CC BY
29
УДК 621.1
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ И ОХЛАЖДЕНИЯ ДВИЖУЩИХСЯ РАСПЛАВОВ В СПЕЦИАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ ЛИТЬЯ
Докт. техн. наук, проф. ЕСЬМАН Р. И., канд. техн. наук ШУБ Л. И.
Белорусский национальный технический университет
Разработана математическая модель формирования тонкостенных отливок сложной конфигурации в металлической форме, где особое значение имеет начальная стадия заполнения с одновременным затвердеванием металла в процессе течения в полости литейной формы. Анализ этих факторов совершенно необходим при рассмотрении условий формирования тонкостенных фасонных отливок, время затвердевания которых соизмеримо с временем заполнения формы.
Численным методом проведен расчет затвердевания и охлаждения движущегося расплава в полости цилиндрической формы заданной геометрии. Расчеты выполнены для двумерной модели с учетом переменной вязкости металла как функции температуры ц = /(Т) во всей области течения. В качестве искомых (зависимых) параметров выбраны составляющие скорости и и V (в продольном и поперечном направлениях), давление в потоке р, функции тока у, температуры Т в потоке, затвердевшей корке металла, форме [1].
Численное решение задачи получено конечно-разностным методом. Для нахождения дискретного аналога системы дифференциальных уравнений переноса и краевых условий используется нерегулярная (растягивающаяся) сетка со сгущением узлов вблизи контактных границ. Для расчета составляющих скорости применяется шахматная сетка с расположением переменных по схеме «бумеранг» (рис. 1). Контур, имеющий форму бумеранга, охватывает триаду узловых точек, в которых хранится информация о давлении, температуре и других переменных, за исключением составляющих скорости. При такой схеме составляющие скорости и и V (располагаются непосредственно на гранях контрольного объема, охватывающего узлы сетки, что дает возможность использовать их непосредственно для определения конвективных потоков и расчета градиента давления. а б
N
___с >-——- - 1 Р\ е о-о
-
ш
ш
Ф
Рис. 1. Контрольные объемы на шахматной сетке: а - расположение переменных по схеме «бумеранг»; б - контрольные объемы с полюсами в точках Р
и
V
Запишем уравнения, определяющие течение жидкого металла и теплообмен во всей расчетной области Ь х Я . Уравнение энергии в цилиндрических координатах имеет вид
рс
дТ 1 (дгуТ дгуТ — -— +-—
д$ г I дх дг
Ц X дТ 1 + 4 г, дТ'
дх I дх I дг I дг ,
(1)
В левой части члены, стоящие в круглых скобках, определяют конвективный теплоперенос. Эти члены следует учитывать только в области, занятой каналом с движущимся жидким металлом. Во всей остальной расчетной области для металлической формы, стержня и затвердевшего металла следует положить дгух Т/дх + дгуг Т/дг = 0.
Если бы течение происходило при постоянных теплофизических свойствах жидкости, то для его описания следовало бы воспользоваться уравнениями Навье - Стокса. Изменение вязкости от температуры можно учесть, применяя форму уравнений количества движения в направлениях. С учетом сказанного в цилиндрической системе координат уравнения движения запишем следующим образом:
• уравнение неразрывности
^ + ^ = 0; (2) дг дх
• уравнение изменения количества движения в проекции на ось г
ду, ду дуг 1 др 1 д д тфф —- + у —- + у —- =---—I---гт +--т =——; (3)
г ~ х ~ ~ ~ гг ~ гх ' У '
дt дг дх р дг г дг дх г
• уравнение изменения количества движения в проекции на ось х
ду ду дух 1 др 1 д д //1Ч
+ у г— + у^^ = + гтгх +—т хх. (4)
г х гх хх
дt дг дх р дг г дг дх
Для ламинарного режима течения напряжения, входящие в (3), (4), выражаются следующим образом:
' дуг дух 1 дуг
тгх = М -±+I; Тгг = ;
дх дх I дг
ду у
т хх = ; тфф =2ц—.
дх г
(5)
С учетом переменной вязкости ц в выражениях (5) перепишем уравнения неразрывности и количества движения в виде:
дги дгу
-+ — = 0, (6)
дх дг
ду дг" дгиу ч дх дпУ1 дг у =г -( _дх\ %—1 V дх) +Щ дг дУ ^ ту 1 +Qv;
+ -г ( дги2 дх дгиу дг у =г Г- _дх гц ди 1 V дх) + — дг ( ди V V гЦ » )_ +Qu,
(8)
где источниковые члены Qv и Qu соответственно равны:
^ др ди ду ди ди Qv = —— +--+--;
дг дг дг дх дг
_ др ди ди ди ду
Оу =—— +--+--.
дх дх дх дг дх
(9)
При записи выражений (5)-(9) использованы безразмерные переменные :
(х, г ) = (х, г) /Я; и = Ух /и0; V = Уг /и0;
1 = ¿ио/Я ц = ц/ (р гиоЯ!); р = р/ (р /и0 )
(10)
черточки над которыми в уравнениях (6)-(10) и в дальнейшем опущены.
Введем также безразмерную температуру 0 = (Т -Тж)Тж , где Т - температура окружающей среды, и перепишем выражение (1) в виде
ри0 Я1с
д& 1
дг г
'дги®л V дг )
д_ дх
гХ
У&
дх
+ -
д_ дг
г
. д0 гХ-
V дг)
(11)
Начальные условия по скорости получаются из решения стационарных уравнений движения в канале при изотермическом процессе Т = Т01. Для этого стационарные уравнения количества движения, которые получаются из выражений (7), (8) при приравнивании к нулю локальных производных по времени ди/дг = 0, решаются при постоянных физических свойствах жидкости, соответствующих начальной температуре Т - Т01, и полученные поля скорости и давления принимаются за начальные условия.
Для описания численного метода перепишем уравнения (6), (8), (11) в обобщенной форме
дФ ,1 (дгиФ дгуФ
'-+ 6 —I-+-
дг д\ дх дг
4 гг дФ 1+4 гГ дФ
дх V дх ) дг V дг
Qф, (12)
где Ф = 1, и, V, 0 .
В выражении (11) величины р, и0, Я, с и Х - размерные, остальные -безразмерные. Введение безразмерных комплексов Яе = р/и0 Я1/ц и Рг =
= СрЦ/А, не имеет смысла ввиду переменности физических свойств среды в области течения и во всей расчетной области.
Для решения системы уравнений (6)-(11) необходимо сформулировать начальные и граничные условия. Начальные условия по температуре как обычно принимаются постоянными в каждой из подобластей, а именно: при t = 0 в подобласти I (жидкий металл) Т = Т01; в подобласти 2 (металлическая форма) Т -Т02.
Сформулируем граничные условия на наружной поверхности формы, на оси симметрии, в плоскостях входного и выходного сечений. На наружной поверхности формы принимается условие теплообмена с окружающей средой - X — = а(Т-Т^), а на оси - условие симмет-
дг
рии дТ/дг = 0. В безразмерных переменных эти условия перепишутся в виде:
• при г = 1
д& = Б10.
дг
• при г = 0
ае = 0,
дг
где Б1 = ^ (X - коэффициент теплопроводности материала формы, взятый
X
при температуре наружной поверхности).
Для составляющих скорости с учетом ламинарного течения на твердых стенках выполняются условия «прилипания». На входе х = 0 и выходе х = Ь для составляющих скорости и температуры принимаются мягкие граничные условия, заключающиеся в равенстве нулю производной по продольной координате. Это обусловлено равномерным характером течения и теплопереноса.
Если проекции скорости помещаются посредине между узлами, в которых заданы значения давления, то можно легко рассчитывать соответствующие градиенты давления, которые входят в уравнения количества движения. Кроме того, при такой схеме составляющие скорости располагаются непосредственно на гранях контрольного объема, охватывающего узлы сетки, и это дает возможность использовать их непосредственно для определения конвективных потоков. В расчетной области располагались посредине между узлами, что позволяет поместить нормальные составляющие скорости непосредственно на границах. Для построения разностных аналогов уравнений количества движения используются контрольные объемы с центром в точках расположения соответствующих проекций скорости. Таким образом, для переменных Ф = рТ и составляющих скорости и и у используются три вида контрольных объемов, смещенных относительно друг друга (рис. 1).
Рассмотрим разностный аналог для уравнения количества движения в проекции на продольную координату. Выделим часть источникового члена, содержащего разность давления в двух соседних узлах сетки:
Сирир = С'ЕиЕ + Сшиш + Си + Си + А = (рш - Рр) + Би, (13)
где А = rpAr; Su - источниковый член с исключенным градиентом давления.
Разностный аналог составляется для уравнения количества движения в проекции на радиальную координату
с>р = CvEvw + CNvN + CSV vS + AV= (ps - pp) + S. (14)
Поскольку значения давления, входящие в (13), (14), не известны, при их решении подставляем наилучшие, известные к данному моменту значения для поля давления р . В результате получаем предварительные значения составляющих скорости ми v . Таким образом, имеем:
си/р = x CS + A (pw - pp)+S; (15)
i=E ,W, N ,S
CV vp =X CV v* + A (p* - pp)+Sv. (16)
Алгоритм расчета течения и затвердевания жидкого металла в цилиндрической линейной полости и теплообмена сводится к следующему. Вначале производится расчет начального поля течения в полости в предположении изотермичности течения. Для расчета гидродинамических параметров течения и, v, р используется метод установления, который состоит в следующей итерационной процедуре.
В узлы соответствующих сеток заносим произвольные первоначальные значения переменных - составляющих скорости и, v, давления и градиентов давления во входном (др / дх) и выходном (др / дх) m сечениях, которые обычно принимаются нулевыми и задаются временным шагом At.
Используя соотношения (15) и (16), находим предварительные значения составляющих скорости и и v в узлах сетки на данном временном слое. Каждое уравнение (15), (16) содержит по пять неизвестных функций на рассматриваемом временном слое (в узле Р и в четырех смежных узлах Е, W, N, S). Совокупность таких уравнений, записанных для всех внутренних узлов сетки (включая узлы, лежащие на входной и выходной границах) и дополненных разностными соотношениями, вытекающими из граничных условий, образует систему уравнений для определения неизвестных узловых значений переменных. Решение системы производится методом линейного сканирования. Для этого в каждом уравнении типа (15), (16) две узловые переменные, например в узлах Е и W, берутся с предыдущего временного слоя; тем самым уравнения сводятся к трехточечному аналогу, решение которого производится методом прогонки. В этом случае обход узлов осуществляется по сеточным линиям, являющимся радиальными координатными прямыми. Найденные таким образом поля скоростей и и v считаются предварительными на данном временном слое.
При нестационарном режиме производится решение полной системы уравнений, включающей в себя уравнения движения (6)-(8) и уравнение энергии (11), при этом уравнения движения решаются только в области, приходящейся на литейную полость, а уравнение энергии - во всей
расчетной области. На каждом шаге по времени расчет производится в три этапа:
• рассчитываются поля гидродинамических параметров в области, занятой движущейся жидкостью;
• определяется поле температур во всей расчетной области путем решения уравнения энергии. Конвективные члены выражения (8) в областях, занятых твердым материалом, кокилем, стержнем и затвердевшим материалом, приравниваются к нулю. В последней области это производится автоматически за счет нулевых значений скорости и и V. Для решения уравнения энергии также может использоваться метод линейного сканирования;
• найденные значения температуры применяются для расчета узловых значений коэффициента динамической вязкости ц в поле движущейся жидкости, которые затем будут использоваться для расчета течения на следующем временном поле.
В Ы В О Д Ы
В работе исследованы теплофизические и гидродинамические особенности движения жидких металлов и сплавов в каналах цилиндрического сечения. Решена сопряженная задача гидродинамики и теплообмена при движении расплавов.
В результате проведенных исследований установлены новые количественные соотношения между тепловыми и гидродинамическими параметрами движущегося металла. Из анализа температурных и скоростных полей выявлено влияние краевых условий на структуру потока расплава.
Анализ процессов тепломассопереноса при течении жидких металлов и сплавов проведен с учетом зависимости эффективной вязкости от температуры во всей области течения.
Из анализа результатов математического моделирования и численного эксперимента выявлен физический механизм течения жидких металлов и сплавов с изменяющейся вязкостью в каналах цилиндрического сечения. Исследование полученных картин линий тока позволяет определить зоны вихревого циркуляционного течения в кольцевых цилиндрических каналах, что открывает возможности прогнозирования расположения дефектных зон в изделиях, получаемых специальными технологиями литья (жидкой штамповкой, методами выжимания и непрерывного литья и др.).
Результаты математического моделирования и численного эксперимента позволяют определить основные управляющие параметры специальных технологий литья.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Е с ь м а н, Р. И. Расчеты процессов литья / Р. И. Есьман, Н. М. Жмакин, Л. И. Шуб. -Минск: Вышэйш. шк., 1977. - 264 с.
Представлена кафедрой
промышленной теплоэнергетики
и теплотехники Поступила 3.03.2008
