CC BY
37
Механика жидкости и газа 1158 Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1158-1160
УДК 536.242
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ В СРЕДЕ С ПОСТОЯННЫМ ГРАДИЕНТОМ ТЕМПЕРАТУРЫ
© 2011 г. А. О. Сыромясов
Мордовский госуниверситет им. Н.П. Огарева, Саранск
Поступила в редакцию 16.06.2011
Две сферические частицы произвольных радиусов помещены в сплошную среду, в которой (на беско -нечности) поддерживается постоянный градиент температуры. Теплопроводности сфер и среды произвольны. Методом мультипольного разложения найдено распределение температуры вне и внутри частиц. Показано, что система из двух сфер обладает дипольными свойствами.
Ключевые слова: термодинамическое взаимодействие, мультипольное разложение, сферическая частица, градиент температуры.
Постановка задачи
Две неподвижные частицы с радиусами о1, a2 и теплопроводностями к1; к2 соответственно помещены в среду с теплопроводностью к. Центры частиц разделены вектором г. Поскольку сферы не перекрываются, то г > al + a2 . На бесконечности задан постоянный градиент температуры Т (рис. 1).
дТ
Tf Тр, К дп
f
= к
N '
дТр
дп
(2)
I х - гм 1= ам,
на бесконечности возмущения, вызванные при-
сутствием частиц, затухают:
Tf МТо + Т]х], 1 х (3)
Здесь и далее по повторяющимся индексам производится суммирование в пределах от 1 до 3. Индекс N означает номер частицы. Внутри частиц распределение температуры не должно иметь особенностей.
Мультипольное представление решения
Метод решения задачи основан на представлении гармонических функций в виде линейной ком -бинации мультиполей [2]:
1
дд
Ь0(х) =---------, Ь,■ , (х) =-----------...------
^ | хI ’ 1...]У ’ дхг дх,
1
I х I
В начале координат температура Т = Г0. Далее вектор х задает положение произвольной точки относительно начала координат, векторы г1 и г2 — положения центров частиц, г2 — г1 = г. Требуется найти распределение температуры вне и внутри частиц (обозначим соответствующие функции через Т и Гр).
Для одиночной частицы эта задача поставлена в [1]. Искомые поля удовлетворяют уравнениям
АТГ = 0, АТр = 0 (1)
и следующим граничным условиям: на поверхности частиц непрерывны температура и тепловой поток,
В силу (1), (3), распределение температуры вне частиц можно искать в виде
Tf = Т0 + Тзхз +
+ X [ А0Х (N) Ь (х) + Н ,еХ N )Ь, (х — ^) +
N
+ (Ю Ь,к (х — % ) +
+ С%(ЮЬ,к1(х — ГN ) + ...], (4)
а внутри N-й частицы, с учетом того, что в ее
центре Тр < ^ , — в виде
Тр (N) = Т + Т,г+ Л^( N) +
+ Н(N)Ь, (у) | у |3 +, (N)Ь,к(у) | у |5 +
+ 6%(ЮЬ,к1 (У)| У|7 +..., У = х — гм. (5) Тензорные коэффициенты Л0, Н, Е, С и т.д. зависят от векторов г и Т, поскольку они определяют геометрию задачи; при этом зависимость
от Т должна быть линейной.
Обозначим через Ь единичный вектор, со-направленный с г, и выберем единичный вектор с1Ь так, что Т раскладывается по Ь и с: Т = Т !|Ь + Т±с. Тогда тензорные коэффициенты (вне зависимости от того, относятся ли они к разложению температуры вне или внутри частиц) имеют следующую структуру:
А0 _ АА • Т"
Н] _ НА • Т'Ъ] + НВ • Т 1с],
Іпі /1\ _ а2 К2 — К
АА т(1)
АА тг (2) _
К2 + 2К
К, - К
2 К1 - К
є2 + 2- 1
V
К1 + 2К
У
К1 + 2К
2 ~ а9 Кі — К 5
а1є2 + 2-2—1—— є5
а
НА-(1) _^Ь К1 + 2К
1 К1 + 2К
НАех[ (2) _
К2 —К
3 ^ 3 Ко — К з
а3 + 2а2—2-------є3
1 2 к 2 + 2 к
К2 + 2К
з ^ 3 К1 — К 3
а2 + 2а2—1---------є3
2 2 К1 + 2К
НА'"1 (1) _ НВ^ (1) _
3к
К1 + 2К
НА ех1(1) _ НВ ех1(1)
ехі,
к1 — к з
_—1---------а3.
К1 + 2К 1
^ _ ¥А • Т%}Ък + ¥В • Т1(о]Ьк + окЪ]), (6)
°]Ы _ °А • Т"ЪАЪ/ +
+ СВ •Т1 (С]ЪкЪ1 + СкЪ]Ъ1 + с1Ъ]Ък)...
Так как коэффициенты сворачиваются с симметричными мультиполями, то и сами они должны быть симметричны. Поскольку задача линейна по Т, вектор с входит во все выражения в степени не выше первой. Из векторов Т и г скаляр образуется единственным образом: Тт = Т ¥, поэтому А0 не содержит слагаемого с Т1.
Остается определить скалярные параметры НА ехі(1), НАехі(2), НА т‘(1), НА 1іп(2),... Для этого следует подставить выражения (4)—(6) в граничные условия (2). Эти величины были найдены в виде разложения по степеням параметра є = а1/г < < 1 с точностью до є5:
АА ех[(1) _ АА ех1(2) _ 0,
Аналогичные выражения справедливы для коэффициентов, относящихся ко второй сфере; остальные коэффициенты равны нулю.
Если одна из частиц по своим термодинамическим характеристикам не отличается от несущей сплошной среды (например, к2 = к), то полученное решение опять сводится к решению задачи, изложенной в [1].
Если сферы одинаковы, а1 = а2 = а, к1 = к2 = = кр, то для распределения температуры вне и внутри частиц справедливы соотношения: Л(2) = —Л(1), Н(2) = Н(1), Е(2) = —Е(1), С(2) = С(1). Аналогично [2], это означает, что мультипольная часть возмущенного поля температуры удовлетворяет тому же нечетному преобразованию, что и невозмущенное:
Т, (—х,) = —Т,х, ^ Тг (—х + г) =—Тг (х),
Тр (—х + г) = —Тр (х).
Можно показать, что среднее значение разности Тр — Т0 —Тт, как по объему, так и по поверхности ^й сферы равно ТlЛЛmt(N). Это значит, что если градиент Т приложен параллельно линии центров (или составляет с ней угол, отличный от прямого), то частицы могут разогреваться или охлаждаться относительно окружающей среды. Этот процесс обусловлен их термодинамическим взаимодействием: для одиночной сферы ЛЛт‘= 0. В частном случае одинаковых сфер из (7) следует, что
АА ”1(1) _ а
к^ + 2к
І ІПІ
2 К_—К 5
є 2 + 2-----------є5
к р + 2к
Ч У
Іпі
(7)
Изложенный метод позволяет найти решение задачи с любой точностью по £. Для этого требуется выписать выражения, содержащие мультиполи и тензорные коэффициенты более высокого порядка.
Анализ полученных результатов
Решение (7) обладает следующими свойствами. При 0 происходит переход к решению
задачи об одиночной частице [1]:
ЛЛ (2) = — ЛЛ “(1).
Пусть Т 11 > 0. Тогда при кр > к частица 1, расположенная в более холодной среде (см. рис. 1), будет разогреваться, а частица 2 — охлаждаться относительно среды на ту же температуру. Частицы образуют диполь, который ориентирован так, чтобы ослабить внешнее температурное поле, т.е. аналогично дипольным частицам внутри диэлектрика. Это объясняется тем, что при кр > к из (2) получается дТр / дп < дTf /дп , т.е. среда не успевает охладить частицу 1 и нагреть частицу 2. При кр < к ситуация противоположна.
Список литературы
1. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. Изд. 3-е, перераб. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1986. 736 с.
2. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в суспензии. Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва, 1998. 135 с.
5
THERMODYNAMIC INTERACTION OF SPHERICAL PARTICLES IN A FLUID WITH A CONSTANT TEMPERATURE GRADIENT
A.O. Syromyasov
Two spherical particles of arbitrary radii are immersed in a continuum where (at infinity) the constant temperature gradient is maintained. Thermal conductivities of spheres and of the continuum are arbitrary, too. The temperature distribution inside and outside the particles is obtained by the method of multipole expansion. It is shown that the system of two spheres in such a continuum has dipole properties.
Keywords: thermodynamic interaction, multipole expansion, spherical particles, temperature gradient.
