CC BY
16
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. - Москва: «Наука», 2002 - 304 с.
2. Рост кристаллов / [Горилецкий В. И., Гринев Б. В., Заславский Б. Г. и др.]. - Харьков: АКТА, 2002. - 535 с.
3. Суздаль В.С. Параметрическая идентификация VARMAX моделей процесса кристаллизации крупногабаритных монокристал-
лов / В. С. Суздаль, Ю. М. Епифанов, А. В. Соболев, И. И. Тавровский // Нові технології. Науковий вісник Кременчуцького університету економіки, інформаційних технологій і управління. - 2009. - №4(26). - С. 23-29.
4. Grimbele M.J. HM controllers with a PID structure / M. J. Grimbele // Trans. ASMEJ. Dynam. Syst. Meas. Control. - 1990. - Vo-
l.112. - P. 325 - 330.
5. Chen B.S. A genetic approach to mixed H2 / HM optimal PID Control / B. S. Chen, Y. M. Chiang, C. H. Lee // IEEE Control System
Magazine. - 1995. - Vol. 15. - P. 51-56.
6. Ho W. K. Tuning of PID controllers based on gain and phase margin specifications / W. K. Ho, C. C. Hang, L. S. Cao // Automatica.
- 1995. - 31(3). - P. 497-502.
7. Broyden C.G. The Convergence of a Class of Double-Rank Minimization Algorithms / C. G. Broyden // Journal Inst. Math. Applic.
- 1970. - Vol. 6. - P. 76-90.
-------------------□ □----------------------
В роботі обгрунтовано вплив просторового квантування енергетичного спектру електронного газу на його концентрацію в тонких пластинкових кристалах . Показано, що при певних умовах спостереження тонко плівкові кристали можуть випромінювати неперервні та дискретні спектри променів світла
Ключові слова: хвильова функція, закон дисперсії, ефективна маса, потенціальна яма
□-----------------------------------□
В работе обосновано влияние пространственного квантования энергетического спектра электронного газа на его концентрацию в тонких пластинчатых кристаллах . Показано, что при определенных условиях наблюдения тонкопластинчатый кристалл может излучать непрерывные и дискретные лучи света
Ключевые слова: волновая функция, закон дисперсии, эффективная масса, потенциальная яма
□-----------------------------------□
The thesis grounds the influence of spatial quantization of electron gas energy spectrum on its concentration in thin lamellar crystals. It is shown that under certain observing conditions thin-film crystals may emit continuous and discrete spectrums of light rays
Key words: wave function, effective mass, dispersion law, potential well -------------------□ □----------------------
УДК 621.373.8+621.382
ТОНКА КРИСТАЛІЧНА ПЛІВКА ЯК КВАНТОВА РОЗМІРНА СТРУКТУРА
Я.С. Буджак
Доктор фізико-математичних наук, професор*
О.В. Зуб
Аспірантка* E-mail: [email protected] *Кафедра напівпровідникової електроніки Національний університет «Львівська політехніка» вул. С. Бандери, 12, м. Львів,79013
І.Вступ
Із квантової механіки відомо, що в тонкій кристалічній пластині з мікроскопічною товщиною d може
спостерігатися так зване просторове квантування енергетичного спектру носіїв струму, яке приводить до того, що багато властивостей тонкої пластини мають кореляційну залежність від товщини d.
Е
2.Постановка задачі
В квантовій механіці рівняння Шредінгера для такої пластинкової структури розв’язується за допомогою методу розділення змінних.
З цією метою координатні осі (х, у) розташовують в площині кристалічної структури, в якій розміри кристала макроскопічні, а його товщина d , яка відраховується вздовж координатної вісі z , має мікроскопічні розміри.
При таких умовах спостереження необхідно вважати, що носії струму в площині кристала рухаються в двохмірному періодичному полі, тому їхня хвильова функція - це відома двохмірна функція Блоха
^(х,у) , а закон дисперсії цього руху - простий па-2 + 2
раболічний £4(рх,ру) = —^—у , де т - ефективна маса
2т
ного квазіімпульсу [1,2].
З.Метод розв’язку та його аналіз
кристалічній пластинці: У(Х,У,г) = уі(х,у)у 2^)
е^,Рх,Ру) = £і(рх,ру) +Є2(d) =
22 рХ+РУ
Ь2
4 І 2 Р,
— - Рz- arcsin(p0pz) = 0 ,
дер-=25^, п'ид"
при цій умові знаходимо, що птах = Аоог( — +1)
2
коренів pzn цього рівняння показують, що значення цих коренів пропорційні їхнім номерам і всі вони позитивні.
Якщо виходити з того, що в рівнянні (3) аргумент шсзт(р0рт) менший або дорівнює одиниці, то розклавши цю функцію в ряд Тейлора і обмежившись при цьому одним першим доданком розвинення, маємо:
пп „
- (1+роЖп = 0
(6)
Рух носія заряду вздовж вісі z - еквівалентний рухові в прямокутній потенціальній ямі шириною d і глибиною и еВ . Хвильова функція у2^) і закон дисперсії £2^) для носія заряду в стані такого руху теж відомі [1,2] .
Далі, використовуючи метод розділення змінних для розв’язку рівняння Шредінгера, легко знайдемо повну хвильову функцію у(х,у^) та повний закон дисперсії носія заряду £^,рх,ру) в тонкій провідній
Отже наближений корінь рівняння (3) дорівнює пп
Р™ =--------- (7)
“ 2(1 + р0) ' '
Точні комп’ютерні розрахунки коренів цього рівняння показують, що вони з великою точністю співпадають із своїм наближеннями (7). Тому в наступних розрахунках будемо користуватись власними коренями рівняння (3) , які описуються формулою (7) . В цьому наближенні закон дисперсії носіїв струму в тонкій кристалічній пластинці, згідно з формулою (2) має таке значення:
Ь2
22
/А \ Рх + РУ
е(^Рх,Ру) = 0 У + п ■
1 2т
(1 + р0)2 ■ 8пmd2
(8)
Використаємо тепер цей закон дисперсії для розрахунку концентрації п^) вільних носіїв струму в даній структурі, аналогічно як це зроблено в роботах [3,4], в яких показано, що при умові (8) п^) дорівнює
ехр
Ц
(1 + Р0) х0
+1
(9)
(1)
(2)
2т 8пmd2
де Ь - постійна Планка, а pz - безрозмірний корінь такого трансцендентного рівняння.
(3)
(3а)
де для зручності записів використані такі позначення:
8пmd2kT . ц ,
х =------:--, Ц = -— , де к- постійна Больцмана,
0 Ь2 кТ
Т - температура кристала, ц - хімічний потенціал носіїв струму.
Виконаємо тепер у формулі (9) наближене сумування за такою відомою формулою:
‘ 1
2
£ф(п) = I ф(n)dn + ^фО^) -ф(0)),
п=1 0
де ф(п) = 1п
(10)
Корені цього рівняння залежать від чисел квантових п , які визначають власні корені рт і рівні енергії (2) за їх зростанням.
Рівняння (3) має розв’язок з фізичним змістом лише тоді , коли аргумент агозт(р0,р^ відповідає умові РoРzn ^1. 1
За цієї умови, коли р0р п = 1, тобто р п = — , знай-
Ро
демо максимальне значення числа птах, при якому рівняння (3) ще має реальний розв’язок з фізичним
П
змістом . Поскільки arcsin(p0pzn) = шсзіп(1) = — , тому
ехр
Ц
(1+Р0) Х0
+1
Для зручності розглянемо випадок коли птах ,
тобто , згідно з (5) , р0 ^ 0 , а для змінної інтегрування п у формулі (10) зробимо заміну
Х0(1+ Р0)2
то одержимо:
п(ц^) = п(ц)
1 -±
Ь2
1п (еЦ* +1)
4^2ткТ F1(ц*)
(11)
(5)
В цій формулі функція Аоог(х)в середовищі МаЛ-CAD означає найбільше ціле число менше або рівне х.
Формула (5) показує,що кількість власних коренів рівняння (3) залежить від безрозмірного параметра р0 (формула 3а). Точні комп’ютерні розрахунки власних
де п(ц*)- концентрація носіїв струму з ізотропним параболічним законом дисперсії і хімічним потенціалом ц* для масивного кристала. Вона дорівнює
. *. 4 (2пткТУ2 *
п(Ц) = ЛІ—] F*е(Ц),
де Fl/(ц*) - відомий інтеграл Фермі.
/2
(12)
п
п
п
2
п
п=
п
2
З
Із формули (11) видно, що для відсутності кореляції концентрації електронів та інших кінетичних властивостей від товщини плівки необхідно, щоб товщина плівки відповідала умові
Ь2 1п (еЦ +1) = 3.303 10-6 1п (еЦ +1)
d>>
32ткТ F^(ц*) (т^ Fя(ц*) '
(13)
Тепер розглянемо за формулою (9) концентрацію n(d)для не вироджених носіїв струму в пластинковому кристалі при умові ц* < -4 .
В цьому випадку формула (9) набуває такого вигляду:
___ /
П
і^) = ^з ■ ец*1 ехр 2d3 ±1
(1 + Р0)Х0
2 птх ~й 1 еХР
х0^ п=
Ь2 )
= П>(Ц*,Т) 0(Р0,Х0)
, * „(2птКТ^32
де п>(ц ,Т) = 21 —-2—
(1 + Р0)Х0
= (14)
32
еЦ - концентрація не ви-
А0\^ > А / — ^1 ^2 І роджених носіїв струму в масивному кристалі, а
2
й(Р0,х0) = ~й ■ 1 ехР
/2
х
п
\
■п
- функція, яка
(1+ Р0)х0
описує вплив просторового квантування на концентрацію носіїв струму в тонких кристалічних пластинках.
де п(ц*,Т) описується формулою (12).
Функція 0(р0,х0) через посередництво параметрів р0 і х0 залежить від температури Т, товщини кристалічної плівки d та глибини потенціальної ями и. На рис.1 наведено графік залежності цієї функції від товщини d для кристала з глибиною потенціальної ями и = 5еВ, що дорівнює деякій середній роботі виходу електрона з кристалу при температурі Т = 300К .
4. Висновки
Проведені дослідження і розрахунки в даній роботі показують, що в тонких кристалах існують потенціальні ями обмеженої глибини, в яких існує обмежена кількість дискретних і енергетичних рівнів. Це при певних умовах спостереження може стати причиною випромінювання неперервного і дискретного спектру світла пластинковими кристалами.
При товщині d , яка відповідає умові
а ь ГГ
d >>---.-----
2п V ти
в потенціальній ямі обмеженої глибини и = 5еВ виникає велика кількість дискретних енергетичних рівнів. Це означає, що рух електрона вздовж вісі z, яка паралельна товщині кристала , стає квазінеперервним і просторове квантування спектру поступово зникає . Цей процес математично описується графіком на рис. 1.
Рис. 1. Залежність ^(р0,х0) від товщини d кристалічної пластинки
Використовуюч и методи рег ресивного ана лізу, який використовувався в роботі [5], можна показати, що для носіїв струму з хімічним потенціалом, який відповідає умові -~<ц* < 1.2 формула (9) апроксиму-ється з точністю до 3 % таким наближенням:
п^) “ ^ 'П(Р0,Х0) “ п(ц,Т)0(р0,х0) , (15)
1 + 0.27ец
Література
1. Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшич. Квантовая механика (нереля-
тивистская теория).Физмат И3.1963.
2. А.Ю.Глауберман. Квантова механіка. Видавництво Львівського університету. 1962.
3. Я.С.Буджак. Елементи статистичної теорії кінетичних властивостей тонких плівок // Фізика і хімія твердого тіла. Т.6. №3(2005) С.366-371.
4. Я.С.Буджак, Д.М.Фреїк, В.Ф.Пасічняк. До питання про
кореляційні залежності кінетичних властивостей тонких плівок від їх товщини // Фізика і хімія твердого тіла . Т.8. №3 (2007). С.463-465.
5. Я.С.Буджак. Хімічний потенціал як важлива характери-
стика електронного переносу в легованих кристалах // Фізика і хімія твердого тіла. Т.9. №4 (2008). С.686-689.
п
2
п
п
СІІ1
Е
