CC BY
22
УДК 548.4:577.3
ТЕТРАЭДРИЧЕСКИЙ АНАЛОГ ЛЕНТЫ МЕБИУСА ГЕКСАЦИКЛ "ТВИСТ-ВАННА"
В. П. Мартовицкий
Из правых Т-узлов, представленных в виде полиэдров двух подрешеток: икосаэдров и искаженных тетрагек-саэдров, может быть построен левый фрактальный узел следующего уровня иерархии. Замкнутый цикл такого узла является тетраэдрическим аналогом ленты Мебиуса и изоморфен скрученному на 120° тору, поверхность которого раскрашена в три цвета с циклическим переходом цветов при каждом обходе по тору. "Мебиусный" характер гексацикла "твист-ванна" делает его "обратным усилителем", переводя левовинтовое закручивание троек атомов на каждой связи 6 правый Т-узел с право-винтовыми двойными спиралями 30/11, и наоборот.
Для тетракоординированных атомов известны три замкнутых гексацикла: "кресло"', "ванна" и "твист-ванна" [1]. Каждый из них образуется при определенном угле закручивания 0 вокруг общей связи одной тройки атомов относительно другой тройки атомов. Кристаллическая структура алмаза с бинарным параметром 0 = 60° состоит только из "кресел", кристаллическая структура гексагонального льда 1Н с 0 = 0° и 60° в отношении 1:3 состоит из "кресел" и "ванн", а некристаллографические кластеры триплет (20 атомов) и Т-узел (27 атомов) с бинарным параметром 0 « 38° на каждой связи состоят только из гексациклов "твист-ванна". Триплет был использован в качестве элементарного "кирпича" для получения 11 параметрических структур связанной воды, которые по симметрии, метрике и топологии оказались комплементарными (взаимно дополни тельными) структурам важнейших биополимеров - ДНК, РНК, коллаген и др. [2, 3]. Однако триплет с симметрией Из не является изометричным кластером в отличие от Т-узла с симметрией Т-23, поэтому полученные структуры не удалось представить в
полиэдрическом виде. Если Т-узел изобразить в виде полиэдров двух его подрешеток -икосаэдра и искаженного тетрагексаэдра, тогда семь возможных способов конденсации Т-узлов можно представить как объединение одинаковых или различных полиэдров по граням или с началом каждого следующего полиэдра в центре предыдущего [4].
При рассмотрении образующихся из Т-узлов структур наиболее интересными представляются случаи образования замкнутых циклов, которые могут быть использованы в качестве строительных единиц для получения структур следующего уровня иерархии по принципу "системы систем". При этом возможно образование совершенно новых структур, например, сферических "молекул" из стержней (т01) [5], или самоподобно го фрактального Т-узла следующего уровня иерархии. Такие фрактально-триплетные структуры, состоящие из левых Т-узлов (Т°) и триплетов (Т°) с длиной каждого стержня (Т°) — т(Т°) — (Т°), где т = 1,3,5 были описаны в работе [6].
В настоящей работе построен замкнутый гексацикл левого фрактального узла из правых Т-узлов и показано, что перевод правой структуры одного уровня иерархии в левую структуру следующего уровня является свойством самого цикла "твист-ванна ".
Рис. 1. Скрученные двух- и трехцветные торы, изоморфные замкнутым петлям из скрученных стержней. Закручивание при обходе по тору равно половине оборота (а) и двум третям оборота (б).
Последовательное объединение нескольких Т-узлов вдоль одного и того же направления приводит к образованию скрученных стержней [4]. Если раскрасить боковую поверхность стержня продольными цветными полосами, то скручивание становится
наглядным. Развитие таких стержней в эквивалентных направлениях позволяет получить замкнутую петлю, которая изоморфна скрученному тору, поверхность которого раскрашена в несколько цветов (рис. 1). Число цветов для раскраски поверхности тора выбирается исходя из следующих соображений. Все атомы двух Т-узлов полностью совмещаются при условии совмещения их центров и атомов первой координационной сферы. То есть, вращения Т-узлов могут быть рассмотрены как вращения тетраэдров. Когда тетраэдр вращается вокруг двойной оси, то при образовании совершенной замкнутой петли возможны два положения при совмещении первого узла с узлом, присоединяемом к последнему узлу: либо все атомы обоих тетраэдров занимают те же самые позиции при обходе по замкнутому циклу, либо пары атомов меняются местами. Когда пары атомов меняются местами, это изоморфно закручиванию на пол-оборота при обходе по тору. Такой двухцветный скрученный на пол-оборота тор (рис. 1а) во многом напоминает ленту Мебиуса, поскольку половина образующей окружности положительной кривизны тора при обходе по тору переходит в другую половину образующей окружности отрицательной кривизны тора с возвратом в первоначальное положение после второго обхода. Тетраэдрический аналог ленты Мебиуса с двумя обходами по циклу был описан в работе [7].
При вращении тетраэдра возможен еще один вариант частичного совпадения ориен-таций совмещающихся тетраэдров (и Г-узлов). Если ось вращения совпадает с (111), то одна вершина тетраэдра остается на оси вращения, тогда как три других могут переходить друг в друга при закручивании на углы 2ж/3 или Атг/З при обходе по замкнутому циклу. Этот случай изоморфен скрученному тору, поверхность которого раскрашена в три цвета с последовательным переходом одного цвета в каждых из двух других (рис. 16). Очевидно, что для возврата в первоначальное положение нужно совершить не два, как в предыдущем случае, а три полных обхода по замкнутому циклу.
Объединение взаимопроникающих Т-узлов вдоль направления [111] (два Т-узла имеют общий триплет) просто соответствует помещению центра следующего Т-узла в одну из вершин предыдущего, а вдоль [111] приводит к образованию очень плотных спиралей 5i и 3i- Но в сочетании с одним или несколькими Т-узлами, присоединяемым по цветным граням [4] (или по трикветрам, т.е. по группам из 7 атомов, согласно [2, 3]) эти способы дают фрактальные Т-узлы следующего уровня иерархии. Особенно интересно сочетание в стержне объединения одного полиэдра по грани и одного с обшим центром вдоль [111]. В этом случае из правых Т-узлов образуется левый фрактальный узел следующего уровня иерархии. Замкнутая петля такого фрактального узла (рис. 2) имеет
б г
Рис. 2. Замкнутый цикл "твист-ванна" левого фрактального узла, образующегося из правых Т-узлов при чередующемся объединении вдоль [111] одинаковых полиэдров по цветным граням и различных взаимопроникающих полиэдров. Ориентация первого гексацикла повернута вокруг горизонтальной оси на 90° (а) для того, чтобы было видно левовинтовое скручивание пары противоположных ребер цикла. Полное повторение цветов выделенного тетраэдра в икосаэдрах происходит после трех обходов по циклу (б, в, г).
конфигурацию "твист-ванна" и ее ориентация на рис. 2а выбрана таким образом, чтобы по ней можно определить левизну фрактального узла. В левом Т-узле скрещивание про тивоположных связей цикла "твист-ванна" имеет левовинтовой характер, тогда как в правом Т-узле - правовинтовой. Этот замкнутый цикл состоит из 6 пар полиэдров, поскольку объединение Т-узлов вдоль [111] по цветным граням происходит по одинаковым полиэдрам, а взаимопроникающее объединение вдоль [111] - по различным полиэдрам. На рис. 2 выделены грани одного тетраэдра только у икосаэдров для того, чтобы не загружать чрезмерно рисунок. Хорошо видно, что три грани выделенного тетраэдра последовательно переходят друг в друга при каждом следующем обходе по замкнутому циклу. То есть, этот цикл изоморфен скрученному трехцветному тору с циклически?.; переходом цветов после каждого обхода по замкнутому циклу (рис. 16).
Образование левого фрактального узла из правых Т-узлов наводит на мысль, что и в самом Т-узле с бинарным параметром 0 « 38° на каждой связи обход по замкнутому
г
Рис. 3. "Мебиусный" характер замкнутого цикла "твист-ванна" с бинарным параметром 0 « 38° с несовпадением цветов связей первого и последнего атомов (а, б) и идеальное совпадение цветов связей в цикле "кресло" алмазной структуры (в). Правовинтовое вращение двойных спиралей 30/11 в правом Т-узле при левовинтовом закручивании на каждой бинарной связи (г). Связи центрального атома и икосаэдрические атомы выделены темным цветом на рис. Зг.
циклу "твист-ванна" приводит лишь к частичному совпадению ориентапий первого и последнего атомов. Действительно, если каждый атом представить в виде четырех сфер различных цветов, соответствующим четырем связям, то последняя езязь в цикле "твист-ванна", расположенная ближе всего к наблюдателю на рис. За и самая нижняя на рис. 36, связывает атомы различных цветов. То есть, присоединение атома к шестому атому по тому же самому алгоритму как и на всех остальных связях приводит к тому, что хотя центр седьмого атома и совпадает с центром первого атома, но он повернут вокруг тройной оси на 120° относительно ориентации первого атома, и нужно совершить три обхода по циклу для полного совпадения цветов всех четырех связей этих двух атомов. В то же самое время, обход по замкнутому циклу "кресло" кристаллической структуры алмаза с бинарным параметром 0 = 60° дает идеальное совпадение цветов связей первого и последнего атомов (рис. Зв). Такое же идеальное совпадение цветов связей первого и шестого атомов наблюдается и в гексацикле "ванна" кристаллической структуры лонедейлита или гексагонального льда 1Н.
На рис. Зг показан правый Т-узел в проекции вдоль тройной оси, в котором выде-
лена одна двойная спираль 30/11 с правовинтовым вращением, то есть с поворотом на 132° на каждый атом. На этом же рисунке выделены темным цветом три связи центрального атома, и пятнистой текстурой - связи одного из атомов малого тетраэдра. расположенного над центральным атомом ближе к наблюдателю. Хорошо видно лево винтовое закручивание на ~ 38° связей центрального атома относительно выделенных связей тетраэдрического атома. Таким образом, можно сказать, что если лента Мебиуса является неориентируемой поверхностью, в которой правое и левое неразличимы [8, 9], то тетраэдрический аналог ленты Мебиуса - замкнутый цикл "твист-ванна", наоборот, переводит фрагмент правосторонней структуры в левосторонний следующего уровня иерархии, и наоборот. Заметим, что скрещенные связи в гексацикле правого Г-узла на рис. За имеют правовинтовое вращение друг относительно друга в отличие от левовинтового вращения на рис. 1а. То есть, Т-узел с замкнутыми циклами "твист-ванна" и образующиеся из него структуры можно рассматривать как "обратный усилитель" знака закручивания связей тетракоординированных атомов на угол 0 равный примерно 38° для левого Т-узла и -38° - для правого правого Т-узла.
ЛИТЕРАТУРА
[1] M о s s е г i R., D i Vincenzo D. P., S a d о с J. F., and В г о d s k у M. H. Phys. Rev. В 32, 3974 (1985).
[2] Б y л ь e н к о в Н. А. Кристаллография, 33, 424 (1988).
[3] Б у л ь е н к о в Н. А. Биофизика, 36, 181 (1991).
[4] M а р т о в и ц к и й В. П. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 10, 3 (2000).
[5] M а р т о в и ц к и й В. П. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 11, 23 (2000).
[6] Б у л ь е н к о в Н. А. Кристаллография, 35, 155 (1990).
[7] M а р т о в и ц к и й В. П. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 3 (2000).
[8] Гилберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия, М., Наука, 1981, 344 с.
[9] H и к у л и н В. В., Шафаревич И. Р. Геометрии и группы, М., Наука, 1983, 240 с.
Поступила в редакцию 22 сентября 2000 г.
После переработки 16 ноября 2001 г.
