Термомеханическая модель поведения металлов и сплавов в зоне фазового превращения Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

УДК 539.3+536.2

Г. Н. К у в ы р к и н, И. С. Р о д и к о в а

ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВЕДЕНИЯ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ В ЗОНЕ ФАЗОВОГО ПРЕВРАЩЕНИЯ*

Исходя из соотношений рациональной термодинамики необратимых процессов для сплошной среды с внутренним параметром состояния предложена термомеханическая модель поведения металлов и сплавов в зоне фазового перехода. Предложена схема определения упругих свойств на основе двойственной вариационной формулировки задачи.

Один из возможных видов фазовых превращений в металлах и сплавах происходит путем совместного смещения атомов, напоминающим процесс сдвига [1], например фазовое превращение в церии, когда одна из его модификаций с кубической структурой при изменении температуры переходит в аналогичную, но с другим параметром элементарной ячейки. Изменение температуры в противоположном направлении приводит к обратному превращению. Обратимое фазовое превращение кобальта сводится к преобразованию гранецентрирован-ной кубической решетки (устойчивой при высоких температурах) в гексагональную плотноупакованную (устойчивую при низких температурах), элементарная ячейка которой представляет собой шестигранную призму [2]. Фазовые превращения такого вида характерны для сплавов с эффектом памяти формы, обнаруженном в сплавах титан-никель, медь-алюминий и других [2-4]. Устойчивую высокотемпературную фазу называют аустенитом, низкотемпературную — мартенситом. Полагают, что фазовое превращение аустенита в мартенсит начинается при температуре Ms (индекс "s" происходит от англ. слова start) и заканчивается при температуре Mf (индекс "f" — от англ. слова finish). Обратный переход (мартенсита в аустенит) начинается при температуре As и заканчивается при температуре Af. В общем случае Af > Ms > As > Mf и Ms — Mf = Af — As. В связи с трудностями определения последних небольших количеств остаточного мартенсита температура Af соответствует объемной доле мартенсита в сплаве,

^Работа выполнена при поддержке программы "Университеты России" (проект УР 03.01.139) и РФФИ (проект № 05-01-00596).

равной 0,01, а температура Mf — объемной доле аустенита в сплаве, равной 0,01 [1].

При построении термомеханической модели поведения металлов и сплавов в зоне фазовых превращений будем исходить из соотношений рациональной термодинамики необратимых процессов для сплошной среды с внутренними параметрами состояния [5-7]. В качестве единственного внутреннего параметра примем объемную долю х ^ [0, 1] мартенсита в сплаве.

Положим, что состояние рассматриваемой сплошной среды в окрестности любой материальной точки определяется четырьмя термодинамическими функциями — активными переменными: массовыми плотностями свободной энергии А и энтропии к, тензором напряжений с компонентами оц = оцг, 1,] = 1,2,3, и вектором плотности теплового потока с компонентами дг. Аргументами этих функций примем следующие реактивные переменные: тензор малой деформации с компонентами егц = ецг, абсолютную температуру Т, градиент абсолютной температуры с компонентами §к = дТ/дхк, где хк, к = 1, 2,3, — декартовы прямоугольные координаты, и внутренний параметр состояния х.

Тогда

А = А(еы, Т, , х), к = к(еы, Т, , х), огц = огц(еы,Т,$к,х), Ъг = д%(ек1,Т,§к,х), г,],к,1 = 1, 2, 3.

Для определения внутреннего параметра состояния х должно быть задано кинетическое уравнение

х = к (ек1 ,Т,$ы,х),

где х = дх/дЬ, Ь — время. Вид кинетического уравнения и его влияние на характер фазового превращения рассмотрен в работе [8].

Закон сохранения энергии в данном случае имеет вид

дд

ри = °гцег ц - дХ + Pr, (2)

где р — плотность, которая принята неизменной в процессе фазовых превращений; и — массовая плотность внутренней энергии; г — массовая плотность мощности источников энерговыделения. Здесь и далее в формулах полагаем суммирование по повторяющимся индексам. Второй закон термодинамики (неравенство Клаузиуса-Дюгема) для простого термомеханического процесса имеет вид

Рк + (I) - £ > 0. (3)

И дхг \Т/ Т > у ;

Воспользовавшись преобразованием Лежандра и = А + Тк, получим другую форму записи закона сохранения энергии:

дА дА • дА •

Р я—+ Р^Т + +

де.^ ^ дТ

д^ . . дд'

+ Р^тХ + рТк + рТк - аг]ёг] + —1 - рг = 0. (4) дх дж.

Продифференцируем далее второе слагаемое в левой части неравенства (3), а затем умножим левую и правую части полученного неравенства на Т > 0 и вычтем из левой части неравенства левую часть равенства (4):

дА \ . (дА

- - Ч ^ - p[öT + h>T -

дА • дА 1 дТ

- РЩ* - РдХХ - ТдХ1 д * 0

В силу произвольности е,^ ,Т и д. из последнего неравенства следуют достаточные условия его выполнения:

дА 1 дАдА ^ = , к = - дТ, Ы =0. (5)

Второй закон термодинамики в этом случае приобретает следующий вид:

1 дТ

¡о - Т ^ д. ^0, (6)

где 8о = —Рд—Х — диссипативная функция.

дХ

Положим далее, что мала не только полная деформация (|| е^ 1, || • || — евклидова норма матрицы, составленной из компонентов соответствующего тензора), но и температурная деформация, определенная тензором с компонентами е(Т) = е^ \ и фазовая с компонентами = е^. Отметим, что е(Т ) = 0 при температуре Т0 естественного

(у)

состояния и = 0 при Х = 0.

Представим первое соотношение из (1) следующим образом:

pA(skl ,т,х) =

1 2

1 2

= 1 CMski - S^ - 4f- sj - + pB(т, х) +

+ pBi(x) - 1 Cm (-skT) - sk^))(-sjT) - s(f), (7)

где Сгцк1 = Сцгк1 = Огцгы = Оыгц — компоненты тензора коэффициентов упругости, В(Т,х) — часть свободной энергии единицы массы тела, зависящая от абсолютной температуры и внутреннего параметра состояния, причем В(Т0, 0) = 0, а В\(х) — часть свободной энергии единицы массы тела, звависящая только от внутреннего параметра состояния, и В\(0) = 0. Отметим, что при ец = 0 из равенства (7) следует, что рА = рВ + рВх, т. е. при отсутствии деформации свободная энергия тела зависит только от абсолютной температуры и внутреннего параметра состояния.

Из первого равенства (5) и соотношения (7) следует выражение для компонентов тензора напряжений:

°г3 = Сгцыг (еы - 4Р - е^) . (8)

Если равенство (8) разрешить относительно компонентов тензора деформации, то

егц = ВгыОк1 + еЦ + еЦ , (9)

где Вцк1 — копоненты тензора коэффициентов податливости; тензор упругой деформации имеет компоненты еЦ = ВцЫокг. Для изотропного материала соотношения (8) и (9) можно привести к следующему виду:

Огц = ^К - 3^екккц + 2регц - 3К(е(Т + е(х))8г3,

(10)

ег3 = 2р(°г3 - К °кк Ц + ^ + ^^гц,

где К, ц — модули всестороннего сжатия и сдвига соответственно, 5ц — символ Кронекера.

Закон сохранения энергии (4) с учетом равенств (5) принимает вид

ß2B • d2B .dej dq ,

- pT&T2T - pTwoxx+TCmekl^r = -dx+pr + 5d, (11)

где не учитываются слагаемые, содержащие линейную и квадратичную зависимость к и к от егц, е(Т) и еЦ^, имеющие более высокий порядок малости по сравнению с оставшимися.

Если положить, что компоненты вектора плотности теплового потока связаны с градиентом температуры законом Фурье:

х(т) дТ

Ъг = -Л(

j

ÖXi '

(Т) (Т)

где ) = \\т)(Т,х) — компоненты симметричного тензора теплопроводности, то закон сохранения энергии в виде (11) переходит в

уравнение теплопроводности

де(т) д ( дТ \

рс£Т - рт£х + Таф1 еы-дТ~ = ~дХг дЖ^) + рГ + ¡о, (12)

где с£ = -Тд2 В/дТ2 — удельная массовая теплоемкость при постоянной деформации, т£ = Тд 2В/(дТдх) — удельная массовая конфигурационная теплоемкость [9] при постоянной деформации (количество энергии, затрачиваемой на фазовый переход единицы массы при постоянной деформации). Отметим, что в уравнении (12) второе слагаемое в левой части и последнее слагаемое в правой части отличны от нуля для £ € [ts,tf ], где ts,tf — моменты времени начала и окончания фазового перехода.

В зоне фазового превращения сплавы можно рассматривать как двухкомпонентную смесь переменного состава. Экспериментальное определение термомеханических свойств при этом принципиально невозможно в силу кинетического характера фазового превращения. В этом случае актуальной становится проблема расчетно-теоретической оценки свойств сплавов в зоне фазового превращения. Методам оценки эффективных упругих свойств неоднородных материалов посвящены работы [10-14] и другие, однако в данном случае число подлежащих определению параметров модели превышает число обычно рассматриваемых. Поскольку диапазон температуры, в котором происходят фазовые превращения, обычно не превышает 10... 50 К, то в дальнейшем зависимость рассматриваемых термомеханических свойств от температуры не учитывается.

Для средних по объему характерного (представительного) элемента гетерогенного материала, а также для средних по объему этого эле-

^ а л а

мента компонентов тензоров напряжений а.ц и деформации ец имеем

а а а 1 2 1 2 , .

аъ] = С Цк1екЬ аъ] = Х1ац + Х2аъ] , = Х1ец + Х2еъ], (13)

где а = 1, 2; х1 = Х — объемная доля мартенсита и х2 = 1 - Х —

а

объемная доля аустенита; С.ы — компоненты тензора коэффициентов упругости включений (мартенсита) и матрицы (аустенита); а.ц, е.ц — средние значения компонентов тензоров напряжений и деформации в объеме представительного элемента. С помощью соотношений (13) можно установить связи:

а а а а

аг-] = А.']к1 аЫ, ег-] = еЫ,

1 2 1 2

Х1 А.]к1 + Х2Ацк1 = , Х1 Вцы + Х2^.Цк1 = , (14) 1 1 2 2

С.Цк1 Х1С.Цтп^тпк1 + Х2С.Цтп^тпк1,

11 2 2

ВгЦк1 х1В гЦтпАтпк1 + х2 В гЦтпАтпк1,

где 1гзк1 = -(8гк5ц1 + 5г1§цк) — компоненты единичного тензора четвер-2

12

того ранга; Вгук1, Вуы, Вщ — компоненты тензоров коэффициентов податливости всего материала, включений и матрицы. Если Сум и

а а

Вцк1 известны, то тензоры с компонентами Сцк1 и Вцк1 однозначно определяются из соотношений

а V а V

ха (СгЦтп Сгута) Dmnkl СгЦк1 СгЦк1,

(15)

а V а V

ха (ВгЦтп Вгутп) Атпк1 ВгЦк1 ВгЦкЬ а, ^ ~1, >2, а = ^.

Умножив первое уравнение (15) на ек\, а второе — на ок\, с учетом равенств (14) получим

а v а v

ха{С ijkl — Cijkl)ekl = {Cijkl — С ijkl) ekl,

Ха(B ijkl — B ijkl) <а kl = (Bijkl — Bijkl) Vkh Далее, поскольку

c- = (' - 3 -)*...............

" ( 2 \

C ijkl = [Ka — 3 Ца 1 8ij 8kl + Pa(8ik 8jl + 5ü5jk),

Bijkl = — 2^(1 + у) 8ij 8kl + 1 (8ik 8jl + 8il 8jk ),

а иа 1

Вгцк1 = —тт--г 8гц 8к1 + ~—(8гк 8Ц1 + 8гг 8цк),

иа,и — коэффициенты Пуассона компонентов и материала в целом, то для изотропных материалов имеем

а K Kv а Ц Ци

\ekk "Т7 TV- ekkj xaeij eij

Ka Kv Ца Ци

K-1 — K- а Ц-1 — Ц-1

хаокк к— 1 К— 1 °кк, ха.^гЦ _ 1 _ 1 ^гЦ, (16)

а а 1 а ^ а а 1 а

егц егц 3 екк 8гц, °гу 3 окк 8гу.

Потенциальная энергия деформации рассматриваемого объема материала в целом имеет вид

и [и] = 2 У агз %дУ = 1 I X! Уогз^з ^^ + Х2 J Огз£гз дУ+

V \ V V

г \

/12 2 1 1

+Х1Х2 - {огз - Огз) дУ I = ^[и] + ^[м] + ^12 [и],

где и1[м], и2[м] и и12 [и] — средние значения потенциальной энергии деформации компонентов материала и потенциальная энергия их взаимодействия. Выразив компоненты тензоров напряжений и деформации через их шаровые и девиаторные составляющие, получим

^12[и] = 1 Лц I - ц)(ц - Ця)ецегздУ+

V

+ 1 Ak f (KV - K)(K - KR)e2kkdV,, (17)

V

л KK

A =„.,,. .. v,.. ' AK =

Х1Х2(Ц1 - Ц2)2ЦЯ Х1Х2Кя(К1 - к2)2'

XV = Х1К1 + Х2К2, К--1 = Х1К-1 + Х2К-1,

№ = Х1Ш + X2Ц2, Ц'Я = Х1Ц-1 + Х2Ц-\

где Кл/, Цл/, Кя, ця — оценки упругих свойств по Фойгту и Рейссу.

В том случае, когда эффективные значения К и ц фиксированы, любое изменение эффективных значений огз и £3 приводит к соот-

^ а а

ветствующему изменению средних значений огз и £3 в компонентах материала. С другой стороны, можно задать вариации средних значений иг, ог 3 и аг 3, не изменяя эффективные значения переменных иг, огз и егз. Это приводит к изменению величины эффективных модулей.

а а а

Пусть иг, огз, £3 — истинные поля вектора перемещения и тензоров напряжений и деформации. Введем возможные поля вектора переме-

а * а * а

щений иг такими, что на поверхности рассматриваемого тела иг = иг. Потребуем, чтобы для соответствующих им значений компонентов тензоров деформации выполнялись условия

1* 2 * 12 Х1£гз + Х2£гз = Х1^£'3 + Х2^£'3 = 0 (18)

а а* а

где 5егз = £3 - £3 — вариации компонентов тензоров деформации.

Тогда из соотношений (16) следует

а* _ К* — Ки а* _ р* — ри

Хаекк = К _ К £кк, Хае%'] = ~ ег],

Ка Ки ра ри

(19)

?а _ 8К* а _ 8р*

Ха.О£кк "Т7 тг екк, ХаОег] ег].

Ка Ки ра ри

Если ранее эффективные модули К, р были постоянными, то величины модулей К*,р* и их вариации 8К*,8р*, как и компоненты тен-

аа

зоров е*, е*кк и их вариации, являются функциями пространственных координат. Таким образом, реальное тело с фиксированными свойствами заменено телом с переменными упругими свойствами.

Вариационный принцип Лагранжа для данного случая можно записать следующим образом [14]:

2 I (К*е2кк + 2р*ег]егз)йУ < у / (К^кк)2 I ^р^его

J (Kе2кк + 2p^el3eij)dV < у j )2 + 2p11elJej dV+

+ X2 i ^фкк )2 + 2^ 2eij) dV + 1AK i (Kv - K)(K - Kr )4k dV+

+\(Ру — Р* )(Р* — )е%3 е%3 (20)

V

Для выполнения неравенства (20) при любых допустимых функциях К* и р* необходимо, чтобы третье и четвертое слагаемые в правой части этого неравенства были положительны, т. е. были бы справедливы неравенства

2 /2 \-1о /о\-1

> K f , £ Ха,а > „ > £ f

а / ъ—Л \ /-V—1

а=1 \а=1 / а=1 \а=1

(21)

— границы по Фойгту (верхние) и Рейссу (нижние) [10, 12].

При этом наихудший результат оценок К* и р* сверху соответствует максимуму функционалов

ик[К] = 1 Ак !К — К*)(К* — Кв)е2ккдУ,

V

иМ = 1А^ (рV — р*)(р* — ря)егзегздУ.

V

Поскольку Лк > 0, Лл > 0 для любых К и ц, то из условий

дик [К, 5К] = 2Лк ! К + К- - 2К*)5К*£2ккдУ = 0,

V

5и^[ц, 5Ц] = 2 Л/ (цv + Ця - 2ц*)5ц*егз егз дУ = 0

V

следуют неравенства

К* < + К-), Ц* < ^ + Ц-). (22)

Достаточные условия существования максимумов функционалов ик [К] и ил[ц] также выполняются:

52ик [К, 5 К ] = -Лк/ (5К*)2£кк дУ < 0,

V

52и^[ц,5ц] = -Л/л / (5ц*)2егз егз дУ < 0.

V

Используя вариационный принцип Кастильяно и рассуждая аналогично [14], имеем

1 1 о1к + -Д- вгз вгз ) дУ >

V

2J \9K/kk +2р.13°13

--т! (öKkk)2 + 2Tj dV-

V

Х2 [ ( 1 (2 ч 2 1 2 2 \ 1ТЛ 1 . /"/ Kv . ■

°kk) + -— %Sj dV - — Ak M --1 ) X

2 У ' 2Ц2 3 '7 18 \К*

V V

Х (1 - К) о2к дУ - 1 Л/ /( ^ - 1)(1 - ЦЯ) ,3 ,3 ¿К

V

Очевидно, что теперь должны быть отрицательны функционалы

Ук т = -18 Лк /(К: -1)(1 - К) *дУ,

V

1 л [ I № л\ I л Ця

= - 8ч [TV - v l1 - s"s-j

V

Условия минимума этих функционалов, из которых следуют наихудшие оценки снизу значений К* и д*, имеют вид

SVk [K,SK] = -18 AKJ Kl (KR

v *

K

V

K

-1 -

Kr K

-Kv ( 1 - ^R ) ) SK*a2kkdV = 0,

1

1

8

V

ßl

8Vß[ß,8ß] = ~Ap I ( ßR ( ßß^) -ßv

откуда следуют неравенства

2 KrKV

K

Kv + K

R

ß* >

1-ßR

ч ß*

2ßRßV ßV + ßR

5ß*Sj Sj dV = 0,

(23)

Достаточные условия существования минимумов функционалов Ук[К] и У^,[д] выполняются, так как в окрестности минимальных значений К* и д* из соотношений (23) следуют неравенства 52Ук[К, 8К] > 0 и 82У1,[д, 8д] > 0.

Окончательно полученные результаты можно представить в виде неравенств, объединяющих (22) и (23):

2(KV + Kr) > K* > KKKr,

1

-(ßV + ßR) > ß* >

2ßR ßV

(24)

2 ' ' ' * ду + дк

Для проверки применимости неравенств (24) при оценке упругих свойств двухкомпонентных сплавов было проведено сравнение известных экспериментальных данных [15] по модулю упругости Е = 9Кд/(3К + д) сплава карбида вольфрама (К1 = 419 ГПа,

Д1 = 288 ГПа) и кобальта (К2 = 172 ГПа, д2 = 79,3 ГПа). На рис. 1 сплошные линии соответствуют верхней и нижней оценкам модуля упругости с использованием неравенств (24), точками отмечены экспериментальные данные. Видно, что диапазон возможного изменения модуля упругости достаточно узок и соответствует экспериментальным данным.

На рис. 2, 3 представлены результаты расчета и границы коэффициентов упругости К и д

Рис. 1. Модуль Юнга для сплава карбида вольфрама и кобальта

_____ 20-----

•^0 0,2 0,4 0,6 0,8 % 0 0.2 0.4 0.6 0.8 X

Рис.2. Верхняя и нижняя оценки мо- Рис.3. Верхняя и нижняя оценки

дуля всестороннего сжатия никелида модуля сдвига никелида титана титана

для никелида титана (53,8% Т1) в процессе фазового превращения в зависимости от объемной доли мартенсита по Фойгту и Рейссу (штрихпунктирные линии) и неравенствам (24) (сплошные линии); штриховые линии соответствуют "вилке" Хашина-Штрикмана [10], определяемой неравенствами

К1 + Х2(К2 — К1) > К > К2+ , К1 >К2,

1 1 + хМК — К1) > > 2 1+ Х2«2 (К1 — К2) ' 1 2'

X2(ß2 - ßl) . . . Xl (ßl - ß2)

ßl + ^-7-,-Г > ß > ß2 + —-7-,-Г , ßl > ß2,

1+ Xl bl(ß2 - ßl) 1+ X2b2(ßl - ß2)

где

= 3 = б(Ка + 2ра) =1 9

а а — , Ь а — / \ , ^^ — 1, 2.

3Ка + 4ра 5ра (3Ка + 4ра)

Отметим, что границы упругих свойств (24) всегда уже границ Хашина-Штрикмана и только при близких величинах модулей упругости компонентов области возможных значений эффективных упругих свойств практически совпадают.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ван Флек Л. Теоретическое и прикладное материаловедение: Пер. с англ. - М.: Атомиздат, 1975. — 472с.

2. Лихачев В. А., Кузьмин С. Л., Каменцева З. П. Эффект памяти формы. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 216 с.

3. Сплавы с эффектом памяти формы: Пер. с японск. / Ооцука К., Симидзу К., Судзуки Ю. и др. - М.: Металлургия, 1990. - 224 с.

4. Абдрахманов С. Деформация материалов с памятью формы при термосиловом воздействии. - Бишкек: Илим, 1991. - 115 с.

5. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математические модели термомеханики.

- М.: Физматлит, 2002. - 168 с.

6. З а р у б и н В. С., Кувыркин Г. Н. Математическое моделирование термомеханических процессов при интенсивном тепловом воздействии // Теплофизика высоких температур. - 2003. - Т. 43, № 2. - С. 300-309.

7. З а р у б и н В. С., Кувыркин Г. Н. О построении термомеханической модели релаксирующего твердого тела // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". - 2001. - № 2. - С. 23-30.

8. Кувыркин Г. Н., Федулова И. С. Анализ кинетики фазовых переходов в сплавах с эффектом памяти формы // Теплофизика высоких температур. - 2004. -Т. 43, № 1. - С. 121-126.

9. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур: Пер. с англ. - М.: Мир, 2002. -461 с.

10. Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. - М.: Наука, 1977. -400 с.

11. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. - М.: Наука, 1983. - 448 с.

12. П о б е д р я Б. Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. -336 с.

13. З а р у б и н В. С., К у в ы р к и н Г. Н. Прогнозирование теплофизических и термоупругих характеристик композитов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Машиностроение". - 1994. -№ 2. - С. 78-83.

14. Е ф и м е н к о А. В., Кувыркин Г. Н. Новые оценки эффективных упругих модулей двухкомпонентных композитов // Изв. РАН. Мех. твердого тела. - 1994.

- № 1. - С. 18-26.

15. Зарубин В. С. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций.

- М.: Машиностроение, 1985. - 296 с.

Статья поступила в редакцию 19.09.2005

Георгий Николаевич Кувыркин родился в 1946 г, окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1970 г. Д-р техн наук, профессор кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э Баумана.

G. N. Kuvyrkin (b. 1946) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1970. D. Sc. (Eng), professor of "Applied Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 100 publications in the field of thermal mechanics and thermal structural mechanics of construction elements.

Ирина Сергеевна Родикова родилась в 1978 г. Окончила МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2001 г. Аспирантка кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.

I.S. Rodikova (b. 1978) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2001. Post-graduate of "Applied Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University.