CC BY
49
УДК 624.04
В.С. Ленев
ФГБОУВПО «МГСУ»
ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ И КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ОДНОГО ПАРАМЕТРА
Рассмотрена механическая система, состоящая из особо расположенных масс, подвешенных на жестком стержне с помощью сферического шарнира. Движением управляет параметр — угловая скорость вращения вокруг оси маятника. При изменении параметра возникает спектр точек бифуркаций, которым придается физический смысл.
Ключевые слова: параметр, угловая скорость, линейная скорость, конический маятник, обратный маятник, специальное расположение масс, механические движения, точки бифуркации, гироскоп, прецессионное движение, орбита, космические скорости, искусственные спутники, сателлиты, Земля, Солнце, галактика, новый способ разгона.
Сначала отметим, что из [1, 2], связанных с теорией катастроф и исследованием точек бифуркаций систем, зависящих от параметров, при достижении критических значений которых состояние или конфигурация системы скачкообразно меняется, приобретая новые качества и формы, взяты основные определения, понятия, положения данной статьи.
В этой работе изучается частный случай такой системы, представляющей собой некоторую механическую систему, положения которой зависят от одного параметра.
Отметим еще, что в [3] рассматривается подобная механическая система, зависящая от двух параметров. Настоящая статья является обобщением [3], ее развитием, порождающим новые выводы.
Описание абстрактной модели системы. Воображаемая система представляет собой маятник, подвешенный на сферическом шарнире A в точке O. Подвеска маятника представляет собой бесконечно тонкий жесткий невесомый стержень L, на нижнем конце которого в точке O' неизменно закреплены бесконечно тонкие невесомые спицы (подобно велосипедному колесу K радиуса S > 0), на концах которых подвешены массы в виде шаров радиуса 5 > 0, т.е. m=m2 = ... = mn, которые формируют общую массу маятника m = ^mi Размеры е, 5 можно считать бесконечно малыми (рис. 1).
Такая система (назовем ее C, см. рис. 1) управляется одним параметром ю — угловой скоростью вращения маятника вокруг оси OO', сначала неподвижной, а затем подвижной за счет вынужденного отклонения массы m из положения равновесия по причине изменения параметра ю, т.е. увеличения угловой скорости и достижения им критических значений, что будет показано ниже. Отметим, что в [4] рассматривается подобная система, но там подвеска маятника гибкая и переменной длины.
ВЕСТНИК
МГСУ-
12/2013
О'" о
о
'VI
/
/
/ ф
/
/
с
©
к
Рис. 1
А
О"
ь
т.
О8 8 > 0
Первая точка бифуркации. Проследим изменение параметра ю, вынуждающего систему С выйти из положения равновесия и покоя. Если параметр ю = 0, то маятник остается в покое и занимает вертикальное положение. Вспомним, к случаю, что отклонения маятника из положения равновесия заставляет его колебаться с периодом Т = 2п — и собственной частотой
и
1 2яУ 1 •
(1)
Постепенно увеличиваем параметр в сторону ю = 0. При малых скоростях ю вращения маятника вокруг оси 00', его подвеска L имеет бесконечно малые углы отклонения аф в точке ф = 0 и ю > 0, и система С не теряет устойчивого положения.
Дальнейшее увеличение скорости ю и достижение ей некоторой критической скорости юи приводит систему С в неустойчивое положение, что влечет скачкообразное конечное отклонение системы С от вертикальной оси 00', что в свою очередь позволяет системе перейти в конфигурацию конического маятника с прецессионным движением вокруг первоначальной оси 00'. Такая неустойчивость связана с теорией, развитой в [5].
Подсчитаем значения первой критической скорости юи, приводящей систему в первую точку бифуркации (к вычислению привлекаем рис. 2).
O"*
I
I I
O
mgy
Рис. 2
В случае небольших углов отклонения ф центробежная сила должна равняться возвращающей силе т.е. 1 = |. Отсюда следует соотношение тт2 Я = (2)
При малых значениях ф будем иметь tgф « sinф = —. Теперь из уравнения
(2) следует формула, определяющая первую точку бифуркации
J_ 2р
® ■ (3)
Следствие из этой формулы (3) таково: если умножить уравнение (3) на , то получаем соотношение
Г [I =Г (4)
и к1 ^ 2* ^ соб.колеб • V /
Следовательно, первая точка бифуркации характеризуется ситуацией совпадения собственной частоты колебания маятника /соб колеб с его критической частотой вращения В результате этого совпадения система С просто вырывается из положения равновесия скачком, что обосновано в [6].
При дальнейшем увеличении скорости ю > юи система C в виду наличия трения в шарнире Л начнет все более и более широкое прецессионное движение вокруг первоначальной оси 00'.
Вторая точка бифуркации. Увеличивая скорость ю >> ю приходим к явному прецессионному движению системы С, которая становится гироскопом с
РНыщ РН
угловой скоростью прецессии £1 =-= —, где Г = mg, п = Ь, I — мо-
/ю8Шф /ю
мент инерции С относительно вращения. Наличие трения в шарнире А и увеличивающаяся угловая скорость ю вытаскивают груз mg из процесса падения на более высокий уровень: момент трения Мтр эквивалентен «зубчатому зацеплению» на соприкасающихся поверхностях шарнира А, что позволяет видеть такой эффект. Можно принять, что Мтр = цсо, ц — некоторый коэффициент [6].
Когда ю достигает некоторой ш система С движется в горизонтальной плоскости Р, проходящей через оси 00" (см. рис. 2). При ю > юк2 система С переходит из состояния конического маятника в обратный конический маятник (волчок) и продолжает свое прецессионное движение в новом качестве, при увеличении ю, поднимаясь в почти вертикальное положение. Скорость юк2 есть вторая точка бифуркации, значение которой находится из уравнения
* г г
Мтр = Ц® = т§1 ^ ® к 2 = -.
Ц
Третья точка бифуркации. Ситуация, касающаяся третьей точки бифуркации, изображена на рис. 3. Перед нами волчок, вращающийся с угловой скоростью ю = юк3 на плоскости Р, которая параллельна касательной плоскости Земли в некоторой точке. Само колесо К вращается параллельно этой плоскости.
Рис. 3
Обратим внимание на движение масс т. с линейной скоростью УТ , вектор которой коллинеарен касательной плоскости Земли и сформулируем теорему, на которую будем опираться в дальнейших рассуждениях.
Теорема. Если в некоторой плоскости К, параллельной некоторой касательной плоскости к Земле масса т. достигает линейной скорости V равной
км
первой космической скорости У1 = 7,8— , то т. становится искусственным
с 1
п
спутником Земли, а сама система С массой т = становится невесомой и не производит давление на опору А. '=
Как следствие этого, прецессионное движение прекратится, и L займет строго вертикальное положение, и произойдет смена конфигурации в новой
V
третьей точке бифуркации с параметром юк 3 =—5— . Находясь в такой ситуации,
8 + 5
вообразим что мы, обрезав связи, «отпустим» массы т. в свободный полет. Тогда они станут искусственными спутниками Земли, и, сделав один оборот по орбите, окажутся на прежних местах.
Четвертая точка бифуркации. Увеличим далее угловую скорость ю.
Считаем, что ю достигнет юК4 (причем УТ = юк4 (е + 5) = У2 = 12,33—, т.е.
с
второй космической скорости; вектор VT коллинеарен некоторой касательной плоскости к поверхности Солнца). Тогда система С войдет в окрестность четвертой точки бифуркации и вся конструкция будет «вырываться» вверх из шарнира А. Эвристически это можно объяснить тем, что если «отпустить» массы т., то они, двигаясь по орбитам, становятся сателлитами Солнца, а потенциально, создают силу тяги к Солнцу всей конструкции. Отсюда вывод: при разгоне космических устройств, ракеты, обеспечивающие их движение, можно ставить горизонтально, чтобы добиться нужной угловой скорости. А четвертой
V
точке бифуркации соответствует параметр юк 4 =——.
е + 5
Интересно отметить, что при достижении 1-й космической скорости объекты т(при их отпуске) уйдут под плоскость К, а при достижении 2-й космической скорости в той же ситуации уйдут в пространство выше плоскости К (наглядный пример бифуркаций).
Пятая точка бифуркации. Дальнейшее форсирование скорости ю к юК5, соответствующей пятой точки бифуркации (причем УТ = юк 5 (е + 5) = У3 = 16,6 —,
с
т.е. третьей космической скорости — скорости покидания солнечной системы (в благоприятных условиях), заставляет систему С по новому реагировать на
это событие. Ее раскрутка до параметра юк 5 = —— и последующий «отпуск»
8 + 5
масс т. превращает их в звезды, которые будут вращаться вокруг центра нашей галактики.
Шестая точка бифуркации. Когда ю достигнет юК6 (причем УТ = юк6 (е + 5) = У4 = 220— — четвертой космической скорости, соответ-
ствующей параметру 6 =—— |, система опять изменит конфигурацию, что
е + 5 )
проявится тем, что «отпущенные» массы т. покинут нашу галактику. И так далее...
Заключение. Исследуемая система C, зависящая от одного параметра ю, обладает целым спектром точек бифуркаций. Как можно видеть из содержания статьи, для достижения таких скоростей и наблюдений связанных с ними эффектов нужен нестандартный способ горизонтального разгона космических объектов. На наш взгляд, изложенные выше предложения можно связать с идеями, высказанными в [7].
Библиографический список
1. Арнольд В.И. Теория катастроф. М. : Наука, 1990.
2. Throm R. Catastrophe theory. Lecture Notes in Mathematics. 1960, vol. 468.
3. Ленев В.С. Точки бифуркаций некоторых вращающихся и колеблющихся систем // Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы : сб. тр. второй Междунар. науч.-практ. конф. М. : МГСУ, 2009. С. 209—214.
4. Бабаков И.М. Теория колебаний. М. : Наука, 1968.
5. Дж. М.Т. Томпсон. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике. М. : Мир, 1985.
6. Стрелков П.С. Механика. М. : Наука, физ-мат. литература, 1975.
7. Андронов А.А. Математические проблемы теории автоколебаний. I Всесоюзная конференция по колебаниям. М. ; Л. : ГТТИ, С. 32—72.
Поступила в редакцию в сентябре 2013 г.
Об авторе: Ленев Владимир Степанович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
Для цитирования: Ленев В.С. Точки бифуркации вращающейся и колеблющейся механической системы, зависящей от одного параметра // Вестник МГСУ 2013. № 12. С. 27—33.
V.S. Lenev
BIFURCATION POINTS OF A ROTATING AND OSCILLATING MECHANICAL SYSTEM DEPENDING ON ONE PARAMETER
This work is dedicated to finding bifurcation points for a special mechanical system comprised of a pendulum hanging on a spherical joint. Its motion and positions depend on one parameter: the angular velocity around the axis. When the parameter grows uninterruptedly, the system passes through a discrete sequence of bifurcation points: when the parameter has a small value, the mass of pendulum meanwhile has special configuration, it makes the simple rotation near its balance position. The increase of the parameter up to the first point of bifurcation deviates the pendulum from balance: now it is a conic pendulum. The consequent increase of the parameter the friction in the hinge causes the precession and then the vertical gyroscope motion. Their parameters are calculated and there are mechanical interpretations for them. For example, at the first point
of bifurcation we have congruence of rotary motion and oscillation of the pendulum. At the second point there is a change in the configuration of the conic pendulum. Physical interpretations are given at the third, the fourth, the fifth and the sixth points of bifurcation where the masses reach the first, the second, the third and the forth cosmic velocities respectively. Also the article demonstrates a new method of accelerating masses to cosmic velocities.
The article is of theoretical character and the ideas of G.M.T. Tompson, V.I. Arnold, A.A. Andronov, V.S. Lenev are used in it.
Key words: parameter, angular velocity, linear speed, conic pendulum, inverse pendulum, special mass configuration, mechanical motion, points of bifurcation, gyroscope, precession motion, orbit, cosmic speed, artificial satellite, satellite, Earth, Sun, Galaxy, new method of acceleration.
References
1. Arnol'd V.I. Teoriya katastrof [Catastrophe Theory]. Moscow, Nauka Publ., 1990.
2. Throm R. Catastrophe Theory. Lecture Notes Math. 1960, vol. 468.
3. Lenev V.S. Tochki bifurkatsiy nekotorykh vrashchayushchikhsya i koleblyushchikhsya sistem [Points of Bifurcation of Some Rotating and Oscillating Systems]. Teoriya i praktika rascheta zdaniy, sooruzheniy i elementov konstruktsiy. Analiticheskie i chislennye metody: sbornik trudov vtoroy Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii [Theory and Practice of Calculating Buildings, Structures and Elements of Structures. Analytical and Numerical Methods: Collection of Works of the 2nd International Scientific and Practical Conference]. Russia, Moscow, MGSU Publ., 2009, pp. 209—214.
4. Babakov I.M. Teoriya kolebaniy [Oscillation theory]. Moscow, Nauka Publ., 1968.
5. Dzh. M.T. Tompson. Neustoychivost' i katastrofy v nauke i tekhnike [Instability and Catastrophes in Science and Technology]. Moscow, Mir Publ., 1985.
6. Strelkov P.S. Mekhanika [Mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1975.
7. Andronov A.A. Matematicheskie problemy teorii avtokolebaniy [Mathematical Problem of Auto Oscillations]. I Vsesoyuznaya konferentsiya po kolebaniyam [First All-Union Conference on Oscillations]. Moscow-Leningrad, GTTI Publ., pp. 32—72.
About the author: Lenev Vlamidir Stepanovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Lenev V.S. Tochki bifurkatsii vrashchayushcheysya i koleblyushcheysya mekhanicheskoy sistemy, zavisyashchey ot odnogo parametra [Bifurcation Points of a Rotating and Oscillating Mechanical System Depending on One Parameter]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 12, pp. 27—33.
