CC BY
0TOVUSH TARQALISH TENGLAMALAR SISTEMASIGA QO'YILGAN TESKARI MASALALAR HAQIDA
1Merajova Sh.B., 2Sharifov Idrisxon Shokir o 'g 'li
1Bukhara Davlat Universiteti 2Buxoro viloyati Kogon tumani ixtisoslashgan maktab https://doi.org/10.5281/zenodo.13894849
Annotatsiya: Ushbu tezisda tovush tarqalish tenglamalar sistemasiga qo'yilgan teskari masalalar haqida ma'lumot keltirilgan. Tovush tarqalishi fizik hodisasi akustik to'lqin tenglamalari orqali ifodalanadi va ularning teskari masalalari boshlang'ich sharoitlar yoki tovush manbaini kuzatilgan natijalar asosida aniqlashga qaratilgan. Teskari masalalar korrektligi uchun yechimlarning mavjudligi, yagona bo'lishi va turg'unligi kabi shartlar muhim hisoblanadi. Tezisda teskari masalalarning akustik diagnostika va seysmologiya kabi amaliy sohalardagi ahamiyati ham yoritilgan.
Аннотация: В этой работе приведены сведения об обратной задачи для уравнения распространения звука. Физическое явление распространения звука представлено уравнениями акустических волн, а их обратные задачи направлены на определение начальных условий или источника звука на основе наблюдаемых результатов. Для корректности обратных задач важны такие условия, как существование, единственность и устойчивость решений. В работе также подчеркивается важность обратных задач в таких практических областях, как акустическая диагностика и сейсмология.
Abstract: In this thesis, the correctness of inverse problems applied to the system of sound propagation equations is investigated. The physical phenomenon of sound propagation is represented by acoustic wave equations, and their inverse problems are aimed at determining the initial conditions or sound source based on the observed results. Conditions such as existence, uniqueness and stability of solutions are important for the correctness of inverse problems. The importance of inverse problems in practical areas such as acoustic diagnostics and seismology is also highlighted in the thesis.
Kalit so 'zlar: Tovush tarqalishi Teskari masalalar Korrektlik Akustik to'lqin tenglamalari Fredgolm integral tenglamasi Tikhonov regularizatsiyasi turg'unlik, Yagona yechim Akustik diagnostika Seysmologiya
Tovush tarqalishi fizik hodisa sifatida ko'plab amaliy va nazariy masalalarni hal qilishda muhim ahamiyatga ega. Tovush to'lqinlari fizik sharoitlarni o'rganish va ularga ta'sir qiluvchi omillarni aniqlash imkonini beradi. Teskari masalalar esa kuzatilgan natijalar asosida boshlang'ich sharoitlarni yoki tovush manbaini aniqlashga qaratilgan . Ushbu tezisda tovush tarqalish tenglamalar sistemasiga qo'yilgan teskari masalalar korrektligini tadqiq qilish, ularning matematik ifodasi va yechim tutg'unligini ta'minlash usullari haqida so'z yuritiladi.
Akustika tenglamalar sistemasining to'lqin tenglamasiga ekvivalentligi ko'rsatilgan [1]. Shu sababli tovush tarqalishini matematik ifodalash uchun quyidagi akustik to'lqin tenglamasini qaraymiz. Bu tenglama tovush bosimi p va vaqt t bilan bog'liq bo'ladi:
d2p/dt2 = c2Ap,
bu yerda:
- p - tovush bosimi, с - tovush tezligi, Д2 - Laplas operatori.
Teskari masalalar odatda kuzatilgan tovush signallaridan boshlang'ich sharoitlarni yoki manbani aniqlashni o'z ichiga oladi. Teskari masalani matematik ifodalashda umumiy ko'rinish quyidagicha bo'ladi:
Ap) = f,
bu yerda:
- £ - differential operator, p - tovush bosimi yoki boshqa kiritilgan signal, f - kuzatilgan natija. Teskari masalalarda asosiy maqsad (p) operatori yordamida p funksiyasini aniqlashdir. Teskari masalalarning korrektligini ta'minlash uchun uchta asosiy shart bajarilishi kerak:
1. Yagona yechim mavjudligi: Har qanday berilgan ma'lumotlar uchun faqat bitta yechim bo'lishi kerak.
2. Turg'unlik: Kiritilgan ma'lumotlardagi kichik o'zgarishlar yechimga katta ta'sir qilmasligi kerak.
3. Yechimning mavjudligi: Har qanday berilgan ma'lumotlar uchun yechim mavjud bo'lishi kerak.
Teskari masalalarni korrektligini tadqiq qilishda qo'llaniladigan asosiy matematik usullar quyidagilardan iborat:
- Fredgolm integral tenglamasi:
I K(x,y) cp(y) dy = f(x), n
bu yerda K(x,y) - yadro, /(x)-ozod had, berilgan funksiya, ф(у) - aniqlanishi kerak bo'lgan funksiya.
- Regularizatsiya usullari: Teskari masalalarda turg'unlikni ta'minlash uchun Tixonov regularizatsiyasi qo'llaniladi:
min { ||£(p) - Л|2 + a||p||2 },
bu yerda a - regularizatsiya parametri. Ushbu usul kichik o'zgarishlar natijasida hosil bo'ladigan noaniqliklarni kamaytirishga yordam beradi.
Teskari masalalar akustik diagnostika, geofizikani o'rganish va boshqa ko'plab sohalarda keng qo'llaniladi. Masalan, seysmologiyada yer osti qatlamlarini tadqiq qilish uchun tovush to'lqinlari qo'llaniladi va teskari masalalar yordamida yer osti strukturalari haqida ma'lumot olish mumkin.
Tovush tarqalish tenglamalar sistemasiga qo'yilgan teskari masalalar korrektligini tadqiq qilish natijasida, yechimlarning yagona va turg'un bo'lishi uchun zarur shartlar aniqlanadi. Bu esa amaliy masalalarni yechishda ishonchli natijalar olishga yordam beradi. Teskari masalalarni hal qilish usullari va korrektlik shartlarini o'rganish ilmiy va amaliy jihatdan katta ahamiyatga ega. Hozirgi kunda jahon miqyosida matematik fizikaning eng tez rivojlanayotgan sohasi - teskari masalalarni tadqiq qilish usullariga alohida e'tibor qaratilmoqda. Bu soha fizika va texnik fanlardagi eng muhim muammolardan biriga aylandi, chunki ularni hal qilish bevosita aniqlab bo'lmaydigan parametrlarni topishga imkon beradi. Bu yo'nalish juda ko'p sohalarda tadbiqqa ega [2-5].
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М. «Наука» 1967.
2. Durdiev D.K. and Turdiev Kh.Kh. "An Inverse Problem for a First Order Hyperbolic System with Memory,"Differentsial'nye Uravneniya 56 (12), 1666-1675 (2020).
3. Дурдиев Д.К., Тотиева Ж.Д. О глобальной разрешимости одной многомерной обратной задачи для уравнения с памятью // Сиб. мат. журн. 2021. Т. 62, № 2. С. 269-285.
4. Дурдиев Д.К., Меражова Ш.Б. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с оператором бесселя. // Сибирский журнал индустриальной математики (Journal of Applied and Industrial Mathematics). - 2022. Том 25(3), -С. 14-25
5. Меражова Ш.Б. О численном решении обратной задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа по определению правой части уравнения. // Математические заметки СВФУ (Mathematical notes of NEFU), - 2022. Том 29(3), -С. 108-127.
