CC BY
22
НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 62-251
ТОРСИОННАЯ ГИПОТЕЗА ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИИ
© 2011 г. С.А. Кузнецов, Я.А. Лысенко
Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты
South-Russian State University of the Economy and Service, Shahty
Предложена гипотеза формирования поперечных колебаний вертикального вала с неуравновешенным ротором как результата воздействия возникающих при разгоне крутильных, или торсионных, колебаний. Решающее значение отводится торсионным колебаниям как на этапе резонанса, так и при выходе из него в зону самоустановки. Обнаружен эффект повышения жесткости вала при его скручивании.
Ключевые слова: вертикальный вал; поперечные колебания; крутильные колебания; неуравновешенный ротор.
The hypothesis of formation of cross-section fluctuations of a vertical shaft with an unbalanced rotor as result of influence arising at dispersal torsional fluctuations is offered. Crucial importance is taken away to torsional fluctuations both at a resonance stage, and at an exit from it in a self-installation zone. The effect of increase of rigidity of a shaft is found out at its twisting.
Keywords: vertical shaft; transverse vibrations; torsional oscillations; unbalanced rotor.
Рассмотрим вращение вертикального вала с неуравновешенным диском. Известно, что при достижении критической частоты вращения наступает резонанс, затем, если обороты продолжают увеличиваться, происходит самоустановка вала. При резонансе амплитуда колебаний вала достигает максимальных значений, а в режиме самоустановки состояние вала можно охарактеризовать как динамически устойчивое с минимальным прогибом [1 - 4].
Для выяснения природы поперечных колебаний вертикального вала и его самоцентрирования будем использовать общепринятую физическую модель, представляющую собой вертикальный вал на двух опорах с неуравновешенным диском посередине.
С учетом крутильных колебаний картина колебательного процесса в плане выглядит так (рис. 1): при раскрутке вала на неуравновешенный диск массой m, установленный на валу с эксцентриситетом е, действует центробежная сила инерции F, приложенная к центру масс С, которая заставляет вал прогибаться на величину r и прецессировать. Одновременно, с началом движения, диск сопротивляется вращению с моментом, равным произведению углового ускорения s на момент инерции J0 диска и отклоняется на угол а от линии прогиба.
Координаты центра масс С:
xc = r cos ф + e cos(a + <); yc = r sin ф + e sin(a + ф).
Угол поворота радиус-вектора р = r + e :
yc r sin ф + e sin(a + ф)
y = arctan— = arctan-
Вал находится в равновесии под действием центробежной силы F = даю2р и упругой реакции R = rc(a) cos р , где Р = у - ф ; с (а) - поперечная жесткость вала с учетом угла закручивания вала а.
Экспериментально установлено, что с увеличением закручивающего момента М поперечная жесткость вала с увеличивается, что способствует уменьшению прогиба r и выходу роторной системы из резонансной области в область самоустановки. В частности, для вала (сталь 35, диаметр d = 0,009 м, и длина l = 0,4 м) поперечная жесткость с = 0,42 М.
r cos ф + e cos(a + ф)
Рис. 1. Расчетная схема для поперечных колебаний с амплитудой г с учетом крутильных колебаний диска с амплитудой а
Прогиб вала г с учетом упругой реакции R на центробежную силу инерции F:
x
c
F _ тю2р _ тю 2Vr 2 + e2 + 2re cos а
c(a)cos ß c(a)cos ß
c(a)cosß
.(1)
Очевидно, что прогиб является функцией угла закручивания диска а. Взаимодействуя с моментом кручения Jа, момент упругого сопротивления kа создает крутильные колебания с частотой
f =1 = - f-х 2л V J '
где k - жесткость вала при кручении; т - период коле-
J
баний, равный 2я4|— .
Составляем дифференциальное уравнение крутильных колебаний
J а + к а = 0.
(2)
В связи с переменностью радиус-вектора р момент инерции по теореме Штайнера:
J = J0 + mp 2 = J0 + m(r 2 + е2 + 2re cos а), (3)
где J0 - момент инерции диска относительно геометрической оси А.
Итак, динамическое состояние вертикальной роторной системы в процессе разгона описывается системой нелинейных уравнений (1) - (3), которая учитывает изменение не только амплитуды колебаний r и угловой скорости ш, но и изменение момента инерции J, а также переменность коэффициента поперечной жесткости с(а). Именно влияние угла закручивания вала на поперечную жесткость является средством синхронизации собственных частот разной направленности - поперечных и крутильных, способствуя возникновению поперечных колебаний в режиме автоколебаний.
В соответствии с изложенной торсионной гипотезой, колебания возникают тогда, когда частота вращения становится близкой к частоте собственных крутильных колебаний, т. е. период крутильных колебаний т равен периоду оборота диска.
Прямая круговая прецессия начинает искажаться, поскольку в первой половине цикла (рис. 2, а) угловая скорость смещенного центра масс равна разности между угловой скоростью вращения вала и угловой скоростью вала относительно геометрической оси в процессе крутильных колебаний.
Во второй половине оборота полная угловая скорость представляет собой сумму угловых скоростей вала и диска. Таким образом, во второй фазе максимальная суммарная угловая скорость больше, чем в первой, на 2ша, вследствие чего центробежная сила инерции в этой фазе также увеличивается, но уже в квадрате. Траектория движения геометрического центра диска становится вытянутой несимметричной, вызывая поперечные колебания, также несимметричные. Эта стадия процесса соответствует резонансу (рис. 2, б).
В эксперименте Бишопа и Паркинсона по ампли-тудно-фазо-частотному исследованию деформаций вращающегося вала (рис. 3) получена еще более выраженная асимметрия траектории движения центра масс [5].
Поскольку разность угловых скоростей не может вызывать столь значительную асимметрию, возникает предположение, что в большей степени она обусловлена изменяющейся поперечной жесткостью вала в процессе крутильных колебаний ротора. Иными словами, когда вал находится под действием скручивающего момента, его прогиб уменьшается.
Таким образом, причиной возникновения поперечных колебаний и резонанса являются крутильные колебания, а самоустановке вала способствует увеличение его поперечной жесткости вследствие его закручивания.
С
ю — юф — ю,
ю — юф + юа
С
б
Рис. 2. Формирование несимметричных поперечных колебаний: а - исходная круговая прецессия геометрического центра вала А без учета крутильных колебаний; б - искажение прецессии под действием крутильных колебаний в процессе резонанса
а
130
Рис. 3. Экспериментальные АФЧХ деформаций
Резонансную частоту в таком случае достовернее определять по формуле для крутильных колебаний, что подтверждается экспериментально. В результате закручивания жесткость вала увеличивается, соответ-
Поступила в редакцию
ственно, прогиб уменьшается, при этом уменьшается и момент инерции диска относительно оси вращения, что способствует ускорению вращения вала и выходу его из резонанса. При этом крутильные колебания прекращаются, как и поперечные, и вал прецессирует с меньшим прогибом в установившемся режиме.
Литература
1. Основы балансировочной техники. Т. 1: Уравновешивание жестких роторов и механизмов / под ред. В.А. Щепе-тильникова. М., 1975. 527 с.
2. Хайкин С.И. Физические основы механики. М., 1963. 772 с.
3. Диментберг Ф.М. Изгибные колебания вращающихся валов. М., 1959. 245с.
4. Михалев М.Ф, Третьяков Н.П., Михалева А.И. Расчет и конструирование типовых машин и аппаратов бытового назначения : учебник для вузов. М., 1982. 328 с.
5. Bishop R.E.D., Parkinson A.G. On the isolation of modes in the balancing of flexible shafts // J. Mech. Engng. Sci. 1963. Vol. 177, № 16. P. 44 - 49.
22 марта 2011 г.
Кузнецов Сергей Анатольевич - д-р техн. наук, профессор, Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. Тел. (86362) 2-04-33 доб. 2042. E-mail: [email protected]
Лысенко Ярослав Алексеевич - аспирант, Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. Тел. (86362) 2-04-33 доб 2042. E-mail: [email protected]
Kuznetsov Sergey Anatolievich - Doctor of Technical Sciences, professor, South-Russian State University of the Economy and Service. Ph. (86362) 2-04-33 доб. 2042. E-mail: [email protected]
Lysenko Yaroslav Alekseevich - post-graduate student, South-Russian State University of the Economy and Service. Ph. (86362) 2-04-33 доб. 2042. E-mail: [email protected]
