Тепломассоперенос в движущихся расплавах Текст научной статьи по специальности «Физика»

т е п л о э н е р г е т и к а

УДК 536.2

ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В ДВИЖУЩИХСЯ РАСПЛАВАХ

Докт. техн. наук, проф. ЕСЬМАН Р. И., канд. техн. наук ШУБ Л. И.

Белорусский национальный технический университет

В ряде специальных теплотехнологий объектом изучения являются потоки расплавов, обладающие свойствами реологических сред. Эффекты тепломассопереноса в движущихся расплавах исследуются при течении и затвердевании жидких металлов и сплавов в специальных технологиях литья (жидкая штамповка, литье выжиманием, центробежное и непрерывное литье и т. д.), в физико-химических технологиях двойного назначения при лазерной и плазменной обработке изделий, при движении вулканической лавы и др.

В процессе движения расплава в полости формы происходят охлаждение жидкого металла и затвердевание за счет теплоотвода в стенку металлической формы (матрицы) и в неметаллическую форму. Вследствие этого вязкость металла непрерывно изменяется по времени, что определяет нестационарный характер течения. Другой особенностью рассматриваемой задачи является наличие фазового перехода в жидком металле (затвердевания). Благодаря теплоотдаче в форму температура расплава непрерывно уменьшается, а вязкость возрастает. При дальнейшем охлаждении на поверхностях формы образуется твердая корочка затвердевшего металла и происходит перемещение фронта кристаллизации в глубь отливки.

В качестве объекта исследования рассмотрим наиболее характерное сечение сложной осесимметричной отливки (рис. 1). Расчетная область представляет собой полость переменного сечения с внутренним выступом, в которой происходят движение и затверде-56

L L2

«1

R 2 -

«3

ч

2 N ■ \ . 3 ■ 1 2

■ ■% \ ■ . 4 ' А, V 1 • ■" У у ■

Рис. 1. Расчетная схема: 1 - область, занятая жидким металлом; 2 - металлическая; 3 - неметаллическая формы

0,10

0,01

580

590

600 Т, °С

612

Рис. 2. Зависимость вязкости от температуры

вание расплава при несимметричных условиях охлаждения: на внутренней поверхности металл затвердевает за счет теплоотвода в песчаный стержень, на наружной - за счет теплоотвода в металлическую форму.

При расчете затвердевания металла теплоту кристаллизации введем в теплоемкость в точках, занятых областью фазового превращения. При этом предполагаем, что заполнение формы осуществляется сплошным ламинарным потоком: в началь- 4,00 ный момент времени вязкость, 2,00 плотность, температура расплава имеют постоянные значения по всему объему, а между потоком и поверхностью формы имеется плотный контакт. По мере охлаждения металла вязкость будем рассматривать как переменную величину во всей области течения м = м(Г) . С этой целью воспользуемся полученной экспериментально зависимостью эффективной вязкости от температуры (рис. 2) для высокопрочного алюминиевого сплава ВАЛ10.

При конечно-разностной аппроксимации уравнений переноса (движения) воспользуемся методом контрольного объема (рис. 3), широко применяемым при решении задач течения и конвективного переноса. Разбивка расчетной области на контрольные объемы производится следующим образом. Сначала наносится нерегулярная сетка с узлами на пересечении координатных линий. Затем каждый узел связывают с контрольным объемом, грани которого проходят посредине между двумя смежными узлами. Исходная система дифференциальных уравнений интегрируется по каждому объему при замене подынтегральных выражений соответствующими интерполяционными многочленами, описывающими изменение параметров между узловыми точками. В результате для данной системы находят дискретный аналог, который связывает значение параметра в данной узловой точке с его значениями в соседних узлах. Точность конечно-разностной схемы в значительной степени зависит от вида интерполяционного полинома.

Е

Рис. 3. Схема контрольного объема

Точность, с которой рассчитываются гидродинамические параметры потока при разностном решении уравнений переноса, зависит не только от метода разностной аппроксимации, но и от того, какие переменные в уравнениях выбраны в качестве искомых функций. Для двумерных уравнений движения в качестве зависимых параметров могут быть выбраны физические переменные (составляющие скорости и, v, давление р, функция тока у и т. д.).

Запишем уравнения, определяющие течение жидкого металла и теплообмен во всей расчетной области Ь х Я (рис. 1). Уравнение энергии в цилиндрических координатах имеет вид

рс

дТ 1 (д^Т д^Т

■ + — дГ г

дх

+

дг

4 гхдг 1+4 гХк

дх I дх ) дг I дг

(1)

В левой части члены, стоящие в круглых скобках, определяют конвективный теплоперенос, их следует учитывать только в области, занятой каналом с движущимся жидким металлом. Во всей остальной расчетной области для металлической формы, стержня и затвердевшего металла следует положить д^х Т/дх + д^г Т/дг = 0 .

Если бы течение происходило при постоянных теплофизических свойствах жидкости, то для его описания следовало бы воспользоваться уравнениями Навье-Стокса. Изменение вязкости от температуры можно учесть, применяя форму уравнений количества движения в направлениях. С учетом сказанного уравнения движения в цилиндрической системе координат запишем следующим образом: • уравнение неразрывности

-^ +-= 0;

дг дх

(2)

• уравнение изменения количества движения в проекции на ось г

тФ

1 др

+ vг—г- + vx—г- =---- + -

д1 дг дх р дг г дг

1

гт +

^+^+= гтгг + д-= ^; (3)

дх г

• уравнение изменения количества движения в проекции на ось х

дvx дvx дvx 1 дp 1 д д —х + v —х + v —х =---— +---гт +--т .

^. г ^ х ^ ^ ^ гх ^ хх

д дг дх р дг г дг дх

(4)

Для ламинарного режима течения напряжения, входящие в уравнения (3), (4), выражаются таким образом:

( Л дVг

тх = I; тгг = 2м^;

I дх дх ) дг

дv v

тхх = ; тФФ = .

дх

г

С учетом переменной вязкости ц в выражениях (5) перепишем уравнения неразрывности и количества движения в виде:

дги дгу

- +-= 0;

дх дг

ду 1 — + —

дГ г

( дгиу дгу2 Л

дх

+

ди 1 — + —

дГ г

( дги2

дх

+

дг

дгиу дг

д ( ду Л д ( ду

—I гц— I +--1 гц—

дх 1 дх) дг 1 дг

д ( ди Л д ( ди —I гц— 1 +—I гц— дх I дх ) дг I дг

+а; +а,

(6)

(7)

(8)

где источниковые члены а и а соответственно равны:

_ др ди ду ди ди

ау=——+--+--;

дг дг дг дх дг

др ди ди ди ду

Ои = —— +--+--.

дх дх дх дг дх

(9)

При записи выражений (5)...(9) использованы безразмерные переменные

(х, г)=(х, г)/Я ; и = ух / и0; у = уг / и0;

(10)

I = ^Д; ц = ц/(р); р = р/(Р/и02),

черточки над которыми в уравнениях (6)...(10) и в дальнейшем опущены.

Введем также безразмерную температуру © = (Т - Тю)/Тш , где Т - температура окружающей среды, и перепишем выражение (1) в виде

ри0 Я—с

д© +— ( дги © дt г 1 дг

А(гя—I + —(гХ д©

дх 1 дх ) дг 1 дг

(11)

Начальные условия по скорости получаются из решения стационарных уравнений движения в канале при изотермическом процессе Т = Т01. Для этого стационарные уравнения количества движения, которые получаются из выражений (7), (8) при приравнивании к нулю локальных производных по времени ди/д1 = 0, решаются при постоянных физических свойствах жидкости, соответствующих начальной температуре Т — Т01 и полученные поля скорости и давления принимаются за начальные условия. Формулировка граничных условий для давления будет дана при рассмотрении численного метода.

Конечно-разностная схема. Для описания численного метода перепишем уравнения (6), (8), (11) в обобщенной форме

а дФ + ь—( дгиФ | дгуФ Л = ^ 1

дt д I дх дг I г

гГ дФ )+А( гГ дФ

дх I дх I дг I дг

Оф . (12)

где Ф = 1, и, у, © .

В выражении (11) величины р, и0, Я, С и X - размерные, остальные -

безразмерные. Введение безразмерных комплексов Яе = руи0 Яг/ц и

Рг = ср ц/Х не имеет смысла ввиду переменности физических свойств

среды в области течения и во всей расчетной области.

Для решения системы уравнений (6).. .(11) необходимо сформулировать начальные и граничные условия. Начальные условия по температуре, как обычно, принимаются постоянными в каждой из подобластей (рис. 1), а именно: при ^ = 0 в подобласти 1 (жидкий металл) Т = Т0\; в подобласти 2 (металлическая форма) Т - Т02; в подобласти 3 (стержень) Т = Т03.

Сформулируем граничные условия на наружной поверхности формы, на оси симметрии, в плоскостях входного и выходного сечений. На наружной поверхности формы принимается условие теплообмена с

окружающей средой - XдТ = а(Т -Тх), а на оси - условие симметрии

дг

дТ/дг = 0. В безразмерных переменных эти условия перепишутся в виде:

при г = 1

д® = Б1©

при г = 0

дг

0,

дг

аЯ Л 1 1

где Б1 =-; X - коэффициент теплопроводности материала кокиля, взятый

X

при температуре наружной поверхности.

Для составляющих скорости с учетом ламинарности течения на твердых стенках выполняются условия «прилипания». На входе х = 0 и выходе х = Ь для составляющих скорости и температуры принимаются мягкие граничные условия, заключающиеся в равенстве нулю производной по продольной координате. Это обусловлено равномерным характером течения и теплопереноса на достаточно большом удалении от выступа.

Рассмотрим структуру общего дифференциального уравнения (12), которое содержит нестационарный, конвективный, диффузионный и ис-точниковый члены. Слово «диффузия» используется здесь в обобщенном значении. Диффузионный поток, вызванный градиентом обобщенной переменной Ф, определяется как Г^^, при Ф = т он представляет собой

вязкое напряжение; при Ф = Т- тепловой поток. Перепишем (12) в виде

дФ +1 (К+К) = лФ (13)

д1 г ^ дх дг 1 Уф , (13)

где 1х и 1г - суммарные потоки (конвекция плюс диффузия), определенные следующим образом:

=1'<ф - Г1Ф

'г - г^ф - г »

где Г = Г/Ь - безразмерный коэффициент диффузии, причем при вычислении Г искомая величина берется на грани, а Ь - в центре контрольного объема.

Для получения дискретного аналога покроем расчетную область нерегулярной сеткой со сгущением узлов вблизи контактных линий (рис. 1). На рис. 3 представлена схема контрольного объема с центром в узле Р. Грани узла обозначены е, п, 5 и расположены посередине между узлом Р и смежными узлами Е, N Б. Интегрируя уравнение (13) по контрольному объему, получаем

^дф ГрДхДг + [(^ - 4> + {1т - 1М - >0*ДхДг , (14)

где 1хе ^ 1т 1Г5 - потоки на соответствующих гранях контрольного объема; Ф0, - значение искомой функции т на предыдущем временном слое. Отдельно выпишем дискретный аналог для уравнения неразрывности К -К> + К -К)Ах - 0, (15)

где Ке, К, К и К - массовые расходы потока через грани контрольного объема с учетом постоянства плотности: Ке — грие; К - гры№; Кп — гпУп;

К — гьу5; Ах, Аг - размеры граней контрольного объема.

Если умножить (15) на Фр и вычесть его из (14), то имеем

Ф в - Ф°в

—^—ргАхАг + Аг р

+ И« - КФР)-^ - КФр)А + к - КФР)-I - КФр)] А — Г^фАхАг

(16)

Для получения дискретного аналога необходимо в выражении (16) аппроксимировать потоки на гранях. От способа аппроксимации зависят точность и устойчивость конечно-разностной схемы. Для устойчивости разностная схема должна строиться с учетом направления потока. В схемах первого порядка поток на гранях выражается через параметры в соседних узлах, например 1е — АФе + ВФ . При подстановке выражений

для потоков в (16) получим дискретный аналог в виде

СрФ р — СЕФЕ + Сш Фш + Сы Фы + С5Ф8 + (17)

где

грАхАг

С — С + С + С + С +-1_•

^р — ^е^ ^ ^ы^^з^ Аг '

5 =

( Ф0^

о+Д

грЛхЛ.

/

Выражения для коэффициентов СЕ, Сщ, См, С5 для устойчивой схемы первого порядка имеют вид:

СЕ = фе + )+14| - 4; СШ = + ) + + Ау;

Сы = Тп(?п + И)+\ьп\ - 4; С = Т5 И+И)+ |4|+ь5,

(18)

где

Ц = иегрЛг; = икгрАг; Ц = у„гпАх; Ь5 = у5г5Ат;

Лг Лг Лх

Т = Гг • Т = Гг • Т = Гг •

е р Лхе' к р Лх^ п п Лгп'

Т5 = Гг ЛЛ^.

Здесь Лхе, Лхк, Лгп, Лг,-шаги сетки; Лх, Лг -размерыграней.

Значения коэффициента ^ в выражениях (18) для двух наиболее распространенных схем первого порядка следующие: ^ = 0,5(1 - \ЩТ) - для

комбинированной схемы;

^ = 0,5(1 - 0,1 Ц/т )5 - для схемы со степенным

законом.

Поясним смысл упомянутых схем. Величина Рее = ЬеТе = иеЛхе/Г представляет собой отношение конвективного потока к диффузионному и называется сеточным числом Пекле. Суть комбинированной схемы состоит в том, что для области чисел Пекле - 2 < Ре < 2 (диффузионный поток сравним или превышает конвективный поток на грани) она идентична схеме с центральными разностями, при которой производная в диффузионном члене дФ/дх аппроксимируется отношением (фЕ - Фр ')/Лхе, а скорость ие в конвективном члене вычисляется как полусумма (иЕ + и0)/2. Вне области указанных чисел Пекле Ре > 2 и Ре < -2 комбинированная схема сводится к схеме против потока, в котором диффузионный член принимается равным нулю, а конвективный вычисляется по скорости, взятой в узле со стороны набегающего потока. Аналогично аппроксимируются потоки на всех остальных гранях контрольного объема. Сравнение комбинированной схемы с точным решением одномерной конвективно-диффузионной задачи показывает, что наибольшее отклонение наблюдается для чисел Пекле, несколько больших Ре = ±2. Наилучшее совпадение с точным решением дает схема со степенным законом. В ней диффузионный член сохраняется до чисел Ре = ±10. При |Ре| > 10 схема со степенным законом совпадает с комбинированной.

Несколько подробнее следует остановиться на решении уравнения энергии (11). Как уже указывалось, от уравнения теплопроводности оно отличается тем, что содержит конвективный член. Вне области течения этот член равен нулю. Поэтому при решении полного уравнения (11) в области, занятой движущимся жидким металлом, коэффициенты дискретного аналога (11) определяются по формулам (17), а при решении уравнения теплопроводности в области, занятой твердым материалом, - по формулам:

СЕ = Те; = Тч>; СЫ = Тп; = Т • (19)

Для учета фазового превращения добавим к теплоемкости количество приведенной теплоты фазового превращения в узлах сетки, находящихся в данный момент времени в области фазового превращения. Это приведет к изменению коэффициентов а, Ь в уравнении переноса (12) и далее к локальному изменению коэффициента Г = Г/Ь и источникового члена Оф = ОфЬ в (18).

ВЫВОД

Установлено количественное соотношение между тепловыми и гидродинамическими параметрами движущихся расплавов в каналах комбинированных форм специальной технологии литья. Из анализа температурных и скоростных полей выявлено влияние краевых условий на структуру потока расплава.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лыков А. В. Теория теплопроводности. - М.: Высш. шк., 1967. - 600 с.

2. А н и с о в и ч Г. А. Затвердевание отливок. - Мн.: Наука и техника, 1979. - 323 с.

3.Малевич Ю. А., Самойлович Ю. А. Теплофизические основы затвердевания отливок и слитков. - Мн.: Вышэйш. шк., 1989. - 203 с.

4. Е с ь м а н Р. И., Ж м а к и н Н. П., Шуб Л. И. Расчеты процессов литья. - Мн.: Вышэйш. шк., 1977. - 264 с.

Представлена кафедрой промышленной теплоэнергетики

и теплотехники Поступила 20.04.2005