2 dn 2 = (-1)n2-2 Ane V _ e-

(23)

В стандартной форме с учетом нормировки волновая функция фп(£) равна

_£2

^n(ë) = mY (2nnir2 e-VHn(ë), (24)

rmu\ 4

где Hn(ë) — полиномы Эрмита

2 dn 2

Hn(ë) = (-1)neç dëne-ç .

Несколько первых полиномов имеют вид

H0 = 1' Hi = 2ë, H2 = 4ë2 - 2'....

Таким образом, основные результаты гармонического осциллятора, такие как уравнение Шре-дингера на собственные значения, уровни энергии и отвечающие им волновые функции получены единым способом сразу для всех трех одномерных геометрий Кэли-Клейна Si(j). Единственное, что требует дополнительного исследования — это нахождение нормировочной константы для волновой функции, поскольку бельтрамиева координата изменяется в разных пределах (3) для разных геометрий.

3. Кулоновская частица на 81(3)

В общем случае одномерных геометрий Кэли-Клейна кулоновская частица описывается оператором Шредингера (8), в котором гармонический потенциал (7) заменен на кулоновский

у X 3) = - и

(25)

Удобно ввести новую безразмерную переменную С и безразмерные параметры г и О

С = ах, г = аК, Q2 = ад2, а = в которых оператор Шредингера

н (С; з) =

л/2т

(26)

= - {} + з2Ю НС з2§) - --. (27)

* СЛ 0!

2 / - 3 г2) НС 1С1

Чтобы решить задачу на собственные значения методом факторизации [12], запишем оператор (27) в виде

Н (С; 3 ) = а+(С; 3 )а(С; 3) + Л, (28)

где операторы уничтожения и рождения равны

•2 С2) ё , в

(1+з2 5)

а(С; з) = 1+ з2М -77 + Т + 7

г2) НС С

а+(С; з ) = - з2 Г2) НС + в+*

а их произведение дается выражением

а+(С; з )а((; з) =

-(1+ 32 £) з21) &

+ (в2 + в) 1 +^ + 72 + 32 в.

(29)

Сравнивая (27), (28) и (29) находим условие на в, 7 иЛ

в2 + в = 0, 2в^ = -02щп(С),

Л = -I2 - 32 в,

откуда получаем

02

в = -1, 1 = ), Л = - ^. (30)

Основное состояние найдем из уравнения афо = 0, т.е.

2

О4

^ + 32Г^ НМС;; з) + (г + 1)МС; з) = 0.

Сшивая решения этого уравнения при С < 0 и С > 0, получаем две возможности - в виде нечетной Фо(С; 3) и четной фо(С; з) функций вида

Фо(С; з ) = Со(з)

£

е—1Г aгctg э

Фо(С; з) = ^п(С)Фо(С; з ).

(31)

Таким образом, для кулоновского потенциала уровни энергии оказываются двукратно вырожденными. Далее строим цепочку операторов

Нк = ак—1а+-1 + Лк—1 = а+ ак + Лк,

(32)

к = 1, 2,..., в которых операторы рождения и уничтожения имеют вид

.2 С2) ё , вк

(1 + з2 £)

ак = 1 + 3 ^ -с + 7Г + Ъ,

г2) НС С

1

ак = -( 1 + 32§) НС + С + ^

а их произведения равны

а—а— = - {1+ 32Г2) НС (1 + 32С2) НС+

+

в1-1 - вк—1 , 2в—Ъ-1

С2

+

С

+ %-1 - 3

Г2) НС

■2 вк -

а а

0+з2 £) НС 0+з2 £) 4

= -(1+ з 1+ 32Ъ)

1

С2

Из равенств

+ 72 в + вк) +

2вкЪ

+ 1к + з2 §.

а к — 1а+-1 + Л к —1 = а+а к + Л к

получаем систему уравнений

в2 + вк = вк—1 - вк —1, в к! к = вк —17к — 1,

•2 вк

Л к + 3 -г + % = Л к—1 - 3

■ 2 в к — 1

Г

решая которую, находим

+ Гк-

вк = -к - 1

Л к = з2

ъ

О2

2(к + 1) (к +1)2 О4

sgn(С),

4(к + 1)2

(33)

Поскольку Е = Л , то уровни энергии куло-новской частицы (одномерного атома водорода) на прямой 81(3) описываются формулой

3 32 ЩК2(к + V -

тд4

2Н2(к + 1)2'

(34)

где к = 0,1, 2,... . При К — ж или 3 = 1 спектр стремится к спектру обычной одномерной задачи с кулоновским потенциалом, а при д = 0 спектр переходит в спектр частицы на окружности (3 = 1). Энергия уровней должна увеличиваться с ростом к,

т.е.

АЕк(3) = Ек+1(3) - Ек(з) =

= (2к+3)[ з

3

Н2

+

тд4

2тК2 2Н2(к + 1)2(к + 2)2

> 0. (35)

2

Г

С

1

2

Г

2

Г

Ясно, что ограничение на количество уровней может возникнуть только при ' = г на гиперболической прямой. Из (35) получаем условие

0 — k — kmax

1 4mRq2

¿У1+

где квадратные скобки обозначают целую часть числа. После уровня с максимальной энергией Ектх идет сплошной спектр. Связанные состояния существуют при тЩ2 > 2Н2. При тЩ2 = 2Н2 имеется только одно связанное состояние с энергией

Е0 = — . Если тКд2 < 2Н2, то связанных состояний нет.

Волновая функция

фк(& j) = а+а+а+ .. .a+_2a+_1^(fc)({; j)

(36)

является собственной функцией оператора (28):

Нфк(С;Г) = Ек')фк(С;Г), а волновая функция Фо&)(С; Г) - основным состоянием оператора (32): НкФ(к)(С; Г) = Ек ')ф0к)(С;') и удовлетворяет уравнению акф(к)(С;') = 0, сшивая решения которого при х < 0 и х > 0 получаем нечетную и четную функции

ф(к\х; j) = Cf (j)

zyj2m

к+1

h

1+ j2 f

exp I—sgn(x)

mq2 R х

W(kTT) j arctg jR

x ]

фО (х; Г) = sgn(x)ф0 )(х;').

Эти функции определены для всех х е *('). Основному состоянию

En = —

h2

mq

2mR2 2h2

(37)

(38)

на гиперболической прямой отвечают волновые функции(31)

Фо(0 =

C0e

/

1 -

—Yrarth - _ fi £ \ r'

e - = C0 ?-

Y- 1

n -9 — 2

(1 + r

2\ T-

Фо(о = sgn(o^o(e)

или для размерных величин

Фо(х) = Box

(1 — &

sgn(x)-

R)

a + R)

sgn(x)'

- +1 + 9

фо (x) = sgn(x^o(x).

(39)

Волновые функции (37) при j = i даются формулами

ф^) = C0k)xk+1

(1 — R)sgn(x) 9mR+i

) 9

(1 + R)sgn(x) 9mRq+i) + h+T '

ф0к)(х) = sgn(x)ф^•) (х), (40)

справедливыми при всех х е (—К, К).

В пределе К — ж из (39) получаем собственные функции обычного оператора Шредингера на евклидовой прямой

(к)

ф0(x) = C0x exp< —

{—m-x) ■

фо(х) = ф0О)(х) = sgn(x)фо(x), описывающие двукратно вырожденное основное со-

4

стояние с энергией Е0 = — т^г. Формулы (37) дают промежуточные функции

Ф0к)(x) = с0к) xk+1

x

mq2

exp\—hHk+Y)|x|j'

ф0к) (x) = sgn(x^0k)(x),

тогда как собственные функции оператора Шредингера, отвечающая собственному значению Ек, находится по формуле (36).

Заключение

В работе показано, что как в случае гармонического осциллятора, так и в случае кулоновской частицы задача на собственные значения для уравнения Шредингера в одномерных геометриях Кэли-Клейна может быть решена в рамках единого подхода. Спектр энергии и волновые функции стационарных состояний описываются общими формулами, содержащими кривизну пространства в качестве параметра. Из выражений (18) и (34) для уровней энергии En осциллятора и кулоновской частицы отчетливо виден эффект ненулевой кривизны, который заключается в прибавлении или вычитании одного и того же слагаемого, в зависимости от знака кривизны. Полученные результаты совпадают с результатами, опубликованными в статьях [13-15].

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований УрО РАН (проект 15-16-1-3).

Литература

1. Schrodinger E. A method of determining quantum mechanical eigenvalues and eigenfunctions // Proc. Roy. Irish Soc. 1941. Vol. 46. P. 9-16.

2. Schrodinger E. Futher studies on solving eigenvalue problems by factorization // Proc. Roy. Irish Soc. 1941. Vol. 46. P. 183-206.

3. Infeld L. On a new treatment of some eigenvalue problem // Phys. Rev. 1941. Vol. 59 P. 737-747.

4. Infeld L, Schild A. A note on the Kepler problem in a space of constant negative curvature // Phys. Rev. 1945. Vol. 67 P. 121-122.

5. Курочкин ЮА.., Отчик B.C. Аналог вектора Рунге-Ленца и спектр энергий в задаче Кеплера на трехмерной сфере // ДАН БССР. 1979. Т. XXIII. С. 987-990.

+

9

9

q°K 1

9 h

9

9

9h

6. БогушАА, Курочкин ЮА., Отчик B.C. О кван-товомеханической задаче Кеплера в трехмерном пространстве Лобачевского // ДАН БССР. 1980. Т. XXIV. С. 17-22.

7. Petrosyan D.R., Pogosyan G.S. Classical Kepler-Coulomb problem on SO(2,2) hyperboloid // Ядерная физика. 2013. Т.76(10). С.1334-1344.

8. Petrosyan D.R., Pogosyan G.S. Oscillator problem on SO(2, 2) hyperboloid // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2014. Vol. 17(4). P. 405-408.

9. Пименов Р.И. Единая аксиоматика пространств с максимальной группой движений // Литовский матем. сб. 1966. Т. 5. № 3. С. 457-486.

10. Громов НА. Контракции классических и квантовых групп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. 320 с.

11. Inonu E., Wigner E.P. On the contractions of groups and their representations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1953. Vol. 39. P. 510-524.

12. Грин X. Матричная квантовая механика. Новосибирск: ИО НФМИ, 2000. 160 с.

13. Mardoyan L.G., Pogosyan G.S., Sissakian A.N. Two exactly-solvable problems in one-dimensional quantum mechanics on circle // CRM Proc. and Lect. Notes. Superintegrability in Classical and Quantum Systems. 2004. Vol. 37. P. 155-160; arXiv: quant-ph/0303016.

14. Мардоян Л.Г., Погосян Г.С., Сисакян А.Н. Ку-лоновская задача на одномерном пространстве постоянной положительной кривизны // Теор. матем. физ. 2003. Т. 135. № 3. С. 427-433.

15. Burdik C., Pogosyan G.S. Two exactly-solvable problems in one-dimensional hyperbolic space // Proc.V-th Int. Workshop "Lie Theory and Its Applications in Physics", Varna, Bulgaria, 16 -22 June 2003. World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2004. P. 294-300; arXiv: quant-ph/0403129.

References

1. Schrodinger E. A method of determining quantum mechanical eigenvalues and eigenfunc-tions // Proc. Roy. Irish Soc. 1941. Vol. 46. P. 9-16.

2. Schrodinger E. Futher studies on solving eigenvalue problems by factorization // Proc. Roy. Irish Soc. 1941. Vol. 46. P. 183-206.

3. Infeld L. On a new treatment of some eigenvalue problem // Phys. Rev. 1941. Vol. 59 P. 737-747.

4. Infeld L., Schild A. A note on the Kepler problem in a space of constant negative curvature // Phys. Rev. 1945. Vol. 67 P. 121-122.

5. Kurochkin YuA., Otchik V.S. Analog vectora Runge-Lenca i spectr energii v zadache Keplera

na trekhmernoy sfere [Analogue of Runge-Lenz vector and energy spectrum for Kepler problem in three-dimensional sphere] // DAN BSSR.

1979. Vol. XXIII. P. 987-990.

6. Bogush A.A., Kurochkin YuA, Otchik V.S. O kvantovomehanicheskoy zadache Keplera na trekhmernom prostranstve Lobachevskogo [On quantum mechanical Kepler problem in three-dimensional Lobachevsky space] // DAN BSSR.

1980. Vol. XXIV. P. 17-22.

7. Petrosyan D.R., Pogosyan G.S. Classical Kepler-Coulomb problem on SO(2,2) hyperboloid // Yadernaya fizika [Nuclear physics]. 2013. Vol.76(10). P.1334-1344.

8. Petrosyan D.R., Pogosyan G.S. Oscillator problem on SO(2, 2) hyperboloid // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2014. Vol. 17(4). P.405-408.

9. Pimenov R.I. Edinaya aksiomatika prostranstv s maksimal'noy gruppoy dvizheniy [Unified axiomatics of spaces with maximal motion group] // Litovskiy matem. sb. [Lithuanian math. collection]. 1966. Vol. 5. № 3. P. 457486.

10. Gromov NA. Kontraktsii klassicheskikh i kvan-tovykh grupp [Contractions of classical and quantum groups]. Moscow, FIZMATLIT, 2012. 320 p.

11. Inönü E., Wigner E.P. On the contractions of groups and their representations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1953. Vol. 39. P. 510-524.

12. Green X. Matrichnaya kvantovaya mekhanika [Matrix quantum mechanics]. Novosibirsk: IO NFMI, 2000. 160 p.

13. Mardoyan L.G., Pogosyan G.S., Sissakian A.N. Two exactly-solvable problems in one-dimensional quantum mechanics on circle // CRM Proc. and Lect. Notes. Superintegrability in Classical and Quantum Systems. 2004. Vol. 37. P. 155-160; arXiv: quant-ph/0303016.

14. Mardoyan L.G., Pogosyan G.S., Sissakian A.N. Kulonovskaya zadacha na odnomernom pros-transtve postoyannoy polozhitel'noy krivizny [Coulomb problem in one-dimensional positive constant curvature space ] // Teor. matem. fiz. [Theor. math. phys.]. 2003. Vol. 135. № 3. P. 427-433.

15. Burdik C, Pogosyan G.S. Two exactly-solvable problems in one-dimensional hyperbolic space // Proc.V-th Int. Workshop "Lie Theory and Its Applications in Physics", Varna, Bulgaria, 16 -22 June 2003. World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2004. P. 294-300; arXiv: quant-ph/0403129.

Статья поступила в редакцию 10.04.2017.