CC BY
52
УДК 621.316 DOI: 10.17213/0321-2653-2015-2-8-13
ТЕСТИРОВАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА GMSH + GetDP НА ЗАДАЧАХ МАГНИТОДИНАМИКИ
THE TESTING OF SOFTWARE PACKAGE GMSH + GetDP FOR PROBLEMS OF MAGNETODYNAMICS
© 2015 г. А.В. Павленко, А.С. Хорошев, В.С. Пузин, Е.В. Хорошева
Павленко Александр Валентинович - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Электромеханика и электрические аппараты», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. Тел. (8635) 25-51-13. E-mail: rn6lde@mail.ru
Хорошев Артем Сергеевич - мл. науч. сотрудник НИИ Электромеханики, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. Тел. (86352) 5-51-13. E-mail: vskych @gmail.com
Пузин Владимир Сергеевич - канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник НИИ электромеханики, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. Тел. (8635) 25-51-13. E-mail: vspuzin@gmail.com
Хорошева Екатерина Викторовна - аспирант, кафедра «Электромеханика и электрические аппараты», ЮжноРоссийский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. (8635) 25-51-13. E-mail: katyatyan01@gmail.com
Pavlenko Alexander Valentinovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Electromecanics and Electric Devices», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. Ph. (8635) 25-51-13. E-mail: rn6lde@mail.ru
Khoroshev Artem Sergeevich - Junior Research Fellow, Scientific Research Institute of Electromechanics, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. Ph. (8635) 25-51-13. E-mail: vskych@gmail.com
Puzin Vladimir Sergeevich - Candidate of Technical Sciences, Senior Research Fellow, Scientific Research Institute of Elec-tromechanics, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. Ph. (8635) 25-51-13. E-mail: vspuzin@gmail.com
Khorosheva Ekaterina Viktorovna - graduate student, department «Electromecanics and Electric Devices», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. Ph. (8635) 25-51-13. E-mail: katyatyan01@gmail.com
Рассмотрены вопросы адаптации программного комплекса GMSH+GetDP для расчета нестационарных двухмерных и трехмерных магнитных полей. Для верификации комплекса решены две модельные задачи. В первой выполнен расчет трехмерного нестационарного магнитного поля катушки с переменным током, расположенной на поверхности тонкой алюминиевой пластины. Вторая задача формулируется для витка с током, движущегося внутри тонкостенной трубы, выполненной из проводящего материала. В результате расчетов были определены составляющие индукции магнитного поля и плотности вихревых токов. Выполнена сравнительная оценка полученных результатов с тестовыми. Показана эффективность использования пакета программ для решения задач магнитодинамики.
Ключевые слова: магнитодинамика; метод конечных элементов; GMSH; GetDP; электромагнитное поле; система линейных алгебраических уравнений.
The authors examined problems of adapting software package GMSH + GetDP for calculating to the unsteady two-dimensional and three-dimensional magnetic fields. To verify the software package were solved two model problems. In the first model problem were calculated the three-dimensional non-stationary magnetic field of coil with alternating current, located on the surface of a thin aluminum plate. The second problem was prepared for the loop with current, moving inside a thin-walled tube made from a conductive material. Via calculations were determined magnetic field components and the density of eddy currents. There were implemented a comparative evaluation of the obtained results with the test results. There was display the efficiency of using a software package for solving magnetodynamics problems.
Keywords: magnetodynamics; finite elements method; GMSH; GetDP; electromagnetic field; system of linear algebraic equations.
В настоящее время существует большое количество программных пакетов и комплексов, предназначенных для моделирования различных физических процессов [1, 2], в том числе с использованием метода конечных элементов (МКЭ).
Некоторые свободно-распространяемые программные комплексы могут быть адаптированы для расчетов электромагнитных полей электромагнитных устройств. К ним можно отнести программный комплекс GMSH+GetDP.
Как было показано ранее [3], этот пакет программ способен успешно и с высокой точностью решать задачи магнитостатики в двухмерных и трехмерных расчетных областях. В настоящей статье будут рассмотрены особенности решения задач магни-тодинамики с помощью этого комплекса программ и вопросы его верификации для решения данного класса задач.
Рис. 1. Общий вид объектов трехмерной расчетной области
Для верификации были выбраны две модельные задачи, представленные сообществом Internetional Compumag Society (ICS) [4] в проекте Testing Electromagnetic Analysis Methods (T.E.A.M.) [5]. Пер-
вая модельная задача, T.E.A.M. Problem 7, описывает трехмерную расчетную область с квадратной катушкой прямоугольного сечения (рис. 1) и тонкой квадратной алюминиевой пластиной. Катушка подключена к источнику переменного синусоидального тока частотой 50 или 200 Гц. Магнитодвижущая сила катушки 2742 А, электрическая проводимость материала плиты 3,526х107 С/м. Задачей расчета является определение тангенциальной составляющей вектора плотности вихревых токов на поверхности пластины и нормальной составляющей (к поверхности пластины) вектора магнитной индукции в пространстве между пластиной и катушкой. Решение модельной задачи, выполненное сообществом ICS, производилось с помощью метода конечных элементов. Повторение сетки конечных элементов, чертеж которой приведен в описании модельной задачи [6] трудновыполнимо ввиду отсутствия возможности ручного ввода координат узлов сетки в генераторе сетки конечных элементов GMSH. Изменение характеристик сетки конечных элементов неизбежно приведет к изменению результатов расчета плотности вектора вихревых токов в алюминиевой пластине, что также скажется и на расчете вектора магнитной индукции, но в значительно меньшей степени.
Трехмерная модель расчетной области и сетка конечных элементов, соответствующая ей, были созданы с помощью препроцессора и генератора сетки конечных элементов GMSH. На границе расчетной области установлены граничные условия второго рода. Формулировка задачи для среды решения численных задач GetDP была выполнена путем введения векторного магнитного потенциала. Решение сформированной СЛАУ выполнялось прямым методом LU-разложения с помощью решателя MUMPS.
Картина распределения вихревых токов в алюминиевой пластине показана на рис. 2.
Рис. 2. Картина распределения вектора плотности вихревых токов
Сравнение результатов расчета с «эталонными» данными приведено на рис. 3 (по линии на поверхности алюминиевой пластины с «эталонными» значениями для сеток конечных элементов с разными линейными размерами конечных элементов) и на рис. 4 (по линии в пространстве между алюминиевой пластиной и катушкой с «эталонными» значениями для сеток конечных элементов пластины с разными линейными размерами конечных элементов).
Следует отметить, что результаты расчета векторов плотности вихревых токов тем ближе к «эталонным», чем ближе были параметры сетки конечных элементов к параметрам «эталонной» сетки. При этом изменение линейных размеров конечных элементов сетки алюминиевой пластины не оказывало существенного влияния на величину нормальной составляющей вектора магнитной индукции в пространстве между пластиной и катушкой. То есть параметры сетки конечных элементов существенным образом влияют на результаты расчета плотности вихревых токов. Размеры конечных элементов следует выбирать таким образом, чтобы их однонаправленное изменение не приводило к существенному изменению результатов расчета [7].
Вторая модельная задача (T.E.A.M. Problem 9) [8] поставлена для осесимметричной расчетной области, содержащей виток с током, находящийся внутри толстостенной трубы (первый случай, описанный в модельной задаче). При этом линейные размеры витка пренебрежимо малы в сравнении с размерами трубы, и виток движется с некоторой скоростью. Целью задачи является расчет тангенциальной и нормальной составляющих вектора магнитной индукции по линии в пространстве между витком и внутренней поверхностью трубы. При этом линия проходит вдоль оси трубы. Решение модельной задачи, выполненное сообществом ICS, производилось аналитическим способом.
Формулирование данной задачи для решения в GMSH+GetDP выполнялось таким же образом, как и для первой модельной задачи, однако система уравнений, описывающих моделируемые физические процессы, была дополнена выражением для плотности вихревых токов, возникающих при движении проводящего элемента [9]. При этом плотность вихревых токов J в элементе, обладающем электрической проводимостью с и перемещающемся в магнитном поле (характеризующемся вектором магнитной индукции B) со скоростью v, будет определяться: J= cvxB.
Рис. 3. Сравнение полученных значений тангенциальной составляющей векторов плотности вихревых токов
Координата X
Рис. 4. Сравнение полученных значений нормальной составляющей вектора магнитной индукции
Расчетная область содержит трехмерную модель витка и трубы. Изображение фрагмента сечения сетки конечных элементов расчетной области трубы и витка представлено на рис. 5 (сетка окружающего пространства условно не показана). Диаметр отверстия в трубе 28 мм, диаметр витка 24 мм. Сила тока в витке 1 А, проводимость мате-
риала трубы составляет 5*10 С/м.
Расчет выполнялся для скоростей движения витка 0 и 100 м/с. Результаты расчета нормальной и тангенциальной составляющих вектора магнитной индукции представлены на рис. 6 и 7 (буква «Э» означает эталонные данные - рассчитанные аналитическим способом сообществом ICS).
Рис. 5. Сечение сетки конечных элементов трехмерной расчетной области с фрагментом трубы и витком
Рис. 6. Сравнение нормальных составляющих вектора магнитной индукции, полученных численно и аналитически
5.00Е-005
1.00Е-005
----------0 м/с
—«-0 м/с Э
-1-100 м/с Э
------100 м/с
2 3 4
Дистанция, диам.
Рис. 7. Сравнение тангенциальных составляющих вектора магнитной индукции, полученных численно и аналитически
Значения нормальных составляющих вектора магнитной индукции, полученные с помощью МКЭ, отличаются от результатов аналитического расчета на величину не более 3 %. Отклонение тангенциальной составляющей не превышает 5 %. Это позволяет говорить о высокой точности расчета поля [10].
Решение задач магнитодинамики с помощью МКЭ требует значительно больших вычислительных ресурсов по сравнению с процессом решения задач магнитостатики, что обусловлено большим числом уравнений, описывающих моделируемые физические процессы, и несимметричностью используемой матрицы. Это приводит к определенным сложностям при численном решении таких задач, особенно если расчетная область содержит резко выраженные геометрические неоднородности или требуется обеспечить высокую точность расчета вихревых токов, что также приводит к необходимости многократного уменьшения размеров конечных элементов в сетке объектов с существенной электрической проводимостью.
В таких случаях порядок решаемой СЛАУ может достигать нескольких миллионов даже для небольшой трехмерной расчетной области. Число обусловленности матрицы также может достигать 105 - 107. Это приводит к необходимости тщательного выбора итерационных методов решения и алгоритмов предобусловливания для обеспечения эффективного процесса решения. Решение СЛАУ прямым методом также сопряжено со сложностями, вызванными несимметричностью системы и большим количеством уравнений, описывающих моделируемые физические процессы. Несимметричность системы не позволяет использовать некоторые эффективные методы (например, разложение Холецкого), а большое количество уравнений увеличивает требуемый для решения объем памяти и количество машинного времени. Так, в процессе решения задач магнитодинамики с помощью МКЭ формируется СЛАУ вдвое большего размера, чем при решении задач магнитостатики на сетке КЭ аналогичного размера. При использовании ии-разложения это приведет к восьмикратному росту необходимых для решения вычислительных ресурсов. Это также потребует выбора эффективного метода упорядочения и подбора настроек используемого решателя для повышения эффективности процесса решения или обеспечения возможности его выполнения на вычислительной машине с ограниченными аппаратными ресурсами.
В заключение следует отметить, что незначительное, не более пяти процентов, отличие результатов численного решения модельных задач от «эталонных» значений показало пригодность использования комплекса программ GMSH+GetDP для решения задач магнитодинамики. Широкий выбор методов
решения численных задач и использование решателей с возможностью гибкой настройки позволяет решать большой спектр задач магнитодинамики в этой среде, в том числе для трехмерных расчетных областей с резко выраженными геометрическими неоднородно-стями.
Статья подготовлена по результатам работы, полученным в рамках исполнения проекта СП-201.2012.2 по стипендии Президента Российской Федерации молодым ученым и аспирантам, осуществляющим перспективные научные исследования разработки по приоритетным направлениям модернизации российской экономики и проекта № 2829, выполняемого в рамках базовой части государственного задания № 2014/143.
Литература
1. Каталог бесплатных программ для моделирования электромагнитных полей // Компьютерное моделирование. URL: https://sites.google.com/site/komputernoemodeliro vanie/ home/katalogi-programm/katalog-besplatnyh-programm-dlamode li-rovania-elektromagnitnyh-polej (дата обращения 21.07.2014).
2. Каталог коммерческих программных пакетов для моделирования электромагнитных полей // Компьютерное моделирование. URL: https://sites.google.com/site/kompute rnoemodelirovanie/home/katalogi-programm/katalog-kommer ceskih-programmnyh-paketov-dla-modelirovania-elektromag -nitnyh-polej (дата обращения 21.07.2014).
3. Хорошев А.С., Павленко А.В., Батищев Д.В., Пузин В.С., Шевченко Е.В., Большенко И.А. Верификация комплекса программ GMSH+GetDP для конечноэлементного моделирования электромагнитных полей // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2013. № 6. С. 74 - 78.
4. International Compumag Society // URL: http://www. com-pumag.org/jsite/ (дата обращения 25.07.2014).
5. Testing Electromagnetic Analysis Methods (T.E.A.M.) // International Compumag Society. URL: http://www. com-pumag.org/jsite/team.html (дата обращения 25.07.2014).
6. Asymmetrical Conductor with a Hole // International Com-pumag Society. URL: http://www.compumag.org/ j site/ images /stories/TEAM/problem7.pdf (дата обращения 21. 07. 2014).
7. Kaczmarek R., Masgrau P., Saheli M. On mesh sensitive calculations in 3D finite element modeling of electric machines // Renewable Energy and Power Quality Journal (RE&PQJ). March 2013. № 11.
8. Velocity Effects and Low Level Fields in Axisymmetric Geometries // International Compumag Society. URL: http://www.compumag.org/jsite/images/stories/TEAM/probl em9.pdf (дата обращения 21. 07. 2014).
9. Bastos J. P. A., Sadowski N. Electromagnetic Modeling by Finite Element Methods. New York: Marcel Dekker Inc., 2009. 497 р.
10. Wang X., Pepper D.W. Benchmarking COMSOL Multi-physics 3.4. Las Vegas: University of Nevada, 2007. 44 р.
References
1. Katalog besplatnyh programm dlja modelirovanija jelektromagnitnyh polej [Catalog of free software for simulation of electromagnetic fields]. Komp'juternoe modelirovanie. Available at: https://sites.google.com/site/komputernoemo delirovanie/home/katalogi-programm/katalog-besplatnyh-programm-dla-modelirovania-elektromagnitnyh-polej (accessed 21.07.2014).
2. Katalog kommercheskih programmnyh paketov dlja modelirovanija jelektromagnitnyh polej [Catalog of commercial software packages for simulation of electromagnetic fields]. Komp'juternoe modelirovanie. Available at: https://sites.google.com/site/ komputernoemodelirovanie/home/katalogi-programm/katalog-kommerceskih-programmnyh-paketov-dla-modelirovania-elektromagnitnyh-polej (accessed 21.07.2014).
3. Horoshev A.S., Pavlenko A. V., Batishhev D.V., Puzin V.S., Shevchenko E.V., Bol'shenko I.A. Verifikacija kompleksa programm GMSH+GETDP dlja konechnojelementnogo modelirovanija jelektromagnitnyh polej [Verification Program Complex GMSH+GETDP for Finite Element Modeling of Electromagnetic Fields]. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskij region. Tehnicheskie nauki, 2013, no. 6, pp. 74-78.
4. International Compumag Society. Available at: http://www.compumag.org/jsite/ (accessed 25.07.2014).
5. Testing Electromagnetic Analysis Methods (T.E.A.M.). International Compumag Society. Available at: http://www. compumag.org/jsite/team.html (accessed 25.07.2014).
6. Asymmetrical Conductor with a Hole. International Compumag Society. Available at: http://www.compumag.org/jsite/images/ stories/TEAM/ problem7.pdf.
7. Kaczmarek R., Masgrau P., Saheli M. On mesh sensitive calculations in 3D finite element modeling of electric machines. Renewable Energy and Power Quality Journal (RE&PQJ), March 2013, no. 11.
8. Velocity Effects and Low Level Fields in Axisymmetric Geometries. International Compumag Society. Available at: http://www. compumag. org/j site/images/stories/TEAM/problem9. pdf.
9. Bastos J. P. A., Sadowski N. Electromagnetic Modeling by Finite Element Methods. New York: Marcel Dekker Inc., 2009, 497 p.
10. Wang X., Pepper D.W. Benchmarking COMSOL Multiphysics 3.4. Las Vegas: University of Nevada, 2007, 44 p.
Поступила в редакцию 17 февраля 2015 г.
