КіНЕТИЧНі ВЛАСТИВОСТі СЕЛЕНИСТОГО СВИНЦЮ ТА їХ АНАЛіЗ В КОМП’ЮТЕРНОМУ СЕРЕДОВИЩі MATHCAD Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА И МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ

В даній роботі для домішкових кристалів селенистого свинцю в температурному інтервалі (100-400) К були проведені експериментальні вимірювання цілої низки кінетичних властивостей кристалу. Показано, що носії струму одночасно розсіюються на акустичних і оптичних фононах

Ключові слова: кінетичні властивості, механізм розсіювання, час релаксації

□-----------------------------------□

В данной работе для примесных кристаллов PbSe в температурном интервале (100-400) К были проведены экспериментальные измерения кинетических свойств кристалла. Показано, что носители тока в исследуемых кристаллах одновременно рассеиваются на акустических и оптических фононах

Ключевые слова: кинетические свойства, механизм рассеивания, час релаксации

□-----------------------------------□

The paper grounds of PbSe crystals in the temperature range (100-400) K were conducted experimental measurements of kinetic properties crystals. Showed that the current carriers in the crystals of scattering on acoustic and optical phonons

Key words: kinetic properties, the mechanism of scattering, time of relaction

УДК 621.315.5+004.4

КІНЕТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ СЕЛЕНИСТОГО СВИНЦЮ ТА ЇХ АНАЛІЗ В КОМП’ЮТЕРНОМУ СЕРЕДОВИЩІ MATHCAD

Я.С. Буджак

Доктор фізико-математичних наук, професор*

О.В. Зуб

Аспірант*

*Кафедра напівпровідникової електроніки Національний університет «Львівська політехніка» вул. С.Бандери, 12, м. Львів, Україна, 79013 E-mail: oliazub@gmail.com.ua

1. Вступ

В даній роботі були синтезовані монокристали селенистого свинцю за технологією, описаною в роботах [1,2].

Кристали були синтезовані із вихідних матеріалів РЬ і Se без точних сертифікатів, які давали можливість одержувати зразки з неконтрольованими донорни-ми або акцепторними домішками з концентраціями 1018ст-3. На таких зразках в інтервалі температури (100-400) К досліджувались питома електропровідність ое(Т) , коефіцієнти ефекту Холла Яе(Т) , коефіцієнти ефекту Зеєбека ае(Т), робились також деякі пробні вимірювання коефіцієнту поперечного ефекту Нернста-Еттінсгаузена ^(Т) , які достовірно показали, що цей коефіцієнт в селенистому свинці позитивний, тобто ^(Т)>0.

Всі експериментальні вимірювання виконувались за допомогою кріостата, детально описаного в роботах [3,4].

Результати цих досліджень для трьох типових зразків описуються графіками на рис. 1, 2, 3.

Ці дані для різних значень температури кристала Т;(100 + і ■ 20) К, де і = 0...15 , в комп’ютерному середовищі MathCAD за допомогою регресивного аналізу були записані у векторній формі у вигляді упорядкованих матриць S, Я і L, які мають такі властивості:

Т = ^0> оеі = ое2 = ое3 = ^3)

Т = Я0» Яеі = Я1 Яе2 = Я2 Яе3 = Я3

Т = # аеі = # ае2 = # ае3 = #

В цих позначеннях буква ‘е’ означає експериментальні дані відповідного кінетичного коефіцієнта кристала, а цифрами ‘1,2,3’ позначені номера зразків , для яких даний коефіцієнт виміряний.

Експериментальні дані S, Я і L дали можливість за відомою загальною формулою

ие(Т) = |Яе(Т)|-ое(Т) (1)

визначити холлівську рухливість струму иев досліджуваних зразках. Результати цих розрахунків показані на рис. 4.

З

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 4.

Як видно із рис. 4, холлівські рухливості в досліджуваних зразках майже збігаються між собою. Регре-

сивнии аналіз цих рухливостеи і статистичні усереднення показали, що вони в селенистому свинці досить добре описуються такою аналітичною формулою:

исі(Т) = ехр(20,152)Т-2,343 см2/Вс

(2)

Значення логарифму рухливості (2) від логарифму температури позначені на рис. 4. хрестиками (х), а усереднені логарифми рухливості (1) описуються суцільними кривими . Із цього рисунка видно, що формула (2) добре описує експериментальні значення рухливості.

Статистичний аналіз збіжності експериментальних рухливостей ие із рухливістю и^ (за формулою 2) , за допомогою коефіцієнтів кореляції Пірсона согг(ие1,ис;1), согг(ие2,ил2) , согг(ие3,ил3) , пока-зав,що всі коефіцієнти майже рівні одиниці. Цей аналіз свідчить про велику достовірність формули (2).

2. Елементи теорії властивостей кристалів

Із загальної теорії кінетичних властивостей кристалів [1,5] відомо, що при умові , коли коефіцієнт ефекту Нернста-Еттінсгаузена позитивний

( МП(Т) >0), а —— <0, то носії зарядів в кристалах

ат

з такою рухливістю розсіюються на теплових коливаннях кристалічної гратки.

Відомо,що в селенистому свинці хімічний зв’язок між атомами кристала має ковалентно-іонний характер [1,6]. В зв’язку з цим розсіювання носіїв струму на теплових коливаннях кристалічної гратки має складний характер і воно складається з розсіювання на акустичних і оптичних фононах.

Процеси розсіювання носіїв струму на дефектах кристалічної гратки впливають на кінетичні властивості через посередництво часу релаксації т , який залежить від природи механізму розсіювання. Якщо розсіювання складне і відбувається на деяких різних механізмах розсіювання , то тоді загальний час релаксації такого складного розсіювання треба розраховувати за такою формулою:

- = - + - +....- +... (3)

тт

т

т

де т; - питомий час релаксації для і-того механізму розсіювання.

Кристали селенистого свинцю відносяться до ізотропних напівпровідників з ізотропним законом дисперсії Кейна для електронів і дірок [1,7]:

Т^ = Є(1+Е-)

2т0т Е|?

(4)

де т0 - маса вільного електрона, т* - відносна ефективна маса електрона або дірки, Е|? - ширина забороненої енергетичної зони кристала.

Час релаксації (3) і закон дисперсії (4) впливають на кінетичні властивості кристалів через посередництво такої функції:

и(е,Т) = «[ £

Р [ ар

(5)

Е

В ізотропних кристалах із законом дисперсії (4) і функцією (5) в області домішкової провідності концентрація носіїв струму п , які розсіюються на теплових коливаннях кристалічної гратки , їх електропровідність о, коефіцієнт ефекту Холла Я, коефіцієнт ефекту Зеєбека а , коефіцієнт ефекту Нернста-Еттін-сгаузена N описуються відповідно такими загальними формулами:

п = ^Т)ГО0(ц*,Т)

о = е^Т)Ш(т* )_5/2 І01(ц*,Т) 1 І00(ц*,Т) ■ І02(ц*,Т)

Я = -

N=( к ]■ я ■о

І01(ц*,Т)2

ш(ц*,Т) .

І01(ц*,Т) ц

І11(ц*,Т) І12(ц*,Т)

І01(ц*,Т) І02(ц*,Т)

де:

ІіХц*,Т) = Іх‘и(х,ц*, Ту (х + Р(Т)х2 )3/2| _^ ^ = ї х‘и(х, ц*,ТУ(х + Р(Т)х2)3/2

2cosh

х ц

2 _ Т

\_2

ах

потенціал, N(T) = кТ

8

3>/л

2пт0т*кТ

3/2

и(х, ц*,Т) =

и1(х, ц*,Т) и2(х, ц*,Т)

В цьому відношенні: и1(х, ц,Т) =

ехр (Т)_1

ІЇ1(х,Т) =

f22(x,T) =

0 ( 0 х + т + Р(Т) ! х + т

х _Т + р(Т)/ х _0

1/2

1/2

1+2Р(Т) | х +

1+2Р(Т)|х _ т

0

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

и2(х, ц,Т) = 1 + С ■ Т15 ■ (1 + 2Р(Т)х)2 х х(х + Р(Т)х2)05 ■ и1(х, ц,Т)

де 0 = 138 К - температура Дебая для PbSe, С - константа , яка визначає окремо ролі акустичного і оптичного розсіювання в загальному процесі розсіювання . В практичних розрахунках константу С треба визначати експериментально. В даній роботі вона дорівнює 0.75.

Для аналізу експериментальних даних приведених на рис. 1-4., і для проведення певних розрахунків необхідно за допомогою формул (6-9) розрахувати приведений хімічний потенціал ц* носіїв струму , їх ефективну масу т* та холлівську рухливість и . Всі ці розрахунки легко реалізувати в комп’ютерному середовищі MathCAD.

З цією метою для визначення приведеного хімічного потенціалу Ц*(Т) при температурі кристала Т складемо нелінійне рівняння, коренем якого є хімічний потенціал ц*.

В цих формулах к - постійна Больцмана , е -заряд електрона, ^± 1) - знак заряда, який виз-

начає тип провідності кристала, Т - темпера* Ц . .

тура кристала, ц =---------приведений хімічний

кТ

£(ц*,Т,ае(Т)) = ае(Т)_| к

І11(ц*,Т)

І01(ц*,Т)

ц

=0 (11)

Корінь рівняння (11) в середовищі MathCAD визначається за допомогою root - функції з трьома аргументами і описується такою загальною формулою:

, Ь - постійна

Ц*(Т, ае(Т)) = гоо1;(£(ц*,Т, ае(Т)), ц*, ц*а, ц*ь)

(12)

Планка, Р(Т) = —, Ш- постійна, яка входить в склад Е8

формули (5) і залежить від природи кристала і механізму розсіювання, и(х, Ц*,Т) - складова частина функції (5), яка для змішаного механізму розсіювання носіїв струму на акустичних і оптичних фононах має таке значення [8]:

де ца ^ць - інтервал значень хімічного потенціалу в якому існує корінь рівняння (11).

За допомогою відношення

** ц. =ц (Ті,ае.)

(13)

л/Т ■ (ІЇ(х, ц,Т) ■ Ш(х,Ту ехр [01 + Яе(£2(х, ц,Т) ■

И(х, ц,Т) =

£2(х, ц,Т) =

ехр(х _ ц) +1 ехр [ х + 00 _ц І +1

ехр(х _ ц) +1

ехР [ х _Т _ц) +1

в досліджуваному інтервалі температури були розраховані значення приведеного хімічного потенціалу для всіх зразків і записані у векторній формі упорядкованою матрицею М з такими властивостями:

М<0> = Т М1 =ц1 М<2> = ц2 М3 = ц3

Ці дані дали можливість за формулою (10) розрахувати фактор розсіювання ефекту Нернста-Еттінсгаузена і показати, що він позитивний, а також розрахувати ефективну масу носіїв струму і холлівську рухливість за формулами:

(14)

(15)

£22(х,Т)) ■ (1 + 2Р(Т) ■ х)

( Ь2 1 (3>/П 1 Ю2(ц*,Т,)' 2/3

[ 2птекТі ч 8 еЯе. Ю1(ц*,Т,)^

и.= и0(т* )_5/2 ■І02(ц*,Т) Ю1(ц*,Т,)

т. =

з

Невідомий параметр Ш , який входить в склад формули (15) визначався за формулою

и0 = и0. = ие. ■(т*)5/2 ■ І01(ц*,Т-) 1 1 1 Ю2(ц*,Т,)

(16)

В цій формулі ие( - це значення холлівської рухливості, розрахованої за експериментальними матрицями S, Я та формулою (17):

ие. = |Яе.| ■ое.

(17)

Розрахунки и0 = теап(Ш.) за формулою (16) показали, що для всіх досліджуваних зразків Ш. має одне і те саме значення , і не залежить від температури.

Після цього за формулою (15) була розрахована холлівська рухливість, а результати цих розрахунків були векторизовані і записані у вигляді упорядкованої матриці ий із такими характеристиками:

ис# = т ис# = исії ис;<2> = ис;2 ис^3 = и^э

ис# = 1п(Т)

За цими даними в середовищі MathCAD була розрахована і статистично обґрунтована величина хол-лівської рухливості в селенистому свинці . Значення логарифму цієї рухливості нанесені на графіку рис.4. і позначені хрестиками (х).

Аналіз цього рисунка показує, що розрахована рухливість ий добре збігається із експериментально виміряною рухливістю, яка описується формулою

(2). Коефіцієнт кореляції для рухливостей иеі согг(ие,ис;) = 1. Ці значення статистичних характеристик свідчать про високу достовірність формули (2) та інших розрахунків виконаних в даній роботі.

3. Висновки

В даній роботі було показано, що в процесах розсіювання носіїв струму на дефектах кристалічної гратки повинна проявлятися компонента спільного розсію-

вання на оптичних і акустичних фононах гратки. При наявності в кристалах іонізованих домі шків повинна також проявлятись компонента домішкового розсіювання . Проте, позитивне значення коефіцієнта Нерн-ста-Еттінсгаузена показало, що в селенистому свинці з концентрацією домі шків 1018ст_3 розсіювання на іонізованих домішках відсутнє. Тому в досліджуваних зразках кристала в досліджуваному інтервалі температури носії струму, в основному, розсіюються на акустичних і оптичних фононах, а їх рухливість описується формулою (2).

Література

[1]. Буджак Я.С. Исследование явлений в полупроводниках со сложным зонным спектром. Автореферат диссертации доктора физико-математических наук. Ленинград, 1985.

[2]. Шморгун В.М., Фреїк Д.М., Запукляк Р.І. Термоелектрика телуриду свинцю та його аналогів. Івано-Франківськ, Плай.2000.

[3]. Буджак Я.С., Мельник П.І., Новосядлий С.П. Лабораторно-розрахунковий практикум з фізики напівпровідників та теорії твердого тіла. Івано-Франківськ, Прикарпатський Національний університет ім. Василя Стефаника, 2007.

[4]. Буджак Я.С., Бурий О.А. Теплові та кінетичні властивості кристалів. Львів. Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2001.

[5]. Буджак Я.С., Ваків М.М. Вступ до статистичної теорії теплових і кінетичних властивостей напівпровідникових кристалів. Львів, «Ліга-Прес», 2008.

[6]. Смит Р. Полупроводники. Изд. иностр. литературы. Москва, 1962.

[7]. Товстюк К.Д., Буджак Я.С., Тарнавська М.В. Про структуру зон носіїв струму в селенистому свинці // УФЖ, 1963, №7. С. 795-797.

[8]. Аскеров Б.М. Электронные явления переносу в полупроводниках. Москва «Наука». Главная редакция физ.-мат. литературы, 1985.

Е