Терминальное управление моделью саморазвивающейсярыночной экономики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.622.2

ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МОДЕЛЬЮ САМОРАЗВИВАЮЩЕЙСЯ

РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ

© С.В. Безгин, А.Н. Пчелинцев, С.А. Скворцов

Ключевые слова: система обыкновенных дифференциальных уравнений; модель саморазвивающейся рыночной экономики; схема последовательных приближений; оптимальное управление; вычислительный эксперимент. Рассмотрено применение схемы последовательных приближений для построения терминального управления моделью саморазвивающейся рыночной экономики по квадратичному критерию качества. Приведены результаты вычислительного эксперимента по управлению таковой моделью.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В работе [1] описана математическая модель саморазвивающейся рыночной экономики. Данная модель задается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

Х(і) = Ъх((1 - ст)г - 5у); у (і) = х(1 - (1 - 5) у + стг); г(і) = а(у - dx),

(1)

/ (X ) =

ґЪх((1 - ст)г - 5у х((5 -1) у + стг) 0

л

Введем вектор 2, описывающий желаемое состояние системы в момент времени Т. Предположим, что начальное состояние задано:

X(і0) = с .

(4)

где х - показатель капитала; у - показатель платежеспособного спроса; г - показатель нормы прибыли; а, Ь, d, а, 3 - параметры, характеризующие систему; Г -время. Для реального применения управление в данной системе легче всего организовать путем управления капиталом. В самом деле, предприниматель всегда может выводить капитал из системы, а также привлекать средства извне. Поэтому введем в первое уравнение системы функцию управления м(Г):

Х(і) = Ъх((1 - ст)г - 5у) + и (і); у(і) = х(1 - (1 - 5)у + стг); г (і) = а(у - dx),

(2)

Перепишем систему (2) в матричном виде. Для это-

го положим X =

у

. Тогда получим:

X (і) = АХ + Ви (і)+/ (X),

(3)

где

' 0 0 0 ^ Г1 ^

А = 1 0 0 ; в = 0

^— ad а 0 V , 0 V

Тогда задача терминального управления системой (3) по квадратичному критерию будет заключаться в минимизации функционала [3]:

т

3(и) = - I (и(і),ги(і)^і + ~{е(Т),Ре(Т)), (5)

2 і 2

в котором Т - фиксированное конечное время; Р - положительно полуопределенная матрица; г - положительное число; е(Т) - ошибка системы в конечный момент времени, т. е.

е(Т) = X (Т) -1.

Матрица Р задает вес ошибки в момент времени Т; г - вес управляющего воздействия.

ОПИСАНИЕ МЕТОДА

Для построения управления применим схему последовательных приближений, описанную в [2]. Схема построения решения задачи (3)-(5) заключается в следующем. Сначала найдем К(Г) - решение матричного дифференциального уравнения Риккати:

К (і) = -К (і) А - А'К (Т) +1К (Т)ВВ'К (і)

г

1516

с начальным условием К (Т) = P назад по времени до і0 (здесь и далее запись А' означает применение оператора транспонирования к матрице А ).

Затем найдем первое приближение управления:

t) —1 B’[PZ - K(t)c].

После того, как получим первое приближение управления, будем применять следующую схему последовательных приближений:

Вычислим первое приближение Х0О. Для этого решим краевую задачу:

Хо(0 = Ахо + Ви0(:) + 1(хо) , хо(:о) = с . (7)

Далее, на каждом шаге N вычислим км+1(() - решение дифференциального уравнения:

Hn+i(t) —

A -1BB K (t ) r

hN +1(t ) +

(8)

+ K (t)f (Xn (t))

mag.tgz). В качестве языка реализации алгоритма был выбран язык OCaml. Это функциональный язык программирования, разработанный в 1985 г. в институте INRIA (фр. Institut national de recherche en informatique et en automatique).

Как несложно заметить, решения уравнений (8) и (9) необходимо искать в различных направлениях по времени. Этот фактор может привнести дополнительные трудности, связанные с разворотом результата вычисления (8). Одной из особенностей функциональных языков программирования являются списки как основная структура данных. Для построения списков используется оператор cons (в OCaml обозначается ::), помещающий элемент в начало списка. Таким образом, результатом решения уравнения (8) будет список значений функции в прямом порядке времени, что нам и требуется для решения уравнения (9).

Для реализации матричной арифметики был использован модуль Bigarray библиотеки OCaml Batteries Included. Для хранения данных используется тип (float, 'a, 'b) Batteries.Bigarray.Array2.t - двумерный массив чисел с плавающей точкой двойной точности. Матричная арифметика, а также функция решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4 порядка описаны в файле matrix.ml.

ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

с начальным условием км +1(Т) = Р2 назад по времени до :0 . Затем вычислим следующее приближение траектории системы - решение дифференциального уравнения:

XN+1 - AXn+1 + BuN+i + f (Xn+i)

где управление задается законом:

N +1

(t ) —1B ' [Hn +1(t ) - K (t) Xn +1(t )].

(9)

(10)

Вычисления останавливаются, когда норма разницы между двумя приближениями станет меньше заданной точности е. В качестве таковой нормы может выступать

Нами был проведен численный эксперимент для построения управления системой (2). В качестве параметров системы были взяты следующие значения, при-

Рис 1. Результаты численного эксперимента

max \Xn+1(t) - Xn (t)|

t^\t0,T ]

При практической реализации данного метода последовательных приближений для решения дифференциальных уравнений (6)-(9) удобно воспользоваться методом Рунге-Кутты 4 порядка как сочетающим небольшую вычислительную сложность и высокую (порядка 0(к4) , где h - величина шага сетки) точность интегрирования.

РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА

Для решения задачи (3)-(5) нами была разработана компьютерная программа (исходный код можно найти в разделе «Файлы» сайта http://cluster.tstu.ru, файл

о

-0.5

-1

u(t) -1.5 -2 -2.5 -3

0.2

0.4 0.6

t

0.8

Рис 2. Результаты численного эксперимента (управляющее воздействие)

u

1517

веденные в [1]: а = 7; Ь = 0,4; d = 1,17; а = 0,284;

8 = 0,681. Параметры функционала (5), использовавшиеся при расчете:

(1,256 0 0'

r = 1; P = 0 0 0

V 0 0 0У

Расчет, выполненный для данных параметров, показывает достаточно точный вывод системы на заданное значение состояния. Графически результаты эксперимента представлены на рис. 1.

Данный результат получен за 11 итераций метода последовательных приближений.

График управляющего воздействия приведен на рис. 2.

В качестве целевого значения состояния системы в момент времени Т положим

Z =

V 0 у

ЛИТЕРАТУРА

Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М., 2004.

Афанасьев А.П., Дзюба С.М., Пчелинцев А.М., Лобанов С.М. Об оптимальном управлении одним классом нелинейных систем по квадратичному критерию // Вестник ТГТУ. Тамбов, 2010. Т. 16. № 2. С. 361-373.

АтансМ., ФалбП. Оптимальное управление. М., 1968.

0

В качестве начального состояния системы примем

Г 1,5^

4

у 4 V

Для метода Рунге-Кутта 4 порядка применялся шаг интегрирования 10-4. Параметр точности расчета составлял е = 10-5. В качестве временных пределов

управления положим і0 = 0, Т = 1.

Поступила в редакцию 4 ноября 2012 г.

Bezgin S.V., Pchelintsev A.N., Skvortsov S.A. TERMINAL MANAGEMENT OF SELF-DEVELOPING MARKET ECONOMICS MODEL

The application of a successive approximation scheme for finding optimal control by the quadratic criterion was reviewed. The results of the computational experiment of this model management are presented.

Key words: system of ordinary differential equations; model of self-developing market economics; successive approximation scheme; optimal control; computational experiment.

1518