Тождества кривизны почти контактных метрических многообразий класса С10 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТОЖДЕСТВА КРИВИЗНЫ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ КЛАССА С10

А. Р. Рустанов

Аннотация. На основе дополнительных свойств на тензор римановой кривизны в работе выделены классы почти контактных метрических многообразий класса С10. Получена полная классификация выделенных классов, а также некоторые тождества тензора римановой кривизны.

Ключевые слова: почти контактное метрическое многообразие, косимплекти-ческое многообразие, тензор римановой кривизны.

Summary. The article singles out classes ofalmost contact metric varieties of the С1д class for the tensor of the Riemannian curvature on the basis of additional properties. The author presents a full classification of the allocated classes, as well as some identities of the tensor of the Riemannian curvature.

Keywords: almost contact metric varieties, cosymplectic diversity, tensor of the Riemannian curvature.

В данной работе мы рассматриваем интересный класс почти контактных метрических структур, который является естественным обобщением косим-плектических структур. Этот класс многообразий в классификации Чинея и Гонзалеза [1] обозначается как ^4С-многообразия класса С10 и характеризуется тождеством:

VX (р)(У,Z) =-п(п)(ф*)-п(У^ Ш; X,У,z е х(м) . (1)

Поскольку

Vx (р (У, Z) = - <Vx (ф) г, Z >, Vx (п) 7 = < 7, Vx% >

и п (Х)=< %, X >, то тождество (1) можно переписать в виде:

V X (ф)У = %Vy(п)ФХ + п (У^ФХ%; X,у е X(м). (2)

Положим в (2) Х = %, тогда

V% (Ф)У = 0, У У е X(М) (3)

В частности, V% (ф) % = 0. А значит, шестой структурный тензор для данного класса многообразий равен нулю О = Ф о V% (ф)% = 0 [2], [3]. С учетом (3) для третьего структурного тензора имеем

199

4 / 2010 Преподаватель |_

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ_

D(X)= -4{2Фо7ф2X(ф)£ - 2Ф2 о Vox(Ф)

= ^ °7ф 2 X (Ф) k-Ф 2 ° (Ф) F X),

то есть d(X )= F (x )• Теперь положим в (2) Y = тогда

V X (Ф) k = ÇVç (п)ФХ + Уфх^ = k( ФХ, V^^ + Уфх^ Vx (Ф) k = Vфх k, VX G X (м).

то есть

(4)

200

В (2) сделаем замену У ^ ФУ, тогда получим

Vх (Ф)(ФУ) = ЪУФУ(п)ФХ, УХ,у е X(м). (5)

Подействуем оператором Ф на обе части тождества (5). Тогда получим

Ф о УХ (ф)(фу)= 0, УХ,у е X(М). (6)

Из (6) и аналитических выражений структурных тензоров АС-структуры [2; 3] следует, что первый и второй структурные тензоры данного класса многообразий нулевые, то есть

Б(х,у) = -8{ф о Уф2у (ф) (Ф2Х)+ ф о Уфу (Ф)(ФХ)}-

- 8{ф2 оУфГ (Ф) (Ф2X)- ф2 о УФ2у (Ф)(ФХ)}= 0;

С(X,у) = -8-{ ф о Уф2у(Ф) (Ф2Х)+ Ф о Уфу (Ф)(ФХ)}-

- 8{ф2 о Уфу (ф)(ф2 Х)+ф2 о Уф 2у (Ф)(ФХ )}=0.

Вычислим компоненты ковариантного дифференциала структурного эндоморфизма. На пространстве присоединенной О-структуры тождество (2) примет вид:

И(7) фк = ЪПи ф[ + П Ъ ф[. (7)

Из (7) имеем:

1 ) ф a = ф a = 0; 2 ) Ф a = Ф a = 0; 3 ) Ф 0, = -Ф

' 1- - b c ' ' b,c bc a,b

5) ф a, о=ф 0 ,o=ф 0,0=ф a, о=о;

4) ф0 ^ =-ф0 „

b-, a- a-,b-

(8)

6) Фа =ф;а0 = 0; 7) Фа Ь =фа- = 0; 8) Ф ~ =Ф= 0.

У Ь,0 ь>0 ; 0,Ь 0,ь ; а,Ь а,Ь

Проводя обратные рассуждения, убеждаемся в справедливости следующих предложений.

Предложение 1. На пространстве присоединенной О-структуры компоненты ковариантного дифференциала структурного оператора АС-структуры класса С10 имеют вид:

1) фа = фа,„ = фа =фа =ф?п = Ф00 =Ф* = Ф00 = 0;

' Ь с Ь,с Ь,с Ь с 0,0 а,0 0,0 а,0 '

2) Фа =фа,0 =ф0А = Фа- = Ф0 - = Ф0, = 0; > Ь,0 Ь>0 0,Ь 0,Ь а,Ь а,ь

3 ) Ф0 =-ф 0 ; 4) Ф0 =-Ф0 „

у а,Ь Ь, а ' Ь, а а,Ь

Предложение 2. Пусть Б = (Ф, 4, П, ё) _ АС-структура класса С10 на многообразии М. Тогда справедливы следующие тождества:

1 ) У% (Ф)X = 0; 2 ) У% (Ф)% = 0; 3) У%% = 0; 4) Ух(Ф)% = уфх%; 5) Уфх% =-Фо Ух%; 6) Ф о УФ2х(Ф)% =-Ф2 о уфх(Ф)%;

7 ) Ф2 о уф2^(Ф)(ФХ) = Ф о УФ2^(Ф)(Ф2Х)+ Ф о уфг (Ф)(ФХ) +

+ Ф2 о Уф7 (ф)(ф2X); 8) Ф о Уф2^(Ф) (Ф2Х) = Ф о Уф7 (ф) (ФХ)+ Ф2 о Уф7(ф)(ф2Х) +

+ Ф2 о Уф2у (Ф)(ФХ);

9 ) УФХ (Ф)Фу + УФ¥ (Ф)Фх = 0; Х,7 е Х(м).

Приведем доказательство свойства (9). Поскольку Фа = 0, Фа = 0, Ф. = 0,

Ь,с Ь,с Ь,с

. 201

то есть ф= 0, то есть Уе (ф) е г = 0. Так как {е а} и {е а} являются базисами под-

Ь,с с Ь

пространств оФ"1 и , а проекторами на эти подпространства являются про-

екторы П =— 2 (ф 2 + V—1ф) и П = (—Ф 2 + л/—1ф), соответственно, то Уф 2 х+л^1ФХ (ф)(— Ф + V—1Ф7) = 0. Выделяя действительную и мнимую части, получим равенства, эквивалентные следующему:

Уф2Х (Ф)Ф27 +Уфх(Ф)Ф7 = 0; Х,¥ е Х(М) (9)

Применяя описанную процедуру восстановления тождества [3; 4] к равенству

ф0 = _ф0 , получим

а,Ь Ь,а

У 2 (ф)ф2 7 + У 2 (Ф)Ф2 Х = Ф2Х^ ' Ф27^ ^ (10)

= УФХ (ф)ф7 + УФ7 (Ф)ФХ; Х,7 е Х(м)' 4 / 20Ю Преподаватель |_

202

Из (9) и (10) следует VФХ (Ф)ФУ + УФУ (Ф)ФХ = 0; X,У е X(м). Что и требовалось доказать.

Предложение 3. Пусть Б = (Ф, ц, - АС-структура на многообразии М. Тогда следующие утверждения равносильны:

(1) Б - АС-структура класса С (

(2) В = С = В0 = Е = ¥0 = О = 0;

(3) Б - АС-34-структура.

Согласно сказанному структурный тензор Е имеет вид:

Р(X)=Ф о УФ2Х (ф) £ =-Ф о Уфх^ = -Ух£; X е X(м). (11)

Назовем тензор р(X)= — Ух£ ; X е X(м) структурным тензором АС-структуры класса С10. Этот тензор обладает свойствами:

1) ф о р = —р о ф; 2 ) (Р(X), У) = — X,Р(У));

3) Ф2о Р(Х) = — Р(X); 4) п о р = 0; X,У е X(м).. (12)

Матрица структурного тензора на пространстве присоединенной О-структуры имеет вид:

г0 0 0 1

0 0 Fab

0 V Fab 0 /

Предложение 4. АС-структура класса С10 является косимплектической структурой тогда и только тогда, когда раъ = раъ = 0, то есть Е(X)= 0, то есть V X £ = 0.

Предложение 4 дает примеры АС-многообразий класса С10. Пример 3-х мерного АС-многообразия класса С10 приведен в работе [1].

С учетом вышеизложенного первая группа структурных уравнений АС-многообразий класса С10 на пространстве присоединенной О-структуры примет вид:

1 ) йш = РаЪ Шал шЪ + РаЪШа л шъ;

2 ) с!ша =- л шъ + РаЪша л ш; (13)

3 ) dшa = 0Ъ л шъ + раЪ шЪл ш,

ГДе Fab = л/_тф¡J, Fab = _у_1ф, Fab = Fab,

pab _ _Fba, Fab = _Fba. (14)

Стандартная процедура дифференциального продолжения дает нам вторую группу структурных уравнений ^4С-многообразия класса С10:

1 ) а еЪа + еа А еЪс + ра ¥Ъс ш с л ша - л} ш с л ша;

с с (15)

2 ) араЪ -РСЪ еа -Рас еЪ - 0-

Таким образом, имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Структурный тензор АС-многообразия класса С10 параллелен в первой канонической связности.

Дифференцируя внешним образом (15:1), получим:

ал ?а+лк а е а+л?1 е а - ла,а еП - л?а, еП -

Ъ с Ъс к Ъс к пс Ъ ЪП с

лаа , Ааап„ - лЪс! Ш + лЪс -

(16)

При этом получим следующее тождество:

(Ьс - РаПРЪс) рп|а] - 0. (17)

Назовем тождество (17) первым фундаментальным тождествомАС-многообразий класса С10.

Теорема 2. Полная группа структурных уравнений АС-структуры класса С10 на пространстве присоединенной О-структуры имеет вид:

1 ) аш - раЪ ш ал шЪ + раЪша л ШЪ;

2 ) аша -- еЪ'л шЪ + раЪ ша л ш;

3) аша - еЪ л шъ + РаЪ шЪл ш; (18)

4) аеа+еа л еЪ -(л^} - РааРЪс)шсл ша; 203 5 ) араЪ + рсЪеа + РасеЪ - 0;

6) араЪ - рсЪ е£ - рас еЪ- 0;

-7\ 7 V аа . Л Па па . л а! а а л аа а! л аа а к л аа ..к . л ааП ,, 7 ) алЪс + лЪс ек + лЪс ек -лкс еЪ -лЪк ес -лЪскш + лЪс шк,

{ласа} - глобально определенная система функций на пространстве присоединенной О-структуры, симметричная по верхним и нижним индексам.

Для тензорных компонент формы римановой связности на пространстве присоединенной О-структуры имеют место следующие соотношения [3]:

1 )еЪаф 1кшк; 2) еа--^Фаь,кшк; з) е0а -Т^ф0>к;

ъ 2 Ъ'к 2 (19)

4) еоа--Т=гфа,кшк; 5 ) еао-^-гфакшк; 6 ) е0 -л/-гф0,кшк .

где

4 / 20Ю Преподаватель |_

Для АС-многообразий класса С10 соотношения (19) примут вид: I а

Ъ

1 ) 0а = 0; 2 ) 0а = 0; 3 )00 =-0(а = РаЪшЪ;

4) 0 а0 =- 0 0а = РаЪШ Ъ.

(20)

0 аЪ

Продифференцировав внешним образом соотношения (20), с учетом (18) получим:

1 ) d0 а = 0; 2) ¿01 = 0;

3) d0 0 = -d0а = -РсЪ 0а л шЪ + РасРсЪ ш Ъл ш;

4) d00 = -d 0а = РсЪ 0С л ш Ъ + РасРСЪ шъ л ш.

(21)

Напомним, что вторая группа структурных уравнений римановой связности имеет вид [3]:

d0- = -01 л0к) + ±— шклшК (22)

где

С ^(ВМ) - компоненты тензора Римана-Кристоффеля.

Расписывая (22) на пространстве присоединенной О-структуры, с учетом (21) и (18), получим:

1) Я иГа = Р асРсЪ; 2 ) яа ~ = Лас ;

ad.

аЪ0

Ъсс1

Ъс

3 ) = "РаЪРс С ; 4) КсС = - РаЪРс с ,

(23)

204

плюс соотношения, полученные с учетом классических свойств симметрии тензора Л. Остальные компоненты этого тензора - нулевые.

Ковариантные компоненты тензора Риччи на пространстве присоединенной О-структуры вычисляются по формуле $— = -которая на пространстве присоединенной О-структуры АС-многообразия класса С10, в силу (23), при-

нимает вид:

1) $0 0 = -2РаЪРЪа; 2 ) $аЪ = $ Ъ,а = А0С - РасР>сЪ,

остальные компоненты нулевые Скалярная кривизна

X = ^ = 2Л^Ъ - 4РаЪРаЪ.

(24)

(25)

Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам:

1) Я00а = Я00а = °> Я00а = ^^аЪ

2) Я0а Ъ = Я0аЪ = Я0аЪ = 0;

Ъс

3) r0 „ = rc , = rc , = о ;

0ab 0ab 0ab

4) R

0

a0b

= Rcn. = Rcnu = 0 ;

a0b

a0b 7dbr 0 nc

5) R°0b = -F"dFd%", RaC0b = -FadFdb£

dbz c rc

a0b

= - FadFdd)^ c;

6) R°bc = -F0aFbc, Rabc = -FdaFbc,

7) R°.c = Л0?, Rd : = ^, Rd,~ = Л

abc

ab' abc:

ab' abc:

Rabc = FdaFbc;

d:c; ab

8) R0л = 0 R^ = 0 R^^ = 0, получим следующую теорему. abC ' abC ' abC

Теорема 3. Тензор Римана-Кристоффеля АС-многообразия класса С10 удовлетворяет следующим тождествам:

1) Я(£, X) £ = Р2 (х);

2) Я(х,7)£ - Я(Фх, Ф7)£ = П (х)Р2 (7) -П (7)Р2 (X);

3 ) Я(х ,7) £ + Я(Фх, Ф7) £ = П (х)Р 2 (7) - п (7)Р 2 (х);

4 ) Я(£, X) 7 - Я(£, ФХ)Ф7=п (7)Р 2 (X);

5 ) Я (£, X) 7 + Я (£, ФX) Ф7=п (7)Р 2 (X) + 2£ ( Р (7), Р (х));

6) Я(х,7)7- Я(Фх,Ф7) 7- Я(х,Ф7)Ф2 - Я(фх,7)фг = (2б)

=п (X) п (7)Р 2 (7) - П (7)п(7)Р 2 (X) -

- 2 Р (2){ X, Р (7)) + 2ФР (2)(х, ФР (7));

7) Я(х,7)г + Я(X,Ф7)Ф2 - Я(ФX,7)ФZ + Я(ФX,Ф7)2=

= 4 а(2 , X, 7) + п (х)n(z)p2 (7) - п (7)п(2)Р 2 (X) + + 2£п(х)( Р (7), Р Щ; 8 ) я(х ,7) г + Я(х, Ф7)Фг + я(ФX,7)ФZ - я(фх, Ф7)г = = 2£ п(х)(Р(7),Р(2)) - 2£п(7)(Р(X),Р(2)) +

+п (х)п(z)p 2 (7) - п (7)п(г)Р 2 (X); VX, 7, г е X(м).

Назовем тождество (2б:1) первым тождеством кривизны АС-многообразий класса С10.

Определение 1. Скажем, что АС-многообразие класса С10 является многообразием класса Яу если Я(£,X)£ = 0; VX е X(м).

Теорема 4. АС-многообразие класса С10 является многообразием класса Я1 тогда и только тогда, когда Р (X)= 0 ; VX е X (м)

Теорема 5. АС-многообразие класса С10 является многообразием класса Я1 тогда и только тогда, когда оно является косимплектическим многообразием.

205

4 / 2010

Преподаватель XXI

Доказательство. Пусть М- АС-многообразие класса С10, являющееся многообразием класса Яг Тогда р (X)- 0 ; УХ е X (М) другой стороны,

(р (х),

р2 (X)

(X,р(у)), значит (р(х), р(?))--(р2 (Х),^ - 0. В частности - 0, VX е X(м), то есть Р(X)= 0, то есть Vх% = 0, УХ е X(М). Кроме того, согласно (8) имеем VФ = 0 , то есть VФ = 0, V% = 0. Итак М - косим-плектическое многообразие.

Обратно, если М - косимплектическое многообразие, то V% = 0, а значит р(Х)= 0, то есть р2 (X)- 0 ; VX е X(м). Тогда по теореме 1, М - многообразие класса Яг Ч.т.д.

При выводе тождества (26:5) мы получаем промежуточный результат:

Яф2х)ф2У- Я (%,Фх)ФУ- %(р(У),р(х)); X,У е X(м). (27)

Назовем тождество (27) вторым тождеством кривизны АС-многообразий класса С10.

Определение 2. С10-многообразие назовем многообразием класса Я2, если выполнено

Я(%, ф 2 х)ф 2У - Я(%, ФX)ФУ - 0; VX ,У е X (м).

Пусть АС-многообразие класса С10 является многообразием класса Я2 тогда согласно определению 2 (у) Р(X) = 0; Ух, У е x (м )

то есть с учетом (12),

(р2(У= 0' УX У е X(М), то есть Р2 = 0. Таким образом, многообразие согласно теореме 1 является многообразием класса Яг

Очевидно, что всякое многообразие класса Я1 является многообразием класса Я2, то есть мы доказали следующую теорему.

Теорема 6. С10-многообразия класса Я1 и класса Я2 совпадают.

При выводе тождества (24:6) мы получим промежуточный результат:

я (ф 2 X, ф 2у)ф 2 г - я (ф 2 X, ФУ)Фг - я (фх, ф 2у)Фг -

- Я(фх,ФУ)Ф2г - 2р(z)(х,р(у))+ (28)

+ 2Фр(¿){фх, р(у)); X,У, г е X (м).

Тождество (28) назовем третьим тождеством кривизны АС-многообразий класса С10.

Определение 3. С10-многообразие назовем многообразием класса Я3, если выполнено следующее тождество

я(ф2х,ф2у)ф2г - я(ф2х,ФУ)Фг -

2 2 (29)

- я(фх, ф2У) Фг- я(фх, фу)ф2г - 0; х, у,г е х(м).

Предложение 5. АС-многообразий класса С10 является многообразием класса Я3 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной О-структуры раЪрса - 0.

206

Пусть теперь ^4С-многообразие класса С10 является многообразием класса R3 тогда согласно предложению 5 FafrFc d = 0, то есть Fa frFc d = 0. Из последнего равенства получим, в частности, что Faь|^ = FabFab = 0, откуда следует, что J7 —f\ a,b

Fab = 0. И согласно предложению 4 многообразие является косимплектическим

многообразием. Легко видеть, что косимплектическое многообразие является С

10

многообразием класса R3. Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 7. АС-многообразие класса С10 является многообразием класса R3 тогда и только тогда, когда оно является косимплектическим. А значит, АС-многообразие класса С10 являющееся многообразием класса R3 также является многообразием класса R1 .

Используя известную классификацию косимплектических многообразий, можно сформулировать следующую основную теорему, дающую полную классификацию АС-многообразий класса С10 являющихся многообразиями класса R1.

Основная теорема. АС-многообразие класса С10 является многообразием класса R1 тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно одному из следующих многообразий:

1) произведению комплексного евклидова пространства на вещественную прямую;

2) произведению комплексного проективного пространства на вещественную прямую;

3) произведению комплексного гиперболического пространства на вещественную прямую;

4) произведению двумерного многообразия на вещественную прямую.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica pura ed applicata (IV). - CLVI. - 1990. - P. 15-36.

2. Кириченко В. Ф., Дондукова Н. Н. Контактные геодезические преобразования почти контактных метрических структур // Математические заметки. - Т. 80. - Вып. 2. - 2006. - С. 209219.

3. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. - М.: МПГУ, 2003. - 495 с.

4. Кириченко В. Ф., Рустанов А. Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Математический сборник. - Т. 193. - № 8. - С. 71-100.

5. Kiritchenko V. F. Sur le géométrie des variétés approximativement cosymplectiques // Acad C. R. Sci. - Paris. Sér. I. Math. 1982. - V. 295. - P. 673-676. ■

207

4 / 2oio Преподаватель |_