Топология Вселенной и калибровочная инвариантность электродинамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТОПОЛОГИЯ ВСЕЛЕННОЙ И КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

И.К. РОЗГАЧЕВА, МПГУ

В стандартной горячей модели Вселенной используется пространство-время как непрерывное множество точек, которое является ориентируемым, четырехмерным, однородным и изотропным. До сих пор не установлено, бесконечно или компактно это множество. Прямой метод определения компактности пространства Вселенной обсуждался впервые в 70-х годах ХХ века [2].

Прямые попытки поиска «духов» - диаметрально противоположных изображений одного и того же объекта - ничего не дали [3].

В настоящей работе обсуждается возможность определения топологии пространства-времени на основе гипотезы, которая вдохновляла физиков ХХ в.: свойства пространства-времени «закодированы» в динамике материи, причем геометрические

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2005

11

симметрии пространства-времени взаимосвязаны с динамическими симметриями материи.

Геометрическая симметрия определяет выбор системы координат. Например, если пространство-время имеет группу симметрии Пуанкаре, то система координат должна быть однородной и изотропной. Однако геометрическая симметрия не определяет такое топологическое свойство пространства времени как компактность. В этом можно убедиться на примере мира Минков-ского. Этому миру соответствует однородное и изотропное пространство-время, которое может быть как бесконечным, так и компактным.

Динамическую симметрию определяют как любой физический принцип, накладывающий явное ограничение только на свойства поля взаимодействия. Примером динамической симметрии является калибровочная симметрия электромагнитного взаимодействия. Пространство-время Минков-ского используется в электродинамике Максвелла. Какое геометрическое свойство мира Минковского соответствует калибровочной симметрии электромагнитного поля?

Оказывается, калибровочной симметрии соответствует компактность пространства-времени. Для того чтобы в этом убедиться, надо использовать теорему, которая доказана в топологии: группы гомологий гомеоморфных множеств совпадают [1].

Эта теорема позволяет строить отображение двух гомеоморфных (связанных взаимно однозначным соответствием) множеств путем отождествления их групп гомологий (групп преобразований, относительно которых каждое множество инвариантно).

В качестве гомеоморфных множеств выберем множество точек пространства-времени Минковского и множество значений электромагнитного потенциала. Уравнения Максвелла определяют взаимно однозначное соответствие между этими множествами. Оба рассматриваемых множества имеют одну и ту же группу гомологий -группу пассивных преобразований Лоренца: интервал мира Минковского &2 = ёх'ёх. и

модуль потенциала АгАг, уравнения Максвелла инвариантны относительно Лоренц-преобразований.

Калибровочная инвариантность электродинамики является группой гомологий, которая в соответствии с приведенной теоремой должна совпадать с группой активных преобразований Лоренца.

Для простоты рассмотрим двухмерный потенциал А = (р, А,0,0}. Градиентные преобразования потенциалов в инерциальной системе координат К (г, х) запишем в виде

1 дФ , , дФ

р^р +--, А ^ А--, (1)

с дг дх у '

где Ф ф 0 - любая дифференцируемая функция.

С геометрической точки зрения преобразования (1) есть поворот потенциала А относительно сохраняющегося 4-вектора тока }\. В этом смысле они похожи на преобразования Лоренца: при переходе в систему координат, движущуюся относительно К со скоростью V, потенциал А. поворачивается относительно направления скорости V. Так что совпадение гомологий как раз и означает, что преобразования (1) являются активными преобразованиями Лоренца.

Далее, согласно принципу относительности, активные преобразования Лоренца совпадают с пассивными преобразованиями Лоренца, которые в данном случае имеют вид

V . . V

р + —А1 А + — р

р^ . с =, А^ с

1

И-I ^

(2)

.с) V V с,

Условие тождественного совпадения (1) и (2) приводит к уравнению

1 дФ

с дг

дФ

дх

2

\

1 -I ^

( - А2) (3)

Условие неотрицательности энергии электромагнитного поля А. = 0 при градиентных преобразованиях приводит к уравнению для функции Ф

1 д2Ф ( д2Ф

с2 дг2

дх2

= 0.

2

2

2

с

Уравнения (3) и (4) обращаются в тождество для решений вида

1 дФ „ . , Ф --= В sinh—,

c dt Ф.

дФ = B cosh-—-,

дх Ф.

(5)

где параметр Ф. ф 0 и функция 2(Ф2 - Л2)

B = ■

i

1 -l*

должна удовлетворять уравнению

1 дВ V , Ф --I sinh— =

c dt I Ф.

дВЛ , Ф — Icosh—

дх I Ф.

(6)

Уравнение (6) следует из уравнения (4) для решений (5). Уравнение (6) обращается в тождество, если

1 дВ \ ^ (Ф) (дВ\_ ^ (Ф) (7)

c дt

sinh

Ф_ Ф,

дх

cosh— Ф,

где ^ (Ф) - дифференцируемая функция.

Используя определение полных производных, из уравнений (4), (5) и (6) можно найти для полных дифференциалов следующие уравнения:

1 ^Ф = 2В sin^-í-

c dt Ф.

d— Ф

-= 2В cosh—. (8)

dx Ф. W

Тогда квадрат интервала пространства-времени равен

ds2 = (cdt )2 - (dX )2 =

d—

В sinhl 2 —

f л

cdt

Ф

cosh—

Ф V . I

. (9)

Интервал (9) временеподобен, так как

/оч с!х , Ф

из (8) следует, что — = с 1апп — < с для любой функции Ф < да . Выбор функции Ф ограничен только тремя уравнениями (6), (7) и (8), в которые входят только две произвольные функции В и Ф. Поэтому, не ограничивая общности, можно выбрать связь координатного времени I и функции Ф в виде dФ _ cdt,

тогда

В =

f Ф Л

2sinh— Ф.

и

F (Ф) = -

f Ф Л-1

2Ф* tanh —

Ф* i

Функция Ф определяет связь потенциалов А1 и координатного времени t. Интервал теперь равен

dФ

ds = -

cosh—

Ф.

(10)

Из (10) следует, что множество событий, конечно,

(

s = 2Ф.

arctan e Ф* -

<—Ф.

2 *

хотя функция Ф Ф 0 имеет бесконечную область определения.

Таким образом, электродинамике Максвелла следует сопоставить компактный мир Минковского.

Какой физический смысл у функции Ф? Поле заряженной материи / _ £ +г/2 при градиентных преобразованиях потенциалов изменяется согласно калибровочным преобразованиям

. ф

Ф.

f ^ f^'. (11)

Группе калибровочных преобразований (11) отвечает более общее алгебраическое свойство уравнений скалярной электродинамики, которое записывается в виде уравнения окружности

(/1 )2 + (f )2 = R2. (12)

Полагается, что калибровочные преобразования (11) позволяют получать из постоянного поля f = R = const поле материи

Ф Ф

/1 = R cos—, f = R sin— Ф. Ф. "

Уравнение (12) играет роль динамической симметрии для поля материи.

Квадрат интервала в фазовом пространстве (12) равен

dl 2 =(df )2 +(df2 )2 =

f R Л2

Ф.

(13)

Следовательно, функция Ф играет роль интервала в фазовом пространстве (12).

Уравнение (10) и (13) устанавливают правило отображения между компактным множеством (12) и компактным миром Мин-ковского (10).

2

Ф

c

2

Таким образом, компактность мира Минковского для электромагнитных процессов есть следствие калибровочной симметрии, а не уравнений движения для электромагнитного поля. Поэтому любой электромагнитный процесс происходит в компактном пространстве-времени, если калибровочная симметрия выполняется точно.

В работе [1] показано, что компактная космологическая модель с симметрией

(12) пульсирует. В ходе пульсаций растет динамическая энтропия поля материи. Поэтому в этой модели нет противоречия с принципом причинности.

Библиографический список

1. Розгачева И. К. // Астрономический журнал. -1977. - Т. 74. - С. 165-171.

2. Соколов Д.Д., Шварцман В.Ф. // ЖЭТФ, 1974. -Т. 53. - С. 412-419.

3. Lehoucq Я., ЬасЫе7е-Кеу М., Ьиште! 1Р. // АБЦ-ОП. АБИ^УБ., 1996.- V. 313. - Р. 339-346.