Тепло-массообмен в аксиальном парогазовом потоке в приближении идеального газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 536.24: 541.2

М.П. Анисимов, Т.Э. Овчинникова, В.А. Пинаев

ТЕПЛО-МАССООБМЕН В АКСИАЛЬНОМ ПАРОГАЗОВОМ ПОТОКЕ В ПРИБЛИЖЕНИИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Изучение процессов нуклеации является актуальным направлением в современной науке. При решении многих проблем в современной аэродинамике, газодинамике, теплоэнергетике, металлургии, экологии, материаловедении и других областях науки и техники приходится обращаться к задачам, связанным с образованием зародышей новой фазы в метастабильной исходной фазе. Применение нуклеационных методов является научной основой для генерации нано частиц, например, в фармацевтической промышленности. Но, к сожалению, в классической теории нуклеации, остается еще достаточно много дискуссионных проблем.

Более того, имеется ряд трудностей для обобщения этой теории для бинарных и тройных систем, для ион-индуцированной нуклеации, для описания зародышеобразования в окрестности критических условий и т.д.

Для исследования процессов нуклеации исспользуюется широкий спектр экспериментального оборудования.

Переспективным подходом для исследования кинетики спонтанной нуклеации в газовой среде является метод, основанный на применении ламинароного осесиметричного паро-газового потока, названный М.Анисимовым с соавторами (например [1]) - поточной диффузионной камерой. Поточная диффузионная камера позволяет определять зависимость скорости нуклеации от активности паров исследуемого вещества при различных давлениях газа-носителя.

Одной из основных частей поточнодиффузионной камеры является цилиндрическая трубка по которой протекает паро-газовая система (рис. 1).

Начальные профили сноростей газа-носителя принимаются параболическими, а концентрация пара исследуемого вещества принимается постоянной по сечению потока. Температура Тст и концентрация компонентов С/ на стенке участка трубы В (рис. 1) определяют граничные условия стационарной задачи. Изменение темепературы стенки от То к Тст происходит на участке перехода А. Профиль скоростей в потоке считается ламинарным и установившимся. Для того, чтобы найти поля пересыщений и

температур, необходимо решить задачу о стационарном осесиметричном ламинарном потоке вязкого сжимаемого газа и задачу о диффузии в бинарной паро-газовой системе.

Стационарное движение осесиметричного ламинарного потока вязкого газа можно описать системой уравнений пограничного слоя и уравнения состояния, которые в системе цилиндрических координат имеют вид :

Р-^0 •Т

Р = -

т

к

2•я •1г • р• ыёг = Q,

ды дР 1 д . ды.

р• ы— =--------------I--------(г•л--------),

дх дх г дх дг

(1)

(2)

(3)

р • ы • С,

дТ дР

дх дх

ды 2 -V(—;>

дг

1

• (г •Л—) = 0

г дг

. (4)

Здесь х - координата по оси цилиндрической трубы, г - координата по радиусу, Т - температура, р - плотность газа, Ц, X - коэффициенты вязкости и теплопроводности газа, соответственно, Ср - теплоемкость газа, Яо - универсальная газовая постоянная, т - молекулярная масса газа, Я -радиус трубки, Q - массовый расход газа.

о. -г

^ ^ То

-—* в

0

Рис. 1. Схема цилиндрической трубки с парогазовым потоком, иллюстрирующая поточную диффузионную камеру

Уравнения (1 - 4) имеют следующий физический смысл:

(1) - уравнение состояния идеального газа; (2) - уравнение неразрывности; (3) - уравнение движения (закон сохранения импульса); (4) - закон сохранения энергии (первое начало термодинамики).

Для однозначного решения этой системы уравнений принимаются следующие граничные условия.

На оси симметрии:

I0, х) = ^ I0, х) = ^ 1ТI0, х) = ^

д r

д r

д r

на стенке

и (Я, х) = 0, Т (Я, х ) = Тс (х),

С (Я, х) = С [Тс (х)];

на входе

Т (Г,0)= Т0 (г ), и (Г ,0)= и0 (г ) ,

Р(г,0) = Р[Т0 (г)], С(г,0) = С(Тнас).(5)

Здесь Тс(х) - заданная температура стенки трубы, То(г) - начальный профиль температуры потока при входе в трубку; ио(г) - начальный профиль скорости потока при входе в трубку. Поля пересыщений и температур могут быть найдены из уравнений (1 - 4) и граничных условий (5) с помощью метода конечных разностей.

Для нахождения скорости и и давления Р из уравнений (1- 3) использовался метод прогонки с параметром [2].

Исходя из того, что скорость на входе имеет параболический профиль, соответствующий заданному расходу, получаем

200

(

ttR

1 -

v r2 У

Из уравнения неразрывности (1), легко получить соотношение:

Ри =Р0 и0 = Ь0 (г).

Разностная аппроксимация уравнения (3) на (п + О -ом шаге по х определялась следующим образом:

rbo(r }

п+1 П

и — и

А х

+rPn;1 _ Dr (un+1),

(6)

д д

где Vг =------г /л---, Д х - шаг сетки по коорди-

д г д г

нате х (равномерная сетка)

Скорость на (п + 1)-ом шаге представим как

ип+1 = ип + 2п+х + Рп+х уп+\ (7)

П+1 П+1 т-г

где 2 и у параметры. Подставляя это выражение в (3.1) и группируя члены, содержащие Рх , и не содержащие эту величину, приходим к системе уравнений

п+1

г\(т) = Вг ("+1)+ Д (ип), (8)

П+1

rbo(r)

У

А х

Dr (у"1)

— r.

(9)

Граничные условия для параметров 2 и

п+1

у те же, что и для скорости и :

гп+1 (Я) = уп+1 (Я) = 0, (0)=Щ-(0) = 0.

Для определения Рхп+1 воспользуемся массовым расходом, который не зависит от х , и формулой (3.2) и получим соотношение

J rpnzn+1dr

рп+1 ________0_

X R

Рп+1 _ Pn + РП+1А х

J rpnyn+ldr

После того, как найдена скорость на (п+1) -ом слое, определяется температура и плотность. Поскольку вязкость и теплопроводность зависят от температуры, то для раскрытия нелинейностей используется итерационный процесс, на каждом шаге которого строится аппроксимация уравнений по координате г, а для решения полученной трехдиагональной системы линейных уравнений используется метод прогонки. После этого рассчи-

Сп+1'

.

Тестирование численного алгоритма выполнено путем сравнения точного аналитического решения при р = const с результатами численного расчета. В случае р = const система (1-4) является замкнутой и при X и Тс (х) = Тс = const имеет точное решение:

и _

2Q

(1 r 2)

RgR4 R2 дх п-р• R4

Р(х)_- 8-Qц4 • х+Р0;Т(r)_Тс _const п • р• R

(10)

Диффузию паров исследуемого вещества в ламинарном стационарном осесимметричном потоке вязкого газа, движущимся в цилиндрической трубе можно описать решениями уравнения молекулярной диффузии, которое в цилиндрической системе координат записывается в виде:

дС 1 д ( дС

р-и—------—• (r • р—) _ 0. (11)

дх r дr

дr

б

Это уравнение возможно решить методом конечных разностей при граничных условиях:

дС

С (Я, х) = С 0(Тс (х)); = 0;

дг

r _0

С (г, 0) = С * (г)

Здесь С - массовая концентрация пара исследуемого вещества; V - коэффициент молекулярной диффузии; С°(Тс (х))- концентрация насыщенного пара вещества на стенки трубки (предполагалось, что внутренняя сторона трубка покрыта исследуемым веществом); С *(г)- начальный профиль концентрации пара на входе в трубку.

Коэффициент диффузии V [см2/с] рассчитывается для бинарных газовых систем по эмпирической корреляции Фуллера, Шлеттера и Гиддингса [3]:

0,001 Т1,75 •((M1 + M4

D; =■

M1 • m2

Р •

(12)

Рис. 2. Яоле логарифмов пересыщений, рассчитанных для системы глицерин -двуокись углерода с использованием уравнения состояния идеального газа, при температуре стенки 60 °С, температуре насыщения 110 °С, объемный расход 6.0 см3/с и при давлении 1 атмосфера (а). Распределение температур в конденсирующем устройстве (б). Радиус, Я, и длина трубки, X.

где Р - общее давление, выражено в барах; Mi, М2 - молекулярные массы исследуемого вещества и соответствующего газа-носителя; (EVh, (EV)2-молекулярные диффузионные объемы компонент.

Активность (рис. 2а) паров исследуемого вещества а(т,х) определяется из распределений температуры Т(г,х) и концентрации C (г,х) через

соотношение а (r х) = С (r’ х) где C°(r,x) -’ С o (r, х)’

концентрация насыщенного пара исследуемого вещества при температуре Т(г,х). Решения для T(r, х) показаны на графике, приведённом на рис. 2б.

Для определения скорости нуклеации по эмпирическим значениям концентрации образующегося аэрозоля пользуются выражением J = С /1, где J, [см-3/с] - расчетная скорость нуклеации; С, [см-3] - экспериментально найденная концентрация аэрозоля; t, [с] - время пребывания в нуклеа-ционном объеме парогазовой смеси. Этот метод позволяет находить среднюю скорость генерирования аэрозольных частиц в нуклеационном объе-

а

ме, имеющем неоднородное распределение условий зародышеобразования.

Более точное значение скорости нуклеации может быть найдено при следовании достаточно простому алгоритму [4]. Очевидно, что отношение максимума теоретической скорости нуклеации Jmax

theor к расчетному числу аэрозольных частиц

(Ntheor =I Jt

Jtheordv ),

производимых аэрозольным генератором в единицу времени, примерно равно соответствующему значению экспериментальных величин, т.е.

ттах тах

ікєог „ ехР .

dv

Ne

^ ^гке°г™У "'ехР

Неточность равенства связана с недостатками теории. Однако использование теоретических величин позволяет определять отношения с небольшой погрешностью, поскольку недостаточно хорошо определенные коэффициенты теоретического выражения для скорости нуклеации практически точно сокращаются. Это подтверждается сравнением расчетного и экспериментально определенного объемов нуклеации. Отсюда легко получить выражение для максимума скорости нук-леации:

J,

Nexp J

exp

max expu theor , dv

где Nexp, | J

theor

1 Jtheor“

dv - экспериментальное и тео-

ретическое число частиц, произведенных генератором аэрозолей в единицу времени, Jmax - тео-

їкєог

ретическая скорость нуклеации в зоне наиболее интенсивного зародышеобразования. При соблюдении подобия в распределении концентраций пара и температур (это в эксперименте выполняется) исключается зависимость значения максимальной скорости нуклеации от расхода газа, что снижает требования к точности измерения последнего. Экспериментальное изучение скоростей

объемной конденсации является чрезвычайно трудной задачей, так как параметры процесса, характеризующие процессы образования новой фазы, быстро меняются во времени и пространстве, что крайне осложняет их измерение. Нуклеация в пересыщенном паре изучается различными методами, целью которых является получение скоростей нуклеации и соответствующих ей значений пересыщений и температур, которые используют как для сравнения с классической теорией, так и с различными ее модификациями.

В данной работе приведена постановка и численное решение задачи тепло-массобмена для аксиальной симметрии паро-газового потока. Обосновываются и приводятся алгоритмы эмпирического определения скоростей нуклеации в поточной диффузионной камере.

Результаты могут быть применимы для теоретических расчетов скоростей зародышеобразова-ния на участках технологических цепей, представляющих поток паро-газовой смеси в охлаждаемой трубе. Компьютерная оптимизация позволит неэмпирическим путем подобрать близкие к оптимальным условия протекания смеси.

В одних случаях необходимо снизить содержание аэрозоля на выходе, поскольку это может привести к появлению аэрозольных вкраплений в конечное изделие. В другом варианте задачи -можно создать условия для генерации аэрозольных частиц.

Оптимизация условий позволяет получать наночастицы, которые, как известно, обладают рядом уникальных свойств, в сравнении с макроскопической фазой образца производимого материала. Создание и углубление научных основ в производстве наноматериалов имеет ясную перспективу в улучшении потребительских свойств широкого спектра материалов.

Авторы благодарят РФФИ за грант № 11-03-00049-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Anisimov М.Р. and Cherevko A.G. Gas-flow diffusion chamber for vapor nucleation studies. Relations between nucleation rate, critical nucleus size and entropy of transition from a metastable into a stable state. // J.Aerosol Sci. 1985 V. 16, № 2, P. 97-107.

2. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Метод расщепления по физическим процессам для расчета задач конвекции. //Мат. моделирование, 2001. Т. 13,

3. Лойцанский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 847 с.

4. Wagner Р.Е.and Anisimov М.Р. Evaluation of nucleation rates from gas flow diffusion chamber experiments (1993) J.Aerosol Sci., V.24, Suppl.1., P. 103-104

□Авторы статьи:

Анисимов Михаил Прокопьевич , докт. физ-мат. наук, проф., зав. лаб. Конструкторско-технологический институт научного приборостроения СО РАН. Email: anisimovmp@mail.ru

Овчинникова Тамара Эдуардовна , канд. физ.-мат. наук, ст. н. с., до-цент( Институт водных и экологических проблем СО РАН, НГУ). Email: teonew@iwep.nsc.ru

Пинаев Виктор Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доц. каф. высшей и прикладной математики Кемеровского института РЭУ им.

Плеханова. Email: pinaev@kemcity.ru