О стохастических и топологических свойствах вакуума Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

О СТОХАСТИЧЕСКИХ И ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ВАКУУМА

И.К. РОЗГАЧЕВА, доц. физического факультета МГПУ, канд. физ.-мат. наук

В настоящее время в физике элементарных частиц очень популярны теории, в которых предполагается, что наш мир имеет больше четырех измерений. Эта гипотеза логически связана с теориями электрослабого и сильного взаимодействий, в которых используются многокомпонентные поля материи. Фазовое пространство полей эквивалентно многомерной сфере (так называемая калибровочная симметрия). Координатные линии фазового пространства замкнуты.

Обобщением этой схемы является модель, в которой метрический тензор пространства-времени и поля материи рассматриваются как равноправные компоненты суперполя. Основное состояние суперполя называется физическим вакуумом, а частицы трактуются как возбуждения этого вакуума. Основное состояние определяет структуру пространства-времени Вселенной.

Никаких экспериментальных свидетельств в пользу модели многомерного мира нет. Однако с математической точки зрения эта модель кажется привлекательной. Поэтому имеет смысл анализировать связь ее основных предположений с гипотезами квантовой теории поля, которая имеет убедительную экспериментальную базу.

Целью настоящей работы является исследование некоторых вопросов, относящихся к геометрическим свойствам физического вакуума. Для полноты изложения ниже приведены известные экспериментальные факты и основанные на них гипотезы.

В физике элементарных частиц используется теория квантовых полей материи и полей взаимодействия. Предполагается, что наблюдаемыми квантами полей материи являются фундаментальные фермионы - кварки и лептоны. Из них состоят все более крупные частицы материи - адроны (барионы, мезоны) и атомы.

Наблюдаемыми квантами полей взаимодействия являются фундаментальные векторные бозоны - фотоны (переносчики электромагнитного взаимодействия), глюоны (переносчики сильного взаимодействия кварков), бозоны W±, Z (переносчики слабого взаимодействия лепто-нов), гравитоны (переносчики гравитационного взаимодействия всех частиц, пока не обнаружены). Предполагается, что поля материи имеют ка-

либровочную симметрию, а поля взаимодействия являются следствием этой симметрии, поэтому их называют калибровочными. С этим типом симметрии связаны аддитивные законы сохранения квантовых чисел фермионов - электрический заряд Q, барионный заряд B, лептонный заряд L, изоспин I, а также квантовые числа кварков. Почему существует калибровочная симметрия? Пока ответ на этот вопрос не найден.

Состояние, в котором нет реальных частиц и все поля взаимодействия равны нулю, называют физическим вакуумом. Это понятие является очень важным в теории квантовых полей. Оно восходит к гипотезам Пуанкаре об электромагнитном эфире [1], Эйнштейна - о гравитационном эфире [2] и Дирака - об электрон-позит-ронном вакууме [3].

Предполагается, что вакуум состоит из независимых квантовых флуктуаций полей взаимодействий - вакуумные флуктуации (фундаментальные вакуумные бозоны), для которых изменение энергии полей 5Е за время 5t удовлетворяет соотношению неопределенности Гейзенберга 5Е х 5t = h.

Взаимодействие реальных частиц с вакуумными бозонами может приводить к рождению виртуальных фермионных пар частица q - античастица q . Для этого необходимо, чтобы благодаря взаимодействию энергия флуктуации оказалась равной 5Е = 2mc2, где m - масса частицы. Время изменения энергии флуктуации равно bt = h / 2mc2. За это же время виртуальная пара qq исчезает. Предполагается, что в физическом вакууме всегда происходят превращения вакуумных бозонов в виртуальные пары фермионов и обратно.

Представление о вакуумных флуктуациях электромагнитного поля используется в квантовой электродинамике для объяснения существования эффекта сдвига нижнего энергетического уровня в изолированном атоме водорода - лэм-бовский сдвиг, аномального магнитного момента электрона, притяжения двух проводящих плоскопараллельных пластин в пустоте - эффект Казимира [4].

Из гипотезы о физическом вакууме следует, что электрон должен быть окружен «шубой»

54

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

из виртуальных электрон-позитронных пар, которые рождаются при электрослабом взаимодействии электрона и вакуумных фотонов.

Виртуальная пара фермионов может стать реальной, если при рождении она получает энергию E быстрее, чем изменение энергии в вакуумных флуктуациях, т.е. если

Й Й

At = — < Ы =----- .

E 2mc2

Таким образом для рождения пары необходима энергия E > 2mc2.

Эта гипотеза о рождении частиц из вакуумных бозонов используется для объяснения наблюдаемых на ускорителях струй адронов, которые образуются при столкновении пучков электронов и позитронов, а также во встречных пучках протонов и антипротонов. Чем больше энергия сталкивающихся частиц, тем больше разнообразие частиц в струях. Предполагается, что сталкивающиеся частицы имеют «шубы» из вакуумных бозонов. При столкновении эти бозоны превращаются в разлетающиеся пары фермионов qq .

Представление о рождении частиц из вакуумных флуктуаций позволяет понять данные о радиоактивных распадах ядер. Продукты распада не входят в состав радиоактивного ядра, они рождаются в процессе распада.

Представление о вакуумных калибровочных глюонах, которые образуют шубу кварка, используется для объяснения асимптотической свободы кварков в протонах.

Из приведенных примеров ясно, что вакуум играет роль первоосновы в современной физической картине мира. Все реальные фермионы и бозоны рассматриваются как возбуждения вакуума. Поэтому со свойствами вакуума связаны мировые физические постоянные, в частности максимальная скорость распространения взаимодействий c и минимальный квант действия h (постоянная Планка h = 2nh), константы всех типов взаимодействий фермионов.

В настоящей работе анализируются геометрические свойства 4-мерного пространства-времени, которые следуют из свойств симметрии вакуума.

Все динамические характеристики физического вакуума должны быть в среднем по флуктуациям инвариантными, т.к. основное его свойство - ненаблюдаемость. Все перечисленные выше вакуумные эффекты являются следствием

взаимодействия реальных электронов и протонов с вакуумом. Если реальных частиц нет, то нет и самопроизвольного рождения частиц из вакуума, т.е. вакуум не изменяется.

Для ненаблюдаемости вакуума необходимо, во-первых, чтобы его динамические инварианты в среднем были всюду одинаковые (не зависели от выбора системы отсчета). Иначе можно было бы обнаружить изменение вакуума при перемещении системы отсчета.

Рассмотрим два динамических инварианта, связанных со свойствами пространства-времени - 4-вектор энергии-импульса P' и тензор момента импульсаMik, i = 0, 1, 2, 3. Хорошо известно, что, согласно теореме Нетер, в изолированной системе инвариантность 4-вектора Pi относительно 4-мерных трансляций в пространстве-времени связана с инвариантностью (симметрией) функционала действия относительно этих трансляций. Функционал действия пропорционален интервалу пространства-времени, поэтому трансляционная симметрия действия эквивалентна однородности пространства-времени. Например, для точечного тела, движущегося с постоянным импульсом, все точки пространства-времени эквивалентны, и любую из них можно считать началом отсчета.

Аналогичная цепочка связывает в изолированной системе инвариантность момента Mik относительно 4-мерных поворотов системы отсчета с изотропией пространства-времени. Следовательно, если для вакуума средние значения Pi и Mik всюду равны нулю, то пространство-время однородно и изотропно, т.е. симметрично относительно трансляций и поворотов.

Для реальных тел сохранение момента Mik, вообще говоря, не означает сохранение 4-вектораР^ Например, при орбитальном движении Земли вокруг Солнца сохраняется орбитальный момент импульса Земли, но величина и направление импульса изменяются в течение периода обращения. Следствием этого изменения является наблюдаемая аберрация звезд, которая доказывает движение Земли вокруг Солнца. Для того чтобы нельзя было обнаружить движение относительно вакуума, необходимо выполнение второго условия - совместного выполнения законов сохранения Pi и Mk. В этом случае при 4-мерных поворотах системы отсчета нельзя обнаружить потоков вакуумных флуктуаций, т.е. не появляется отличный от нуля 4-вектор энергии-импульса Pi, а при 4-мерных трансляциях не появляется отличный от нуля момент Mik.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

55

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

При любых смещениях системы отсчета ненаблюдаемый вакуум и вмещающее его пространство-время отображаются сами на себя. В топологии множеств такие отображения называются автоморфизмами [5]. Автоморфизм трансляций соответствует закону сохранения 4-вектора энергии-импульса P, автоморфизм поворотов - закону сохранения момента Mik. Для ненаблюдаемости вакуума необходимо совпадение автоморфизмов его пространства-времени. Это условие повышает симметрию вакуума по сравнению с однородным и изотропным пространством-временем Минковского для свободной точечной частицы.

Ниже в разделах 1 и 2 рассматриваются следствия высокой симметрии вакуума. Оказывается, что пространство-время вакуума компактное, т.е. имеет замкнутые геодезические линии. Эти геодезические линии являются неустойчивыми, поэтому вакуум можно считать стохастической системой.

В физике вакуума есть проблема, которая называется «ультрафиолетовой расходимостью». Дело в том, что плотность энергии вакуумных флуктуаций в объеме V = X3 равна р = 5Е / V = hc / X4

и бесконечно растет с уменьшением масштаба X = cx5t^0. Ультрафиолетовой расходимости не будет, если возможный масштаб флуктуаций ограничен снизу X > X В современной многомер-

ной теории поля (M-теория) существование масштаба Xmm является одним из постулатов, правда, пока не обоснованным с физической точки зрения.

Компактность пространства-времени вакуума

В рамках классической механики (так называемый эффективный подход) следует рассматривать вакуум как непрерывное 4-мерное множество Ф - пространство-время вакуума.

Однородное и изотропное пространствовремя вакуума имеет метрику

ds2 = gikdxidxk. (1)

Ее метрический тензор gik связан с метрическим тензором мира Минковского nk конформным преобразованием

gik = a\k ,

где диагональная единичная матрица nk имеет сигнатуру (+------) и a - постоянный масштаб-

ный фактор.

Автоморфизмы множества Ф описывают

4-вектором Киллинга Е. При смещении множества Ф в направлении Е. выполняется преобразование координат X. ^ х. + Е. при условии, что метрические соотношения между точками множества остаются неизменными: g.k(X) = gk(х). Векторы Киллинга касаются геодезических линий пространства-времени Ф и удовлетворяют следующему уравнению [6]

Е* + Ek;i = 0

где Е;к - ковариантная производная в метрике (1). Это уравнение имеет решение для автоморфизмов 4-трансляций

Е = T , (2)

где Ti - постоянный 4-мерный вектор, и для 4мерных поворотов

Е = (3)

где Vik - постоянная антисимметричная матрица 4-мерных поворотов.

Векторы Киллинга задают направления, касательные к множеству Ф, поэтому определим 4-вектор T как 4-мерный градиент к поверхности Ф T. = дФ / дх..

i I

Ковариантные компоненты есть T = gkTk. Условие совпадения автоморфизмов (2) и (3) дает уравнение для функции Ф

дФ дФ jrikjrml

п,------------= n V V х,х,.

ilk ~ ~ iim k l

дх. дх,

(4)

С помощью уравнения (4) можно убедиться, что множество Ф компактно. Для простоты рассмотрим двумерные автоморфизмы в координатной плоскости {х0 = ct, х1} (лоренцевы повороты). В этом случае индексы в уравнении (4) пробегают значения, равные 0,1, и оно приводится к следующему виду

^дФ^ 2 ^дФ Y

чдх0 J чдх1 »

= ¥2

где ^2 = -(У10)2(х0х0 - х1х1).

Для лоренцевых поворотов

V “ = i- v / c

(5)

•\Д - (v / c)2

где v - скорость движения системы отсчета; i - мнимая единица.

Заметим, что Ф2 > 0 для временеподобных движений (х0 > х1). В уравнении (5) учтено, что в силу антисимметрии V00 = 0 = V1 и V10 = - V01. Учтем, что интервал в системе координат {х0, х1} есть s2 = п, х'Д = хх - х,х,,

ik 0 0 1 1

и

ds2 = n^d^'d^ = dx0dx0 - dxldxl. (6)

56

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Можно убедиться, что равенства (5) и (6) обращаются в тождество для функций

дФ / дх0 = ^coshФ, дФ / дх1 = ^б^Ф, дх0 / дs = = (1 / ¥)(дФ / дх0), дх1 / ds = (1 / ¥)(дФ / дхД. (7)

Уравнения (7) позволяют найти следующую связь Ф и интервала s:

- (/' / 2)F10 х s2 = arctan(e2,t) - (n / 4), (8)

где используется условие s^ = 0) = 0. Из формулы (8) видно, что при бесконечном множестве точек 0 < Ф < да значения интервала пробегают ограниченную область значений

X \1/2

0<s<

п

2iV10

= s

max ‘

С помощью уравнений (7) и решения (8) можно найти функции x0(s) и x1(s). Оказывается, что изменения координат х0 и х1 тоже ограничены. Для того чтобы координатные линии не имели края, они должны быть замкнуты. Поэтому на двумерном множестве Ф(х х1) координатная сетка задается двумя ортогональными окружностями С(х0) и С(х1). Каждая из этих окружностей получается отождествлением двух граничных значений соответствующих координат х х1. В этом случае множество Ф есть тор, причем координатная окружность С(х0) есть параллель тора, а С(х1) - меридиан тора.

Важно, что при замыкании координатных линий х0 и х1 следует отождествлять мировые точки (события) s = 0 и s = s . Это означает, что множество Ф содержит замкнутые геодезические линии и является компактным, хотя состоит из бесконечного множества геометрических точек.

Аналогично можно убедиться с помощью уравнения (4), что компактными являются и поверхности

{х0, х2>,{х0, хз},{х1, х2>,{х1, х3},(х2, хз}.

Стохастичность геометрии вакуума

Физическое понятие стохастичность означает неустойчивость. С геометрической точки зрения с этим понятием сопоставляется неустойчивость фазовых траекторий системы при внешнем возмущении. Эта трактовка впервые появилась в работе Ковалевской [7].

В среднем фазовыми траекториями вакуумных флуктуаций являются геодезические линии множества Ф. Устойчивость геодезических линий анализируется с помощью уравнения Якоби для вариации геодезической линии. Пусть Ф(х х1)

- поверхность, c(s) - вариация геодезической линии, s - интервал, измеряемый вдоль этой линии. Тогда уравнение Якоби имеет вид [8]

сРо / ds2 = - Ко, (9)

где К - риманова кривизна поверхности в выбранной мировой точке s.

Вариация о характеризует отклонение геодезической от первоначального направления. Кривизна К для двумерной поверхности Ф вычисляется по формуле

К=

d2Ф д2Ф дх„2 дх,2

С д2Ф ^ 2

у дх0дх1 j

1 +

С дФ^2

Удх0 J

+

С дФ^2

Удх1 J

(10)

Если кривизна не зависит от интервала s и отрицательная К = К0 < 0, то из уравнения (9) следует, что геодезическое отклонение растет экспоненциально быстро: о да e'^K°s.

Используя формулы (7) и (8), можно найти кривизну по формуле (10). Получается очень громоздкое выражение, из которого следует, что К < 0 и для лоренцевых поворотов

(v / с )2

К « —

s.

(11)

1 — (v / с)

Таким образом, кривизна компактной поверхности Ф отрицательная, и отклонение геодезических линий растет по закону о да sinh(ks),

2

где

k

С v/с Т3

J1—(v / с )2 J

и ks << 1.

Расхождение геодезических линий на компактной поверхности Ф является достаточным условием для их перемешивания [8]. При перемешивании быстро теряется информация о начальном направлении геодезических линий. Такая система является стохастической.

Заметим, что уравнение (5) принимает вид уравнения массовой поверхности

ад, - ад = (тс)2, (12)

если определить импульс вакуумной флуктуации по формуле

р. = (тс / x¥)Ei. = (тс / ^)(дФ / дх.), (13)

где т - параметр массы.

Как известно, уравнение массовой поверхности (12) справедливо для свободной точечной частицы, у которой сохраняются энергия, импульс и момент импульса. Поэтому с феноме-

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

57

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

нологической точки зрения вакуум представляет собой систему невзаимодействующих частиц с различными импульсами (13). Траектории этих частиц перемешиваются за характерное время

т = a / kc.

Подчеркнем, что уравнение массовой поверхности (12) является следствием условия ненаблюдаемости вакуума (топологического условия совпадения автоморфизмов (2) и (3)). В специальной теории относительности это уравнение является следствием инвариантности интервала (1) относительно преобразования координат.

Заключение

Выше показано, что из условия ненаблюдаемости вакуума следует, что вакуум имеет замкнутые все четыре пространственно-временных измерения и является стохастической системой. Заманчиво связать эти свойства с основными постулатами квантовой механики: вероятностная природа материи и квантованность (дискретность) энергии замкнутой системы.

В разделе 2 было показано, что геодезические линии вакуума перемешиваются на характерном масштабе

X

*

/ о \ !/•

a (1 - (v / c)

— = a -----------2—

k l (v / c) J

(14)

Это означает, что поведение виртуальных частиц на масштабах X > X* носит случайный характер. По-видимому, вероятностная природа материи является следствием стохастичности вакуума. Поэтому примем, что масштаб (14) является аналогом длины волны де Бройля: X* ^ h / mv, где m - масса частицы. Вводя комптоновскую длину волны частицы X0 = (h / mc) < X*, находим из (14) алгебраическое уравнение для отношения X0 / X* = У

У

г а ^

lX0 J

У 2 +

' A V

lX0 J

= 0.

(15)

3

Это уравнение связывает X* с параметрами а и X

Теперь учтем, что геодезические линии замкнуты. Для того чтобы не происходило самопроизвольного рождения частиц из вакуума, на длине

геодезической линии R = а х smax должно укладываться целое число длин волн де Бройля X*

R = NX* , (16)

где N - целое число.

Условие (16) дает алгебраического уравнения

1 -

г [Л V

у 2 а

l NXo j

(1 - y2 )y2 = 0.

(17)

Уравнение (17) связывает X* с параметрами X а и N. Уравнения (15) и (16) определяют длину волны X0 как функцию масштабного фактора a и целого числа N. Поэтому множество значений длины X0 является дискретным и множество энергий вакуумных флуктуаций E = mc2 = (hc / X0) тоже дискретное. Таким образом, квантовые свойства физики элементарных частиц могут быть связаны с компактностью пространства-времени вакуума.

Отметим, что масштаб (14) можно использовать для определения масштаба Xmm = X* ^ 0. В этом случае вакуумная плотность энергии конечна и в компактном пространстве-времени нет ультрафиолетовой расходимости.

Основные результаты работы следующие. Во-первых, показано, что из ненаблюдаемости вакуума следует компактность пространства-времени. Во-вторых, дана геометрическая трактовка постулатов квантовой механики о случайной природе материи и дискретности энергии.

Библиографический список

1. Пуанкаре, А. Принцип относительности / А. Пуанкаре.

- Л.: Главная редакция общетехнической литературы, 1935. - С. 51.

2. Эйнштейн, А. Собрание научных трудов / А. Эйнштейн.

- М.: Наука, 1965. - Т. 1. - С. 682.

3. Дирак, П.А. К созданию квантовой теории поля / П.А. Дирак. - М.: Наука, 1990. - С. 218.

4. Дерягин, Б.В. Поверхностные силы / Б.В. Дерягин, Н.В. Чураев, В.М. Муллер. - М.: Наука, 1985.

5. Шапиро, И.С. Лекции по топологии для физиков / И.С. Шапиро, М.А. Ольшанецкий. - М.: Регулярная и стохастическая динамика, 2001.

6. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Рашевский. - М.: Наука, 1967.

7. Ковалевская, С.В. Научные работы / С.В. Ковалевская.

- М.: Изд. Академии Наук СССР, 1948. - С. 153.

8. Арнольд, В.И., Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1989. - С. 274.

58

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007