CC BY
18
УДК 664.02
Варивода Ю.Ю.1, к.т.н., доцент, Щж Б.Р.1'2, д.т.н., професор Волос В.О.1, к.ф.-м.н., доцент, Чохань M.I.1, к.т.н., доцент, Сешв Р.В.1, асистент Гончар Ф. М3 . к. ф. - м. н., доцент® 1Лъв\еський нацюяа.ъънийутеерситет ветеринарной меди цинь та бтотехнояогтй ьмет С. 3. Гжицъкого
j
^Университет Ксзим ира Вея ш:ого е Бидгощi, Поя ь ща 2На. ц \онал ъний унъв ер с ит ет «Львтвська поттехнта»
ТЕПЛОПРОВ1ДН1СТЬ НЕОДНОР1ДНИХ ЦИЛ1НДРИЧНИХ РОБОЧИХ ВУЗЛ1В, ЩО ВИКОРИСТОВУЮТЬСЯ У ДЕТАЛЯХ IMEXAHI3MAX МАШИН ТА УСТАТКУВАНН1XAP40B0Í ПРОМИСЛОВОСТ1.
Робота присвячена вивченню процесу mennonpoeidHoemi у неоднор1дних вузлах цилтдричного типу. Розглянуто сктченне цилтдричне iзотропне mino, що Micmumb чужор1дне ненаскр1зне торцеве включения типу порожнистого цилтдра заданого внутршнъого i зовшшнъого padiycie та висоти. Через торцеву i meipny noeepxni такого ueoduopiduoso mina здшснюетъся конвективнии теплообмт гз зовтштм середовищем. Зображуючи теплоф1зичш характеристики такого неоднор1дного mina як единого цыого для eciei o6nacmi кнування, за допомогою асиметричних одиничних функцт та застосування алгебри цих функцт та i'x впастивостеи гз piemnm mennonpoeidHoemi для двовимгрних Heodnopidnux структур, отримано частково-вироджене диференщалъне ргвняння mennonpoeidHoemi другого порядку в частинних noxidnux Í3 коефщентами ÍMnynbCH020 та ступеневого типу. Показано, що шпяхом граничного переходу Í3 точного piemnm mennonpoeidHoemi можна отримати 4acmKoei випадки набпижених piemHb,
2Ь ^
копи включения е тонкоеппнтш (— « "1 j та копи включения nacKpÍ3ne (d — ¡)
Отримання остантх piemHb, значно спрощуе процес розв'язання eidnoeidnux краиових задач mennonpoeidHoemi.
Ключое1 слова: задача mennonpoeidHoemi, mina HeodHopidnoí структури, чyжopiднi вкпючення, порожнистии цитндр, cmyneneei асиметричт функцИ, граничнии nepexid, ideanbnuu тепповии контакт.
Вступ. Бурхливе застосування в р1зннх галузях сучасно! техшки харчово! промисловост1 знаходять цил1ндричш тша неоднорщно! структури, що м1стять чужорвдш включения у вигляд1 порожнистих цилшдр1в pÍ3HOi величини та
© Варивода Ю.Ю., ЩжБ.Р., Волос В.О., Чохань M.I., CeHÍB Р.В., Гончар Ф. М., 2013
25
форми [2,3]. Розв'язання проблем мщносп для неоднорщних вузл1в апарат1в \ машин харчово! промисловост1, оптим1заци технолопчних процеЫв [3,4], вимагають розробки нових метод1в розв'язку задач термомехашки тш неоднорщно! структури [9]. Першим етапом для дослщження теплового стану таких тш являеться знаходження температурних пол1в в неоднорщних елементах конструкцш. При цьому вщомо [10], що одшею ¿з ефективних теорш розв'язку проблем термомехашки тш неоднорщно! структури на сучасному еташ И дослщження е теор1я, що базуеться на застосуванш аппарату узагальнених функцш. Це значно спрощуе \ зменшуе трудомктюсть под1бного роду задач, розв'язки яких отримуються, в основному, методом спряжения або ж числовими методами.
Матер1али 1 методи дослщжень. Виведено р1вняння нестацюнарно! теплопровщносп для кусково-одноршого тша, що становить собою математичну модель дослщжуваного цилшдричного робочого вузла. При цьому застосовувався апарат, алгебра та властивосп теори узагальнених функцш. [1-4].
Розглянемо цилшдричне ¿зотропне тшо, що мютить чужорщне включения типу порожнистого цшпндра зовншшього = + /з {
внутршшього/?: = Л — ^ рад1уЫв 1 висоти а (рис. 1.). Через поверхню г = 1 г = О, I = I тша здшснюеться теплообмш ¡з зовнппшм середовищем за законом Ньютона. Теплоф1зичш характеристики системи виразимо у вигляд1 [5]
c(;r,z} =с, + (с0- OjV:» S_',d - z),
(1)
де cv сс - теплоф1зичш характеристики основного матер1алу та включения, ДЧг) = S_(r - Rj - 5+(r - R2) -характеристична функщя,
s±(D \
{ 0,1 < о
одиничш функци.
т _ т ; = - - асиметричш
Рис. 1.
Для визначення нестацюнарного двовим1рного температурного поля в неоднорщному цилшдричному тш згщно р1вняння теплопровщност1 для неоднорщних структур [6]
1 ё_
¥ &Г
rz }ц
= -- - I -, (1)
де лг {у, Ц, г), Cv{r, ц, г) - неоднорщш коефкценти теплопровщност1 i теплоемност1 вщповщно, t = -7-, ф - час, матимемо:
'.- Q
1 i
г дг
rnt(r, ц, г) ] + ■ [ лГ(г, ц, г)= с (г, г) c{r,z)t
(2)
26
або
л .(г, г)
Яг
(3)
де лг(г,г), с (г, г), с (г., г) - коефщент теплопровщност1, питома теплоемшсть I
л & ■ 1 8 , тт
густина неоднорщного тша, Д=— Н---Н--- оператор Лапласа.
гдг с'Е1
Крайов1 умови в нашому випадку мають вигляд [7,8]:
(4)
Тут 6Г \ б^, б;- коефщенти тепловщдач1 з поверхонь г = \ г = О, ё = I, t■c - температура середовшца, що омивае щ поверхш.
Зображуючп коефщент теплопровщносп, питому теплоемшсть I густину у вигляд1 (1) I пщставляючи отриманий результат у р1вняння (3) знаходимо:
- - г) -N(0 ц_ (ё - 2)- |Е=а :> = с^ +■ (с0с0- с^Жг) ■ Э_(с1 - г)
(5)
де д±
с! £+(¿1
Приймаючи до уваги, що
та використовуючи стввщношення
: г)д+(г) = д_:>), 3_(г)д_(г) = 0, (6)
(г - Я^д-О" - п2) = Д+<г - 5+<Т - - =
приходимо до наступного частково-виродженого диференщального р1вняння теплопровщност1 ¿з коефщентами типу ступеневих функцш та дельта -функцш Драка [10]
27
М
Э_(с1 - г) -
-г)
—
5 = с!
С, (ь, е., .! ' '
(7)
де й^ = т"—, й,з = - коефкценти температуропровщност1 основного
матер1алу \ матер¡алу включения К^ = -^т - крнтерш, що характеризуе вщносну
теплопров1дн1сть Т1ла.
Таким чином, для визначення нестацюнарного температурного поля у неоднорщному тЫ ¿з ненаскр1зннм включениям типу порожнистого цнлшдра необхщно розв'язати р1вняння теплопровщност1 (7) при крайових умовах (4).
Розглянемо частковнй випадок тонкостшного цнлшдрнчного включения
(— « 1). Зобразимо тод1 теплоф1зпчш характеристики системи ¿з ненаскр1зним
Л
включениям за допомогою одинично! та повно! дельта-функци Д1рака [11]:
с(г^) = с, 4- Р0<_ 1 - КрУ д(г - Л) 5_(а - г), (8)
де Рс = 2с0Ь, Кр =
Пщставляючн (8) у р1вняння (1) прпходпмо до наблнженого диференщального р1вняння теплопровщност1 з коефшдентамн типу ¿мпульсних функцш для внпадку тонкостшного включения у внглядк
д2t 1д1
ДГ - (1 - К--1) 2/з
д(г- яу
Зе
+ ■
Пдг
= *+ д' (г -.
йт
д Л а г, ^ ^л ^
(9)
Вщповщно, покладаючи висоту включения р1вною довжнш тв1рно! скшченного неоднорщного цнлшдрнчного тша [а = I), знаходнмо наблнжене днфенщальне р1вняння теплопровщност1 для одновим1рно! задач! ¿з чужорщннм наскр1зннм включениям висота якого дор1внюе висот1 цнлшдра-матрнщ:
28
Э_(с1 - г) -
Знову ж таки, якщо наскр1зне чужорщне включения тонкостшне, то р1вняння теплопровщност1 (10) буде наступним:
Висновки. Отримаш р1вняння крайово! задач! нестацюнарно! теплопро-вщност1 для неоднорщних цилшдричних тш ¿з чужорщним включения типу порожнистого цилшдра дають можливють суттево (на порядок \ бшьше) зменшити гром1здшсть математичних викладок та значно спростити процесс знаходження температурних пол1в у складних тшах неоднорщно! структури. Процес знаходження анал1тичного (точного) розв'язку для таких тш методом спряжения окремих компонент або «методом зшивання» в бшьшост1 випадюв з математично! точки зору е надзвичайно ускладненим, або часто \ унеможливленим. Задач1 такого типу розв'язувались лише числовими методами, що приводило лише до наближених результат. Спрощеш р1вняння теплопровщност1 (формули (9 - 11), що отримуються ¿з загального р1вняння (7), I яш вже вщом1 у л1тератур1 рашше як таш, що отримаш методом «з1ткнення» окремих компонент кусково-однорщних тш при повному забезпеченш умов щеального теплового контакту на поверхнях спряжения, лише пщтверджують 1х достов1ршсть I право запропонованого методу ¿з застосуванням узагальнених функцш на життя.
Л1тература
1. Варивода Ю.Ю., Волос В О., Гончар Ф.М., Сешв Р.В. Розрахунок температурних режим1в у сховищах пщ час збер1гання продовольчо! сировини I готово! харчово! продукци. - В кн. «Матер1али М1жнародно! науково! конференци ¿м. академка М. Кравчука», Ки!в, 4.1. Диференщальш та штегральш р1вняння, С. 91.
2. Плахотш В.1., Тюркова 1.С., Хомич 1.П. Теоретичш основи технологш харчових виробництв. - К. : Центр навч. л1тератури. 2006. - 640 с.
3. Бшонога Ю.Л. Процеси I апарати харчових виробництв, Льв1в, Видав. «Л1га - Прес», 2003, 166 с.
4. Варивода Ю.Ю., Волос В.О., Гончар Ф.М. Дослщження реолопчних властивостей деяких харчових продукт1в. - В кн. «Матер1али Млжнародно! науково! конференци ¿м. академка М. Кравчука», Ки!в, 4.1. Диференщальш та штегральш р1вняння, С. 92.
29
5. Варивода Ю.Ю., Ц1ж Б.Р., Волос В О., Чохань М. I., Фшпсонов Р.В., Гончар Ф.М. Ощнка точност1 розв'язк1в задач теплопровщносп для неоднорщних елеменпв конструкцш, що мютять чужорщш включения. -Науковий в!сник ЛНУВМ та БТ ¿меш С.З. Гжицького, Льв1в, Т. 14, № 3 (53), Ч. 3, С. 257 -265.
6. Волос В.О., Фолькенфлж Ю.Я. Неусталеш температурш наируження в металево - скляному вузл1 тримача оболонки кольорового кшескопу при його вщкачщ. - В кн. «Пщвищення якост1 електронно-променевих прилад1в у X- ш п'ятир1чщ» : Тезидоповщей, К.: Наук. думка, 1977, С. 6-7.
7. Коляно Ю.М., Малюель Б.С., Волос В.О., Кушшр P.M. Температурш наируження в металево - скляному вузл1 тримача кольоророздшьно! маски кольорового юнескопу. - В кн. «Яюсть, мщшсть, надшшсть i технолопчшсть електровакуумнихприлад1в», К.: Наук. думка, 1976, С. 140-152.
8. Коляно Ю.М., Микитишин M.I., Койфман Ю.1. Наируження у круглш пластиш, що нагр1ваеться по цилшдричнш i боковш поверхнях. - Теплов1 наируження в елементах конструкцш, 1976, Вип. 16, С. 56-62.
9. Пщстригач Я.С., Коляно Ю.М. Узагальнена термомехашка, К.: Наук. думка, 1976. - 310 с.
10. Коляно Ю.М. Застосування узагальнених функцш в термомехашщ кусково - однорщних тш. - Мат. методи i ф1зико-мехашчш поля, 1978, Вип.7 С. 7-11.
11. Пщстригач Я.С., Коляно Ю.М., Семерак М.М. Температурш поля i наируження в елементах електровакуумних прилад1в. - К.: Наук. думка, 1981. -342 с.
Summary
Varyvoda Yu.Yu., Tsizh B.R ., Volos V.O., Chokhan M.I., Gonchar F.M., Seniv R.V.
THERMAL CONDUCTIVITY OF HETEROGENEOUS CYLINDRICAL
WORKING NODES WHICH ARE USED IN THE PARTS AND MECHANISM OF MACHINERY AND FOOD PROCESSING EQUIPMENT The work is devoted to the temperature fields in two-dimensional cylindrical body with the thermal characteristics of the components, that greatly differ among themselves. Method based on the use of the apparatus of generalized functions to represent the thermophysical and geometrical characteristics of the body not heterogeneous structure as a single whole makes it possible to solve the problem of thermal conductivity body of two- and three-dimensional piecewise homogeneous structure.
Using this method it was derived differential equations of unsteady thermal conductivity for heterogeneous massive cylindrical bodies, thermophysical characteristics of which are functions of cylindrical coordinates. In particular , the finite heterogeneous cylindrical body containing an alien not through mechanical inclusions in the form of a hollow cylinder. Using the method of the limit transition and properties of Dirac's delta functions from obtained equation of unsteady thermal
30
conductivity it was obtained partial cases of thermal conductivity equation for heterogeneous cylindrical bodies with thin-walled cylindrical inclusion and also differential equation of thermal conductivity for heterogeneous bodies with throughout inclusion. These partial cases were obtained in the literature earlier by the method of separate consideration of each of the components of the piecewise-homogeneous body and their subsequent coupling by the method of '' Stitching'' on connecting surfaces.
Рецензент - д.т.н., професор Бшонога Ю.Л.
31
