Топология электрической цепи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372.001

Т.Ю.Онищенко, В.В.Марасанов

ТОПОЛОГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Введение. Наука всегда стремилась получать точные решения; наше время отличается также и тем, что научные результаты жизненно необходимо получать быстро.

Итак, возникла необходимость в методах расчета, позволяющих, «получать решение без процесса решения», т.е. с минимальными промежуточными выкладками. Поэтому при анализе электрических цепей рационально, отказавшись от классического метода составления уравнений Кирхгофа контурных токов или узловых потенциалов напряжений, перейти к другому методу, при котором непосредственно по конфигурации заданной цепи сразу определяются такие основные электрические параметры этой цепи, как коэффициенты передачи тока, напряжения, входное, выходное и передающее сопротивления, особенно эта задача требует быстрого решения при поиске неисправностей в сложных электрических цепях на этапе производства.

Указанным требованиям удовлетворяет топологический метод анализа электрических цепей, или метод графов, при котором относительная экономия расчетного времени резко возрастает с усложнением анализируемой цепи.[1]

Метод графов представляет собой эффективное средство анализа электрических цепей. Его применение позволяет в ряде случаев сократить объем работы примерно на порядок по сравнению с обычными методами анализа. Граф цепи можно представить себе как карту, иллюстрирующую процессы, протекающие в электрической схеме. Как и всякая хорошая карта, граф наглядно демонстрирует кратчайший путь между любыми двумя точками.

Теория графов дает простой, доступный и мощный инструмент построения моделей и решения задач упорядочения объектов. Граф представляет собой схему, состоящую из узлов (точек), соединенных направленными ветвями, и выражающую систему алгебраических уравнений. Узлы графа соответствуют переменным (параметрам), а ветви — коэффициентам при этих переменных. Существуют простые правила операций над графами, которые позволяют получить все возможные решения системы уравнений. С помощью этих правил можно найти передаточные функции, характеристические уравнения или связь между любыми двумя переменными. Для этого нужно либо упростить граф путем последовательного исключения его лишних частей, либо (при нахождении передаточной функции) воспользоваться правилом Мэзона (правилом некасающихся контуров).

Следует отметить, что граф обладает собственными свойствами и может быть не связан с какой-либо конкретной физической системой. Применение графов полезно во многих областях, не имеющих отношения к электротехнике. Любую задачу, связанную с решением системы алгебраических уравнений, можно упростить с помощью графов. Граф, составленный для физической системы, часто с большей наглядностью вскрывает некоторые ее важные свойства. Графы позволяют иногда избежать составления алгебраических уравнений; в этом случае они могут быть построены на основе непосредственного рассмотрения физической структуры системы. Это значит, что при некотором навыке передаточные функции несложных цепей могут быть записаны без составления полного графа цепи.[2]

Основная часть. Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие ветви и узла.

Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.

Узел - место соединения трех и более ветвей.

Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.

Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается

Рис.1

Рис.2

геометрическая фигура, показанная на рис.3.

Рис.3

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным.

Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.[3]

В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:

1. Путь - это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 3 без учета ориентации ветви 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и 3. Таким образом, путь - это совокупность ветвей, проходимых непрерывно.[3]

2. Контур - замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно определить контуры, образованные ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4. Если между любой парой узлов графа существует путь, то граф называют связным.

3. Дерево - это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4.

Рис.4.

4. Ветви связи (дополнения дерева) - это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.

Если граф содержит т узлов и п ветвей, то число ветвей любого дерева д = т -1, а числа ветвей

связи графа с = п - (т -1) = п - т +1.

5. Сечение графа - множество ветвей, удаление которых делит граф на два или более изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом.

Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего графа на рис. 3 и 82 . При этом получаем соответственно сечения, образованные ветвями 6-4-5 и 6-2-1-5.

С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:

• главный контур - контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи;

• главное сечение - сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева. [3]

Топологические матрицы

Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений.

1. Узловая матрица (матрица соединений) - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы - ветвям схемы.

Для графа на рис. 3 имеем число узлов т=4 и число ветвей п=6. Тогда запишем матрицу АН , принимая, что элемент матрицы а^ (I -номер строки; ] -номер столбца) равен 1, если ветвь ] соединена с узлом I и ориентирована от него, -1, если ориентирована к нему, и 0, если ветвь] не соединена с узлом /. Сориентировав ветви графа на рис.3, получим

Ан =

110 -10 0 0 0 0 1 -1 -1 -10 10 10 0 -1 -10 0 1

Данная матрица АН записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы АН всегда равна нулю, так как каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1, остальные нули.[4]

Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А (редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы АН путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки "4" получим

" 1 1 0 -1 0 0

Ан = 0 0 0 1 -1 -1

-1 0 1 0 1 0

Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов д = т -1, т.е. числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, введя понятие узловой матрицы А, перейдем к первому закону Кирхгофа.[4] Первый закон Кирхгофа

Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение

8(Е = 0

(1)

где 8 - вектор плотности тока; dS - нормаль к участку замкнутой поверхности £.

Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать

I +12 - /5 - /6 = 0

Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как:

I

4 = 0

(2)

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.

При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (т-1) узлов, так как при записи уравнений для всех т узлов одно (любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации.

Введем столбцовую матрицу токов ветвей

I =

Л

I-

Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:

А1 = О

(3)

где О - нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А, а не АН, т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (т-1) узлов.[5] В качестве примера запишем для схемы на рис. 3

1 1 0 -1 0 0

0 0 0 1 -1 -1

-1 0 1 0 1 0

■ 11 ■

12 "0"

1з = 0

14 0

15

_ 1б _

Отсюда для первого узла получаем

1-1 +1-12 + 0 • 13 -1-14 + 0 • 15 + 0 • 16 = 11 +12 -14 = 0,

что и должно иметь место.

2. Контурная матрица (матрица контуров) - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы В соответствуют контурам, а столбцы - ветвям схемы.

Элемент Ь.. матрицы В равен 1, если ветвь] входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура, и 0, если ветвь] не входит в контур /.

Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем коэффициенты для матрицы В.

В =

Рис.5.

1 -110 0 0 1 0 0 110 0 1 0 10 1

Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.

ике =Фк -Фе =-(

-Ф ) = -иек

Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:

(4)

^12 =ф1 -ф2

и23 =ф2 -ф3

+

= 0.

Поскольку при обходе контура потенциал каждой ьой точки встречается два раза, причем один раз с "+", а второй - с "-", то в целом сумма равна нулю.[5]

Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:

I

(5)

- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается с = (п - т +1) независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия "дерева": дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (т-1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из (т -1) + (п - т +1) = п уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно.

Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей

и =

и и

и„

Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид

ви = о.

(6)

В качестве примера для схемы рис. 5 имеем

1 -110 0 0 10 0 110 0 10 10 1

откуда, например, для первого контура получаем

и

и 2 из

и4 и5

и

= [0]

1 ■и1 -1-и2 + 1-из + 0-и4 + 0-и5 + 0-и6 = и1 - и2 + из = 0,

что и должно иметь место.

Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов

Ф =

причем потенциал последнего узла связаны соотношением

=0,

то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов

и = А1

(7)

где АТ - транспонированная узловая матрица.

Для определения матрицы В по известной матрице А=АдАс , где Ад - подматрица, соответствующая ветвям некоторого дерева, АС- подматрица, соответствующая ветвям связи, может быть использовано соотношение В= (-АТС А-1ТД1).

3. Матрица сечений - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы - ветвям графа.

Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. Число строк матрицы 2 равно числу независимых сечений.

Элемент q.. матрицы 2 равен 1, если ветвь входит в i-е сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0, если ветвь] не входит в 1-е сечение.

В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем

Я =

10 -10 -1 0 0 110 0 -1 0 0 0 1 -1 -1

Далее рассмотрим операции замыкания (или отождествления) и стягивания.[5] Замыкание или отождествление. Говорят, что пара вершин и в графе G замыкается (или отождествляется), если они заменяются такой новой вершиной, что все ребра в графе G, инцидентные и становятся инцидентными новой вершине.

Например, результат замыкания вершин у3 и у4 в графе рис.6, а представлен на рис.6, б. Стягивание. Под стягиванием мы подразумеваем операцию удаления ребра е и отождествление его концевых вершин. Граф G является стягиваемым графом к графу Н, если Н можно получить из G последовательностью стягиваний.

Граф, изображенный на рис.6, в, получен стягиванием ребер е1 и е5 в графе G (рис.6, а).[6]

Рис.6. Операция отождествления и стягивания в графе

Матрицы для рис.6.(а,б,в) и их электрический смысл могут быть использованы для определения ошибок в контролируемой схеме.

Выводы: Теория графов дает простой, доступный и мощный инструмент построения моделей и решения задач упорядочения объектов. В настоящее время существует множество проблем, где требуется построить некоторые сложные системы с помощью определенного упорядочения их элементов. Теория графов вызывает большой интерес у специалистов многих прикладных дисциплин. В частности, весьма эффективным является применение этой теории к анализу электрических цепей и проектированию самонастраивающихся анализаторов дефектов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дж.Абрахамс, Дж.Каверли. Анализ электрических цепей методом графов./ Под ред. А.А.Соколова. -М.:Мир, 1967.-177с.

2. Р.Басакер, Т.Саати. Конечные графы и сети./ Под.ред. А.И.Теймана. - М.:Наука,1974-368с.

3. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей./Под ред. П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд.2-е , перераб. и доп. -М.: Высш. шк., 1976.-544с.

4. Матханов Х.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. -М.: Высш. шк., 1990. -400с.

5. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. -5-е изд., перераб. -М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

6. М.Свами, К.Тхуласираман. Графы, сети и алгоритмы. / Под ред. В.А.Горбатова. - М.:Мир,1984.-455с.

ОНИЩЕНКО Татьяна Юрьевна - аспирант кафедры технической кибернетики Херсонского национального технического университета.

Научные интересы: Методы характеризационного анализа распознавания экстремальных состояний динамических систем.

МАРАСАНОВ Владимир Васильевич - д.т.н., профессор кафедры технической кибернетики Херсонского национального технического университета.

Научные интересы: Топологические методы исследования динамических систем