CC BY
26
УДК 621.181.61
ТЕПЛОПЕРЕНОС ЧЕРЕЗ СТЕНКУ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ЕЕ АДАПТАЦИЯ
Е.Е. Торопов, Л.Е. Лымбина
Одной из важных задач в области усовершенствования тепловых агрегатов является задача разработки, исследования и создания энергосберегающего оборудования для реконструкции действующих и реализации новых эффективных теплотехнологических процессов и систем. Эта задача для своего плодотворного решения требует разработки и формирования эффективной методологии построения математических моделей теплофизических процессов и их реализации.
Нестационарный режим работы теплопередающей стенки свойственен теплообменным аппаратам периодического типа; тепловые агрегаты непрерывного действия переходят в нестационарный тепловой режим в период пуска, останова и в переходных режимах. В литературе отсутствуют рекомендации по расчету параметров нестационарного теплового режима теплопередающей стенки, применение в этих условиях классических методов решения задач теплофизики, например, метода Фурье, наталкивается на серьезные математические трудности при определении констант интегрирования при усложненных граничных и начальных условиях.
1. Основные положения метода
В работах [1, 2] выведены основные уравнения переноса теплоты через плоскую стенку в динамическом режиме, характеризуемом переменными условиями подвода или отвода теплоты, как в отношении температур сред, так и тепловых потоков между поверхностями стенки и средами.
Уравнение связи между изменением теплового потока на стенку в изображениях по Лапласу ^ = Дб^о), и переменной температурой стенки 9с] = ЫС\!МЛ имеет вид
Q — Ш J -4> +d\Pj cl -"11J1 “ , , J\ >
\ + axp
(1)
где Ыс\ - 1С\ - 4ю - отклонение от стационарного значения в динамическом режиме Дгс0 = Д?сю - Д?с2о
- перепад температур между поверхностями стенки в стационарном режиме, °С;
dn=-
1 + се
+ СЄ 2 + С&2
се 1
1 6(cEj +се2 +се1се2) ’
\ + {сех + се2)/2 + се1се2 /6
1 9
СВ\ + Св-> "Ь СЄі СЄ')
a, =
“Г 1&2 “М'|1С2
числа массивности стенки толщиной Ах, м, со стороны горячей (индекс «1») и холодной среды (ин-
декс «2») при конвективном механизме теплоотдачи являются числами Био = Вц = оцДх/Х; се2 = = Ш2 = а2Ах/Х. При радиационном механизме теплоотдачи, например, со стороны горячей среды с температурой Гю = /ю -ь 273, число термической массивности определяется по формуле:
сь = 47Т
10
^сЮ ~*с20 .
TxM\-TcW)
4At,
с0
МО
Изменение условий теплопереноса можно оценить в виде ступенчатого изменения плотности теплового потока 5д относительно стационарного значения д0, причем кратность изменения плотности теплового потока определяется по зависимости
5<7 + ?о 5? , 5 ,
т =---------- = — + 1, откуда оцщ = т - 1, тогда, в
Яо % соответствии с (1)
«сі =(*-!)■
do +dxp
р(\ + ахр)
где (т - 1 )1р - сигнал изменения плотности теплового потока в т раз, р - аргумент во временной области изображений по Лапласу.
Переходная характеристика, то есть реакция Scl на изменение q в области безразмерного времени Fo = ах / Ах2, определяется по формуле
Эс! (Fo) = Г1 {(т - \)WX / р} = (т-1 )Г1 {W, / р), или при использовании таблиц обратного преобразования Лапласа [3-6]
8ci(Fo) = (m-l)
( Г \ , -Fo 1-ехр dі + —exp -Fo
^ а1 ) «1
При подстановке значений do, d^, а1 получаем выражение для определения 9с1 при ступенчатом изменении плотности теплового потока q^ в т раз 9с1 {Р°) = (т " 0 /(«1»1«2 >Р°)>
где
f{cBx,m2,Fo) =
1 + ж,
С&1 4- СЄ 2 + СЄ^ СЄ2 ce1 exp D
(1-ехр£>) +
1 + 0,5(cBj + (е2) + (ехсе2/б’ при переходе от 3с1 = (tc] -tcl0)/Atc0 к tc] при (tBj + сг2 +celce2)Fo
£> = - . .
1 + 0,5(^5 +се2) + ое-[се2 /6
с учетом зависимости q0 = ХА(с0/Ах, получим
(с\(Р°) = ?сю + {т-\)д0Ах/(се},се2,Fo)/X, (2)
где функция /(сех,ог2,Ро) отражает реакцию температуры стенки /с1 на ступенчатое увеличение
плотности теплового потока в т раз; при замене однородной стенки с теплопроводностью X и толщиной Ах на многослойную с ^ и Ах, соответственно Ах/Х заменяется на ^ Ах, / X, в (2) и при
I
расчете се] и се2.
Разработанный метод позволяет определить интервал времени от момента ступенчатого увеличения до момента достижения /с) предельного значения , определяемого по условиям термической надежности рабочей поверхности стенки относительно оплавления, деструкции материала, термической эрозии и т.д. Для этого в левую часть
зависимости (2) подставляется , и уравнение решается относительно Роаг
1 С2(т-\)д0Ах/Х
Ропр=~\п----------------1-------------
Разработанный метод позволяет определить реакцию теплопередающей стенки на изменение теплового потока или д2, описываемое любой аналитической функцией, интегрируемой целиком или по частям. Для этого необходимо соответствующую передаточную функцию умножить на I-изображение сигнала изменения входной величины. Так, если входная величина изменяется по синусоидальному закону Д, зт(ют), причем
I{Ат 5т(сот)} = 4яЮ/(р2 +ш2), где ю - циклическая частота сигнала, то изменение результирующего теплового потока на входе в стенку при изменении вынужденного теплового потока, связанного с изменением температуры горячей среды, определяется по формуле:
дх(х) = Гх = & (с0 I срар +Ю2)5ШЮТ +
С2(т 1)д0Ах/Х ^ ?с10| +®{\/ар-с0/Ср^соБют-ехр^-т/ар)),
(5)
где
С 2 - С, -
се.
1 + 0,5 (сех + се2) + се1се2 /6 се, +СВт + се, се
1^2
с3 =- . ч
1 + 0,5(^5 + се2) + сехсе2/6
Для практических расчетов можно предварительно рассчитать область значений коэффициентов Сь С2, С3; в таблице приведены значения С, при изменении чисел массивности се 1,2 = 0,01-100.
Размерное время достижения ^ с учетом Ро = а\/ Ах2, а = У(рс)
^пр
Ал:
1п-
С2(т-1)
(3)
аСъ Сх(т-\)-А^\/Ац ’ для многослойной стенки т = а, / Ах2 , где а1
I
- коэффициент температуропроводности материала слоя, м2/ч, Ах, - толщина слоя, м;
Д,пр _ .пр Шс1 ~ VI с10 ’
Используя выражение (3), можно осуществить выбор теплозащитного материала, обеспечивающего надежную работу высокотемпературной стенки, для чего необходимо поставить условие
тпр 00, тогда Сх(т-\)~ Д^/Д/с0=0 и
т = 1 + А1”[ /Д/с0 . Термическая надежность теплозащитного покрытия будет обеспечена, если
*с\ -С\(т l)Atc0+tcl0 - 1с10-ги1с1
что определяется температурой в стационарном режиме tcЮ и увеличением температуры 5?с1 = С,(т- 1)Дг0 = С}(т-1)д0Ах/Х . Громоздкость промежуточных соотношений компенсируется относительно простым расчетом по формуле (4), особенно, если предварительно рассчитать Сь
(4)
где
и = Атср/{\/ар2+т2)ара-,
ср = (Ах)2рс(1 + 0,5се2)/(оех +се2 + се2сех)Х ;
с0 = се2/(сех +се2 +се2се[) ;
а. = (Дх) рс
1 + 0,5 (сех + се2) + свхсе2 /6 (#?1 + <£ 2 Л-(В2(Ях)Х
2. Адаптация полученной модели
Численное моделирование переходных процессов в теплопередающей стенке при синусоидальном входном сигнале было произведено по специальной программе, написанной на языке РаБ-са1 в среде Вог1апс! Бе1рЫ 7. Были промоделированы переходные процессы в шамотной стенке термической печи, в стенке водоохлаждаемой фурмы доменной печи (рис. 1) и в стенке рекуперативного теплообменника при характерных для этих элементов параметрах массивности (рис. 2).
На рис. 1 представлены результаты для стенки дутьевой фурмы доменной печи толщиной Ах = = 0,01 м при X = 385 Вт/м-°С при синусоидальном изменении теплового потока, связанном, например, с попаданием жидких продуктов плавки на поверхность фурмы. Коэффициент теплоотдачи из фурменной зоны, приведенный к конвективному механизму принят равным а] = 1,0, 2,0, 3,0 кВт/м2-°С; принято, что струи жидкометаллического расплава попадают на поверхность фурмы с циклической частотой ю = 0,628 рад/с, то есть с периодом Т= = 10 с; коэффициент теплоотдачи в охлаждающую воду принят равным а2 = 1,0, 2,5, 5,0 кВт/м2-°С, что соответствует однофазной конвекции и поверхностному кипению в условиях недогрева. Расчеты показали, что при увеличении 04 до 3,0 кВт/м2-°С амплитудное снижение для результирующего теплового потока изменяется от 0,95 до 0,88, изменение а2 практически не оказывает влияния - кривые
Теплоперенос через стенку
в динамическом режиме: математическая...____________________________________
Значения параметра Сі в функции чисел массивности ті, огг
СВ2
0,10 0,25 0,50 0,75 1,0 2,5 5,0 7,5 10,0
0,10 5,238 2,933 1,692 1,189 0,917 0,386 0,196 0,132 0,099
0,25 3,333 2,222 1,429 1,053 0,833 0,370 0,192 0,130 0,098
0,50 2,308 1,714 1,200 0,923 0,750 0,353 0,187 0,129 0,097
0,75 1,892 1,474 1,077 0,848 0,700 0,341 0,184 0,126 0,096
сех 1,0 1,576 1,333 1,000 0,800 0,667 0,333 0,182 0,125 0,095
2,5 1,222 1,037 0,823 0,683 0,583 0,311 0,175 0,122 0,093
5,0 1,071 0,923 0,750 0,632 0,545 0,300 0,171 0,120 0,092
7,5 1,018 0,883 0,723 0,613 0,531 0,296 0,170 0,119 0,092
10,0 0,99 0,862 0,710 0,603 0,524 0,227 0,169 0,119 1 0,092
0,4
у 0
-0,4
/■
ч
\
\
V
\
\
/
- 0,026 0,065 -0,13
0,000695
0,00139 I
0,002085
Рис 1. Переходные функции при синусоидальном изменении плотности вынужденного теплового потока для стенки воздушной фурмы. Толщина стенки “ 0,01 м, параметры массивности - 0,026 и 0,026
для разных се2 сливаются на графике, увеличение толщины стенки в 5 раз от Дх = 0,01м до Ах = = 0,05 м изменяет амплитуду на 2,0-4,0 %.
На рис. 2 показаны результаты численного моделирования динамики изменения теплового потока через стальную стенку рекуперативного теплообменника Ах = 0,005 м при X = 37,7 Вт/м-°С при частоте ю = 50 рад/ч (Г = 452 с). Коэффициенты теплоотдачи а) и а2 варьируются в пределах 102; 103; 104Вт/м2-°С, что соответствует теплообмену с газообразным теплоносителем, с перегретым паром, с насыщенным паром и кипящей водой. Заметно сильное влияние коэффициента теплоотдачи в охлаждающую воду а2.
Заключение
Разработанная математическая модель тепло-переноса через стенку в динамическом режиме и ее адаптация могут служить надежным методом оценки теплозащитных свойств элементов ограждений тепловых агрегатов.
Зная свойства материала стенки, ^, X, а,
можно рассчитать толщину стенки Ах, обеспечивающую надежную работу охлаждаемого элемента при различной кратности увеличения теплового потока т при фиксированной интенсивности охлаждения а2. Либо определить необходимую интенсивность охлаждения а2 при фиксированной толщине стенки Ах и выбрать материал, обладающий определенными теплофизическими свойствами и предельной температурой эксплуатации г"1р .
В том случае, если стенка теплового агрегата испытывает циклическое изменение температуры среды в рабочем пространстве 1жХ = , то,
используя формулу (5), можно определить изменение результирующего теплового потока 01 на поверхность стенки. Аналогично решается задача определения ^ в циклическом режиме, причем ясно, что для определения условия надежной работы материала стенки достаточно определить амплитуду колебаний 1с1.
Литература
1. Лымбина, Л. Е. Перенос теша через стенку воздушной фурмы в нестационарном режиме / Л. Е. Лымбина, Ю. Г. Ярошенко // Известия вузов. Черная металлургия. -1986. -№4.-С, 112-115.
2. Лымбина, Л. Е. Изменение температуры стенки воздушной фурмы при контакте с жидким металлом / Л. Е. Лымбина, Ю. Г. Ярошенко // Известия вузов. Черная металлургия. - 1986. -№10. -С. 103-107.
3. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1968. - 720 с.
4. Торопов, Е. Е. Математическое моделирование нестационарных процессов теплопереноса в ограждениях тепловых агрегатов / Е. Е. Торопов.
- Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2007. -162 с.
5. Торопов, Е. Е. Выбор оптимальной толщины слоя изоляции сложной формы / Е. Е. Торопов.
- Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2006. -120 с.
6.Швыдкий, В. С. Математические методы теплофизики / В. С. Швыдкий, М. Г. Ладыгичев, В. С. Шаврин. - М.: Машиностроение, 2001.
