Термомеханика и термоупругость многокомпонентной смеси Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

J

УДК 539.3:536.2

Н. Н. Головин, В. С. Зарубин, Г. Н. Кувыркин

СМЕСЕВЫЕ МОДЕЛИ МЕХАНИКИ КОМПОЗИТОВ. Ч. 1. ТЕРМОМЕХАНИКА И ТЕРМОУПРУГОСТЬ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ CМЕСИ

Рассмотрены математические модели механики гетерогенной смеси, используемые при изучении поведения композитов в условиях нестационарных внешних термомеханических воздействий.

Ключевые слова: гетерогенная многокомпонентная смесь, термомеханика, термоупругость, нестационарные воздействия, математические модели среды.

Введение. При создании различных технических объектов широкое применение находят композиты, для описании поведения которых в условиях высокоинтенсивного термомеханического воздействия можно использовать математическую модель сплошной среды, основанную на соотношениях теории гетерогенной смеси.

Будем полагать, что выполняются два главных допущения [1]: размеры включений или неоднородностей в смеси во много раз больше молекулярно-кинетических (таким образом, указанные неоднородности содержат большое число молекул); размеры неоднородностей во много раз меньше расстояний, на которых осредненные или макроскопические параметры смеси или компонента смеси меняются существенно.

Первое допущение позволяет использовать классические представления и уравнения механики сплошной однокомпонентной среды для описания процессов в масштабах самих неоднородностей. Тогда для описания физических свойств компонентов можно использовать параметры, полученные из экспериментов с соответствующими веществами. Второе допущение позволяет описывать макроскопические процессы в гетерогенной смеси методами механики сплошной среды с помощью осредненных или макроскопических параметров.

При исследовании смеси, компоненты которой различаются по теп-лофизическим и механическим свойствам, необходимо учитывать, что изменение всех интересующих нас полей (температуры, деформации, напряжений и т.д.) в пространстве можно характеризовать двумя масштабами: макромасштабом задачи Ь и масштабом неоднородности I [1, 2]. Неоднородная смесь может быть представлена в виде однородной сплошной среды, если в ней удается выделить элементарный

объем У^ с характерным размером й (I ^ й ^ Ь), в котором поля температуры, деформации, напряжений и т.д. однородны. Выделенный элементарный объем рассматривают как материальную точку сплошной среды с соответствующими осредненными эффективными физическими свойствами и называют его макроточкой [1, 2] (частицей смеси).

1. Термомеханика многокомпонентной смеси. Будем рассматривать многокомпонентную смесь как многоскоростную сплошную среду, представляющую собой N химически не взаимодействующих между собой континуумов, каждый из которых относится к своему компоненту смеси и заполняет один и тот же объем, занятый смесью [3, 4]. Для каждого компонента смеси в окрестности любой произвольной точки определяем плотность —а — массу а-го компонента в единице объема среды, вектор скорости V и другие параметры, относящиеся к этому компоненту смеси. Таким образом, в окрестности любой точки объема, занятого смесью, будут определены N значений плотности ра,

а

N векторов скорости V и т.д.

Исходя из этих величин, можно определить параметры, характеризующие смесь в целом: плотность смеси р и вектор среднемассовой скорости V смеси:

N N

а

ра; = -¿^РаО.

а=1 — а=1

При описании движения смеси иногда используют понятие диффузионной скорости [1] — скорости движения компонентов относительно центра масс смеси или среды в целом:

N

а а а

V = V - V; —а'0 = 0.

а=1

Для многоскоростной смеси вводят также понятие полной (ма-

а

териальной, субстанциональной) производной Ю()/Ю1, связанной с движением а-го компонента:

а

£(•) д а _ , д а д(•) , 1 0 0

а

где V — оператор Гамильтона; - составляющие вектора скорости а -го компонета смеси; хк — декартовы координаты частицы смеси, £ — время. Здесь и далее принято соглашение о суммировании по повторяющимся латинским индексам.

Пусть в начальной конфигурации смесь занимает объем У0, ограниченный поверхностью Б0. Тогда в актуальной конфигурации объем

смеси будет V, а граничная поверхность — £. При переходе от начальной конфигурации к актуальной плотность изменяется от ра0 до ра, происходит также переход массы от V-го компонента к а-му. В таком случае закон сохранения массы принимает следующий вид:

аа аа NN

" / Р*М = Ра(У - (У, « = 1, N (2)

Уо V V и=1

где Jvа характеризует интенсивность перехода массы от v-го компонента к а-му в единице объема смеси в единицу времени. Отметим,

что Jvа и Jaa 0

Из (2) следует локальная форма записи закона сохранения массы а-го компонента смеси (уравнения неразрывности)

а я а N

"Ра , д-к ^ Т П Го\

Ж + РадХк ^ ^ =0- (3)

Очевидно, что уравнение (3) можно записать иначе:

^+дХ; (р»-') - £ ^=°- «>

V= 1

В соответствии с законом сохранения количества движения для объема V, ограниченного поверхностью £, скорость изменения количества движения а-го компонента смеси равна сумме всех действующих на этот компонент поверхностных и массовых сил:

а N

Ж I РаЩ (У = I Ьк + у рк д£ + I £ Рк (IV, а = (5)

V V в V и=1

Dt

а.

где Ьк — составляющие вектора плотности объемных сил, действуем

ющих на а-й компонент смеси, рк — составляющие вектора интенсивности поверхностных сил, действующих на а-й компонент смеси;

va

Рк определяют интенсивность обмена количеством движения между а-м и v-м компонентами смеси. При этом имеют место следующие равенства:

va а V аа

Рк = -Рк, Рк = 0. (6)

Преобразуя уравнение (5) с учетом (3), получаем

а а о» N

Ра" = ^ + Ь + £ (Р - JvaV) , 1,3 = 1, 2, 3. (7)

-1 V=1

Скорость изменения момента количества движения относительно начала выбранной системы координат равна сумме моментов действующих на рассматриваемое тело массовых и поверхностных сил, вызванных внешними по отношению к телу материальными объектами. Для получения локальной формулировки закона сохранения момента количества движения воспользуемся интегральной формой записи этого закона для а-го компонента смеси:

а

Ш / -X, 4 Ра „V = / , X, £ „V + / ,X,Рк

V V в

г N

ж—\ шл _

+ ¿2 М „V а = 1,^, (8)

V ^=1

уа

где е — символ Леви-Чивиты; М^ определяет интенсивность обмена моментом количества движения между а-м и V-м компонентами смеси, при этом

уа ау аа

М = -Мг, Мг = 0. (9)

Преобразуем отдельно левую часть и второе слагаемое в правой части равенства (8) и окончательно получим локальную формулировку закона сохранения момента количества движения:

(N \ N

^а а \ уа _

х,-^ Рк - Мг = 0, а = 1,^. (10)

^=1 ) У= 1

Из равенства (10) следует, что тензор напряжений Коши для каждого компонента смеси несимметричен (<г,к = ) только вследствие имеющего место межкомпонентного обмена моментом количества движения. Очевидно, что если в равенстве (10) провести суммирование по а от 1 до N, то получим

т.е. для всей смеси тензор напряжений Коши симметричен.

При формулировании закона сохранения энергии (первого закона термодинамики), в соответствии с которым скорость изменения во времени полной энергии произвольного объема сплошной среды равна сумме мощности действующих на термодинамическую систему механических сил и скорости изменения поступающей в рассматриваемую термодинамическую систему тепловой энергии, будем полагать, что объемная плотность полной энергии рЕ* рассматриваемой термодинамической системы есть сумма внутренней и кинетической энергий,

т.е.

N „ N

рЕ * = ^ РаЕ* = ^ (^РаМа + ка) „V,

а=1 V а=1

где раЕ* — объемная плотность полной энергии а-го компонента смеси; иа — массовая плотность внутренней энергии а-го компонента смеси; ка = рагад/2 — объемная плотность кинетической энергии а-го компонента в рассматриваемой материальной макроточке. Для а-го компонента смеси закон сохранения энергии имеет вид

а

в П 1 а а \ _ / а а .

( РаМа + 2РаУгУг] „V = в,Б+

V Я

+ IЬА dV + I ду „V - I дм ^ + I „V, (11)

V V в V и=1

где ду — объемная плотность мощности внутренних источников (или

ч а

стоков) теплоты в а-м компоненте смеси; д,ь — составляющие вектора

N

плотности теплового потока д,ь = ^^а ¿; определяет интенсивность

=1

энергообмена между а-м и V-м компонентами смеси, Еуа = — Еау,

Е = 0.

Локальная формулировка закона сохранения энергии очевидна:

Dua а а , а тЛ % а

= а(ji) VtJ + а<ji> - — +

N

+ ^ f EVa - Pi Vi - Jva (иа - 1 ViV^j =0, (12)

oc oc u u

где &<ji> — компоненты симметричнои и антисимметричном

Ск Ск Ск

частеИ тензора напряжении а-го компонента, j = Gj + G<j.>;

dv ' ах ах a a

-Q— = Vj + Wij; Vij = (dv./dxj + dvj/ôxi)/2 — компоненты тен-

j

зора скоростеИ; Wj = (ôvi/ôxj — dvj/ôxi) — компоненты тензора завихренности.

ВтороИ закон термодинамики в виде неравенства Клаузиуса-Дюгема для а-го компонента смеси можно записать в виде

D ha d ( qt\ qv

O'-DÏ + sx. Ы — lâ — gh" > »■

где На,Та — массовая плотность энтропии и абсолютная температура а-го компонента смеси; Ь,иа — массовая плотность энтропии, получаемая в единицу времени а-м компонентом при взаимодействии с у-м компонентом смеси, Ниа = —Ь,ар, Наа = 0. Однако справедливость записанного неравенства вызывает сомнения, так как заранее неясно, выполняется ли второй закон термодинамики для отдельных компонентов смеси. Поэтому целесообразно использовать глобальную формулировку этого закона для всей смеси в целом, получаемую суммированием в левой части последнего неравенства по а от 1 до N:

а

Ра^Г + £ (£) - qv I > 0, (13)

N

^ Га т ' дхЛТа) та

N N

где учтено, что ^ р О^К а = 0.

а=1 у=1

Если ввести в рассмотрение массовую плотность свободной энергии а-го компонента Аа с помощью преобразования Лежандра [5]

иа Аа + Та ^а ч

то закон сохранения энергии (12) можно записать иначе:

а

*а

а

Dha % а х ( ,

РаТа -=— = - ^--+ qv + 0а, (14)

Dt ох.

где

а

а а

DA а , DTv

йа = V(]i)Vij + V<J%>Wij - Ра I Dt + h a^DT 1 +

N / ya. 1 \

i Eva - PiVi - Jvt (Aa + Taha - -ViVi^j j

v=l '

— диссипативная функция для а-го компонента.

Отметим, что при изучении движения и деформации многокомпонентной смеси основная трудность связана с определением условий

у а уа

межкомпонентного взаимодействия, т.е. с определением ,]уа, РМ. и Еиа. Результаты математического моделирования происходящих в смеси процессов могут существенным образом зависеть от указанных условий.

2. Линейная двухкомпонентная термоупругая среда. При изучении поведения двухкомпонентной смеси будем полагать, что

I о а , 0 | | а(т) | а

\дщ/дхз1 ^ 1 и ^ 1 ^ 1, где щ — составляющие вектора пере-

а(Т) „ ,

мещения; е,^ — компоненты тензора температурной деформации а-го

компонента смеси, причем в данном случае а = 1, 2. Так как деформа-

а

ция мала, то примем, что D()/Dt = д(•)/dt [5]. Массообмен между компонентами отсутствует: Jva = 0.

Положим, что состояние каждого компонента смеси определяется четырьмя термодинамическими функциями:

— массовой плотностью свободной энергии

a v

Aa = Aa(еы,£ы,Ta,Tv, duk/dt - dUk/dt,Uk - щ),

2

pA = ^ PaAa;

a=1

— массовой плотностью энтропии

2

ha = ha(£kl, £kh . . .,Uk - Uk), ph = ^ Paha] (15)

a=1

— тензором напряжений с компонентами

2

a a ,a v v a ^ ^

aij = aij(£kh£kh... ,uk - uk), = ai'j'

a=l

— вектором плотности теплового потока с компонентами

2

a a ,a v v a . ^

Qi = qt(£ki,£ki,... ,Uk - Uk), qi = Qi,

a=1

где aki = (dUk/dxi + dui/dxk)/2, еы = (dUk/dxi + dUi/dxk)/2 — компоненты тензоров малой деформации а-го и v-го компонентов смеси соответственно; Ta, Tv — абсолютные температуры компонентов;

av

$k = dTa/dxk, $k = dTv/dxk; a,v = 1,2 и а = v. Аргументами определяющих функций в силу принципа равноприсутствия [5] могут быть, в общем случае, одни и те же переменные.

Для замыкания системы определяющих уравнений необходимо за-

va va

дать выражения для Pi, Mi и Eva. Аргументами этих функций могут быть приняты те же переменные, что и для соотношений из (15), т.е.

Pi — Pi(akl, £kl) . . . ,Uk — Uk);

va va а v v a

Mi — Mi(£ki,£ki,... ,Uk - Uk); (16)

Eva — EVa(£kh £kh . . . ,Uk — Uk).

Если подставим первое выражение из (15) в (12) с учетом принятых допущений и связи между иа и Аа, то получим

а V а

дАа дез + дАа де^ + дАа дТа + дАа дТи + дАа д&г +

ра деез дь + ра дь + ра дТа дь + ра дтV дь + ра Д дь +

V / V а

дАа д$г , дАа д / ди- ди-

д(dUi/dt - öSi/öt) dt dt

+равТ +Раа(аи- 1 ^ — ^ 1 +

дА

а д /V а ч а де.з а дй-з д§г

+ра5*(и - иг)- «1Т - ^-"аТ + 5X1-

-V - £ (Е,а - "Рь§) =0, (17)

где ъоз = (дщ/дхз — диг^ /дхг)/2 — компоненты тензора линейного поворота.

Разделив все слагаемые в левой части (17) на Та (Та = 0), просуммируем результат по а от 1 до 2, вычтем его из левой части неравенства (13) и получим

Л (Ра (ЗАа , , \ дТа

та [ж+Ч на+

V \ а

ра [ д_К дТV + дАа \ + Ра дАа т Та \ дТи дь дь Та Д дь

1 / дАа а \ дез 1 а д ГШ з р а дАа дегз .

+ Та\Ра дег] а(3у дь Таа<3г> дь + Та ^ дь + ра дАа д / дщ дщ\ ра дА

а 3 /V а ч

+ Т* д(дщ/дь — дщ/дь) дь\дь — ~дь ) + Та д (¿г — ащ) дь(и — иг) +

1 а дТа 1 А / V» дщ\\ . ,

+Т*а- ъ + Та Е (Еа— * ж)) > 0 (18)

аа

Из неравенства (18) в силу произвольности дТа/дь, ддг/дь, де^/дь, д(дщ/дь — дщ/дь)/дь и д(иг — иг)/дь следует, что

дАа дАа п а дА,

h° = , —^ = 0, V(ji) = Р

firp 1 а ^ (ji) I а 0а i

дАа дАа (19)

0, „ , v а s 0'

д(дщ/öt - дщ/öt) д(щ - щ)

Кроме того, полагая, что влияние изменения реактивных переменных

V V

v-го компонента (Т1, ,$г ,егт) на изменение энтропии а-го компонента смеси равно по абсолютной величине, но противоположно по знаку влиянию изменения реактивных переменных а-го компонента на изменение энтропии V-го компонента смеси, можем записать следующее равенство:

^ Ра I дАа дт дАа д&г дАа двг3 .

£ та1Ж ^ + дт -ж + дАа иг1 = 0, а = к (20)

Отметим, что в неравенстве (18) несимметрия тензора напряжений Коши а-го компонента (= 0) обусловлена только наличием

vа vа

момента Мг = 0 и силы межкомпонентного взаимодействия Рк = 0

vа

(вцкХг Рк = 0) в выражении закона сохранения момента количества движения для каждого компонента. Далее, поскольку всегда выполня-

V

ется второе равенство из (19), то положим, что дАа/д,дг = 0. Тогда соотношение (20) принимает более простой вид:

^ Ра (дАа д% дАа двгЛ

£ та +дАа дег) =0, а=(21)

С учетом равенств (19) и (21) второй закон термодинамики (18) примет более простую форму (а = V):

^ ( 1 (^ (ъ ^ дщ\\ 1 а д^г] 1 а дГа\

- £ IЪГа - Рг- та. ОТ + та "г дхха)* а

(22)

Из неравенства (22) следует, что энергообмен между компонентами для двухкомпонентной смеси с различающимися температурами компонентов всегда приводит к возрастанию энтропии смеси. Если Та = ^ = Т (а = V), то неравенство (22) несколько упрощается и принимает вид

^ (^ о диг , а дтг3 1 а дТ\

Т,[Т,Рг-ш + Т-ЦТ - ТагдТ, * 0

а=1 >^=1 г/

т.е. вклад в изменение энтропии системы обусловлен рассеянием энергии только вследствие обмена количеством движения между компонентами и процессом теплопроводности.

Для получения линеаризованных уравнений термоупругости двух-компонентной смеси представим объемную плотность свободной

энергии а-го компонента в виде суммы

Л ia V гр гр \ л* fa a(T) V V (T)\ . Т~) (ГТ1 ГТ1 \

Pa Aa(£kl ,£kl ,Ta,Tv ) — Pa Aa(£kl — £kl ,£kl — £kl ) + PaBa(Ta,Tv ) —

Л* i a(T) V(T)\ ioo\

—PaAa(—£kl , -£kl ), (23)

учитывающей второе, четвертое и пятое равенства из (19). Здесь paA*a( •) — часть объемной плотности свободной энергии, зависящая

aa (T) V V (T) (T) (T) aV

только от £kl — £kl и £kl — £kl или £kl и £kl . Если £j — 0 и £jj — 0,

Л (aV^^\r>(rrrr\ a a(T) V V (T)

то PaAa(£kl,£kl ,Ta,Tv) — PaBa(Ta,T), а При £Ы — £ы и £Ы — £ы объемная плотность свободной энергии зависит только от температур

a V a

(T)

(T \

Ta и Tv , Pa Aa(£kl ,£kl ,Ta,Tv) — PaBa(Ta,Tv) — PaAa (—£kl , —£kl ).

Такое выражение объемной плотности свободной энергии дает возможность рассматривать не только малые отклонения абсолютной температуры от температуры T0 — const естественного состояния, но

a(T) v (T)

и достаточно большие, однако при сохранении малости £^ и £^ . Функция Ba(Ta, TV) равна нулю при Ta — TV — T0, она определяет изменение свободной энергии только вследствие изменения абсолютной температуры а-го компонента.

Предположение о малости компонент полных (£j , £j) и темпера-

a(T) v (T)

турных (£jj , £jj ) деформаций компонентов смеси позволяет представить первое и третье слагаемые в выражении (23) в виде ряда Тейлора по соответствующим аргументам и ограничиться при разложении квадратичными слагаемыми:

Л ia V гр гр \ л* fa a(T) V V (T)\ . T~) (ГТ1 ГТ1 \

PaAa (£kl ,£kl Ta,Tv)— PaAa(£kl — £kl ,£kl — £kl )+ PaBa(Ta,Tv ) —

Ja^-ay^kh ^kl -1- a -1- v ) Ha

, a(T) v (T) a a va v 1 a a a(T) a a(T) -paAa(-£kl , -£kl ) — Gij £ij + F ij £ij + 2C ijkl (£kl - £kl )(£ij - £i3 )-

va v v (T) a a(T) 1 va v v (T) v v (T) П iv v Ma a \ I U tv v \iv v -Dijkl (£kl - £kl )(£ij - £ij ) + 2H ijkl (£kl - £kl )(£ij - £ij ) +

1 a a(T) a(T) va v (T) a(T)

+paBa(Ta ,Tv) - 2 C ijkl (-£kl )(-£ij )+ Dijkl(-£kl )(-£ij )-

1 va , v (T) v (T)

-2Hijkl(-£kl )(-£ij ) (24)

где С^ы — компоненты тензора коэффициентов упругости; Б^м — компоненты тензора межкомпонентного взаимодействия, V = а,

аа иа

Бцы = 0; Ицк1 — компоненты тензора механического влияния v-го компонента смеси на объемную плотность свободной энергии а-го компонента.

a

Поскольку компоненты тензора напряжений Коши сг^^ связаны с

, а у

компонентами тензоров деформации £гз и £гз третьим равенством из (19), то из (24) следует выражение

а а а а а(т) у* у у (т)

с(зг) = Огз + Сгзы (£к1 - £ы ) - Б^кХ - £к1 ),

в правой части которого первое слагаемое отлично от нуля только при наличии остаточных (технологических) напряжений. В большинстве практически важных случаев эти напряжения невелики и можно

а уа

принять в (24) Сгз = 0 и Ггз = 0. Тогда

а _ % I* а(т) у* у у(т)

с(зг) = СгзкЛ(£кЛ - £к1 ) - ВгзкХ (£кХ - £к1 ). (25)

Соотношение (25) по аналогии с классической термоупругостью можно назвать законом Дюамеля-Неймана для смеси анизотропных компонентов.

Каждый из тензоров коэффициентов упругости и межкомпонентного взаимодействия содержит 81 компоненту. Однако поскольку

а а а а у у

с(зг) = С(гз), £гз = £зг и £гз = £зг, то число независимых компонент этих тензоров сокращается до 36. Если далее учесть равенства

д2Ла/(д£гзд£к1 )=д2Аа/(дак1д£гз ) и д2Аа,/{д2<агздбкХ )=д2Аа/(д£Ыд£гз ),

а а а а уа уа уа уа

то Сгзкх = С згкл = Сгзхк = Скщ, Вг^кх = В зги = Вг3хк = Вкхгз и число независимых компонент каждого из этих тензоров составит 21.

Антисимметричная часть тензора напряжений с компонентами С<з> может быть представлена с использованием символов Леви-Чивиты вгзк и Кронекера 8гз следующим образом:

а уа уа уа уа

с<г3> ег3к (ектпхт Рп + Мк) (^гп^3т &гт,^зп^^т Рп ег3кМк.

(26)

Зачастую при построении модели двухкомпонентной упругой сме-

уа уа а а а

си полагают Рп = 0 и Мк = 0. В этом случае с<гз> = 0 и сгз = с(гз).

Выражение для На — массовой плотности энтропии а-го компонента смеси — получим из первого равенства (19) с учетом представления (24) объемной плотности свободной энергии:

а(т)

к = -= ра (•СгзкХ£кх - Вгзкх 1£к) ^Та- Ц:. (27)

При температуре Т0 естественного состояния и отсутствии деформации (£гз =0, £гз=0) массовая плотность энтропии ка(0, 0,Т0,Т0) = 0 и, следовательно, дВа/дТа = 0 при Та = Ту = Т0.

С учетом (24) и (26) диссипативная функция из (14) для рассматриваемой среды примет вид

аа а д£гз

ба = С(зг)~о^ +

, а дйгз (дА дТа \ Л / у* дщ

+С<зг>^Г - + На^) ^ Р* - Р^^

_а дг*гз ( дАа д£ц + дА* дгЛ + ^ ( _р д*

= с<зг> дг ду£з дь + дТу дь ) + ^ \Еуа Рг дь

-((я я -я я \ у* у* \ д^гз у* д ((у _у(Т)\(* _*(Т) ,

— ((Огт, 0]п 0^т0гп) хт Рп+ег3кМ к) дь + В'зкХ дь\(£кХ £кХ )(£гз £гз ^

, % о/у у(Т\ N / „а \

Н (£ у(Т)) д(£кХ - £кХ ) + ^ Е Р дМ ( )

-Н гзкХ (£гз - £гз )-дЬ- + ^ Г - Р^"дГ ) . ( )

Закон сохранения энергии в форме уравнения теплопроводности легко получить из соотношений (12), (27), приняв для компонент вектора плотности теплового потока выражение согласно закону БиоФурье [5]:

* а (Т) дТ

* = -Л" I*, (29)

а (Т) а (Т)

где Лгз = Л^г — компоненты тензора теплопроводности.

Подставляя последовательно (27) и (28) в (14) и пренебрегая сла-

а у

гаемыми, линейно зависящими от £ц и £ц, получаем уравнение теплопроводности а-го компонента смеси

^а у \ гЛ*(Т)

* д£к1_ В д£гз =

С гзк1 дь ВгзкХ дь дТа =

д (а(T) дТ

= <к, lA« dxj + av+(30)

в котором учтены эффекты термоупругой связанности полей температуры и деформации, а также диссипация энергии; с£ = -Тад2Ва/дТ* — удельная массовая теплоемкость а-го компонента смеси при постоянной деформации, ис £ = -Тад2Ва/(дТадТу) — "присоединенная" удельная массовая теплоемкость (а = V).

Если подставим в уравнения (7) закона сохранения количества движения а-го компонента смеси соотношения (25) и (26), то получим

уравнения движения в перемещениях

д 2щ а д 2Uk va д дР

rs.o C jihl^ ö + D jiklö (OinOjm г

дЬ2 дх, дх1 дх, дх1 дх,

va a(T) v (T)

dM k a dekl va дек1 va a

+eijk--+ С jiki—--Djiki—--P i = bi, (31)

dx-¡ dxj dxj

в которых учтены равенства dxm/dx¡ = 5m¡, (5in5¡m — Sim6jn)6mj =

va va va 3^in ^in 2^in, 2&ij Pj Pi Pi'

Для замыкания математической модели двухкомпонентной термоупругой смеси необходимо конкретизировать выражения для усилия

va

межкомпонентного взаимодействия Pi и интенсивности межкомпонентного энергообмена Eva, приняв их, например, в виде

va v a

Pi = @ij (Uj — Uj), Eva = g(Tv — Ta), (32)

где pij = Pji — элементы неотрицательно определенной матрицы, det(eij) ^ 0, g ^ 0' Момент межкомпонентного взаимодействия, как

va

правило, не учитывают: Mi = 0.

Для получения однозначного решения системы уравнений (30) и (31) с учетом соотношений (32) необходимо задать соответствующие начальные и граничные условия, которые существенным образом могут зависеть от структуры смеси. Решение такой краевой задачи представляет собой достаточно сложную самостоятельную проблему'

Заключение. Предложенные термомеханические модели смеси предоставляют широкие возможности для дальнейшего их развития и конкретизации применительно к разнообразным композитным материалам. Это относится в первую очередь к термостабильным композитам на основе углерода и композитам, в которых могут происходить фазовые превращения.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты №№ 08-08-00615а, 09-08-00699а.

Р

a

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. - М.: Наука, 1987. - 464 с.

2. Хорошун А. П., С о л т а н о в Н. С. Термоупругость двухкомпонентных смесей. - Киев: Наук. думка, 1984. - 112 с.

3. З а р у б и н В. С., К у в ы р к и н Г. Н. О поведении двухкомпонентной среды при импульсном нагружении // Прикладная механика. - 1990. - Т. 26, № 1. -С. 91-98.

4. З а р у б и н В. С., К у в ы р к и н Г. Н. О поведении двухкомпонентной среды при высокоинтенсивном нагружении // Прикладная механика. - 1990. - Т. 26, № 11. - С. 76-83.

5. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. -512 с.

Статья поступила в редакцию 25.05.2009

Николай Николаевич Головин родился в 1958 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1982 г. Канд. техн. наук, старший научный сотрудник. Начальник отдела прочности, нагрузок и нагрева ФГУП "Московский институт теплотехники". Автор более 60 научных работ в области математического моделирования термомеханических процессов.

N.N. Golovin (b. 1958) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1982. Ph. D. (Eng.), senior researcher. Head of department of strength, loads and heating of Federal State Unitary Enterprise "Moscow Institute of Thermal Technology". Author of more than 60 publications in the field of mathematical simulation of thermomechanical processes.

Владимир Степанович Зарубин родился в 1933 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1957 г. Д-р техн. наук, профессор кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Заслуженный деятель науки и техники РФ, лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники. Автор более 250 научных работ в области математического моделирования термомеханических процессов в материалах и элементах конструкций.

V.S. Zarubin (b. 1933) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1957. D. Sc. (Eng.), professor of "Applied Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Honored Science and Technology Worker of the Russian Federation, Laureate of RF Government Prize in Science and Technology. Author of more than 250 publications in the field of mathematical simulation of thermomechanical processes in materials and construction members.

Георгий Николаевич Кувыркин родился в 1946 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1970 г. Д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники. Автор более 160 научных работ в области прикладной математики и математического моделирования термомеханических процессов в материалах и элементах конструкций.

G.N. Kuvyrkin (b. 1946) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1970. D. Sc. (Eng.), professor, head of "Applied Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Laureate of RF Government Prize in Science and Technology. Author of more than 160 publications in the field of applied mathematics and mathematical simulation of thermomechanical processes in materials and construction members.