CC BY
57
УДК 517.958
В. М. Белолипецкий, Т. В. Пискажова, М. В. Емельяшин
ТЕПЛОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЕЙ ЭЛЕКТРОЛИЗА АЛЮМИНИЯ
Представлена тепловая динамическая модель алюминиевого электролизера, разработанная для управления технологическим процессом в режиме реального времени. Модель построена на основе схематизации электролизера по характерным областям и использования нульмерных подмоделей.
Алюминиевый электролизер для производства алюминия - это прежде всего тепловой агрегат, 50 % мощности которого теряется в окружающую среду. Поэтому для управляющих систем очень важно поддерживать на электролизере такой тепловой режим, который обеспечивал бы условия эффективной работы, постоянство оптимальной толщины застывшего электролита на стенках ванны для предохранения бортовых блоков от разрушения агрессивным расплавом, а также по возможности снижать потери энергии в окружающую среду. Поэтому в математической модели, включенной в систему управления, очень важно достоверно имитировать теплообмен электролизера с окружающей средой, изменение температур жидких и твердых слоев, плавление и образование настыли (изменение формы рабочего пространства). При этом, поскольку управляющее решение принимается в режиме реального времени, расчеты должны быть очень быстрыми, мгновенными.
Некоторые блоки тепловой модели представлены в [1;2].
Здесь рассматривается комплекс математических моделей теплообмена всех блоков алюминиевого электролизера.
Электролизер для производства алюминия представляет собой футерованную угольными материалами ванну, содержащую два жидких высокотемпературных слоя - электролит и металл. Металл в электрохимическом процессе играет роль катода. Сверху в расплавленный электролит погружен угольный анод. В работе будем рассматривать электролизер Содерберга с самообжи-гающимся анодом (рис. 1). В каждой выделенной области тепловой режим рассчитывается по соответствующим подмоделям, с учетом теплообмена со смежными областями. Уравнения теплового баланса (нульмерные модели) составляются для глинозема, корки, электролита, металла, катода, дна и боковой стенки с настылью, имеющими средние температуры.
Анодная масса
Спеченный анод
Погруженный Глинозем, Корка
анод Электролит Гарнис- ■й * □
Электролит саж ТЗ < 3 Н X о
Настыль ? а п 3
Металл ж р а
Подовые блоки
Теплоизоляция, стальной кожух
Атмосфера
Рис. 1. Схема для тепловых расчетов
Нульмерная модель для оценки динамики температуры в заданном объеме среды. Рассмотрим вывод математической модели для исследования динамики средней температуры выделенного объема среды. Пусть О - заданный объем, Г - его граница. Температура среды определяется по уравнению теплопроводности:
дТ - "
- + Сгу(Т-V)
ср
ді
= Сіу(ХУТ) + /, (1)
здесь Т - температура, с - удельная теплоемкость, р - плотность, X - коэффициент теплопроводности, V - вектор скорости движения среды, / - внутренние источники тепла.
Граничные условия на границе Г составляют
Нг = бг,
д п
V = 0.
Проинтегрируем уравнение (1) по объему Ю :
дТ —
ср {"д“ СЮ + ср | div(TV )СЮ =
= \Сы('кЧТ)СО.+ |/СЮ
п п
(2)
Введем средние значения температуры и источника в рассматриваемом объеме:
Т = — | ТСО, — = — ¡—СО., / = — | /СО.
’ Л* Я# ГЛ-'*7
Сі
Ю ю ді
О;
Учитывая формулу Гаусса-Остроградского:
{Сы(Л)СЮ ={ Л • пСГ ,
Ю г
из (2) получаем
ср Ю — + ср { TVndГ ={ (X—)СГ + Ю /. (3)
Сі
д п'
дТ,
Так как Vn\Г = 0, X— Г = QГ , то из (3) следует
дп
1 'г'
сМ — = | QГ СГ + О /, (4)
г
где М = р О - масса среды в объеме О .
Следовательно, средняя температура явно не зависит от скоростей течения среды, однако от характеристик течений и неравномерности распределения температуры, зависят потоки через границу Qг.
При использовании модели (4) эффекты конвективного переноса турбулентного обмена можно учитывать с помощью эффективного коэффициента теплопроводности. Этот коэффициент оценивается на основе использования натурных данных для исследуемого объекта.
Способ оценки теплообмена между смежными слоями. Рассмотрим две произвольные смежные области «г» и ««». Оценим теплообмен между данными областями с использованием одномерных стационарных приближений:
Т = а: + Ъг2, Т, = а, + Ъ ,2 ,
* * * У У У
где 2 - координата, направленная поперек слоя; Т, Т, - температуры соответствующих слоев.
Отсюда для средних температур в рассматриваемых слоях получаем соотношения:
Т = а + 0,5 ^ Д 7г; Т] = а] + 0,5 Ъ] Д 2], (5)
где Д 21, Д 2, - толщины соответствующих слоев.
На границе раздела слоев выполняются условия непрерывности температуры и потоков тепла:
а + ЪгД 2 = а1; ХА =х А. (6)
Теплообмен между слоями рассчитывают по
формуле
а,_1 = 5г_ 1 ХгЪг, (7)
где 5г-_, - площадь границы раздела слоев.
Определим теплообмен между рассматриваемыми слоями по средним температурам
а,_ 1 = 8г_,кг_1 $ _ Т ), (8)
здесь кг_ 1 - коэффициент теплопередачи. Из соотношений (5)-(8) находим
к-і = 2
Хі
(9)
Для известных средних температур в смежных слоях теплообмен между ними вычисляется по (8) (9).
Теплообмен в горизонтальных слоях расплавов и катода. Тепло, полученное от прохождения электрического тока, выделяется большей частью в электролите, здесь же оно и расходуется на основную реакцию. Теплообмен в областях глинозема, корки, электролита, металла, катода, дна описывается уравнениями относительно средних температур:
СЭМЭ • = Ql + Оан - Qэ-Н - •
Сі
смМ
ОЭ-М ОГ ОР бэ-кор
сТМ
-'М1У-1М ' = °Э-М °М-Н °М-к ;
Сі
СТГ
СГМГ • ~СТ ~ Ок°р-Г - ОГ-ат ;
(10)
СТ
-»л- кор ___ ^ ^
Скор^Мкор Сі ~ ОЭ-кор Окор-Г ;
СкМ к " ~Ти = °М-к - Ок-дн + Очк ;
СТт
с М-----------^ = О - О
дн дн к-дн д
Сі
где Т - средние температуры соответствующих слоев; Оі - приход тепла от электроэнергии в электролите; Оан - теплообмен с анодом; с, - удельные теплоемкости соответствующих материалов; Мі - массы соответствующих областей; ОГ - потери тепла на нагрев и растворение глинозема; ОР - расход тепла на основную реакцию; Очк - тепловой поток от внутреннего источника тепла в катоде. Потоки тепла через границы соответствующих слоев рассчитывают по формулам
°Э-н = ^Э-н •“ Э-н (ТЭ - ТлЭик ) - теПЛовой поток из
электролита в настыль;
Тшк - температура ликвидуса электролита;
ОЭ-М = ^3
¿э-м _ ^э-м • кэ-^-'э ± М
электролита в металл;
ОЭ-кор = Х ЭЬЭ ^Э-кор - теПловой поток из электролита в корку; (Хэ - теплопроводность электролита);
(Тэ - ТМ) - тепловой поток из
-1
+
Окор-Г = 5кор-Г • ккор-Г (Ткор - ТГ ) - тепловой поток
от корки к глинозему;
Ом-к = £м-к • км-к (Тм - Тк) - тепловой поток из металла в катод;
ОМ-н = 5М-н •“ М-н (ТМ - ТлМ ) - теПловой поток
из металла в настыль (Тлик - температура ликвидуса в слое металла);
= £ г
(ТГ - Тат) - тепловой поток
температура
аГ_ат = ^ Г_ат -а Г_ат (ТГ| 2=0
из глинозема в атмосферу, (ТГ| ^=0 поверхности глинозема);
а_дн = ^к_дн • кк_дн (Тк _ Тдн ) - теПЛ°вой поток из
угольного катода в теплоизолирующее дно;
Од
=
ДТп
- Т )
ат /
- тепловой
поток с наружной поверхности дна в атмосферу.
Здесь £э-н , 5Э-М , £Э-кор , 5М-н , 5М-к , £кор-Г , 5Г-ат ,
5к-дн, £дн-ат - площади соответствующих границ. Коэффициенты теплоотдачи аГ-ат, адн-ат, а
Э-И5
АМ-н
считаются заданными.
Для оценки коэффициентов теплопередачи ку
между горизонтальными слоями и нахождения профиля температур (в вертикальном направлении) используется стационарное приближение:
Т = Сі + Ьі2 =
(11)
где 0 < 2 < А2і, і = 1,2,3,4,5,6; А2і - высота соответствующих областей; і = 1 (Г) - слой глинозема; і = 2 (кор) - слой корки; і = 3 (Э) - слой электролита; і = 4 (М) - слой металла; і = 5 (к) - слой катода; і = 6 (дн) - дно.
Произвольные постоянные Ьі, Сі определяются по условиям равенства температур и потоков на границе раздела слоев:
СГ = Тат + -^-ъэ, л =-^ъэ, ЬГ = ъэ,
кор
I
кор
хг
отношениям (11), (12) определяются ТГ|
Т I
дн л
|Ддн
По уравнению (10) в стационарном случае рассчитываем выражения для начальных значений средних температур в горизонтальных слоях:
Ь1 - М2Ъ2 +
Т =-
дн
а13 м 2 а23
Ъ - а Т - а21Ь3
и2 23 дн
Т„ =-
а21а32
31
Т а32 Т + Ъ3
1 М = 1 к +
31
31
ТГ = Тат + а Э-кор
а г ят 2Х г
V г-ат 1 У
(Тэ - Тлэик), (13)
Ткор = Тг + 5
Э-кор аЭ-кор
т-к -Г кор-Г кор-Г
А
(Тэ - Тлик):
где м 1 =■
ДМ + Д к + Ддн + 1
V 2Х М Х к Х дн адн-ат у
к-дн
аи =м 1; а12 =---------; а13 =-
а
( к Л 1 + -^ а „
V дн-ат у
Ъ1 = (м 1 - 1)Тат ; а21 = 5М-КкМ-к ; а22 = -(5М-КкМ-к + 5К-днкК-дн ) ;
а23 = 5К-дн кК-дн ;
Ъ2 = ОдК ;
а31 = 5Э-МаЭ-М + 5М-наМ-н + 5М-Кк М-К ; а32 = -5М-Кк М-К ;
, ХЭ 7 7 X Э
ЪМ = “ ЪЭ , Ък =— Ъэ,
I
М
Ъдн = Х ХЭЪЭ :
Х дн
Скор = СГ + ЪГДГ , СЭ = Тлик , СМ = СЭ + ЪЭДЭ , (12)
Ск = СМ + ЪМДМ :
Ъэ =■
Сдн = Ск + Ък Д к,
Т дн - Т Э
ДЭ + Д М +
Дк Дд
V э
М
Хк Хдк адн-ат у
Коэффициенты теплопередачи к
к
М-к , кк-дн
кор-Г , кЭ-М ,
[ вычисляются по формуле (9). По со-
Ъ3 = 5Э-МаЭ-МТЭ + 5М-наМ-нТлик ^Э-мР^хим .
М2 =-
-*31 у
а21а32
-‘31
Средняя температура электролита ТЭ считается заданной.
Для оценки аЭ_Н получаем соотношение
а _ аа3_Э _ Оэ~М _ аг _ £рг _ аЭ_кор _ Р#хиАз_Э аЭ_н =---------------------„ Э--------------------.
&Э_н(Тэ _ТЭик)
а
а
31
31
31
дн
а
г-ат
а11 а32
а12 -
1
X
Э
Теплообмен через бортовую футеровку с учетом настыли. Настыль контактирует непосредственно с электролитом или металлом, стальной кожух с окружающей средой (рис. 2).
Решение этой системы с учетом формул (15) имеет вид
-0 - т" , аЭ-н (ТЭ - Тлик )
Т1 -Т + -
11 _ 1 ат +
Стал. Тепло- Угольный
блок
Настыль
Электро
лит
Атмо-1 сфера 1 2 3 4 5
51 5 2 5 3 I 5
л 1 л 2 3 4
Рис. 2. Схема бортовой стенки
5В области 1 используется только стационарное приближение в силу малой толщины стального кожуха и большого значения коэффициента теплопроводности стали. Для слоев теплоизоляции, угольного блока и настыли решается нестационарная задача:
. , СТ2п
С2М2 ' , _ 03-2 02-1 ;
Ш
сТТ
С3М3 " ~ТТ - 04-3 - 03-2 ;
Сі
(14)
С4М4 • = 05-4 - 04-3 + б,
_ наст .
5-4 _ 04-3 0фаз ;
02-1 - 01-ат •
Тепловые потоки определяются по следую щим формулам:
01-ат - а 1-ат(Т1 - Тат ) • ^1-ат ,
02-1 - К2-1 (Т2 - Т\) • $2-1 ,
03-2 - К3-2 (Т3 - Т2 ) • ^3-2 ,
04-3 - К4-3 (Т4 - Т'3) • ^4-3 ,
05-4 - а э-н (ТЭ - Тлик ) • ^5-4 ,
О П+1 О п
Єнаст _ ^ т 8 4 - 8 4 е
фаз _ Р н н ді * °5-4 > кі-з - А
8 і 8
(15)
Л-1
--------1------
Vх і З
V 1 3 /
где 7 - среднее значение температуры в 1-м слое; Si-з - площади соответствующих границ слоев;
0фаст - тепло фазового перехода; р н - плотность настыли; Ь н - скрытая теплота плавления настыли; М1 - массы соответствующих областей.
Начальное приближение находят, решив стационарную задачу:
03-2 - 02-1 - 0 ,
04-3 - 03-2 - 0 ,
05-4 - 04-3 - 0 ,
02-1 - 01-ат •
0 _т0 . а Э-н (ТЭ Тлик )
^0 _______ ^0 .
Т2 Т1
к2
2-1
а Э-н (ТЭ - Тлик )
Э
гг0 _ 'Т’0 . ^Э-н(1 Э 1 лик ^3 — ^2
к
3-2
Т'0 - 7^0 +_аЭ-н (ТЭ Тлик )
(16)
4-3
Для оценки динамики толщины настыли используем стационарные приближения в горизонтальном направлении:
Т _ С, + Л.х, 0<х<8, г _ 1, 2,3, 4 .
Для средних температур в слоях имеем
7 - Сг + 0,5 Ьг 81 • (17)
Считаем, что средние значения температур известны. По условиям непрерывности температур на границах между слоями и на границе фазового перехода получаем уравнения для определения
Сг , Ьг, 8 4 :
С1 + Ь181- С2, С2 + Ь28 2- С3,
с3 + Ь38 3 - С4 , С4 + Ь48 4 Тлик ,
р нЬн - X 4^4 - а Э-н (Т - ТЭк )• (18)
аі
По (17), (18) при
С 8 4 Сі
- 0 находим начальное
о 0
значение 8 4 :
8 0 2Х 4(ТлИк - 74)
8 4 - Э
лик >
а Э
н (Тэ - ТЭик )
(19)
В нестационарной задаче для определения толщины настыли получаем уравнение
С8
р н Ь„ — - 2Х
4 ТпЭ1к - Т4 „ ггЭ
Сі
'-а Э-н (Т; - Тлик ).
Численное решение этого уравнения имеет вид
/„п Ді •а Л
8 п+'- 0,5
п
8 4--
Рн Ь
Э-н (Тэ - ТлЭик )
+. 0,251 8
Ді •а э
РнЬн
Ч?Э - ОІ + (ТЭик-Т4)
(20)
РнЬн
Толщина настыли в слое металла определяются по аналогичным формулам.
Полученные соотношения позволяют определить теплопотери через бортовую футеровку с учетом динамики настыли.
4
+
Стационарная модель анода. Оценка положения границы спекания. Для построения упрощенной тепловой модели необожженного анода Содерберга выделим три характерные области: сверху жидкая анодная масса, далее спеченный анод, разделенный, в свою очередь, на погруженную и непогруженную в электролит части (рис. 3). Непогруженные в электролит зоны имеют сбоку стальной кожух.
Атмосфера -----х ^ х„------х
к’ О
О
K1
K2
Т„
Z
Ч'
1
жидкий
анод
2
спеченный
анод
3
анод
!*?
^ І о «
z = z.
Т
z = z2
■A z-,
ТЭ электролит
z = z.
A z„
Рис. 3. Схема анода Содерберга
Потоки тепла через границы выделенных областей определяют по формулам
0а1-ат - ^а1-ат *а а1-ат (Та112-0 Тат
Qa1-a2 Sa1-a 2 Ka1-a 2(Ta 2
Qa2-a3 = Sa2-a3 ' Ka2-a3(Ta3 T a2
(Tal\ z=o - Тат ),
(Ta2 - Tal) ,
(Ta3 - Ta2), (21)
Qa3-3 = S<
a3-Э "a a3-Э (T 3
(T3 Ta3) Sa3-3P 9хим ,
Q,
S
j кож-ат /rr t-г \ 1 r\
— (Taj - Тат ), J = 1 2
S;-■ - площади со* J
2X ■ a
j кож-ат
ответствующих границ, Тау - средняя температура в у-й области, Тат - температура воздуха, в #хим - теплота Пельтье на границе анод-электролит, X у - эффективные коэффициенты
теплопроводности, учитывающие стальные токоподводящие стержни (] = 1, 2). Кроме того, значе-
Ka1-a2, Ka2-a3 находят по формулам (9). Формулы для потоков Qjкож-ат получены с использованием одномерных стационарных приближений в горизонтальном направлении. Ta1\ =0 - температура
жидкого анода на границе с атмосферой. Для нахождения этого значения температуры анода и оценки положения границы спекания используем стационарные приближения в вертикальном направлении:
Tai = di + btz, О < z < Azt, i = 1, 2, 3,
где Azt - высота соответствующих областей. Отсюда для средних температур получаем соотношения
Таг = dr + 0,5 ЬгAzi .
Считаем, что средние значения температур в областях анода известны. По условию непрерывности температур на горизонтальных границах получаем
d1 + b1 Az1 = d2, d2 = Тсп, d2 + b2 Az2 = d3, (22)
здесь Тсп - температура спекания жидкого анода. В стационарном случае на границе раздела жидкого и спеченного анода выполняется условие равенства потоков тепла:
Х 1b1 = Х 2b2 . (23)
По соотношению (22), (23) находим
Taj|z=0 = d1 = '2TaJ - Тсп ,
Х lz2 (Тсп - Ta1 )
Az1 =
Х 1(Тсп - Ta1) + Х 2(Ta2 - Тсп )
(24)
Для стационарного состояния имеют место
уравнения:
Qa1—a 2 Qa1 -ат - Qj,
=О,
0а2-а3 0а1-а2 02кож-ат + 02д 0 ,
0а3-Э - 0а2-а3 + 03д - 0 ,
здесь б2д, 03? - внутренние источники тепла от
прохождения электрического тока в соответствующих областях. Подставляя в эти соотношения формулы (21) для потоков тепла, получим систему линейных уравнений для определения Та1, Та2, Та3. Решение этой системы имеет вид
Тal = 4/A2 , Тa2 = AJ2Taj + A42 , Ta3 = AJ3Ta2 + A23 ,
(25)
где А 33= Sa3-3aa3-3 + Sa2-a3Ka2-a3 ;
Sa2-a3Ka2-a3 . л _ Q3q + Sa3-3aa3-3T3 Sa3-зPqхим
А23='
ния a aJ-ат, a a3-3 , a кож-ат считаются заданными
A
Z
1
x
a
33
33
А 22 Sa2-a3Ka2-a3 (1 А 1э) + Sa1-a2Ka1-a2 + "
S.
2кож-ат
Ma2
А Sa1-a2Ka1-a2 .
Лі2_ А ’
А22
ÔC Л 2кож-ат гр
2q + Sa2-a3Ka 2-a3 A23 + Тат
. a2
A 42 _‘
; (26)
22
A1 Sa1-a2Ka1-a2 A42 + Sa1-amaa1-am (Tam + Tcn ) +
S,
Ікож-am Ц al
T
A2 _ 2S a 1 +
2 a1-am“a1-am
S
1кож-ат о д
.. a1-a2Ka1-a2 12 '
a1
Рассмотрим алгоритм определения стационарного приближения для анода:
- этап 1. Из соотношений (25), (26) по заданной температуре электролита Тэ находим средние значения температур в слоях анода 1, 2, 3;
- этап 2. По формуле (24) уточняем высоту
ДШ
.
Далее переходим на этап 1. Итерации повто-
ряются
до
выполнения
условия
Дт+1 А m ^
z1 -Д z1 <s '
Порядок выполнения численных расчетов.
Перед началом каждого динамического расчета вычисляется стационарное распределение температур, тепловых потоков, толщин настыли в металле и электролите, высоты спекания анода. Задаются начальные значения средней температуры электролита, температура воздуха, приходы тепла от электроэнергии в электролите, катоде и в аноде. По соотношениям (13), (16), (19), (24), (25) определяются начальные значения температур в рассматриваемых областях, толщины настыли и положение границы спеченного анода. Найденное стационарное состояние соответствует введенным начальным технологическим условиям и заданным параметрам.
Далее на каждом временном шаге последовательно решаются системы уравнений (10), (14), по формулам (20), (24) уточняются толщины настыли и положение границы спеченного анода. Система (14) решается так же, как для слоя металла.
Динамика теплообмена электролизера определяется по изменениям прихода тепла от электроэнергии, которые выводят систему из равновесия: изменяются температуры выделенных областей, толщины настыли. Вследствие этого увеличиваются или уменьшаются теплопотери в атмосферу через днище, борта электролизера, анодную массу и кожух анода. Плавление настыли или затвердевание электролита приводит к изменению массы электролита. В результате электролизер приходит в новое стационарное состояние с повышенными (пониженными) температурами расплавов, повышенными (пониженными) температурами наружных поверхностей, уменьшенными (увеличенными) толщинами настыли.
На основе схематизации электролизера в виде характерных областей и использования нульмерных моделей разработана тепловая динамическая модель, предназначенная для эффективного решения задач управления технологией электролиза алюминия.
Библиографический список.
1. Белолипецкий, В. М. Многослойная математическая модель теплового баланса виртуального электролизера / В. М. Белолипецкий, Т. В. Пискажова // Вестник КазНУ им. Аль-Фараби. 2004. № 7. (Т. 9). С. 295-299.
2. Белолипецкий, В. М. Упрощенная компьютерная модель динамики настыли виртуального электролизера / В. М. Белолипецкий, Т. В. Пискажова // Вестник КАЗНУ им. Аль-Фараби. 2003. № 6. (Т. 8). С. 22-28.
+
V. M. Belolipetsky, T. V. Piskazhova, M. V. Emelyashin
HEAT DYNAMIC MODEL FOR CONTROLLINC OF ALUMINIUM ELECTROLYSIS PROCESS
The heat dynamic model of aluminium electrolysis is demonstrated. It is created for controlling of technological process in the real time. The model bases on aluminium cell schematization in special areas and zerodimensional submodel.
