CC BY
15
вологiсть. В процес експерименту вимiрювалась температура сушильного агенту до i пiсля проходження через об'ект. Збереження теплового балансу було утруднене внаслiдок втрат тепла на на^вання сушильно! камери та на теплопередачу в навколишне середовище. Однак, бiльшу частину тепла вит-рачали на випаровування вологи.
Експерименти, виконаш за г = 120 с i г = 210 с, тобто за такого часу, коли весь об'ем об'екта заповнений рщиною, а область, позбавлена вологи, ще не утворилась. 1з формули (2) випливае
1
г
1--= а - 0,434пх .
Звiдки випливае таке: п = 44,77 1/м; а = 0,00479 1/с. Для розрахункiв викорис-тано рiвняння (3), якщо г < 1/ а = 209с i рiвняння (6) якщо г > 209с . Повна три-валють процесу сушiння, що випливае з (5):
1 ггЧ 1 + 44,77 • 0,036 ^
гк = -(1 + пН) =-----= 545с.
а 0, 00479
За рiвняннями (9) i (10) розраховано значення температури вихщного повiтря i зiставлено з дослщними даними. За рiвняннями (11) розраховано ко-ефiцiент корисно! ди. Вш становить 21 %. Таке значення коефщента за ви-хщно! вологост об'екта 60 %. Фiктивний коефщент розраховано за тим самим стввщношенням (11) за дшсно! початково! вологост 250 % i становить 88 %. У розрахунку п вважають випареною всю вода, зокрема i ту, яку механiчно витюнено.
Висновок. Викладений матерiал дае змогу передбачити контури сушильного агрегата, що реалiзуе принцип фшьтрацшного сушшня виробiв. Це багатопозицiйний обертальний круглий стш з перiодом обертання, що дорiв-нюе тривалостi сушiння з автоматичною подачею сушильного агенту та авто-матизованими вкладенням та зняттям виробу.
Л1тература
1. Лыков А.В. Теория сушки. - М. : Энергия, 1968. - 472 с.
2. Аксельруд Г.А., Чернявский А.И., Ханык Я.Н. Сушка материалов способом фильтрации теплового агента // И.Ф.Ж. - 1978. - Т. XXXIV, № 2. - С. 230-235.
3. Аксельруд Г.А., Ханык Я.Н. Фильтрационная сушка плоских газопроницаемых объектов // Теоретические основы химической технологии. - 1990. - Т. 24, № 3. - С. 402-405.
УДК004.932; 681.142.2; 622.02.658.284; 621.325 Доц. Д.Д. Пелешко,
канд. техн. наук - НУ "Львiвська nолiтехнiка"
ТОПОЛОГП ЗОБРАЖЕНЬ ТА НАБОР1В ЗОБРАЖЕНЬ
Наведено ч1ткий математичний опис представлення топологи покриття зобра-ження та набор1в зображень, який базуеться на формуванш покритпв в евклщовому координатному простор! з подальшим ш'ективним вщображенням цих топологш у проспр кольору.
Ключов1 слова: зображення, евклщовий проспр, тополопя, покриття зобра-ження, фрейм, фрагмент, потш, зб1жшсть, оператор, тксел, ттр.
Assoc. prof. D.D. Peleshko -NU "L'vivs'kaPolitekhnika" Topologies of images and sets of images
There are shown the mathematical model presentation of topology of picture and picture set. The proposed presentation is based on covering form in the Euclidean coordinate space.
Keywords: image, space of Euclid, topology, coverage of image, frame, fragment, began to the flow, consilient, operator, pel, color.
Вступ. Оброблення зображень - одна i3 найдинамiчнiших наукових областей. Це зумовлено практичною затребувашстю розвитком шформа-цшних технологш. Дед^ ^Bi област використання зображень потребують побудови нових i швидких методiв 1хнього оброблення.
Рiзноманiтнi задачi iз сегментащею зображень, розтзнаванням обра-зiв i ш. використовують рiзноманiтнi топологiчнi представлення зображень, зокрема через формування покритпв тощо. При цьому очевидним вважають, наприклад формування покриття рисунка i представлення рисунка цим пок-риттям. При цьому завдання правомiрностi формування покритпв навiть не розглядають.
Тому актуальним завданням е розроблення чггко! математично! моделi формування рiзноманiтних покритпв для окремих зображень та для наборiв зображень.
1. Постановка задач1
Основною метою дослщження е побудова чггко! математично! моделi формування топологiй покриття зображення та наборiв зображень.
Для досягнення ще! мети потрiбно виршити завдання щодо формування топологи розбиття над простором сигналiв-зображень для подальшого розроблення методiв оброблення зображень та наборiв зображень.
2. Функщональне представлення зображення та набору зображень
У загальному випадку кожне зображення P можна подати у виглядi результату ди деяко! абстрактно! функци C (надалi функцiя кольору)
C : nColor, (1)
P = C (n 2 +), (2)
де n2' + = {dtp,j = (i, j) | i, j e N+}, (3)
е обмеженим евклiдовим простором точок (пiкселiв) з невiд,емними цiлими координатами; Color с n - евклiдовий прос^р цiлих чисел, якi е значеннями кольору чи штенсивност залежно вщ типу рисунка. Функцiя (1) е ш'ектив-ною [3].
На практищ в дискретному представленнi кожне цифрове зображення
(надалi просто зображення) е вщображенням скiнченного дискретного набо-2+ * * ру значень з n ' . Функщю C можна записати у виглядi
C : x2'+d ^ Qd, (4)
де: x2, +d с n2 + - многовидом в просторi n [4, 6]; Qd с Color - замкнет об-межеш пiдмножини просторiв n2+ та Color вщповщно, якi е вимiрними по
Жордану [1, 3, 5]. Зважаючи на злiченнiсть npocTopiB n, n x та Qd е та-кож злiченними [1, 3].
Область визначення функцй C, а саме шдмножину x2+' d, будемо нази-вати координатним (пiксельним) представленням рисунка, а область значень Qd - колiрним. Фактично рисунок P е набором значень кольору (результату дй функцй С) в точках-пiкселах областi x2 +' d iз власними невщ'емними координатами.
Фiзичнi розмiри рисунка P визначаються розмiрами област x2 +' d. Зде-бiльшого x2 +' d е прямокутником. Тому li можна подати у виглядi
x2,+,d={dtp, j=(t, j) i i=1:7 л j=й}, (5)
де 7, h e N + - довжина та висота рисунка P. Добуток D = 7h визначае розмiр-нiсть област x2+' та рисунка P.
У разi розгляду набору з N рисунюв (4) та (5) видозмшюються
р = {Pz : Pz = C(xl+,d)}z=i N, (6)
де Cz: x2'+,d ^ Qdz, z = 1N; (7)
x2'+d = {dtpzt■ j = (i, j) I i = \JZ л j = 1ThZ}, Vz: 7Z, hz e n+. (8)
Тут через p позначено набiр з N рисункiв Pz, а x| +,d - область визначення функцй Cz.
Фактично в цьому випадку треба говорити про оператор набору С, який визначений на гшьбертовому просторi [7] {Cz} i представляеться набором операторiв кожного iз зображень набору
c = {Cz}z=1..N . (9)
Тодi р = c ({x2>+,d }z=1N). (10)
На практицi дуже часто приймають, що
Vz1, z2 e [1, N ]: xj+d = x22+'d = x2'+d (11)
Це означае, що Vz e [1, N]: 7z = 7, hz = h . (12)
Тобто ус рисунки набору р мають однакову розмiрнiсть. Тодi отри-муемо, що
Vz e[1, N]: Cz : x2,+d ^ Qd. (13)
Звiдси випливае, що усi рисунки набору е результатом дй функцш Cz, як визначенi на однiй областi визначення:
р = {Pz: Pz=Cz(x2+d)}z=LjV; (14)
p = (15)
У такому разi палiтра кольорiв для ушх Pz е також однаковою. Зважаючи на (7), оператор (9) запишемо у виглядi
с = {С*1=1^ Ч^ <¿3 тт \ , ^ у): с^е Qа, (16)
3 1 7 =1..^
де ) - значення кольору (штенсивносл) пiксела з координатами (/, у). За умови (5), формула (16) видозмiниться
=1,1
с = (С*1= ■
{< аР з) Ч 3 3
V(/,3): с*<и)е Qd• (17)
7=1..М
Тодi саме Рг та р зазвичай подаються через набiр (та набори) значень кольору
р = {р}«=,.у = {|<(,з)Й ■ V(г*'3): с'з (18)
Формула (17) е найзручнiшим математичним представленням оператора набору цифрових рисунюв однаково! розмiрностi•
2. Модель покриття зображення та набор1в зображень
2.1. Формування покриття в координатнш област
Беручи до уваги (4), область х2,+,а представимо у виглядi об'еднання пiд областей прямокутно! форми (фреймiв)
х2'+,' « и х^ +'', (19)
т=1
де х^т+а с х2,+,а, Vm > 1 - прямокутна область фрейм з простору x2, +,а. Ко-жен х^т+,й визначаеться координатами початку (верхнього лiвого кута), тоб-то геометричними координатами змiщення початку фрейма вщносно початку зображення:
Х 2,+,а 2+а\ X2,+,а и Х 2,+,а
гХй-т — у I V „ 2, +,а \ _ гл | д Xfrm лпоч _ л I т I ~ лпоч Т ^х •>
2+а (20)
У*^ = У (гт+,а) = Ушч+,<* + АХг-т+'а;
Х2,+,а Х2,+,а лХ 2,+,а • лХ 2,+,а
де: хпоч , упоч - координати початку х2'+'а ; Ах{гт 1 АХ'гт - змiщення початку фрейму х^2+,а вiдносно початку х2,+,а в напрямках х та у вiдповiдно• 1ншими характеристиками фрейму виступають його довжина ¡Х2,+,а е n та висота ТХгг2,+,а е n. Це означае, що х^2+,а е деякою функцiею вiд початку, довжини та висоти, яку зважаючи на (33) можна подати у виглядi
Хг£+а = Хг 2,+,а (с, , ¡х^ а, ТХг2+, а) = Х^+а (АХ-2+,а, А А, ¡х^-а, Тх^ а) .(21) Н^р х = {х^} - утворюе покриття облaстi х2,+,а. Якщо знак '«'
' ' т
можна замшити на знак '=', то покриття називаеться замкненим.
Множини рiзних покритпв 3Х2,+,а област х2,+,а виступають тополо-гiею на x2,+,а. Тодi фактично можна говорити про тополопчний проспр (x2,+,а, 3Х2,+,а) [1, 2, 4]. Шдмножину ^Х2,+,а ^3Х2,+,а будемо називати базою то-
пологи 3X2,+,d [1, 4], якщо будь-яку множину xfr2+d с 3X2,+,d можна представи-ти об'еднанням множин з ^X2,+,d,
Vxfr2d с 3x2,+,d 3{Xfr2'+'d ) с ^X2'+•d : Xfr2'- U Xfr2'+'d • (22)
aeA
Покриття вважають зб1жним, якщо
Nx
3S<«: lim U xfr2m+'d - S (23)
NX m-1
де Nx - кшьюсть фреймiв покриття x', тобто розмiрнiсть покриття x' • Замкнене покриття називають скшченним, якщо
Nx
U xfrimm+,d - x2'+'d. (24)
m-1
Очевидно, що скiнченне замкнене покриття е збiжним• Оскiльки x2+d е компактом (замкнена i обмежена множина в евкшдо-вому просторi - Т. Больцано-Веерштраса [1, 3, 6]), то з будь-якого x завжди можна видiлити збiжне пiдпокриття x' [1, 4, 6]
x -{Xfr m,+,d )m1N, = Xc3x< +,d • (25)
Понад це, зважаючи ще й на скшченшсть i мпрямокутнiстьм x2,+,d можна стверджувати, що для будь-якого x2,+,d можна побудувати принаймнi одне скшченне замкнене повне пiдпокриття•
Покриття x називатимемо ушкалъним, якщо
Vm, m2 e [1; Nx]: xfrm+'d n xfrd * 0; xfrm+'d * 0, xfrd * 0 • (26)
У випадку iснування збiжного ушкального покриття, простiр x2,+,d стае сепарабельним [1, 7]
Очевидно, що для кожного цифрового рисунка в координатнш областi iснуе унiкальне скiнченне покриття •
Звуженням покриття x будемо вважати видалення принаймнi одного фрейму iз сформованого x^
У випадку розгляду набору p формула (13) видозмшиться
Nxz
Vz e [[ N] 3x'z e{xfr2md) -1 N ^x'z: x|+>d - U X£md, Nx^ e n2>+, xfrf с x|+>d ,(27)
m 1 • •iV x z л
Л m-1
де xfr2,md - m-й фрейм збiжного пiдпокриття x'z покриття xz рисунка Pz• При цьому до розгляду можна ввести поняття скшченного покриття набору %'
x' - jx'z)z-,N - L,nx )z-1 n - f d• (28)
2.2. Формування покриття в кол1рн1й област1
Зважаючи на iснування скiнченного покриття в координатнш област^ (4) можна записати у виглядi
С : x' ^ Qd • (29)
Беручи до уваги (7, 19), оператор (42) можна подати у виглядi
с = С : Х^ ^ от} 1 А ; О С , (30)
V 'т=1.Ах
де Ст - е колiрним оператором (подiбно до (1)), який визначений на фреймi Х&и. Тодi, зважаючи на (2), рисунок Р можна подати у виглядi
Р = { Рт I Рт = Ст ( Х^г 2, ' ) }
V V ')т=1.
А
У1е У/е
„ 2,+,й „ 2,+,а
~Ап-т vAfrm _|_/
л.Поч ■■л-поч т1уг 2,+, а Xfrm
„„ 2,+, а 2,+,а
л .-Мгт -, ,Afrm
Упоч ...Упоч
+к
Xfr1
2,+,а
Зт Ф^х]: Са/)е Р
(31)
т=1..А
х
де Рт називатимемо фрагментом зображення Р.
У разi iснування набору (14), з урахуванням (31), отримаемо
Р = {Р^} = т 1 р,т = Cz,m (Xfr2!m' )} }
I1 4 Пт=1.^х^)2=х
( /)
Уге
У/е
х 2,+,а х* 2,+,а х1Г z,m XIrz,m Хпоч -"^поч х- 2,+,а
х1Г z,m
х 2,+,а х 2,+,а х^rz,m х^rz,m поч поч
+
+К, 2,+,а
х^ г
Зт е[1..Ах, z ]:
N
Сz,m,((, /) е Pz,т
т=1..Ах
(32)
z=1..А
де Ах,z - розмiрнiсть покриття х'г •
Беручи до уваги (16), (17) оператор набору (9) можна подати як
с:х' ^ ^ с = {х\ ^ ezа}z=1••А, (33)
де О = {0 }Z=1А. (34)
А сам набiр р (15) можна записати у виглядi
Р = С (х ') = {х ^ &} z=1..а . (35)
2.3. Формування покриття в кол1рн1й област1 набор1в зображень при векторному представленш
В основi математично! моделi векторного представлення зображень приймаеться гшотеза, про iснування деякого векторного поля [21] (вектор-функци векторного аргумента, яка виступае точкою простору). За вектор-
функцiю приймаеться вектор ССо1ог =(с1 (x|),. .с(x2 +,а)), де Ыра1 - роз-
мiрнiсть палiтри кольорiв•
За такого шдходу характеристикою зображення Pz виступае потш абстрактного вектора ССо1ог, через деяку гiперповерхню х|'а [3, 5, 8], яка, своею чергою, за геометричними параметрами дорiвнюе площинi зображення Р2. Це означае, що кожному Pz у вщповщшсть ставиться скалярний поверхне-
~ • ^ *-^Со1ог • -ш-т*
вий iнтеграл, який е потоком вектора с ^зь поверхню X;
-2,+, а
р2 ^фz = | с
Со1ог ш ^+, а
z = 1...А,
(36)
X2
Зважаючи на (19) та адитившсть iнтеграла [3, 5], формулу (36) можна записати
Мх
Ф* \ ССо1огЖьт+*, 2 = 1...М, (37)
т=1 Х^'*
де | ССо1ог*ХГгт + * - потж вектора ССо1ог через фрейм X^ + * зображення
Мгт
2 З
Р2. Знак рiвностi тут випливае у випадку iснування ушкального пiд покриття. Якщо ввести позначення потоку вектора Фр
ФР = | ССо1ог*Х^2+>*, 2 е[1..М], т е[1..Ых], (38)
Х2,+,* Гг т
то (34) можна записати у виглядi
Мх
Ф* <£ФР, * = 1-М. (39)
т=1
Беручи до уваги (23) i (19), iнтеграл (38) можна звести до квадратурно! формули [5]
Х 2,+,* х 2,+,* ~х1гт >1 „ , тЛтгт д_Ь ■%оч 2,+,* Упоч 2,+,*
^ т^л ХГгт ХГгт
ФР = 5 х^* ^ ^ Си ( * = 1...м, (40)
_
X 2,+,* х 2,+,*
I — Лпоч J ~ Упоч
де 5 хгг2,+ * - площа фрейма ХГг2+*. Висновки
Отже, наведено математичне представлення зображення будь-якого типу i набору зображень. Це дае змогу у чггкш математичнш формi реалiзо-вувати рiзноманiтнi алгоритми оброблення зображень i наборiв. При цьому роздiлено представлення координатного i колiрного просторiв.
Математично описано i обгрунтовано можливiсть формування рiзно-манiтних покриттiв зображень в координатнш i колiрнiй областях. Формування топологш збiжних пiдпокриттiв дае змогу для подальшого практичного оброблення i теоретичних дослiджень долучити методи диференцiально! ге-ометрi!.
Л1тература
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М. : Изд-во "Наука", 1977. - 356 с.
2. Гусейн-Заде С.М. Лекции по дифференциальной геометрии. - М. : Изд-во МГУ, 2001. - 464 с.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров // М. - Наука, 1968. - 720 с.
4. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. - М. : Изд-во "Мир", 1972. -
356 с.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н.С. Пискунов. - М. : "Наука" Главная редакция физико-математической литературы, 1972. - Т. 2. - 572 с.
6. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. - М. : Изд-во "Мир", 1968. -
632 с.
7. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. - М. : Изд-во "Мир", 1970. - 422 с.
8. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. - М. : Изд-во ГИФМЛ, 1963. -
276 с.
