ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О БРАХИСТОХРОНЕ С УЧЕТОМ СИЛ СУХОГО ТРЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

MATHEMATICS

УДК 531. 332.3

doi: 10.21685/2072-3040-2023-2-1

Точное решение задачи о брахистохроне с учетом сил сухого трения

С. О. Гладков

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва, Россия

sglad51@mail.ru

Аннотация. Актуальность и цели. В настоящее время существует довольно большая конкуренция среди научных групп, занимающихся вопросами, связанными с брахистохроной, поэтому наше исследование, основанное на представлении о подвижном базисе, является вполне актуальным к настоящему моменту времени, тем более что целью исследования является нахождение точного решения динамических уравнений с учетом влияния сухого трения. Материалы и методы. Метод исследования базируется на теории подвижного базиса, многократно проверенной на множестве задач, связанных с криволинейным движением. Результаты. С помощью метода подвижного базиса получены уравнения движения шарика по желобу без учета проскальзывания, но с учетом силы сухого трения. Также найдено точное решение задачи в параметрическом виде для случая ц Ф 0. Выводы. Предложенный подход позволил

найти точное аналитическое решение задачи о брахистохроне с учетом сил сухого трения.

Ключевые слова: брахистохрона, сила сухого трения, подвижный базис, сила реакции

Для цитирования: Гладков С. О. Точное решение задачи о брахистохроне с учетом сил сухого трения // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 2. С. 3-10. doi: 10.21685/2072-3040-2023-2-1

Precise solution of the brachistochrone curve problem taking into account the dry friction force

S.O. Gladkov

Moscow Aviation Institute, Moscow, Russia sglad51@mail.ru

Abstract. Background. Currently, there is quite a lot of competition among scientific groups dealing with issues related to brachistochrone, so our study, based on the idea of a mobile basis, is quite relevant to the present time, especially since the purpose of the study is to find an accurate solution to dynamic equations taking into account dry friction on the trough. Materials and methods. The research method is based on the theory of the mobile basis, repeatedly tested on a set of problems relating to curvilinear motion. Results. Using the movable basis method, the equations of motion of the ball along the chute are obtained

© Гладков С. О., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

without taking into account slippage, but taking into account the force of dry friction. The exact solution of the problem in parametric form for the case was found д Ф 0 . Conclusions. The proposed approach made it possible to find an accurate analytical solution to the brachistochrone problem, taking into account the forces of dry friction. Keywords: brachystochrone, dry friction force, mobile basis, reaction force

For citation: Gladkov S.O. Precise solution of the brachistochrone curve problem taking into account the dry friction force. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(2):3-10. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2023-2-1

Введение

Интересно, что несмотря на более чем трехсотлетнюю историю развития направления задачи о брахистохроне, поставленной в 1696 г. Я. Бернул-ли, и массу последующих публикаций по этой теме, ее точного аналитического решения при учете силы сухого трения до настоящего времени нам обнаружить не удалось (см., к примеру, [1-8]).

Данное сообщение посвящено закрытию этого небольшого образовавшегося пробела в теории о брахистохроне в неидеальном случае, когда во внимание принимается также и сила сухого трения.

Будем предполагать, что исследуемая система: желоб и шар, катящийся по нему без проскальзывания под воздействием силы тяжести, находится в вакууме, а шар тормозит только сила взаимодействия с желобом в соответствии с законом Кулона. Схематическая расстановка сил и геометрическая постановка задачи проиллюстрированы на рис. 1.

N

V jjjjci.

Ж п \

V т

__ а

vV*1

mg

Рис. 1. Схематическое изображение постановки задачи

Надо сказать, что при исследовании свойств брахистохроны, как правило, применяются четыре основных подхода к ее решению: принципы вариационного исчисления [1-5], теория оптимального управления [9], метод подвижного базиса [10, 11] и подход, основанный на решении интегральных уравнений [12].

Мы приведем решение этой задачи с помощью метода подвижного базиса, который хорошо зарекомендовал себя и был многократно апробирован при решении множества задач, связанных с исследованием свойств брахистохроны [10, 11].

Решение задачи

Как видно из рис. 1, уравнение движения всегда можно представить в виде второго закона Ньютона:

ma = Fr + N + mg ,

(1)

где т - масса шара; F- сила сухого трения; N - сила реакции желоба; g — ускорение силы тяжести.

При криволинейном движении ускорение вычисляется по формуле

2

a = v т +--n

R

(2)

где т — п - подвижный базис, показанный на рис. 1; Я - радиус кривизны траектории движения; т - единичный вектор касательной, направленной по скорости движения; п - вектор нормали. Точка над буквой здесь и везде далее означает дифференцирование по времени, т.е. V = , при этом подразу-

&

мевается, что V = V (7). Поскольку

F fr =-FfrT, N = nN, g = g (т sin a + n cos a),

(3)

где тупой угол а (7) принадлежит сегменту ш

п 2'п

то с учетом (2) и (3)

уравнение (1) запишется как

m

( 2 ^ v

v т +--n

R

V

= -Ffrт + Nn + mg (т sin a + n cos a).

(4)

Проецируя это уравнение на базис т - п , приходим к следующей системе уравнений:

F

v = g sin a -

fr

m

(5)

mv

R

= N + mg cos a.

Из нижнего уравнения следует, что сила реакции равна

N = m

( 2 v

R

\

- g cos a

(6)

Когда речь идет о брахистохроне, то, как было показано в работе [12], должно выполняться условие

2

v

— = -g cos a. (7)

R

2

v

Заметим, кстати, что если — = g cos a, то траекторией будет парабола.

R

Согласно (6) сила реакции равна

N = -2mgcosa>0 . (8)

Следовательно, сила трения вычисляется по формуле

Ffr = ^N = -2^mg cos a. (9)

Это означает, что систему уравнений (5) с учетом (7) и (9) мы можем представить в виде

v

= g (sin a + 2цcos a),

v2 (10)

— = -g cos a. R

Поскольку

v = Ra, (11)

то вместо системы (10) мы приходим к следующей, значительно более простой:

jv = g (sin a + 2цcos a), ^

[v a = -g cos a.

Разделив верхнее уравнение на нижнее, получаем

d v

-= -tg a - 2ц.

v d a

После элементарного интегрирования находим

v = q|cos a| ,

где Q — константа интегрирования.

В силу того, что угол a тупой, имеем

v = —C1cos ae"2^. (13)

Воспользовавшись далее уравнениями

x = —vcos a>0, y = — vsin a,

немедленно получаем

"(«) = - J

v(ф)соэф

Ф

d Ф,

y (a) = H - J-

n

2

'(ф^Ш ф ф

d ф.

Поскольку согласно уравнениям (12)

v a = -g cos a,

то с учетом решения (13) имеем

a =ge2^a. Ci

Решение этого уравнения можно записать так:

w, I

J e"2^dф = —- Jd$

п/2

здесь учтено, что a(i)| =Q = —. Откуда следует

г=0 2

1 / -

2ц (

ПЦ - e"2^a \ =

C

Подставив теперь (15) и (13) в решения (14), находим

C 2 a

Ci

х(a) = ^ Je~4цф cos2 фdф, g J

П 2

C2 a

y (a) = h + -1- J е-4Цф sin2фd ф. 2 g J

Из закона сохранения энергии m (х2 + y2)

+ mgy = mgH = const

(14)

(15)

(16)

(17)

следует, что

- =V2gH.

(18)

После простого интегрирования мы приходим к окончательному аналитическому решению задачи о брахистохроне с учетом силы сухого трения:

0

2

H I 1 / _-

+ -

2 12ц 1

2лц _ е~4ца

+

1 + 4ц2

J (а) = H

1 --

е_4ца (sin 2а _ ц cos2a) _ це_2пц

"2пц + е"4ца (cos 2а + 2ц sin 2а)

(19)

1

2 (1 + 4ц2

Из решения (19) следует, что в пределе идеального случая, когда коэффициент трения ц —> 0 , мы приходим к параметрическому уравнению классической брахистохроны:

х(а)=Н^а + 2^т2а_-2 |, H

у (а)=—(1 _ cos 2а).

(20)

Факт, что решение (20) описывает именно брахистохрону, элементарно проверяется вычислением времени скатывания шарика от верхней точки желоба, где а = -2, до нижней, где а = п.

Для классической брахистохроны это время составляет

At = п Н . (21)

V2 g

Действительно, согласно решению (20) имеем

dа | ^ dа | , „ rr } cos adа

dx d а

+

-d а = _2Н

п

& = Г

у •'у

п/2 п/2

Учитывая (13), в соответствии с которым V = -ClCOSа, немедленно находим интересующее нас время скатывания

Н

& = п.

которое, как видим, совпадает с (21).

Заключение

С помощью метода подвижного базиса получены уравнения движения шарика по желобу без учета проскальзывания, но с учетом силы сухого трения.

Найдено точное решение задачи в параметрическом виде для случая

ц* 0.

Список литературы

1. Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. Гостехиздат, 1941. 324 с.

2. Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления. 2-е изд. М. : Гостехиздат, 1950. 368 с.

3. Гельфад И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М. : Физматгиз, 1961. 284 с.

4. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М. : Наука, 1967. Т. 4. 804 с.

5. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. : Наука, 1969. 424 с.

6. Ashby N., Brittin W. E., Love W. F., Wyss W. Brachistochrone with Coulomb friction // American Journal of Physics. 1975. Vol. 43. P. 902-905.

7. Lipp S. C. Brachistochrone with Coulomb friction // SIAM Journal on Control and Optimization. 1997. Vol. 35, № 2. P. 562-584.

8. Hayen J. C. Brachistochrone with Coulomb friction // International Journal of NonLinear Mechanics. 2005. Vol. 40, № 8. P. 1057-1075.

9. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. : Физматгиз, 1961. 436 с.

10. Гладков С. О. О траектории движения тела, входящего в жидкость под произвольным углом // Ученые записки физического факультета Московского государственного университета. 2016. № 4.

11. Gladkov S. O., Bogdanova S. B. Analytical and numerical solution of the problem on brachistochrone in some general cases // Journal of Mathematical Sciences. 2020. Vol. 245, № 4. P. 528-537.

12. Barsuk A. A., Paladi F. On parametric representation of brachistochrone problem with Coulomb friction // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2023. Vol. 148, № 1. P. 43-49.

References

1. Gyunter N.M. Kurs variatsionnogo ischisleniya = Calculus of variations course. Gostekhizdat, 1941:324. (In Russ.)

2. Lavrent'ev M.A., Lyusternik L.A. Kurs variatsionnogo ischisleniya. 2-e izd. = Calculus of variations course. The 2nd edition. Moscow: Gostekhizdat, 1950:368. (In Russ.)

3. Gel'fad I.M., Fomin S.V. Variatsionnoe ischislenie = Calculus of variations. Moscow: Fizmatgiz, 1961:284. (In Russ.)

4. Smirnov V.I. Kurs vysshey matematiki = Higher mathematics course. Moscow: Nauka, 1967;4:804. (In Russ.)

5. El'sgol'ts L.E. Differentsial'nye uravneniya i variatsionnoe ischislenie = Differential equations and the calculus of variations. Moscow: Nauka, 1969:424. (In Russ.)

6. Ashby N., Brittin W.E., Love W.F., Wyss W. Brachistochrone with Coulomb friction. American Journal of Physics. 1975;43:902-905.

7. Lipp S.C. Brachistochrone with Coulomb friction. SIAM Journal on Control and Optimization. 1997;35(2):562-584.

8. Hayen J.C. Brachistochrone with Coulomb friction. International Journal of NonLinear Mechanics. 2005;40(8):1057-1075.

9. Pontryagin L.S., Boltyanskiy V.G., Gamkrelidze R.V., Mishchenko E.F. Matemati-cheskaya teoriya optimal'nykh protsessov = Mathematical theory of optimal processes. Moscow: Fizmatgiz, 1961:436. (In Russ.)

10. Gladkov S.O. On the trajectory of a body entering a fluid at an arbitrary angle. Uchenye zapiski fizicheskogo fakul'teta Moskovskogo gosudarstvennogo universiteta = Proceedings of the faculty ofphysics of Moscow State University. 2016;(4). (In Russ.)

11. Gladkov S.O., Bogdanova S.B. Analytical and numerical solution of the problem on brachistochrone in some general cases. Journal of Mathematical Sciences. 2020;245(4):528-537.

12. Barsuk A.A., Paladi F. On parametric representation of brachistochrone problem with Coulomb friction. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2023;148(1):43-49.

Информация об авторах I Information about the authors

Сергей Октябринович Гладков доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры № 311 «Прикладные программные средства и математические методы», Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) (МАИ) (Россия, г. Москва, Волоколамское ш., 4)

Sergey O. Gladkov Doctor of physical and mathematical sciences, professor, professor of the sub-department No. 311 "Applied software and mathematical methods", Moscow aviation institute (4 Volokolamskoye highway, Moscow, Russia)

E-mail: sglad51@mail.ru

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 17.11.2022

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 27.02.2023 Принята к публикации / Accepted 19.04.2023