Точная формула для среднего числа заявок, обслуженных одноканальной СМО с отказами на заданном интервале времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, множество Л;(Т) и отображение F(-,T) образуют требуемую параметризацию множества достижимости Х(Т). Более того, из теорем 1 и 5 следует, что граница множества Х(Т) описывается при помощи кусочно-постоянных управлений с не более (/ —1) переключениями, а внутренность этого множества задается кусочно-постоянными управлениями с не более I переключениями.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. М.: Наука, 1996.

2. Hajek О., Loparo К. A. Bilinear control: geometric properties of reachable sets // Advances in Optimization and Control. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. 1988. 302. P. 262-273.

3. Брокетт P. У. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления // Матем. методы в теории систем. М.: Мир, 1979. С. 174-220.

4. Brockett R. W. System theory on group manifolds and coset spaces // SIAM J. on Control. 1972. 10. N 2. P. 265-284.

5. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы оптимального управления. М.: Наука, 1972.

6. Топу но в М. В. О выпуклости множества достижимости квазикоммутативной билинейной системы // Автоматика и телемеханика. 2003. № 8. С. 44-53.

7. Хай лов Е. Н. О параметризации множества достижимости однородной билинейной системы с квазиком-мутирующими матрицами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2004. № 1. С. 37-42.

8. Celikovsky S. On the global linearization of bilinear systems // Systems and Control Letters. 1990. 5. N 15. P. 433-439.

9. Крейн M. Г.,Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. 10. Хай лов Е. Н. Об аналитической параметризации множества управляемости в линейной задаче управления // Матем. заметки. 1988. 44. № 3. С. 405-406.

Поступила в редакцию 01.04.08

УДК 519.872

Н.К. Бакиров1, М.В. Сначев2, В.Е. Бенинг3

ТОЧНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ СРЕДНЕГО ЧИСЛА ЗАЯВОК, ОБСЛУЖЕННЫХ ОДНОКАНАЛЬНОЙ СМО С ОТКАЗАМИ НА ЗАДАННОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ

Получена явная формула для среднего числа заявок, обслуженных одноканальной СМО с отказами на заданном интервале времени, что позволяет, в частности, точно рассчитывать показатели эффективности работы СМО на произвольном промежутке времени.

Ключевые слова: среднее число заявок, одноканальная система массового обслуживания, отказ.

Введение. Пусть задана одноканальная система массового обслуживания (СМО) с отказами и пуассоновским входным потоком заявок с интенсивностью А и экспоненциальным распределением длительности их обслуживания с параметром /х. Для установившегося, т. е. предельного при больших временах, режима обслуживания известно, что количество заявок, пропускаемых СМО обслуженными на интервале времени длиной //. равно в среднем

А + /х

Целью настоящей работы является получение неасимптотических формул для среднего количества заявок, обслуженных на произвольном временном интервале [Т^Ту, а также для близких по смыслу

1 Институт математики Уфимского научного центра РАН, д.ф.-м.н., в.н.с., е-таП:Ьакшэупк€1гатЫег.ге

2Институт математики Уфимского научного центра РАН, асп., е-таП:8АУа^€1гатЫег.га

3Факультет ВМиК МГУ, д.ф.-м.н., проф., e-maihbeningQyandex.ru

величин. Наш интерес стимулировался работами A.B. Калинкина и других авторов, в которых находятся точные решения уравнений Колмогорова для марковских процессов с дискретными состояниями (см., например, [1]).

Среднее количество заявок, обслуженных на интервале времени [Ti,T2]. Условимся, что обслуженной на интервале времени [А, В] считается заявка, принятая и полностью обслуженная на этом интервале времени. Обслуживаемые заявки, принятые до момента А, обслуживание которых закончилось на интервале времени [А, В], заявки, принятые на интервале времени [А, В], обслуживание которых закончилось после момента В, а также заявки, принятые до момента времени А и обслуженные после момента В, рассматриваются отдельно. Под средним количеством заявок мы понимаем математическое ожидание соответствующей величины.

Лемма. Среднее количество заявок, обслуженных на интервале времени [О,Т], равно

m(0, Т) =Т

А + ß

1 _ е-Т(Х+ц)

1_ П А + м)

Рассмотрим случай произвольных интервалов времени. Справедлива

Теорема. Среднее количество заявок, обслуженных на интервале времени [Ti,T2], равно ш(ТъТ2) = (Т2 - Тг)^ + (е-(л+,)т2 _ _ ^ _ е-,т2) _ е-лт1} _

Следствие. При Т\ оо, !'■> Ч'\ + Ч получаем формулу для установившегося (предельного) среднего числа заявок, обслуженных на интервале длины Н:

lim m(TbTi + Н) = Я-^ - (l - e~ßH) .

7Woо ; ß + X Х + ßK '

Для сравнения отметим, что (предельное) среднее число заявок, пропускаемых СМО обслуженными на интервале времени длины //. в соответствии с классической формулой для абсолютной пропускной способности (см., например, [2]) равно значению выражения (1). Различие существенно при малых Н и фиксированных /х, Л:

lim m(TbTi + //) - —I——H'J. Н О,

Ti-»-oo 2(А + ß)

т. е. при малых Н среднее количество заявок, обслуженных на интервале времени длиной //. пропорционально Я2, а не Н.

Замечание!.. Обозначим через £ {Т\, Т2) количество заявок, обслуженных на интервале времени [Ti,T2], и через 5(Ti,T2) количество заявок, обслуживание которых началось до момента времени Т\ и закончилось на интервале времени [Ti,T2], Рассмотрим величины, сходные с £(Ti,T2):

^i(Ti,T2) = £(Ti,T2) + 5(Ti,T2) — количество заявок, обслуживание которых закончилось на интервале времени [Ti,T2];

£2(Ti, Т2) = ^(Ti, Т2) + 5(Т2, оо) — <5(Ti, оо) + <5(Ti, Т2) — количество заявок, обслуживание которых началось на интервале времени [Ti,T2];

,Т2) = £(Ti,T2) + 5(Ti,T2) + 5(Т2, оо) — количество заявок, обслуживание которых хотя бы частично происходило на интервале времени [Ti,T2],

Ясно, что

mi(TuT2) * ЕЪ(ТиТ2) = m(0,Т2) - т^П) = (Т2 - Т,)^- - - ,

А + и (А + иг \ )

X + ß (А + ß)2 М(Т2, оо)

= т1(ТъТ2) + - е-(А+*0тЛ

А + /х V /

т2(ТьТ2) = КЫ'П.Т,) = тг{ТъТ2) + М(Т2,оо) - Е6(Тиоо) =

А

тз(ТьТ2) = Е£3(ТиТ2) = т^Т^) + М(Т2, оо) = гщ^Ъ) + —— (l -

А + ß \

Стало быть, при Ту —> оо, Т2 = Ту + Н

lim mi(Ti,Ti + Н) = lim т2(ТьТу + Н) = Н- Xß

Ti-foо /X + А Ti-foо /X + А

lim т3(Т1,Т1+Я) = Я^- + — Ti-i-oo v ; /Х + А А + /х

при этом величины тщ (Ti, Ti + Я), тоз (Ti. '/"i + //) возрастают, а m2 (Ti. '/"i + //) убывает по Ti. Заметим также, что m2(Ti,T2) есть среднее число заявок, пропускаемых СМО, обслуженными на интервале времени [Ti,T2].

Замечание 2. Среднее количество заявок, получивших отказ на интервале времени [Ti,T2], очевидно, равно

п(ТьТ2) = А(Т2 — Т2) - [m2(0,T2) -maiO,^)] = -Ту) + ^ _ _

Доказательство леммы. Пусть £ — количество заявок, обслуженных за период времени [О, Т]. Математическое ожидание этой случайной величины будем вычислять по формуле

оо сю

КС = Y^ kP(Z = к) = к).

к=0 fc=l

Здесь Е — оператор математического ожидания. Обозначим через /х* длительность обслуживания г-ш по счету обслуженной заявки и через Tj — промежуток времени между моментом окончания обслуживания (г — 1)-й и моментом начала обслуживания г-й обслуживаемых заявок. Отметим, что заявки, пришедшие в СМО в период обслуживания текущей заявки, получают отказ и покидают СМО. Таким образом, промежутки времени и /х* чередуют друг друга: ту — ожидание прихода 1-й заявки; /xi — обслуживание 1-й заявки; т. — ожидание прихода очередной заявки; Hi — обслуживание пришедшей заявки.

Случайные величины /х^, к ^ 1, независимы и не зависят от случайных величин тк, к ^ 1, и имеют одно и то же показательное распределение с параметром /х по определению. Случайные величины тк, к ^ 1, независимы и имеют одно и то же показательное распределение с параметром А ввиду свойств строгой марковости и однородности пуассоновского процесса [3]. Ясно, что

Р(С >к) = Р((п + Цу) + (т2 + /х2) + ... + (тк + /xfc) < Т).

Случайные величины Tj имеют показательную плотность распределения

Р(Ж) = \0, х < О,

другими словами, они имеют гамма-распределение Гдд. Аналогично случайные величины /х* распределены, как Гдд. По хорошо известным свойствам гамма-распределения [4], суммы случайных величин Tj и ßi также имеют гамма-распределения:

'ту + Г2 + . . . + Тк ~ ГA,fc; +М2 + ••• + ~ Таким образом,

Р(£ ^к) = Р(Гх,к + Гд,* < Т).

Плотность распределения случайной величины Гд^ + Г^ равна

Мх)= /. dl/= (WiZ!¡Ых _ dy=

о о

1 ^^ 1 _ {\ц)ке-*хх2к_у fun (A/i)fce~ 2 »a;2fc-i

/" t))*"^"^ dt = I(1 - d*.

о -1

Здесь 7 = У-^х. Полученное представление для плотности Рк(х), в частности, позволяет доказать

ос

аналитичность суммы ^ Рк(%) по каждой из переменных А, /х, х. Действительно, этот ряд сходится

к= 1

равномерно на компактах в комплексной плоскости. Предположим теперь, что 7 > 0, и используем формулу 3.387.1 из справочника [5]:

1 _ 1

У(1 — х2у~1 е~1Х йх = л/ж 2ГИ^_1(7), Ые^О, |аг87| <

-1

Здесь 1и(х) — модифицированная функция Бесселя [5, с. 975]:

г ( 1 (хУ+2к

щ1У + к + 1){2) к=0 4 '

Тем самым сумма плотностей Рк(х) случайных величин Гд^ + Г^ равна

¥±х(Х^)кх2к-1 г /Г 2Г(к)4к~1 ^

^рк(х) = ^-0Г(ЬЫк-1-^ ( " ) (Т) =

к= 1 к= 1

л/жхХа _ а±л„ ^ (Хах2\г /2\ г+2 1 . . [ЪтхаХ _ ^ (Хах2\г 1 , .

1 §М Ы =V—': 1 %{—)

Далее, по формуле 5.8.3.6 из справочника [6

*т , , Д"

тт-^-м^) = \ —

Лт! к 2 V 7гг

^ ^к 2 _

Е— 7г. 1(2:) = л/—сЬ \/г2 + 2£г, — любые.

£-1 «-24 7 V ТТУ

к=О

Дифференцируя это тождество по получаем

оо

Е 77 А. 1(2) = \ — яЬ -\Д2 + . ^ =. „А;! V тгг У ч/г2 + 2/г

к=0

Итак, для £ = Х[мх2/(2^) получаем, что

Е°° , . [2ттхХи /~2~ ——— 7 нЬ ч/т2 + 2/7

Рк(х) = ,---^-е 2 х\ —бЬ л/72 + 2^7 ; = = жАие 2 ж-; =

= ~ = -^-(1 - е-^)). (2)

^ А + / ' ^

Эта формула справедлива также и при 7 < 0 ввиду аналитичности левой и правой части последнего равенства. Таким образом,

г г

ОО ОО ОО р » оо

^ = Е *) = Е + ^Т)=^ Рк{х)йх= ^рк(х) йх =

к= 1 /г=1 /г=1 д

Т

У Л + /х4 А + /х

о

1 _ е-Г(Л+м)

1_ Т(Л + /х)

Лемма доказана.

Доказательство теоремы. Обозначим через £ (А, Б) количество заявок, обслуженных на интервале времени [А, В], тогда почти наверное

С(0,т2) = С(0 ,Тг) + С№,Т2) + 6(ТиТ2), (3)

где 6(Ту,Т2) = 1, если некоторая заявка полностью обслуживается на интервале времени [О,Т2] и на период ее обслуживания приходится точка Ту, в противном случае 8(Ту,Т2) = 0. Другими словами, 8(Ту,Т2) — количество заявок, обслуживание которых началось до момента времени Ту и закончилось на интервале времени [Ту,Т2]. Взяв математическое ожидание от обеих частей (3), получаем для средних величин

т(0,Т2) = т(0,Ту) + т(Ту,Т2) + Е6(Ту,Т2). (4)

Таким образом, для нахождения т (Ту,Т2) остается найти величину Е8(Ту,Т2). Используя обозначения из доказательства леммы 1, запишем

сю

Е8(Ту,Т2) = Р{8(Ту,Т2) = 1} = ^Р{ГКк + Г^к_у <Ту, Ту<Гх,к + Гц,к-у+ф<Т2},

к=1

где случайная величина ф имеет показательное распределение с параметром /х. Пусть дк(х) — плотность распределения случайной величины Гд^ + Учитывая, что

Р{А <ф <В} = е~11'А - , У А, В > О,

имеем

Т „ т

<J\J у»

ОС

Далее,

X

дк(х) = ! Хе~х{х~у)рк-1(у)ёх, Ук > 1, ду(х) = Хе~Хх, х > 0, (5)

о

где рк-у(х) — плотность распределения случайной величины + определенная выше.

Обозначим

г = e~ßTl — e~ßT2.

В силу (2), (5)

ES (Ту ,Т2) = т

Tl ос Tl

XeSß~X)xdx + ^ / Хе^~Х)х / рк(у)еХу dydx

и_1

fc-l"o о

Tl х

^ - 1 )+r\j I (еХу - e~ßy) dydx = (e"Tl - e~XTl) . (6)

/х — Л

о о

Из (4), (6) и леммы следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Калинкин A.B. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Успехи матем. наук. 2002. 57. Вып. 2(344). С. 23-84.

2. Клейирок J1. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979.

3. Вент цель А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.

4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: В 2 т. М.: Мир, 1984.

5. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.: Гос. изд-во физ.-матем. лит-ры, 1962.

6. Прудников А.П., Брычков Ю. А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

Поступила в редакцию 11.03.08