CC BY
44
Теплофизические основы формирования плазменных покрытий
из порошков оксидов
О.П. Солоненко
Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
В работе в рамках равновесного подхода развиты теплофизические основы, позволяющие предсказывать динамику деформации и одновременного затвердевания капли оксида металла, соударяющейся с подложкой, с учетом сопряженного кондуктивно-кон-вективного теплообмена и идеальности контакта между затвердевающим слоем и поверхностью основы. Без введения какого-либо эмпирического коэффициента получено вполне удовлетворительное согласие между теоретически предсказанными и экспериментально измеренными диаметрами растекшихся и затвердевших на металлических подложках капель расплава оксида алюминия в широком диапазоне параметров перед соударением.
1. Введение
В последнее десятилетие отмечается повышенный интерес к напылению покрытий из оксидов металлов (А1203, ZrO2,TiO2,Cr2Oз и др.) [1-6]. Отмечается, что повышение качества и улучшение структуры напыляемых материалов во многом зависят от понимания процессов, происходящих при взаимодействии расплавленных частиц, транспортируемых высокотемпературной струей, с основой. Поскольку данная проблема далека еще от полного решения, целесообразно обсудить и сформулировать ряд вопросов и возникающих задач.
Характерные особенности данной системы — малые размеры частиц расплава, большие скорости их соударения с поверхностью подложки и напыляемого покрытия и, как следствие, наличие факторов, существенно затрудняющих анализ протекающих при этом процессов. В этой связи представляется актуальным дальнейшее развитие представлений о гидродинамике и теплофизике взаимодействия расплавленной частицы с поверхностью. Поскольку детальное экспериментальное исследование большинства процессов, протекающих внутри капли расплава и в приповерхностных слоях основы (подложки или напыляемого покрытия), крайне затруднено, единственный путь — проведение вычислительного эксперимента в сочетании с развитием модельных аналитических решений [7-10]. Создание теоретических основ данного явления представляется чрезвычайно актуальным для корректной интерпретации экспериментальных данных, их критериального обобщения и способствует развитию физико-математических моделей нестационарного сопряженного кондуктивно-кон-
вективного теплообмена и фазовых превращений при соударении микрокапель расплавов с поверхностью [11].
Данному направлению исследований посвящены публикации [12-15], в которых развита теория равновесного затвердевания капель металлических расплавов, соударяющихся с подложкой, когда число Прандтля Рг = VР1,^/я® << 1. Здесь и далее Vр^, я® — кинематическая вязкость и температуропроводность расплава при температуре Трт плавления материала частицы. Развитые теоретические основы позволили сформулировать ряд следствий, практически полезных для различных технологий газотермического напыления: плазменное напыление в нормальной атмосфере и при пониженном давлении, электродуговая металлизация, газопламенное, детонационное и высокочастотное напыление, напыление высокоскоростной струей продуктов сгорания и др. Получен представительный набор модельных экспериментальных сплэтов — растекшихся и затвердевших на подложках частиц, при полном контроле ключевых физических параметров взаимодействия (скорости ир0, размера Dp и температуры Тр0 частицы перед соударением; температуры ТЬ0 полированной подложки). С помощью развитой теории, без введения какого-либо эмпирического коэффициента, выполнено критериальное обобщение полученных и других опытных данных, характеризующих толщину ^ и диаметр Ds сплэтов — исключительно важных параметров, необходимых для достоверной оценки многих функциональных характеристик и структуры покрытий; исследован отклик толщины и диаметра сплэта на воз-
© Солоненко О.П., 2001
С>0
1 = 0
<;> о
^<0
С = о
'4 = о
Рис. 1. Качественное представление возможных сценариев формирования сплэтов: Ф Ьт >Ф с0 < 1 (а); Ф Ьт <Ф с0 < 1 (б); Ф Ьт < Ф с0 > 1
ФЪт > Фс0 >1 (г)
мущение ключевых физических параметров, а также получены зависимости, представляющие интерес для установления обратной связи в технологии газотермического напыления.
Настоящая работа посвящена развитию теории равновесного затвердевания капель расплавов, соударяющихся с подложками, при числах Прандтля Рг > 1. Это, прежде всего, относится к оксидам металлов, широко используемым в практике напыления.
2. Качественный анализ влияния теплопроводности и вязкости расплава
Как отмечается в работе [16], при плазменном напылении, также как и в ряде других технологий (электро-дуговая металлизация, газопламенное и детонационное напыление и т.п.), возможны следующие четыре базовые сценария взаимодействия капли расплава с основой, реализующихся на стадии напорного растекания капли в зависимости от значения температуры Тс0, устанавливающейся в контакте между частицей и подложкой (рис. 1): растекание и одновременное затвердевание капли на твердой поверхности основы (рис. 1, а); растекание, одновременное затвердевание капли и частичное подплавление основы в пятне контакта ее с частицей (рис. 1, б); растекание жидкой частицы, сопровождающееся одновременным подплавлением основы, и их последующее охлаждение и затвердевание (рис. 1, в); растекание жидкой частицы по твердой поверхности основы и последующее охлаждение и затвердевание растекшегося слоя с одновременным возможным сворачиванием расплава (рис. 1, г).
Здесь и ниже Ф = Т/Трт — безразмерная температура; индексы “р” и “Ь” соответствуют частице и основе, в то время как индексы ‘^” и “1” отвечают твердому и жидкому состояниям материала; дополнительный нижний индекс “т” характеризует параметр соответствующего материала при его температуре плавления; z р, £, — текущая координата вершины деформирующейся капли, а также координаты фронта затвердевания частицы и плавления основы; Фс0 — безразмерная контактная температура, не учитывающая теплоту возможных фазовых переходов,
Фс0 = (Фр0 + Ке(Ъ,р) Фъо)/(1 + Кеъ’р)),
(Ъ,р)
где К е — критерий тепловой активности материала
подложки к материалу частицы, определяемый ниже.
При рассмотрении отдельных сценариев данная температура подлежит коррекции с учетом возможных фазовых переходов. Если при анализе какого-либо сценария обнаруживается, что уточненная контактная температура Фс не удовлетворяет первоначально выбранному сценарию, то осуществляется смена сценария в соответствии с рис. 1.
Легко показать, что при теоретическом исследовании возникающих при этом задач сопряженного кон-дуктивно-конвективного теплообмена и фазовых превращений на временах ~ Бр/ир0 растекания капли
подложка (исключая случай напыления на тонкие фольги) может рассматриваться как полубесконечная преграда.
Для каждого из перечисленных выше сценариев возможны два характерных режима теплообмена расплава с твердой стенкой (поверхностью фронта затвердевания £(г, £) частицы или подложкой z = 0) в зависимости от величины отношения толщин динамического и теплового пограничных слоев в натекающем расплаве, которое, в первом приближении, можно оценить как 5^8я =л/?г, где Рг = цртсрт/А® рассчитывается при температуре плавления материала частицы. Здесь
(1) с (1) 1(1) — рт, срт, 7^рт
динамическая вязкость, удельная теп-
лоемкость и теплопроводность расплава при температуре плавления. В таблице 1 приведены значения чисел Прандтля для ряда металлов и оксидов.
3. Теоретические основы формирования сплэтов при Рг > 1
Очевидно, что описание процессов кондуктивно-конвективного теплообмена между металлическим расплавом и расплавом оксида с твердой стенкой должно основываться на двух различных модельных подходах. Для этого исследуется осесимметричное, неизотермическое, нормальное к подложке растекание расплава в окрестности точки торможения. При этом рассматривается только переходный период, в течение которого расплав растекается до своей конечной толщины. В случае относительно высокой вязкости и низкой теплопроводности расплава (Рг > 1) тепловой пограничный слой, в котором температура по нормали от стенки изменяется от Трт до Тр0, утоплен в вязком пристенном течении. Над последним же, при достаточно больших числах Рейнольдса и Вебера, реализуется течение, близкое к идеальному растеканию жидкости с начальной темпе-
Таблица 1
Характерные значения чисел Прандтля для ряда материалов
Материал ІП Sn РЬ Zn А1 Ag Аи Си
Число Рг 0.013 0.015 0.026 0.033 0.014 0.0064 0.089 0.013
Материал Si Fe Ni W ТІ02 ZrO2 АІ2°3 SiO2
Число Рг 0.013 0.137 0.042 0.018 6.26 19.2 44.6 4. 7 О
ратурой Тр0 капли до соударения с подложкой (пренебрегаем излучением со свободной поверхности). Следовательно, закономерности теплообмена в данном случае полностью определяются гидродинамическими особенностями течения в вязком подслое и необходимо рассматривать модельную задачу о теплообмене вязкой жидкости, нормально натекающей на изотермическую стенку.
При построении физической модели формирования сплэта будем использовать следующие допущения:
1. Переохлаждение расплава ниже температуры плавления Трт частицы отсутствует, т.е. затвердевание капли протекает в равновесных условиях.
2. Теплофизические свойства материалов частицы и подложки не зависят от температуры.
3. Предполагаем, что на границе раздела “частица -основа” реализуется идеальный контакт.
4. Подложка является полубесконечным телом. Можно показать, что в течение формирования сплэта глубина теплового возмущения подложки составляет величину не более диаметра капли.
5. При растекании и затвердевании капли температура в контакте “затвердевающий слой - подложка” постоянна.
6. В условиях газотермического напыления характерные значения чисел Рейнольдса и Вебера достаточно велики ^е = £рИр0/vрт >100, ^ = Ррт< >100, ррт, арт — плотность и коэффициент поверхностного натяжения расплава), что позволяет на стадии растекания капли пренебречь силой поверхностного натяжения. Последняя начинает играть существенную роль лишь на конечной стадии формирования сплэта и ответственна, прежде всего, за формирование морфологии его периферийной области (валик, пальцы, частичное обратное сворачивание и т.п.).
7. При определении толщины сплэта в окрестности точки торможения (2г < Бр), будем считать достаточно обоснованным допущение об одномерности процессов нестационарного сопряженного теплообмена в системе “частица - подложка”, включая фазовые превращения. При такой постановке толщина сплэта ^ более жестко связана с ключевыми физическими параметрами взаимодействия и теплофизическими свойствами рассматриваемой пары материалов и для указанного диапазона чисел Рейнольдса и Вебера практически не зависит от
процессов, протекающих на периферии растекающейся частицы (2г > Бр). Диаметр же сплэта будем определять с учетом найденной толщины, исходя из баланса массы частицы до и после соударения и считая, что окончательная форма сплэта близка к цилиндрической.
8. В процессе растекания и затвердевания капля может быть разбита на две зоны: внешнего потенциального течения и внутреннего приповерхностного вязкого квазистационарного слоя с эффективной толщиной
8у,е£Г.
9. Формирование керамического сплэта протекает в два этапа: 1) стадия идеального растекания капли, затвердевающей от поверхности подложки, в течение которой ее вершина движется с постоянной скоростью мр0 до момента встречи с внешней границей вязкого слоя; 2) стадия вязкого растекания, начинающаяся сразу же после первой стадии и завершающаяся в момент встречи фронта затвердевания со свободной границей вязкого слоя.
10. Будем предполагать, что в любой момент времени распределение температуры в сечении затвердевающего слоя квазистационарно, т.е. температура в слое линейно распределена в интервале [Тс; Трт].
11. Поскольку при газотермическом напылении скорость затвердевания и5 = ^ капли существенно меньше характерной скорости мр0 ее деформации, при получении приближенного решения для теплового потока от нормально натекающего расплава к фронту равновесного затвердевания не будем учитывать движение межфазной границы. Действительно, поскольку ^ << Бр, а ^ ~ Ир/ ир0, имеем и& << Мр0-
В дальнейшем наше внимание будет сосредоточено на приближенном решении уравнения Стефана, характеризующего динамику фронта затвердевания £(г) рас-
плава,
( дТ(8) ^ ^> дТ-рт дг
С-0
( дТ(1) ^ 1® р
рт дг
(1)
где Lpm — скрытая теплота плавления материала частицы; Т — температура.
Получим приемлемые оценки для тепловых потоков, входящих в правую часть уравнения (1), что позволит описать динамику фронта затвердевания. Для этого рассмотрим ряд модельных задач.
Задача 1. Для оценки теплового потока от растекающегося расплава к фронту затвердевания сформулируем соответствующую математическую модель теплопе-реноса. Воспользуемся известным решением задачи о растекании вязкой жидкости в окрестности точки торможения
= -Р*2, ™г = в^, в = §2,ег , (2)
и не будем учитывать при этом встречное движение фронта затвердевания. Здесь wz, wr — продольная и поперечная компоненты скорости в цилиндрической системе координат, начало которой совпадает с критической точкой, а ось г направлена навстречу натекающему расплаву; wz ^ — значение нормальной компоненты скорости на внешней границе вязкого слоя.
Расчеты, выполненные Фресслингом [17] для стационарного осесимметричного течения, нормально натекающего из бесконечности на плоскую преграду, позволяют определить эффективную толщину вязкого слоя
как 8V = 2^ V рт / а, которая не зависит от координаты г; а > 0 — определяющий параметр задачи, характеризующий соответствующее осесимметричное течение идеальной жидкости в окрестности точки торможения = -2аг, wr = аг). Однако полученная оценка в нашем случае неприемлема, поскольку течение носит существенно нестационарный характер и формирование вязкого слоя происходит на временах деформации капли. Поэтому будем считать, что 8^ей- =%д^р^а, а эффективное значение параметра х < 2 оценим ниже, рассматривая соответствующую модельную задачу.
Абсолютное значение осевой компоненты
скорости на внешней границе вязкого слоя определим из условия сшивки потенциального и вязкого течений. В результате будем иметь представление параметра в
через параметр а внешнего течения в = (2/ х)ад^^урт~.
С учетом принятых выше допущений можно сформулировать математическую модель нестационарного конвективно-диффузионного теплопереноса для оси симметрии задачи (г = 0). Имеем следующую краевую задачу:
дТ 2 дТ а) д2Т
17=в* 17+< 1*2
с начальными условиями
t = 0, Т(0, г > 0) = Тр0, Т(0, 0) = Трт и граничными условиями
г = 0, Т^ > 0, 0) = Трт, г — дТ/д = 0.
Преобразуем задачу (3) к безразмерному виду, вводя внутренние линейный 10 и временной 10 масштабы процесса конвективно-диффузионного переноса тепла к изотермической стенке. Из анализа размерностей следует, что 10 = 3«рт /в, г0 = 1/^«рт в2. Вводя в рассмот-
(3)
(4)
рение безразмерные температуру в = Т/Трт , координату п = *//0 и время т = £/£0, перепишем задачу (3) в виде:
дв 2 дв д 2в дт П дп дп2 с начальными условиями
т = 0, в(0, п > 0) = вр0, в(0, 0) = 1 и граничными условиями
п = 0, в(т > 0, 0) = 1, п——^, дв/дп = 0.
В качестве безразмерного времени выбрана переменная т = 3«ртв2I, тогда как п = 3в/«рт Краевая
задача (4) будет решена приближенно, поскольку ее точное аналитическое решение получить не представляется возможным.
Для этого введем в рассмотрение текущую толщину 8а (т) нестационарного температурного пограничного слоя. Распределение температуры ищем в виде
в(т, £) = 1+а£+в£2 + с£3,
где А, В, С — искомые постоянные, а £ = п/8а (т). Коэффициенты А, В, С найдем, воспользовавшись граничными условиями модельной задачи.
Очевидно, что условие в(0, 0) = 1 выполняется автоматически, а при £ = 1 (п — 8а (т)) имеем уравнение 1 + А + В + С = вр0.
Потребуем также выполнения дополнительного условия гладкости распределения температуры (дв/дп)=8а = 0, т.е.
А + 2В + 3С = 0.
И, наконец, из условия постоянства температуры в точке п = 0 при т > 0 получаем, что параметр В = 0, а из двух приведенных выше линейных уравнений находим значения коэффициентов
А = 3(вр0 -1)/2, С = -(вр0 -1)/2.
Следовательно,
в(т, п) = 1 + 0.5(вр0 -1)(3£-£3).
Для отыскания неизвестной функции 8а (т) проинтегрируем дифференциальное уравнение (4) по £ в пределах температурного пограничного слоя £ е [0; 1]. В результате почленного интегрирования левой и правой частей уравнения получаем задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения относительно
8а (т):
8
^ = 4 --8-8а, 8а (0) = 0, ёт 15
или, после разделения переменных, 8 „ d8 я
г -8а
= Ьйт, а = ^1^2, Ь = 8/15.
Рис. 2. Рассчитанные по уравнению (6) значения толщины теплового пограничного слоя (символы) и результат наилучшей аппроксимации с помощью зависимости (7) при к = 2 (сплошная кривая)
для которой явного решения относительно 8а (т) получить не удается. Однако можно записать общий интеграл задачи
■ 2 Г3и
g (и, т) = 1п
(1 - и)
- 6аЬт = 0,
и(0) = 0, (6)
где вспомогательная переменная и (т) = 8 а (т)/а. Следовательно, для фиксированного момента времени т имеем нелинейное уравнение g(u, т) — 0 относительно и(т). Качественный анализ показывает, что характерной особенностью исследуемой задачи теплопереноса в условиях встречного вязкого течения является асимптотическая конечность толщины теплового пограничного слоя. Действительно, если допустить, что Ит и(т) =
т——^
то слева первые два слагаемые примут конечные значения, в то время как третье обратится в бесконечность. Можно показать, что ига = Ит и(т) = 1, т.е. 8га = а.
т—гс>
Полученное уравнение относительно и(т) не имеет аналитического решения и может быть решено лишь численно. На рис. 2 представлено полученное численное решение для 8а (т) = аи(т) в интервале времени [0; т8 ], где т8 — значение безразмерного времени, для которого и(те) = 1 -8, 8 = 0.999. Очевидно, что асимптотикой решения и(т) при I — га является значение и(гс) = 1. Поэтому, при т > т8 будем считать и(т) — 1. На этом же рисунке сплошная кривая отвечает зависимости
8
(7)
при к = 2 наилучшим образом аппроксимирующей полученное решение по методу наименьших квадратов. Поведение среднеквадратической ошибки аппроксимации от параметра к представлено на рис. 3.
Рис. 3. Поведение среднеквадратической ошибки аппроксимации точного решения уравнения (6) зависимостью (7) для различных значений параметра к
Поскольку (0) = 0, (0) = 6, учитывая, что и0 =
= 0 при т = 0, получаем асимптотику решения 8 а (т) при т ~ 0:
8а (т) ~ а>/2аЬт.
Принимая во внимание значения постоянных а и Ь, получим зависимость
8а (т)~2л/2т, т ~0, используя которую будем иметь соответствующее асимптотическое выражение для производной, определяющей плотность теплового потока:
дв
дп п
1М =0
дв
э£
Э£
£=01дп
вр0 -1
/п=0
8 а (т) л/Пт ’
что находится в полном согласии с тем фактом, что при достаточно малых значениях времени теплообмен определяется лишь кондуктивным переносом тепла, а роль конвекции проявляется по мере возрастания времени.
Следовательно, 8а (^) = а, а соответствующие ему значения производных, определяющих плотность установившегося теплового потока к изотермической стенке, равны
дв
д*
*=0
дв
э£
£=0
(вр0 -1)
дв
дп
дв
д£
£=0
-ад*
Ж
Для произвольного значения времени т > 0 последнее соотношение перепишется в виде:
(эв^
дп
( дв^
/п=°
£=о
(0^
дп
п=о
2аи(т)
(дро -1):
вро - 1
л/ЛТ
л/2?(1
- е-2т),
(8)
где функция ф(т) = 32т/(1 - е 2т) учитывает отклонение режима теплообмена при вязком натекании расплава на нормально установленную изотермическую стенку от теплообмена, определяемого законом Фурье. Скользящее среднее данной функции при т < 1/2 с достаточной точностью аппроксимируется выражением
фс(т) = -Г/ч/ 2т1(1 - е-2т)Іт = 1 + ^ + іт8 ].
Задача 2. Уравнение (1) в безразмерных переменных т, п легко представить в виде
1
Ки:
(і)
(
А(8Д)
р,р
двр)
дп
А
С-о
(ев® а
дп
С+о
(9)
где Кир1) = ^/[с® Трт] — критерий фазового перехода Стефана-Кутателадзе; С = С/10 ; ^р® = ^(рт/^®т • При аппроксимации первого слагаемого, входящего в правую часть уравнения (9), принимаем во внимание относительную малость толщины затвердевающего слоя (£ << 1), что позволяет использовать аппроксимацию
' ' (10)
(двр7дп).-0 = (і -вс)/с,
где вс — контактная температура между затвердевающим слоем и подложкой, определяемая из условия равенства тепловых потоков в предположении идеальности контакта,
(1 - вс VС = ^ КЬ,Р) (вс - вЬо)/л/ЛГ,
К
(ь,р) =
А(8® /0® А ь,р>/ 0р,
Р,Р
ь
(11)
критерий тепловой активности
материалов частицы и подложки.
Подставляя (8), (10), (11) в уравнение (9) и разрешая относительно параметра с^, характеризующего скорость затвердевания расплава, получаем
С(т) = с^л/Г, СС= рГд/Ї + ОР
-1
/2,
Р =
в =
вс =
лА^Ки® + 2(1 + ас)к(ь’р)(вро -1)
■>/Л К!?’р)КиР1)
2А(р’р) (1 -вьо)
КиР1)
1 -
(1 +ас)(вро -1)
(1 -вьо) К
(ь,р)
(лАр’
-(ь.р),
р + с^ Кє вьо
1) + с к(ь,р)
р + с1 Кє
(12)
(13)
)• (14)
Параметр ас = тЙ (1 + тЙ/18)/4 аппроксимирует осредненное в интервале времени [0;тё] значение функции ф(т) - 1, тё < 1 — характерное безразмерное время деформации капли тё = гй/г0, = Бр/ир0.
Задача 3. Эффективное значение толщины 8У е{г требует уточнения, поскольку растекание капли — процесс существенно нестационарный и, как отмечалось выше, более корректно использовать аппроксимацию
8^ег = Хд^рт/а, где х — искомый параметр.
Получим приближенное значение для толщины вязкого пристеночного слоя 8V (г) при потенциальном течении в окрестности точки торможения. Как и в случае стационарного течения, предполагаем, что 8V не зависит от координаты г. Представим поле скоростей в пределах вязкого слоя в виде
Wz =-в(г)*2, Wr = в(т)г*, в = |w^8V(г), (15)
автоматически удовлетворяющем уравнению неразрывности.
Подставим поле (15) в уравнение сохранения импульса в проекции на ось г:
д2
w„
дwr 1 д 2 д (1)
—-—I---------т^ I-----w w - V -----------
і і уу — і ™-™2 урт ~ 2
т дт дг дг
дг
(16)
= 1 др р® дг ’
рт
записанное в приближении пограничного слоя, поскольку для нашего случая конвекция импульса вдоль оси г существенно превосходит диффузию. В результате подстановки (15) в уравнение (16) и последующего интегрирования по г в пределах слоя будем иметь
с'д™— , 1 д г 2 , Г д
----аг +------т \wт аг + —wтwг аг -
J дг — дт .1 т J дг т г
1д т дт
д
- V
(1)
/;
дг
дг
аг = -
1 др _ р® дт " ’
Нрт
1 Г§ V ір+гР 2 8з - гР 2 8з + ^ рт=-
2 аг
(і) =______L 8
р(1) дг у' Нрт
Следовательно, уравнение (16) преобразуется к виду
I тЗ2.^ + тВу(1) =---------— 8
г і ^н^рт лч '-'•у
а г
I1) дт
(17)
Ррт
Из полученного уравнения видно, что давление вдоль вязкого слоя зависит от координаты г квадратично, т.е. р(т) = ро - Ат2, где А > 0 — константа, зависящая от внешних условий задачи; ро — давление в точке торможения потока.
В результате получили уравнение для определения параметра р
8^ + 2Pv рт = 4 А8>®.
5
5
д
Из условия сшивки пристеночного вязкого и внешнего потенциального течений следует, что в = 2^ 8V. Подстановка последнего в полученное уравнение позволяет сформулировать задачу Коши для определения текущей толщины 8V (г) вязкого слоя от времени:
Л8у 2у (1)
рт
аг
8,,
8У, 8У (о) = о,
(18)
V ар рт
которую можно преобразовать к виду = 4v рта г, 8v (0) = 0,
1 - B8v
где В = А ац ррт.
Интегрируя полученное уравнение, будем иметь
5v (г) = у1 (1 - е -40)/В, С = А ар рт. (19)
Как видно из полученного решения, асимтотическое значение толщины пристеночного вязкого слоя, развивающегося в условиях нормально натекающего внешнего течения,
8^ = Нт Sv (г) = 1/л/В = ^аЩ^А,
принимает конечное значение, в отличие от свободного пограничного слоя при течении вдоль пластины, когда его толщина асимтотически бесконечна. Согласно [17], константу А можно представить как А = ррта2/2. В результате получим 8^ ^ рт/«. что находится в
качественном согласии с [17].
Для достаточно малых г произведение 4Сг << 1, следовательно, проводя разложение решения (19) в ряд
Тейлора, получим SV (^) ~ 2^VI. Как видно, скорость нарастания толщины вязкого слоя для потенциального течения в окрестности критической точки в два раза меньше, чем при развитии нестационарного пограничного слоя при продольном обтекании пластины.
Для окончательной оценки эффективной толщины вязкого слоя в процессе формирования сплэта необходимо учесть движение фронта затвердевания, текущая координата которого без учета конвекции расплава представляется в виде
С(г) = 10 С(г) = сС010л1 г/г0 .
Используя введенные выше определения для 10 и г0, получаем
С(г) = с<; 0^
,0® г
следовательно, оценка текущей толщины вязкого слоя принимает вид
8V--^0^У* = (2-Сео/л/РО^рт^.
Полученная откорректированная оценка для текущей толщины вязкого слоя позволяет определить его эффективную толщину в интервале характерного времени га = Dp/иро деформации капли, т.е.
1 га
-е^а) = - к")(г)аг = г л і
Данное выражение можно представить в виде:
^ ,е^ = ~ (2 - ((0/ \}р! л/^ё. (20)
Параметр с^0 определяется с использованием зависимостей (12), (13) при условии а с = 0.
При получении приближенного решения для первого сценария, наиболее распространенного в технологии газотермического напыления, характеризующего деформацию и затвердевание капли расплава оксида металла на твердой подложке, последовательно рассмотрим две стадии:
- напорного идеального растекания расплава над поверхностью квазистационарного вязкого слоя, вытесняемого движущимся от подложки фронтом затвердевания (рис. 4, а), завершающегося выходом вершины частицы на внешнюю границу вязкого слоя (рис. 4, б);
- последующего вязкого инерционного растекания сформировавшегося тонкого слоя расплава, завершающегося встречей фронта затвердевания со свободной поверхностью (рис. 4, в).
Стадия потенциального растекания. Данная стадия ограничена периодом потенциального растекания капли, начинающегося в момент г — 0 (рис. 4, а) и завершающегося в момент г*, когда вершина растекающейся капли достигнет внешней границы вязкого слоя (рис. 4, б),
Рис. 4. Последовательные стадии формирования сплэта при соударении капли металлического оксида с подложкой
8
т.е. гр (7*) = ^ + hsl, 8У = ^1 = £(<*) —
толщина слоя, затвердевшего на данном этапе. В первом приближении можно предположить, что вершина капли движется с постоянной скоростью ир0, т.е. ее текущая координата представляется в виде *р(г) = Вр - ир0г. Переходя к безразмерным переменным, получим биквадратное уравнение для определения продолжительности первого этапа, которое с учетом (12), (13) запишется в
виде:
(1 -Лу )Бр
=о, к=^о/ц р(°р11т)2 • (21)
В результате решения уравнения (21) будем иметь
2
Сг - 1
гГ/га = ^^^/4Ре)^Л/1 + 4Ре(1 -п)/. к^Бр = (ДРе)1 + 4Ре(1 -пУ)/
IV)/ с1 - 1
(22)
где Ре = ВрирА артт — число Пекле; п V = 8У^ /^Р •
Стадия вязкого растекания. Данная стадия начинается непосредственно после завершения предыдущей и ограничена промежутком времени инерционного вязкого течения расплава над поверхностью затвердевающего слоя. Она начинается в момент времени г = г* (рис. 4, б) и завершается в момент времени г = г* + г*, когда верхняя граница вязкого слоя встретит фронт затвердевания, т.е. * р(г* + г*) = й81 + А82 (рис. 4, в). Текущая координата этой границы, в предположении, что она продолжает движение в поле скоростей исходного вязкого течения, определяется как *р (г') = 8^ (1 + в8^), г' = г - г*, а толщина слоя, затвердевшего в течение данного этапа, определится как й,,2 = С(г* + г*)-С(г*)- Следовательно, для определения длительности второго этапа формирования сплэта необходимо решить уравнение
8^ (1 + Svт) + к51 = с^д/т* +т. (23)
Преобразуем полученное уравнение к виду относительно переменной у = т* + т, в результате чего получим полное кубическое уравнение
ау32 + Ьу + су12 + d = 0, а = cz8v, Ь =-8v йз1, с = с^ (1 -8vтJ), (24)
d = - ^ + (1 - 8vT* )кв1 ].
Если ввести переменную у[у = w - Ь/3а, то уравнение (24) приводится к каноническому виду
w3 + pw + q = 0, w = д^т* + т - Ь81/3с^ . (25)
Воспользуемся формулой Кардано [18] для отыскания корней полученного уравнения. Уравнение (25) имеет единственный действительный корень, а два других комплексно сопряженных, если дискриминант В = -27q2(1 + 4р3/^2) < 0. В этом случае искомым действительным корнем будет:
Н/2 - ^л/1 + к2 -_1
если 1 + к2 > 1,
^1^2 +^1 -->/1+к2г
если 1 + к2 < 1, (26)
где к2 = 4 р3/27н 2.
В результате получаем полное время формирования сплэта и его окончательную толщину
г*/гй = ^2х2 Рг ( > + к„1/3с? )2, К/ Бр = ^/2сс ( > + к^/Зс^
(27)
Диаметр сплэта (рис. 4, в) находится из условия полного баланса массы частицы до и после ее взаимодействия с подложкой в предположении цилиндрич-ности формы полученного сплэта.
4. Предварительная апробация развитых теоретических основ
Анализ состояния проблемы применительно к формированию сплэтов оксидов металлов (высокая вязкость — низкая теплопроводность расплава) показывает, что к настоящему времени известно большое количество публикаций, посвященных экспериментальному исследованию лишь первого сценария взаимодействия “капля расплава - подложка”, и совершенно отсутствуют какие-либо систематические экспериментальные данные и критериальные теоретические описания и обобщения характеристик сплэтов для трех последних сценариев. Кроме того, имеющиеся опытные данные для первого сценария, в основном, носят лишь качественный характер, поскольку для них не приводятся полностью значения ключевых физических параметров, при которых получены сплэты частиц. Последнее делает невозможным корректную апробацию теоретических основ и результатов моделирования, а также критериальное обобщение характеристик сплэтов. Представляется актуальным проведение систематических модельных экспериментов с целью получения представительного набора сплэтов оксидов металлов при полном контроле ключевых физических параметров взаимодействия.
В этой связи, в работах [19, 20] для осуществления полного контроля параметров одиночной частицы перед ее соударением с подложкой, для повышения достоверности получаемых результатов, применяются как методы, основанные на регистрации собственного теплового излучения частицы, нагретой в плазменной струе, так и комбинация лазерно-оптических методов с независимым определением размера по абсолютной интенсивности рассеянного лазерного излучения. В качестве модельного материала принят оксид алюминия, физичес-
к
Рис. 5. Сплэт А1203 на холодной подложке из нержавеющей стали
кие свойства (прежде всего оптические) которого наиболее полно представлены в справочной литературе. Полученный к настоящему времени набор экспериментальных сплэтов, стабильное формирование которых происходило по первому сценарию на подогретых металлических подложках (нержавеющая сталь, кремний), позволяет в первом приближении выполнить опытную апробацию развитых теоретических основ. Следует отметить, что предварительный подогрев подложки улучшает контакт между ее поверхностью и растекающейся и одновременно затвердевающей частицей, что при достаточно умеренных подогревах основы способствует более стабильному формированию сплэтов, близких к диску.
Напротив, теплообмен при взаимодействии капель расплавов металлов и оксидов с холодными полированными подложками протекает в условиях, существенно отличных от идеального контакта на границе раздела “сплэт - основа”, что приводит к потере сплошности растекания и затвердевания расплава в области между центральной частью сплэта и его периферией, граница которой имеет, как правило, нерегулярную структуру с “пальцеобразными” выбросами материала. Данное обстоятельство иллюстрируется рис. 5, где приведена фотография сплэта оксида алюминия, сформированного на холодной полированной подложке из нержавеющей стали при следующих значениях ключевых физических параметров: ир0 = 158 м/с, Др = 36 мкм, Тр0 = = 2445 К, ТЬ0 = 293 К.
В таблице 2 и на рисунке 6 представлены соответственно значения ключевых физических параметров взаимодействия капель расплава А1203 с подложками из нержавеющей стали и фотографии сплэтов, полученных с помощью оптического (сплэты 1-12) и сканирующего электронного (сплэты 13 и 14) микроскопов. Соответствующие значения теоретически предсказанных и экспериментально измеренных диаметров сплэтов данной серии также приведены в таблице 2.
В таблице 3 и на рисунке 7 представлены неопубликованные ранее данные, характеризующие сплэты А1203, закрепившиеся на кремниевых подложках при полном контроле ключевых физических параметров. Исследования выполнены около 15 лет назад совместно
Таблица 2
Значения ключевых физических параметров взаимодействия капель оксида алюминия с полированными подложками из нержавеющей стали, а также размерные экспериментальные Д, ехр и теоретические са1с диаметры сплэтов и соответствующие значения фактора растекания / = Д&/Др частиц
1 ТЬ0, К и р о § с Тр0, К Др, мкм А,ехр, мкм А,са1с> мкм / ехр /са1с
1 460 188 2 366 42.5* 160 164 3.76 3.86
2 473 172 2 405 42.5 152 161 3.58 3.80
3 474 196 2 481 42.5 144 168 3.39 3.95
4 467 140 2 571 42.5 161 156 3.79 3.67
5 467 204 2 543 42.5 186 171 4.38 4.02
6 461 207 2 668 42.5 156 173 3.67 4.08
7 450 207 2 641 42.5 143 173 3.36 4.06
8 460 197 2 556 42.5 152 169 3.58 3.98
9 456 188 2 582 42.5 165 168 3.88 3.95
10 480 188 2 706 42.5 169 170 3.98 4.01
11 474 204 2 453 25 84 87 3.36 3.50
12 466 156 2 605 30 103 104 3.43 3.48
13 490 135 2 691 25 76 81 3.04 3.25
14 473 93 2 760 19 57 53 3.00 2.79
* Здесь и далее в таблице (сплэты 1-10) в качестве диаметра Др = 42.5 мкм используется средний размер частиц исходного порошка, прошедшего предварительный рассев до фракции +40-45 мкм.
с Е. Коптевой, П. Пекшевым и А. Чистым из Института металлургии и материаловедения РАН. Условия проведения экпериментов и используемые методы диагностики параметров частиц перед соударением с подложкой описаны в [21].
На рис. 8 проведено сравнение теоретически предсказанных и экспериментально измеренных диаметров сплэтов и соответствующих им степеней растекания капель при их одновременном затвердевании на подложках с использованием данных таблиц 2 и 3.
Таблица 3
Значения ключевых физических параметров при соударении капель расплава оксида алюминия с полированными кремниевыми подложками, а также размерные экспериментальные Д8 ехр и теоретические Д8,са1с диаметры сплэтов и соответствующие значения фактора растекания / = Д8/Др частиц
1 ТЬ0, К и р0, м/с Тр0, К Др, мкм А,ехр, мкм А,са1с> мкм / ^ ехр /са1с
1 623 104 2 703 41 141 152 3.44 3.70
2 623 73 2 751 63 237 239 3.76 3.80
3 623 104 2 610 59 214 235 3.63 3.99
4 523 89 2 796 54 199 205 3.68 3.80
5 523 125 2 610 54 220 217 4.07 4.02
6 623 83 3 080 53 221 210 4.17 3.96
Рис. 7. Фотографии сплэтов оксида алюминия, осажденных на подложки из кремния при ключевых физических параметрах, представленных в таблице 3, полученных с помощью электронного сканирующего микроскопа
Как видно, максимальное относительное отклонение рассчитанных и измеренных параметров не превышает 15 %, что позволяет, в первом приближении, констатировать вполне удовлетворительное согласие представленных результатов. Однако для систематической экспериментальной проверки предложенных теоретических основ и их дальнейшего развития требуется создать представительный набор сплэтов А1203, 2г02, ТЮ2
и других оксидных керамик, полученных в условиях полного контроля ключевых физических параметров.
5. Заключение
Предложен теоретический подход для расчета толщины и диаметра сплэтов при газотермическом, в том числе плазменном, напылении керамических порошков, включая оксиды металлов. Выполнено предварительное
08,саЬ МКМ J 200 - А А А^ /
150 - 5Й / / ^А
100 - д' & / /
50 - к
I I I 50 100 I I 150 111 ► 200 08,ехр. мкм
Рис. 8. Результаты сравнения теоретически предсказанных (Ds са1с) и экспериментально измеренных (ехр) диаметров сплэтов (а) и соответствующих значений фактора деформации f капель (б)
тестирование полученного приближенного аналитического решения с использованием известных экспериментальных данных, полученных при полном контроле ключевых физических параметров. Показано удовлетворительное согласие теоретически предсказанных и экспериментально измеренных диаметров сплэтов в достаточно широком диапазоне ключевых физических параметров перед соударением (скорость, температура и размер капли, температура полированной подложки). Для более тщательного тестирования разработанных теоретических основ необходимо иметь расширенный набор экспериментальных сплэтов различных порошковых материалов, осажденных на подложки из разных материалов при полном контроле ключевых физических параметров.
Кроме того, необходимо дальнейшее развитие теоретических подходов в направлении учета шероховатости подложки, неидеальности контакта между растекающейся и затвердевающей каплей и основой, а также влияния поверхностного натяжения расплава на конечной стадии формирования сплэта, что особенно важно для оперативного оценивания характеристик сплэтов, осажденных на подложки при небольших значениях чисел Рейнольдса и Вебера.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 9802-17810 “Цикл модельных исследований “плазма -микрочастица” и “микрокапля расплава - поверхность”: теория, совместный физический и вычислительный эксперимент”, а также Сибирского отделения РАН (Междисциплинарная программа СО РАН на 2000-2002 гг., проект N° 45: “Разработка принципов мезомеханики поверхности и внутренних границ раздела и конструирование на их основе новых градиентных конструкционных материалов и многослойных тонкопленочных структур для электроники”).
Автор приносит благодарность своим коллегам — сотрудникам лаборатории плазмодинамики дисперсных систем ИТПМ СО РАН Е.В. Картаеву, А.А. Михаль-ченко и А.В. Смирнову, выполнившим цикл экспериментов по соударению капель расплава оксида алюминия с подложками из нержавеющей стали.
Литература
1. Vardelle M., Vardelle A., Li K.-I., Fauchais P., Themelis N.J. Coating generation: Vaporization of particles in plasma spraying and splat formation // Pure and Applied Chemistry. - 1996. - V. 68. - No. 5. -P. 1093-1099.
2. Fauchais P., Vardelle M., Vardelle A., Bianchi L., Leger A.C. Parameters controlling the generation and properties of plasma sprayed zirco-nia coatings // Plasma Chemistry and Plasma Processing. - 1996. -V. 16. - No. 1 (Supplement). - P. 99S-125S.
3. Matejicek J., Sampath S., Herman H. Processing effects on splat formation, microstructure and quenching stress in plasma sprayed coatings // Thermal Spray. Meeting the Challenges of the 21th Century / Ed. by C. Coddet. - ASM International, USA, 1998. - P. 419^24.
4. Fan X., Gitzhofer F., Boulos M. Investigation of alumina splats formed
in the induction plasma process // J. of Thermal Spray Technology. -1998. - V. 7. - No. 2. - P. 197-204.
5. Shinoda K., Han P., Yoshida T. The microstructure of YSZ splats deposited by hybrid plasma spraying // Proc. of 15th Intern. Symp. on Plasma Chemistry, 9-13 July 2001. - Orleans, France, 2001. - Vol. 6. - P. 26612666.
6. Solonenko O.P, Neronov V.A., Smirnov A.V, Kuz’min VI. Structure, porosity and adhesion of ceramic coatings sprayed under different regimes of plasma jet outflow // Proc. of 14th Intern. Symp. on Plasma Chemistry, 2-6 August 1999. - Prague, Czech Republic, 1999. -Vol. 4.- P. 2127-2132.
7. Mostaghimi J. Modeling droplet impact in plasma spray processes // Pure and Applied Chemistry. - 1998. - V. 70. - No. 6. - P. 1209-1215.
8. Solonenko O.P, Golovin A.A., Shurina E.P, Mikhalchenko A.A., Smirnov A.V, Kartaev E.V Peculiarities of ceramic splat formation under plasma spraying: Theory, computer simulation and physical experiment // Proc. of 1st Intern. Symp. on Advanced Fluid Information, 3-6 October 2001. - Sendai, Japan, 2001. - P. 492^97.
9. Солоненко О.П., Шурина Э.П., Головин А.А. Конечно-элементное моделирование соударения капли расплава с подложкой при плазменном напылении // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 1. - С. 29^2.
10. Попов В.Н. Моделирование затвердевания металлической капли на холодной подложке // Математическое моделирование. - 2001. -Т. 13. - № 9. - С. 119-127.
11. Солоненко О.П., Смирнов А.В., Клименов В.А., Бутов В.Г., Иванов Ю.Ф. Роль границ раздела при формировании сплэтов и структуры покрытий // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 1-2. - С. 123140.
12. Солоненко О.П., Смирнов А.В. Соударение капли расплава с поверхностью. Теория и модельный эксперимент // Доклады РАН. -1998. - Т. 363. - № 1. - С. 46^9.
13. Солоненко О.П., Алхимов А.П., Марусин В.В. и др. Высокоэнергетические процессы обработки материалов. - Новосибирск: Наука, 2000. - 425 с.
14. Solonenko O.P. Equilibrium solidification of melted microdroplets under their collision with substrate: Theory and its application in thermal spray technology // Со11. Thermal Plasma Torches and Technologies. Vol. 2. Thermal Plasma and Allied Technologies. Research and Development / Ed. by O.P. Solonenko. - Cambridge: Cambridge International Science Publishing, 2001. - P. 78-98.
15. Solonenko O.P, Smirnov A.V Equilibrium solidification of melted microdroplets under their collision with substrate: Model experiment and criterial generalization of splats morphology // ^ll. Thermal Plasma Torches and Technologies. Vol. 2. Thermal Plasma and Allied Technologies. Research and Development / Ed. by O.P. Solonenko. - Cambridge: Cambridge International Science Publishing, 2001. - P. 99-113.
16. Solonenko O.P. Fundamental problems of plasma spraying // Ooll. Thermal Spray: International Advances in Coating Technology. - Orlando: ASM International, 1992. - P. 787-792.
17. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.
18. Математическая энциклопедия / Под ред. И.М. Виноградова. -М.: Советская энциклопедия, 1979. - С. 722.
19. Solonenko O.P, Mikhalchenko A.A., Smirnov A.V, Kartaev E.V Experimental studying deposition of alumina splats under complete control of key physical parameters // Proc. of 15th Intern. Symposium on Plasma Chemistry, 9-13 July 2001. - Orleans, 2001. - Vol. 6. - P. 2667-2672.
20. Картаев Е.В., Михалъченко А.А., Солоненко О.П. Формирование сплэтов металлических оксидов при полном контроле параметров при соударении капель расплава с подложкой // Сб. тр. XVII Межреспубликанской конференции “Численные методы решения задач теории упругости и пластичности”, Новосибирск, 3-5 июля 2001. -Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 2001. - С. 77-90.
21. Solonenko O.P, Fedorchenko A.I., Lyagushkin VP, Mikhalchenko A.A., Smirnov A.V, Chraska P., Kolman B. Experimental studies of Al2O3 plasma sprayed particles under their parameters control // ^ll. Plasma Jets in the Development of New Materials Technology / Ed. by O.P. So-lonenko and A.I. Fedorchenko. - Zeist, Netherlands: VSP Publishing House, 1990. - P. 299-310.
