Точные квадраты вида [an] Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 2 (2013)

УДК 511

ТОЧНЫЕ КВАДРАТЫ ВИДА [ап]

Д. В. Горяшин (г. Москва)

Аннотация

В работе доказывается асимптотическая формула для числа точных квадратов в последовательности [аи] для иррациональных чисел а, имеющих ограниченные неполные частные или являющихся алгебраическими.

Ключевые слова: точные квадраты, числовая последовательность, асимптотическая формула, тригонометрические суммы, суммы Вейля.

An asymptotic formula is proved for the number of perfect squares in the sequence [an] for algebraic numbers a and irrational numbers a with restricted partial quotients.

Keywords: perfect squares, Beatty sequence, asymptotic formula, exponential sums, Weyl sums.

Пусть а — иррациональное число. Рассмотрим задачу о нахождении асимптотической формулы для количества S точных квадратов в последовательности [ап], п ^ N при N ^ то. Обозначим

Отметим, что задачам об асимптотическом поведении аналогичных сумм с различными арифметическими функциями посвящены работы многих авторов

PERFECT SQUARES OF THE FORM [ап]

D. V. Goryashin (Moscow)

Abstract

8(n) = I

1, если n = k2 для некоторого k E N;

0, в противном случае.

Тогда S равно значению суммы

S = S(а, N) =J2 $([ап]).

n^N

Теорема 1. Пусть иррациональное число а имеет ограниченные неполные частные или является алгебраическим. Тогда для любого £ > 0 при N ^ ж справедлива асимптотическая формула

S = £ 5{[an]) = J — + O (n4+£) n<N a

Доказательство. Равенство т = [ап] равносильно тому, что ап — 1 < т < ап, та < п < та + а, т. е. {та} > 1 — а• Пусть функция ш(х) задана на полуинтервале (0; 1] следующим образом:

1, если 1 — 1 < х < 1;

а

w(x) = ^ 2, если x = 1 — а или x = 1;

0, в противном случае;

и продолжена периодически на всю числовую ось. Тогда £ 6{[ап})= £ 6{т)= £

n^N m^aN m^aN

{m }>i-^

L a J a

Поскольку u(x) = a + p(x + a) — p(x), где p(x) = 2 — {x}, получаем

^2ö{[an]) = a 5(m)+ ö(m)^m^)- ^

k<N m<aN m<aN ' ' m<aN

Первое слагаемое в правой части дает главный член асимптотики:

11

а £ s(m) = a J = Va + O(l)-

m<aN

Рассмотрим теперь второе и третье слагаемые. Обозначим их через

и воспользуемся следующей леммой о разложении функции р(х) в ряд Фурье (см- [1]).

Лемма 1. При всех Р ^ 2 для функции р(х) = | — {х} имеет место разложение

g2nikx

p(x) = £ 2äk +O{r{x))-

l^jkj^p

где

r(x)= 1 . 2 = £ Ck+ o(Щ, Ck « ^e-^.

VI + P2 Sin nx Kjkj(P ln p \ P J P

Применяя эту лемму к сумме Я, получаем:

я =е<...(г^)—чт>)

т<аМ \ \ / /

о

т^аМ 1^ | к | ^Р

(У*™ (г (^) + г (т))

\т^аМ \ \ / /

р2тк 1

У У «(т)

^ 2п%к

1^ | к | ^Р т^аМ

2пг

кт

т)е 4

+ о

(у*....(4^+^)* '©))■

\т^аМ ' ' ' ' /

Параметр Р выберем позднее, а пока считаем, что 2 ^ Р ^ N. Первая сумма оценивается следующим образом:

____ „2пг -к 1 ____

У У «(т)

2/кък

1^|к|^Р т^аМ

2пг кт

т)е 4

«1 у 1

п к

1<|к|<Р

2пг кт

т)е 4

т<аМ

Далее,

У 6(т)^т^) = У «(т) ( У

т^аМ ' ' т^аМ \ 1^|к|^Р

ск е

1п Р

_2пгк-

У, Ск е

1<|к|<Р 1п Р т^аМ

£ «(т)

кт

т)е~"~ 4

2"™+ о(^ !”2

Поскольку Ск « 1прР, отсюда получаем оценку

т<аМ

1п Р

«— Е

Е «(т)

2пг кт т)е2ш 4

т<аМ

у/а^ 1 2 ,т

+ 1п2 N.

1^|к|^Р 1п Р

Аналогично оценивается и вторая сумма в остатке. Таким образом, требуется оценить тригонометрические суммы

W^

Е

1<к<Р

1

т<аМ

W2 = ЬРР У

Р

1<к<Р 1п Р

£ «(т)

кт

т)е~‘"' а

2пг

т<аМ

Е

1<к<Р

1п Р

1

Е е

г^л/ аМ

2жг\кт2

Р

Е

1<к<Р 1п Р

Е «

г^л/аМ

2пг\кт2

где Л = -. Обозначим также для краткости М = у/а^.

4

к

к

Лемма 2. Пусть X = а = | + ^2, (а,д) = 1, Щ * 1, 1 * К,М * Ж,

А = тах т(и). Тогда

п*Ы 2

IV = £

к*К

£■

г*М

2пгЛкг2

< А 1п2 N ^КММ + К^ + •

Доказательство. Для доказательства леммы 2 воспользуемся методом Г. Вейля. Возведем данную сумму в квадрат и применим неравенство Коши:

к*К

£■

г*М

2пгЛкг2

К

к*К г,в*М

2пгЛк(т2 — в2)

Перейдем во внутренней сумме от переменной г к новой переменной суммирования к, г = в + к. Поскольку г2 — в2 = (в + к)2 — в2 = 2вк + к2, имеем:

М

IV|2* К £ £ £

=>2пгЛк(2в^+^2)

к*КЬ=-М X*в*У

где X = тах(1,1 — к), У = шт(М, М — к). Выделим в сумме по к отдельно слагаемое, соответствующее к = 0 и равное М. Получим:

М

IVI2 * К2М + К£ £ е2жгЛкН2 ^

е2пгЛ^2квк *

к*Кк=—М

Н=0

М

X <в<У

* К2М + к£ £

к*КН=—М

Н=0

£ ■

Х*в*У

2пг-2ЛквН

Для оценки внутренней суммы воспользуемся следующими двумя классическими леммами И. М. Виноградова (см., например, [8]).

Лемма 3. При У ^ 1

1>2"Л" * тт(У щ)

у*У

где ||Х|| = тіп({Х}, 1 — {X}) — расстояние от числа X до ближайшего целого числа.

Лемма 4. Пусть X = ^ + ^2, (а,д) = 1, ч ^ 1, І&І * 1. Тогда при Х,У ^ 1

/ 1 \ ХУ

V тіп У, тт;—¡г < — + (Х + ч)1п Н

±Х V ІМ/ ч

2

Применяя лемму 3, получаем:

2ni2Xksh

Е

х ^y

Е Е

k<K 1<h<M

('

min ( Y — X

\\2\kh\\

E

X <s<Y

e

2ni2\ksh

| min ( M, -—|

) V \\2\Щ\)

^ V V min | M, -———-л- |

^ ^ V 412\kh\\J

k<K l<h<M v 11 117

^ т(v) min ( M,

v<2KM

l|Av||

Оценим сверху т(v) величиной A = max т(n) и применим лемму 4, считая,

n<N 2

Е т(v)min(M щ)« A Е mm(M щ)«

-2KM \ II И/ v<2KM х 11 117

v<2KM

( KM2 \

< A ln N I---------+ KM + qj .

Следовательно,

\W|2 < K2M + AK ln N

fKM2

V q

K 2M 2 q

+ K 2M + qK

)

откуда и следует утверждение леммы 2. □

Воспользуемся теперь доказанной леммой 2 для оценки сумм W1, W2. Разобьем внешнюю сумму по к в сумме W1 на « 1п N сумм по промежуткам вида (К;2К], 2К ^ Р. Тогда

W1 ^ (ln N) max -1

K^P/2 K ^

K<k<2K

^ ^ e2ni\kr2

r<M

(M+-M+Л)

Известно, что справедлива оценка А « Nз. Далее, если число а (а значит и Л = а) имеет ограниченные неполные частные или является алгебраическим, то знаменатель q подходящей дроби к Л можно выбрать так, чтобы были выполнены неравенства (МК2 )1_£ « q ^ МК2. Тогда

(

< N 3 ln 2 N ( M 2 2 + 4m + ^Щ- I < M 2+£ < N 4+£.

K 4 - 4

K 4

:)

1

С помощью леммы 2 оценивается и сумма W2:

In3 N ( MP ln P , r— i-----------------)

W2 < A—^ ——--------------+ PlnPvM + \JqPlnPj <

« A ln5 N ( Mq + —M + Л).

Выбирая P = \JM и (MP2)1-£ ^ q ^ MP2, получим W2 ^ M2+£ ^ N4+£.

Теорема доказана. □

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, 2003.

2. Бегунц А. В. Об одном аналоге проблемы делителей Дирихле // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2004. № 6. С. 52—56.

3. Бегунц А. В. О распределении значений сумм мультипликативных функций на обобщенных арифметических прогрессиях // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6, вып. 2(14) С. 52—74.

4. Abercrombie, A. G. Beatty sequences and multiplicative number theory // Acta Arith. 1995. Vol. 70. P. 195—207.

5. Abercrombie, A. G., Banks, W. D., Shparlinski, I. E. Arithmetic functions on Beatty sequences // Acta Arith. 2009. Vol. 136, №. 1. P. 81—89.

6. Guloglu, A. M., Nevans, C. W. Sums of multiplicative functions over a Beatty sequence // Bull. Austral. Math. Soc. 2008. Vol. 78. P. 327—334.

7. Lu, G. S., Zhai,W. G. The divisor problem for the Beatty sequences // Acta Math. Sinica. 2004. Vol. 47. P. 1213—1216.

8. Vaughan R. C. On the distribution of ар modulo 1 // Mathematika. 1977. Vol. 24, № 48. P. 135—141.

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.

Поступило 24.06.2013