Термодинамика информационно-измерительных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

УДК 621.3.083.92 Т. Л.Тен , В.В.Яворский , В.М.Юров ТЕРМОДИНАМИКА ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Развитие классической термодинамики в середине XIX века стимулировалось потребностями в источниках энергии. Создание тепловых машин и вопросы преобразования энергии определили надолго интерес к энергетическим процессам. Первая работа С.Карно [1] положила начало термодинамике. Развитие феноменологической термодинамики в дальнейшем связано с работами В.Томсона [2] и Клаузиуса [3]. Началу статистической термодинамики положили работы Максвелла [4], Больцмана [5], Планка [6] и Гиббса [7]. Из этих работ видно, что классическая термодинамика - это термодинамика энергетических процессов. Ее основной объект исследования - равновесные состояния. При этом относительные флуктуации любой макроскопической величины малы вследствие очень большого числа частиц в системе.

В середине ХХ века благодаря работам голландско-бельгийской школы (Пригожин, де Грот, Мазур и их сотрудники) сложилась термодинамика необратимых процессов [8, 9], которая рассматривает не равновесные, но стационарные состояния. Пригожин предложил новый общий принцип - принцип наименьшего производства энтропии, оказавшийся для решения практических задач более удобным, чем принцип Оснагера.

Венгерский физик И.Дьярмати [10] поставил вопрос о соотношении между принципами Онса-гера и Пригожина и формах уравнений последующих приближений, поскольку уравнения Он-сагера являются линейным приближением. Дьяр-мати удалось найти общие положения неравновесной термодинамики и проверить их правильность на ряде частных задач.

Термодинамика необратимых процессов - это термодинамика открытых систем. В последние десятилетия термодинамика открытых систем получила большое развитие, благодаря основополагающим работам Пригожина [11] и Хакена [12]. Последнему принадлежит и термин «синергетика»

- нового объединяющего междисциплинарного направления, выявившего принципиальную роль коллективных, кооперативных взаимодействий в возникновении и поддержании процессов самоорганизации в различных открытых системах.

Отметим также, что практически параллельно развивалась (работы Стратоновича [13] и др.) и

нелинейная статистическая термодинамика необратимых процессов, получившая широкое применение в самых различных областях техники.

Становление теории информации в середине ХХ века связано с работами В.А.Котельникова [14] и К.Шеннона [15], также было вызвано потребностями практики - техники связи. Дальнейшее развитие информационных систем - измерительных, вычислительных, автоматических систем управления - расширило область интереса к информационным процессам далеко за пределы одного процесса передачи информации.

На начальном этапе развития кибернетики и теории информации существовало мнение, что малая энергоемкость информационных процессов существенно отличает их от энергетических. С развитием и усложнением информационных систем встал вопрос и об определении энергетической сложности различных информационных процессов, выяснения предельных соотношений при получении, хранении и обработке информации. Это послужило основой для известного высказывания фон Неймана: «...термодинамика является той частью теоретической физики, которая в некоторых из своих аспектов наиболее близка теории обработки и измерения информации.» [16]. Таким образом, потребности техники и развитие науки привели к возникновению термодинамики информационных процессов, основы которой были заложены в 1956 г. Бриллюэном в его книге [17]. Однако существенного внимания со стороны исследователей вопросы термодинамики информационных процессов не получили.

Исключение составляют основополагающие работы Р.П.Поплавского, подытоженные в его монографии [18]. Им было подчеркнуто, что термодинамика информационных процессов, в отличие от равновесной термодинамики и термодинамики открытых систем, является термодинамикой переходных процессов. Им было также установлены предельные соотношения между информационными характеристиками (точность, количество информации) и термодинамическими (энергия, энтропия).

80- 90-е годы ХХ века стали временем бурного развития ( и в настоящее время) синергетики, основу которой составляет термодинамика отрытых систем, в связи с выявлением глубокой связи

между информацией и самоорганизацией материи.

Тем не менее, развитие информационноизмерительных систем (телемеханики и т.д.) настоятельно требует выявления тех или иных термодинамических ограничений как на структуру самих систем, так и на информационные процессы, включая управление или активное измерение.

Изложенный нами подход отличается от подхода Р.П.Поплавского только в части математической формулировки задачи, но не выходит за рамки идеологии переходных процессов, связанных с наличием термостата. Такой подход оправдал себя применительно к процессам совершенно различной природы [19, 20].

Рассмотрим информационно-измерительную систему как систему невзаимодействующих ячеек, погруженную в термостат. Квантовые переходы, обусловленные взаимодействием ячеек с термостатом, будут диссипативными (с вероятностью Р) в отличие от взаимодействия с внешним полем (с вероятностью F ). Диссипативные процессы приводят к тому, что вторичное поле всегда меньше первичного.

Поскольку подсистема ячеек обменивается с термостатом только энергией, то соответствующий им ансамбль будет каноническим. Тогда выражение для статистической энтропии имеет вид:

^ = -к 2 (1)

г

где k - постоянная Больцмана.

Дифференцируя (1) по времени и преобразуя, получим:

§=2- 'nfj Ьл - ад) <2>

i^J

где Гу - вероятность перехода из начального i (с энергией Ег ) в возбужденное состояние ] (с энергией

Е ).

Для диссипативных процессов принцип детального равновесия имеет вид:

&ірі

Е, -Еі

У_ = е кТ

(3)

где gi, gj - статистические веса для уровней Еі и

Е,

Тогда (2) примет вид:

^ = крц - ¡« Г,- Ь - ^ /¡е кТ

Л 2

gj

Каноническая функция распределения:

, = 1 е~Еч/кТ /у 2е ,

где статистическая сумма:

г = е -вкТ,

(4)

(5)

(6)

в - потенциал (свободная энергия) Гиббса системы термостат + система ячеек.

Положим, что неконфигурационная часть потенциала Гиббса линейно зависит от числа N

ячеек:

-в/кТ =

= 1 h(N),

N

) = ю^ )• евкТ

(7)

(8)

где б)(М) - статистический вес.

После громоздких, но простых вычислений нетрудно показать, что функция Н(Ы) представляет собой распределение Гаусса около равновесного значения N с малой дисперсией, т.е.:

И(К) = к^)е . (9)

Подставляя (9) в (7), имеем:

ехр(-О /кТ) = )2 ехР(-АN2 /N) (10)

АN

Для оценки суммы в (10) заменим ее интегра-

лом:

e-AN 2/N =

I е

AN

Тогда (10) принимает вид:

е~вкТ =,

+» 2

^ е-х йх = 4Пх .

1 / 2

(11)

= h(N )(лN )

Воспользовавшись (8) и прологарифмировав (11), находим:

в/кТ = - 1па(Й) + +11п(лЙ), (12)

кТ 2

где в(ы) - часть общего потенциала Гиббса, связанная с числом ячеек. Из оценки первого логарифмического члена следует:

— ( N1 — N + N

lna>(N) = N 1п 1 +--+ N 1п-------. (13)

^ N) N

Аппроксимируя логарифм в первом слагаемом правой части (13) первым членом его разложения в ряд, а второе слагаемое, выражая через

потенциал Гиббса системы ячеек в / , получим:

1пю(Й) = N + Йв/ /кТ. (14)

Подставляя (14) в (12) и пренебрегая членом 1п(я№) / 2 по сравнению с N, получаем:

в = в(й) - Йв/ - Йкт. (15)

Как и выше, считая, что термодинамический потенциал G(N) зависит от числа ячеек в/ линейным образом, т.е.:

в = в 0 + NG

/

(16)

^0

где в - термодинамический потенциал термостата, находим:

е

О = О0 - тт.

(17)

С учетом (17) выражение (6) преобразуется к виду:

О 0/кТ N

— і

2 = е '"г' Подставляя (18) в (4), находим:

,О°/кТе - N е -Еі/кТ | ЕІ Е-

кТ

V У

г- 21 -^е кТ

8 І

(20)

Пренебрегая малыми членами и заменяя в (19) сумму интегралом, получим:

Ет - О °/м 1

Р = -

2А£

кт

■ехр<

кТ

(21)

где А5 - изменение энтропии в диссипативном процессе; Ет - среднее значение энергии основного состояния ячейки; т - время релаксации.

Эффективность работы распределителя определим как функцию отклика системы N ячеек:

Ф = ■

(19)

Еі -ЕІ

Р+Р

где Р = ут р , Тр - длительность импульса. С учетом (22) имеем:

Ф =----------

(22)

1

л 2АБ тр I

1 +--;----—еХр\

Ет - О VN

(23)

к т| кТ

^ Функция Ф зависит от числа ячеек, как это показано на рис.1.

Из рис.1 видно, что число ячеек распределителя ограничено некоторым конечным значением

N

кр

которое, в общем случае, зависит от используемой элементной базы и ее свойств.

Заключение

Из приведенной выше модели следуют следующие выводы:

- эффективность работы распределителя импульсов экспоненционально зависит от канальной емкости. Это значительно более сильная зависимость, чем это следует из обычных подходов;

- точность информационно-измерительной системы можно повысить путем увеличения канальной емкости. Это возможно при использовании многомерных информационно-измерительных (например, телеизмерительных) систем;

- для оптимизации предложенной термодинамической модели предложена следующая процедура: первоначально необходимо перейти от условной оптимизации к безусловной, для этого используется метод внешних штрафных функций; далее для оптимизации получившейся функции пользуемся градиентным методом с наискорейшим спуском, так как он за наименьше число шагов приводит к решению задачи. Для поиска величины шага, используемого в градиентном методе, мы используем метод золотого сечения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Карно С. Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать силу //В кн.: Второе начало термодинамики. Под ред А.К.Тимирязева.М.-Л.: ОНТИ, 1934. С.17-61.

2. Томсон-Кельвин В. О динамической теории теплоты. О проявляющейся в природе общей тенденции к рассеянию механической энергии //В кн.: Второе начало термодинамики. Под ред А.К.Тимирязева.М.-Л.: ОНТИ, 1934. С.161-18

3. Клаузиус Р. Механическая теория тепла //В кн.: Второе начало термодинамики. Под ред А.К.Тимирязева.М.-Л.: ОНТИ, 1934. С.71-158.

4. Максвелл Дж. О регуляторах //В кн.: Теория автоматического регулирования. М.: Изд-во АН СССР, 1949. С.9-29.

5. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат, 1956, 242 с.

6. ПланкМ. Единство физической картины мира. М.: Наука, 1966, 186 с.

7. Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики. М.-Л.: Гостехиздат, 1946, 212 с.

8. ДенбигК. Термодинамика стационарных необратимых процессов. М.: ИЛ, 1954, 356 с.

9. ДеГрот С.Р. Термодинамика необратимых процессов. М.: Гостехиздат, 1956, 412 с.

10. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1974, 304 с.

11. Пригожин И., Николис Ж. Биологический порядок, структура и неустойчивость //УФН, 1973. И.109. № 3. С.517-544.

12. ХакенГ. Информация и самоорганизация. М.: Мир, 1991, 240 с.

13. Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. М.: Наука, 1985, 480 с.

14. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Госэнергоиздат, 1956, 234 с.

15. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: ИЛ, 1963, 348 с.

16. Нейман Дж. фон. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971, 264 с.

17. Бриллюэн Л. Наука и теория информации. М.: Физматгиз, 1960, 186 с.

18. Поплавский Р.П. Термодинамика информационных процессов. М.: Наука, 1981, 255 с.

19. Юров В.М., Сидореня Ю.С., Кукетаев ТА. Термодинамика радиолиза в твердых телах //Докл. междунар. конф. ФХП-9.-Кемерово, 2004. Т. С.93-95.

20. Юров В.М. Термодинамика люминесцирующих систем //Вестник КарГУ. Сер.Физика,2005. № 3(39). С.13-16.

□ Авторы статьи :

Тен

Татьяна Леонидовна

- канд. техн. наук, доц. (Карагандинский экономический университет), тел. 8(3212)44-16-71

УДК 621.3.083.92

Яворский Владимир Викторович -докт. техн. наук, проф.,

зав.каф.АИС (Карагандинский государственный технический университет), тел. 8(3212)56-52-65

Юров

Виктор Михайлович

- канд.физ.-мат. наук, доц. (Карагандинский госуниверси-тет им. Е.А.Букетова), тел. (87172) 51-30-95 exciton@list.ru

Т.Л.Тен, В.В.Яворский, В.М.Юров ПРОГНОЗНЫЕ РЕСУРСЫ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Введение

Обобщенное понятие «ресурса» коммуникационной системы впервые было введено Л.И.Розоноэром [1]. В этой работе обмен и распределение ресурса в системе рассматривались как происходящие по законам, аналогичным закону распределения энергии в замкнутой системе механических частиц. Позже понятие «ресурса» коммуникационной системы стали связывать с наличием некоторого множества коммуникаций, соединяющих элементы системы, и с характеристиками этих коммуникаций.

Информационно-измерительные системы

(ИИС) также относятся к коммуникационным системам. Мы будем исходить из определения коммуникационной системы как системы, включающей большое число однотипных элементов (частиц), в которой переход из одного состояния в другое осуществляется перемещением элементов (частиц) по определенным каналам связи [2].

Каждому каналу связи можно поставить в соответствие определенную величину, которая служит характеристикой канала. Такими характеристиками могут быть пропускная способность канала связи, быстродействие, точность, надежность и т. д.

Разница между каналами и частицами заключается в том, что частицы «выбирают» каналы связи, а не наоборот. Естественно, что вместе с «выбором» канала связи частица «выбирает» и его характеристику. Поэтому сумму характеристик

каналов, поставленных в соответствие каждой частице, обычно рассматривают как некоторый ресурс, потребляемый частицами [2]. Таким образом, характеристика канала становится и характеристикой частицы.

Однако потребляемые ресурсы, и, собственно, ресурсы информационной системы суть вещи разные. Действительно, если по каналам связи ИИС передается 103 сообщений, то это еще не означает, что она не сможет осуществить передачу 105 сообщений.

За пределами многих моделей, исследование которых шло по пути оптимизации некоторых параметров системы, остались скрытыми «неиспользованные резервы» этой системы.

Мы будем называть прогнозными ресурсами информационной системы ее «истинное» значение определяющего параметра, в отличие от «ресурсов потребления» или фактических ресурсов, которые сложились при функционировании системы на данный период (или момент) времени.

В связи с этим, количественная оценка прогнозных ресурсов информационных систем является важной проблемой прикладного системного анализа. Это особенно важно при проектировании ИИС. Сейчас ведутся интенсивные разработки методов и техники цифровой коммутации, начиная от создания коммутирующих матриц на большое число каналов в одном корпусе интегральной схемы до создания цифровых центров коммутации сообщений и каналов. Одним из реше-