CC BY
28
где
ИНФОРМАЦИОННЫЕ
УДК 519.7
ТЕОРИЯ ЦВЕТОВОГО ЗРЕНИЯ. VII1
БОНДАРЕНКО М. Ф, ШАБАНОВ-КУШНАРЕНКО С.Ю.
Рассматривается аксиоматическая теория цветового зрения человека. В рамках этой теории описываются механизмы иррадиации, инерции и адаптации цветового зрения для общего случая, когда световое излучение произвольно изменяется во времени и в пространстве, и для различных частных случаев (излучение изменяется только во времени, только в пространстве или постоянное во времени и пространстве).
7.1. Трехпараметрические семейства (параметр — пространственно-временная координата). (Продолжение раздела 6.3)
Пусть t — произвольное число,
^t = (О, У p, q)l [0,1], х Є (-да, t], p, q є (-да, да)},
K(Qt) — пространство измеримых на Qt функций, удовлетворяющих условию
1 t
f f я л
0 -ю
щ-(p + q )v2
x (X, x, p, q)dXdxdpdq < да, (7.1)
K (Q,t) — положительный конус в этом пространстве. Рассмотрим семейство предикатов
Ф( z (t є R1, z є R2), каждый из которых определен
при соответствующем t на K(Qt) х K(Qt) и удовлетворяет условиям 1-3. Установим условия, гарантирующие существование n линейно-независимых
функций g. є L2 [0,1] почти всюду неотрицательной функции Q(x, и, v) таких, что при всех t є R1, z = (^, ц) є R2 и всех x, y є K(Qt) равенство
Фи, (x, У) = 1 (7.2)
эквивалентно системе равенств
аЯz}(x) = a(t"z) (y), i = 1,2,..., n, (7.3)
1 4. I-VI см. в журнале “Радиоэлектроника и инфор-
матика”, 1998-2000 гг.
1t
a(t■z)(x) = J І Яgi(K)Q(t-х,ъ,-p,в-q)х
0(7.4)
х x(X, х, p, q)dXdxdpdq.
Рассмотрим вначале частный случай, заключающийся в том, что рассматриваемые функции
x(X, х, u, v) зависят только от X . Такие функции мы будем обозначать символами и и v . Для этих функций сформулированный выше вопрос состоит в следующем. При каких условиях можно гарантировать существование почти всюду ограниченных
неотрицательных функций gi (X) таких, что при всех t є R1, всех z є R2 и всех и , v из положительного конуса K пространства L2 [0,1] равенство
Фиг (и, v) = 1 (7.5)
эквивалентно системе равенств
ai (и) = a.i (v), i = 1,2,..., n, (7.6)
где ai (и) = J gi (X)u(X)dX, i = 1,2,..., n, ? (7.7)
0
Решение этого вопроса дает теорема 4.1. Будем, как и в предыдущей статье, именовать совокупность условий этой теоремы условиями А ■ Соответственно через ф будем обозначать предикат на
К х К такой, что Ф(и, v) = 1, если Ф(, z (и, v) = 1 при каких-либо (а следовательно, в силу условий
А, и при любых) t є R1, z є R2.
Кроме того, мы выделим частный случай функций вида
x(X, х, p, q) = Р(т, p, q) • и(Х). (7.8)
Здесь рє Kt(R2), и є K . Для этого случая сформулированный выше вопрос состоит в следующем. При каких условиях для любой функции и є K
существует функция 9и (х, p, q), удовлетворяющая условию (6.60) и такая, что для любой функции Р(т, p, q) равенство
Фі z (Ри, си) = 1 (7.9)
выполняется тогда и только тогда, когда константа
с = ЯР) ,
где
f!!,z }(Р) =
= J Яqu(t-тS-p,ч-qp,q)dxdpdq.?(7Л0)
РИ, 2001, № 1
113
Этот вопрос был решен теоремой 6.4. Условия этой теоремы ниже именуются условиями C .
Теорема 7.1. Для того чтобы для семейства предикатов Ф(, z нашлась линейно-независимая система
функций {q }п.=1 с L [0,1] и почти всюду неотрицательная на [0, да) х R2 функция Q , удовлетворяющая условиям (6.60), и такая, что равенства (7.2) и (7.3) эквивалентны, необходимо и достаточно,
чтобы это семейство удовлетворяло условиям А, С и
4) для любых t є R1, z є R2 и x, x', y, y'e K(Qt) из равенств
Фиг (x, X) = 1, Фиг (y, У) = 1 следует, что Ф( z (x + y, x'+y') = 1.;
5) для любых t є R1, z є R2 ux є K (Qt) существует (не единственная) функция и є K такая, что
Фі г (x, и) = 1; (7.11)
6) для любой последовательности {xk }^=1 с K(Qt), сходящейся к нулю в L2(Q.t), существует последовательность {uk }k=1 с K, сходящаяся к нулю в метрике L [0,1] и такая, что
Ф, z (xk, uk) =1.
Доказательство теоремы мы проведем по той же схеме, что и доказательство теоремы 6.1. Проверим
достаточность. Пусть при некоторых t є R1, z є R2
х — произвольный элемент K (Qt). Положим
a(t’ z)(x) = аі (и), і = 1,2,..., n, (7.12)
где и — какой-либо элемент из K , для которого справедливо (7.11). Элемент и не определяется равенством (7.11) однозначно. Поэтому следует проверить, что равенство (7.12) определяет величину a(t’z)(x) вне зависимости от выбора и . Мы опустим эту проверку.
Покажем теперь, что при всех t є R1, z є R2 и x, y є K(Qt) равенства
Фиг(x, y) = 1 (7.13)
и a(t’z}(x) = a(f’z)(y), і = 1,2,..., n (7.14)
эквивалентны. Подберем для x и y какие-либо элементы и, v є K такие, что
114
фкг(x, и) =1 фиz(y, v) = 1. (7.15)
Если для x и y имеет место равенство (7.13), то из (7.15) на основании условий 2 и 3 легко вывести, что Фі, z (и, v) = 1. Но тогда и
“і (и) = at (v), і = 1,2,..., n. (7.16)
Отсюда и из определения (7.12) вытекают равенства (7.14). Пусть, обратно, для x и y справедливо
(7.14). Подберем для x и y элементы и, v є K так, чтобы имело место (7.15). Тогда справедливо (7.16) и, следовательно, Ф( z (и, v) = 1. Вместе с (7.15) это дает (7.13).
Таким образом, равенство (7.2) эквивалентно равенству (7.3). Осталось проверить, что для величин
a(t■ z)(x) справедлива формула (7.4). Рассмотрим
произвольные элементы x(X, т, p, q) и y(X, т, p, q)
конуса K(Qt). Пусть и, v є K удовлетворяют равенствам (7.15). Применив к этим равенствам условие 4, получим Ф(, z (x + y, и + v) = 1.
Из этого равенства и (7.15) следует, что
a(t’z} (x) = а,, (и), a(t’z) (y) = a,, (v), a(t’z)(x + y) = a, (и + v), і = 1,2,..., n.
Поскольку аі (и + v) = aі (и) + аг- (v), то отсюда вытекает, что
a fz}(x + y) = a(t"z}(x) + a(t"z} (y), і = 1,2,..., n,
т.е. функционалы a(t’z) аддитивны. Проверим их
непрерывность в нуле. Рассмотрим произвольную последовательность функций, сходящуюся к нулю.
Подберем для нее последовательность {ик }^=1 с K согласно условию 6. Тогда
Фі, z(xk, ик) =1, ,lim ик = 0.
к
Из последнего равенства и непрерывности функционалов аі следует, что
lim аі (ик) = 0, і = 1,2,..., n.
к
Но тогда из (7.12) следует, что
lim a(t’z)(x, ) = 0, і = 1,2,..., n.
к
Таким образом, функционалы a(t■z) определены на воспроизводящем конусе K (Qt) пространства L (Qt), аддитивны и непрерывны в нуле. Значит, они однозначно продолжаются до линейных функционалов на всем пространстве. По теореме об общем виде линейного функционала
РИ, 2001, № 1
a(f’z}(x) =
= j j JJe1 ep +q )S(’z)(Я, x, p, q)dkdxdpdq,
1 t
0 -ад
Далее, P(x, p, q) — произвольный элемент воспроизводящего конуса Kt (R2) пространства L2t(R2) и поэтому из последнего равенства следует, что
где s(t’z) є L2(Qt).
Пусть функция x(X, х, p, q) имеет вид (7.8). Из (7.9) имеем
Фиг (р«, fut,z)(m=і. (7.18)
Поскольку условия (7.2) и (7.3) эквивалентны, из (7.18) можно заключить, что
a(t,z)(Pu) = a(t,z)(/„(t,z)(PK), і = 1,2,...,n, .(7.19)
Вынося константу /(р z) (p) из аргумента линейных функционалов a(t’z), находим
a
(t, z)
(P«) = /u ’z)(P)a(t’z)(u), і = 1,2,..., n.
(t, z)
Так же, как и при доказательстве теоремы 6.1, можно показать, что на самом деле функция /(и z) (р) не зависит от и, так что
a (t,z)(Pu) = /(t,z )(P)a (t,z)(u), і = 1,2,
, n (7.20)
и равенство (7.10) можно переписать в виде
/(t,z )(Р) =
= J Я Q(t “Т Ъ- р, Ч~ q)P(T, p, q)dxdpdq. (7.21)
—ад
Комбинируя равенство (7.20) с равенствами (7.7), (7.17) и (7.21), получаем
Sf’ z)(X, х, p, q) = -e Tep2+q2gi (X)Q(t -x, p, ц- q).
Подставляя это равенство в (7.17), приходим к (7.4), Достаточность доказана.
Проверим необходимость. Пусть линейно-независимая система функций {g. }n=1 с L2 [0,1] и почти
всюду неотрицательная на [0, да) х R2 функция Q ,
удовлетворяющая условиям (6.60),таковы, что для них равенства (7.2) и (7.3) эквивалентны. Для функций и є K равенство (7.4) дает
1t
Saz)(u) = \gi(X)u(X)dX jjjQ(t-x, p, Ц-q)dxdpdq.
0 -ад
Отсюда и из (6.60) следует, что
S(t, z)(u) = } gt (X)u (X)dX..
0
Видим, что величина S(, z) на самом деле не зависит
от u . Поэтому из эквивалентности равенств (7.2) и (7.3) вытекает эквивалентность равенств (7.5) и
(7.6) , где величины a. (u) определяются формулой
(7.7) . Таким образом, условия A выполняются.
Перейдем к условиям C . Рассмотрим функции x(X, х, p, q) вида (7.8). Для них формула (6.93) принимает вид
J I ЯeTe (p +q )^ z)(A,, х, p, q)P(x, p, q)u(X)dXdzdpdq=
0 -ад
S(t, z )(Pu) = J gt (X)u (X)dXx
t
=Jg.MuM• J J/Q(t-x, p, ц-q)P(x, p, q)u(X)dтdpdq, x \\\Q(t-x, £ -p, Ц- q)P(x, p, q)dxdpdq.
(7.22)
0
т.е.
J( J Я(eVX*«’)(X, t, p, q) _
0 -ад
- g. (^)Q(t -T p, B- q))P(T p, q)dxdpdq)u(X)dX =
Мы использовали здесь теорему Фубини. Поскольку в последнем равенстве u(X) — произвольный элемент положительного конуса к пространства
L2 [0,1] и конус к является воспроизводящим, то из равенства вытекает, что
J JJ*Vp’*>2)(Sf!)(X t. p, q) -
—ад
_ 2 . 2
-e ep qg.(A)Q(l-x,p,ц-q)P(x,p, q)didpdq = 0.
Определим функционалы a. на L2[0,1] формулой
(7.7) и функционалы /(t, z) на L2(Qt) формулой
(7.20). Равенство (7.21) может быть переписано в 0. виде (7.19). Но по условию теоремы равенство (7.19) эквивалентно равенству (7.18) Обратно, пусть
для некоторого u єK , некоторого реK(Qt) и числа C имеет место равенство (7.9). Поскольку равенства (7.2) и (7.3) эквивалентны, это значит, что
a(t,z)(Pu) = c-af,z)(u), і = 1, 2,..., n. Комбинируя это равенство с формулой (7.4), найдем, что c = /(t, z) (Р). Итак, выполнимость условий C проверена.
РИ, 2001, № 1
115
Перейдем к условиям 4-6. Справедливость 4 вытекает из аддитивности функционала (7.4). Проверим
5. Пусть x є K(Qt). Положим
говорить, что две зрительные картины со спектральными плотностями x(X, х, p, q) и y(X, т, p, q) соответственно (t, z) -метамерны, если их воздей-
t
и (к) = J Я Q(t -X, р, ц- q) x(X, х, p, q)dxdpdq.
—ад
Очевидно, функция и(Х) почти всюду неотрицательна. Далее, используя неравенство Коши-Буня-ковского, имеем
J 2 2
\\\e~xep +q Q(t-т, p, ц-q)dxdpdqх
х \\\e Є +q x2(t-T, p, p-q)dxdpdq<
22
jjjexe~1'p +q )x2(t -x, i~-p, p-q)dxdpdq.
(7.23)
Здесь с1 — некая положительная константа, существование которой вытекает из неравенства (6.60). Из последнего неравенства получаем
j и2 (X)dX< cl
о
Ї J ЯeTe
0 -ад
(р +q ')x2(X, х, p, q)dXdxdpdq.
Поэтому из (7.1) следует, что и є 1^\0,1] и
\\и\\< Ci\\x\\, (7.24)
ствие в точке z в момент времени t представляется наблюдателю одинаковым. Записывать этот факт
будем в виде Ф(, z (x, y) = 1. В частном случае, когда
спектральная плотность сравниваемых излучений не меняется в пространстве и во времени, отношение (t, z) — метамерности переходит в классическую метамерность. Математической записью этого факта являются условия A ■ Рассмотрим теперь зрительные картины со спектральным составом вида (7.8), где и(Х) — спектральная плотность постоянного во времени и пространстве излучения, а Р(т, p, q) — интенсивность излучения, меняющаяся во времени и пространстве. Этот частный случай изучался в разделе 6.3 и там объяснен физический смысл условий C ■
Предположение 4 об аддитивности (t, z) -метамерности для различных частных случаев изменения сигнала (только во времени, только в пространстве или постоянные во времени и пространстве сигналы с различными спектральными плотностями излучений) обсуждалось в предыдущих разделах. Нам не известны какие-либо эксперименты, направленные на проверку выполнимости этого предположения в рассматриваемой здесь общей ситуации.
где \ \и\ \-1}\0,1] -норма элемента и; \ \x \ \ - L2 (Qt) -норма элемента x. Легко видеть, что af"z} (x) = a(’z) (и) ■ Следовательно, Ф(, z (x, и) = 1 и условие 5 выполняется.
Пусть {xk }^=1 — сходящаяся к нулю последовательность элементов из K(Qt). Определим для нее последовательность {ик }к=1 с K по формуле (6.13). Тогда Ф(, z (xk, ик) = 1, а из неравенства (7.24) видно, что последовательность {ик сходится к
нулю. Значит, условие 6 выполняется.
Теорема 7.1 доказана.
С прикладной точки зрения этот результат является попыткой описать в рамках единой модели явления иррадиации и инерции зрения, учитывая при этом цветовое восприятие. Предположим, что наблюдателю предъявляется зрительная картина с различными спектральными плотностями лучистой яркости в различных точках пространства, меняющимися произвольным образом во времени. Обозначим
через x(X, х, p, q) спектральную плотность на длине волны X в точке (p, q) в момент времени т .
Пусть t — произвольный момент времени, z = (Е,, ц) — произвольная точка зрительной картины. Будем
116
Предположение 5 является обобщением предположения о существовании эффективной яркости. Его смысл состоит в том, что для любого момента времени t, любой точки пространства z и любой
зрительной картины x(X, х, p, q) существует единственная постоянная во времени и пространстве зрительная картина и (А,), которая (t, z) -метамерна исходной. Наконец, смысл условия 6 примерно такой же, как и в случае аналогичного условия теорем 5.1 и 6.1. Его выполнимость на практике априори представляется обеспеченной.
7.2. Сверточные семейства
Пусть t — произвольное действительное число, L2 — пространство измеримых на (-да, t] действительных функций x(x), для которых существует и конечен интеграл
е
J eT x 2(x)dx, (7.25)
—ад
Kt — положительный конус в этом пространстве.
Рассмотрим семейство предикатов Ф( (x, y) (t — параметр), каждый из которых при соответствующем t определен на Kt х Kt и удовлетворяет условиям рефлексивности, симметричности и тран-
РИ, 2001, № 1
зитивности. Исследуем возможность представления семейства Ф( в виде
t
0t (х, у) = D(x(t) - J B(t - t)x(x)dx,
t
J B(t -t) y(i)dx),
(7.26)
где D — предикат равенства; B(E) — некоторая весовая функция на полуоси [0, да).
Уточним постановку вопроса. В строгой формулировке элементами пространства Ц являются не
квадратично-суммируемые функции, а их классы эквивалентности по отождествлению функций, совпадающих почти всюду. Поэтому для элемента
х є Ц не существует понятия значения x(t) в точке
t. Например, функции х(т) = 1 (т < t) и
х(т)
1, хФ t, 0, т = t,
где x(t) — любое действительное число, совпадают
как элементы Ц . Условимся, чтобы придерживаться аккуратности в формулировках, считать, что в (7.26) x, у є Kt х R . При этом число x(t) может принимать любое значение независимо от поведения функции x(x) при к t.
Будем, как и в разделе 6.1, обозначать при любом x є Ц и любом положительном £, через x^ (х) функцию, определенную на (-да, t + Е,] равенством
~ (т) = x(x-^).
Теорема 7.2. Для того чтобы для семейства предикатов Ф( (x, у) нашлась функция B(<^), удовлетворяющая условиям
ад ад
J e% B 2(%Щ«*>, J B(R)d^<K, (7.27)
о о
и такая, что имеет место равенство (7.26), необходимо и достаточно, чтобы это семейство удовлетворяло следующим условиям:
6) для любых t є (-да, да) и x, x',у,у'є Kt х R1 из равенств Ф( (x, x') = 1 и Ф, (у, у') = 1 следует, что
Ф, (x + у, x '+у ') = 1.; (7.29)
7) величина [fx](t) - x(t) непрерывно зависит от функции x(x) х< t в метрике Ц;
8) для любого t є (-да, да), любых x, у є Kt и любого положительного £, из равенства
Ф, (x, у) = 1 (7.30)
вытекает равенство Фt(x^, у ^) = 1.
Доказательство. Проверим справедливость теоремы в сторону необходимости. Условие 4, очевидно, выполняется. При этом
[ fx](t) = x(t) - JB(t -т)x(x)dx. (7.31)
—ад
Из равенства (7.30) видно, что величина
t
[ fa](t) - x(t) = - JB(t - т)x(x)dx (7.32)
—ад
и, следовательно, не зависит от выбора числа x(t). Таким образом, выполняется условие 5. Посылка условия 6 означает, что
tt
x(t) - JB(t -т)x(x)dx = x'(t) - J B(t -x)x' (x)dx
—ад —ад
и у(t) - \ B(t -x)у(хДх = у' (t) - \ B(t -x)у' (x)dx.
— ад —ад
Из этих равенств следует, что
t
(x(t) + у(t)) - JB(t - x)(x(x) + у(х)Дх =
—ад
= (x(t) + у'(t)) - J B(t -x)(x' (x) + у' (x))dx. ,
—ад
т.е. (7.29). Для проверки условия 7 положим
Л($) = B(Qe%, 0. (7.33)
Тогда из (7.31) следует, что
4) для любого t є (-да, да) и любого x є Kt х R1 существует единственное число [fx](t) такое, что
Ф (x,[fx](t)) = 1 (7.28)
(здесь [fx](t) = (0,[fx](t)єKt XR1);
5) величина [ fx](t) - x(t) не зависит от выбора числа x(t) ;
РИ, 2001, № 1
[ fx](t) - x(t) = -e ‘ JexA(t - x)x(x)dx.
—ад
С другой стороны,
t ад
JeTA2(t - x)dx = el Je^B2 (B,)dE,.
-да 0
Поэтому из (7.27) следует, что A(t -х) є Ц . Таким образом, как это видно из (7.33), величина [fx](t) - x(t) является линейным функционалом от
117
x(x) (т < t) на Ц .Значит, выполняется условие 7. Проверим условие 8. Оно означает, что
t t
x(t) - J B(t -т)x(T)dT = y(t) - J B(t -t)y(x)dx. (7.34)
—ад —ад
Нужно показать, что отсюда вытекает равенство
t+E, t+E,
~ (t+%) - J B(t — х)у (x)dx = у (t+%) - J B(t -x)y (x)dx.
—ад —ад
Учитывая определение функции x^, последнее равенство можно переписать в виде
t+^ t+E,
x(t) - J B(t -x)x(x-^)dx = y(t) - J B(t -x)у(x-^)dx.
— ад —ад
[fx](t) = x(t) - JB(t -x)x(x)dx, (7.37)
—ад
где функция B(^) удовлетворяет условиям (7.37). Проверим справедливость равенства (7.26). Нужно показать, что при любом t для любых x, у є Kt х R1 равенство
0t (x, у) = 1 (7.38)
выполняется тогда и только тогда, когда
[МО = [fy](t). (7.39)
Пусть имеет место (7.38). Вместе с (6.4) это дает
Ф (у, L~x](t)) = 1. (7.40)
Легко видеть, что это равенство, действительно, вытекает из (7.34). Необходимость доказана.
Докажем достаточность. Рассмотрим при фиксированном t функцию [fx](t). Согласно условию 4,
для любых x, у е Kt X R будет
Фі (x, [fx](t)) = 1, Ot (у, [fy](t)) = 1.
Отсюда и из условия 6 следует, что
Фі (x + у,[.fx](t) + [y](t)) = 1. (7.35)
Согласно условию 5
Ф{ (x + у, [f (x + у)](і)) = 1,
причем функция [f (x + у)](і) определяется последним равенством однозначно. Значит,
[f (x + уШ) = [fx](t) + ](t).
Таким образом, [fx](t) является аддитивным функционалом. Значит, и [ fx](t) - x(t) — аддитивный функционал. Согласно условиям 5 и 7 этот функционал при фиксированном t зависит только от
функции x(x) (х < t) и указанная зависимость является непрерывной в метрике Ц. Тогда
[fx](t) - x(t) — линейный функционал на Kt. Он, следовательно, допускает единственное продолжение до линейного функционала на всем пространстве Ц. Поэтому существует такая функция
4 (х) є Ц , что
Согласно условию 4, отсюда следует равенство
[ f~ ](t) = [f ](t), (7.41)
а значит и (7.39). Обратно, пусть имеет место равенство (7.39). В таком случае выполняется и (7.41). Комбинируя (7.41) и (7.28), получаем
Фі (xf ](t)) = 1. (7.42)
Согласно условию 4
Фг (у, [МО) = 1. (7.43)
Требуемое равенство (7.38) вытекает из (7.42) и (7.43).
Теорема 7.2 доказана.
Обсудим теперь физический смысл полученного результата. В качестве примера приложения рассмотрим вопрос об адаптации зрительной системы человека к уровню освещения. Предположим, что наблюдателю предъявляется излучение постоянного относительного спектрального состава с интенсивностью, меняющейся во времени. Обозначим
через x(x) яркость излучения в момент времени X . Рассмотрим случай ступенчатого изменения яркости. Пусть
x(x)
a, т< T,
b, х > T.
Тогда в соответствии с (7.37)
t
а - a J B(t - x)dx, t < T,
[ fx ](t) = <
—ад
T t
b - a J B(t - x)dx - b J B(t - x)dx, t > T,
—ад T
[fx](t) - x(t) = J eT At (x) x(x)dx. (7.36)
—ад
Рассуждая так же, как и при доказательстве теоремы 5.1, можно показать, используя условие 8, что из (7.36) вытекает формула
т.е. [МО
ac - (b
ае, t < T, t-T
а)(1 - JB(u)du), t > T, 0
118
РИ, 2001, № 1
ш усиливается. В результате величина ощущения
где е = 1 -J B(u)du. яркости стремится к величине ощущения постоян-
0 ной яркости b .
В случае а < b графики функций х(т) и[fx\(t) изображены на рис. 1,а и б соответственно.
х(т)
А
b
а
і
-Ь-
0 T
a
т
[ JX](t)
Для случая а > b графики функций х(т) и [fX\(t) изображены на рис. 2,а и б.
Разумеется, приведенные выше выводы из модели справедливы лишь в том случае, если модель обоснована. Для обоснования модели следует экспериментально проверить выполнимость условий 1-8 теоремы 7.2.
Обсудим вопрос о возможности такой проверки на примере для случая субъективного восприятия яркости. Предположение 4 означает, что для любого закона изменения яркости х(т), - да < т < t существует единственное значение яркости [fX\(t) такое, что закон х(т) и закон
j 0, т< t, lLA\(t), т = t
вызывают одинаковое ощущение яркости в момент t. Если это предположение выполняется, то в эксперименте доступны для наблюдения функция х(т) (т < t) и числа x(t) и [fX\(t).
Таким образом, все условия теоремы 7.2 сформулированы в терминах, допускающих экспериментальную проверку.
7.3. Семейства интегральных сумм
х(т)
Будем, как и ранее, обозначать при произвольном
а 1 1 числе t через L2 пространство измеримых на
b 1 1 1 1 1 1 1 [0,1\ х (-да, t\ действительных функций х(Х, т), для которых конечен интеграл
9 і і 1 t JJетх2 (Я, x)dXdx. (7.44) 0 -да
0 T a
[ fa\(t)
Как видно из рис. 1, при скачкообразном увеличении яркости происходит резкое повышение уровня субъективного ощущения яркости, затем зрительная система постепенно адаптируется к новому уровню яркости и через некоторое время величина ощущения практически становится равной величине ощущения bc постоянной яркости b .
При скачкообразном снижении уровня яркости ощущение ее в первый момент резко ослабевает, а затем в результате адаптации чувствительность
Рассмотрим семейство предикатов Ф( (х, у), каждый из которых при соответствующем t определен на Kt х Kt, где Kt — положительный конус в
пространстве Д2 и удовлетворяет условиям I-3. Нас
интересует возможность представления семейства предикатов формулой
0t (х, у) = D((a<° ( х),..., а П} (х)), (af}(y),...,(a,n Ч у))),
где D — предикат равенства на Rn,
a) (х) = J gi (Я)х(Х, t)dX -
0
і t
- J Jgt (X)B(t - т)х(Я, t)dXdx,
0 -w
(7.45)
(7.46)
gt (i = 1,2,.., n) и В — некоторые функции на[0,1\ и [0, да) соответственно.
РИ, 2001, № 1
119
Как и в предыдущем разделе, постановка вопроса нуждается в уточнении, поскольку для элемента
х є Lf ограничение на прямую т = t не определено.
Поэтому будем считать, что в (7.46) х є Kt х L2 [0,1], т.е. под х понимается упорядоченная пара: функция х(Х, т) є Kt и функция от переменной X при
фиксированном t х(Х, t) є L2 [0,1].
Рассмотрим, как и в разделе 6.1, два частных случая. Первый из них заключается в том, что функция
х(Х, т) в действительности не зависит от т . Такие функции в настоящем параграфе обозначаются символами u и v, В рассматриваемом частном случае равенство (7.45) принимает вид
Ф (u, v) = D((ai(u),..., а п (u)),
(a1 (v),..., a n (v))), (7.47)
где 1 ai (u) = e\gi (^)u(^)dA,. 0 (7.48)
Здесь ад e = 1 -J B(%)d^. (7.49)
о
Условия представимости предиката в таком виде установлены в теореме 4.1. Совокупность условий этой теоремы будем именовать условиями А .
Второй частный случай функций из Kt — это функции, представимые в виде
х(Х, т) = Р(т) • u(X), (7.50)
где Р(т) є Kt, u(X) є K — положительный конус
пространства L2 [0,1]. Для таких функций формулы (7.45), (7.46) означают, что для любой функции u є K существует функция Bn (^), удовлетворяющая условиям (7.27) и такая, что при любой функции Р(т) равенство
Ф( (Р- u, c • u) = 1 (7.51)
удовлетворяющая условиям (7.27), такие, что имеют место равенства (7.45), (7.46), необходимо и достаточно, чтобы это семейство удовлетворяло условиям A, B и
4) для любого t є (-да, да) и любого х є Kt х L [0,1]
существует (не единственная) функция u є K такая, что
Ф( (х, u) = 1.; (7.53)
5) для любых t є (-да> да) и любых х, х', y, y'e Kt х L [0,1] из равенств Ф( (х, х') = 1 и Ф( (у, у') = 1 следует, что Ф( (х + у, х'+у') = 1;
6) для любой последовательности {хк }^=1 с Kt х L [0,1], сходящейся к нулю в метрике
Lf хL2[0,1], существует последовательность {uk }Г=і с K, сходящаяся к нулю в метрике L [0,1] и такая, что Ф((хк, uk) = 1, к = 1, 2,...
Доказательство. Проверим необходимость. Пусть для семейства предикатов Ф( (х, у) при некоторых функциях gi (i = 1,2,.., п) и B имеют
место формулы (7.45), (7.46). Для функций u є K равенство (7.46) принимает вид
t 1 1
a(t)(u) = Jgi (X)u(X)dX-\gi (X)u(X)dX x
0 0
‘ 1 (7.54)
x J B(t -z)dz = e J gt (A,)u(A,)dA,.
-W 0
Правая часть этого равенства не зависит от t. Значит, и левая часть не зависит от t. Тогда, как
видно из (7.45), предикат Ф( не зависит от t. Следовательно, на K х K определен предикат ф такой, что при всех u, v є K
Ф(щ v) = D((a1(u),..., an (u)),
(a1(v),..., a n (v))),
выполняется тогда и только тогда, когда число
C = fH}(Р), где
1t
Z„(t)(P) = -(P(t)- JBn(t-T)P(T)dx). (7.52)
e —ад
Условия справедливости формул (7.51), (7.52) установлены в теореме 7.2. Будем именовать их условиями B .
Теорема 7.3. Для того чтобы для семейства предикатов Ф( (х, у) нашлась система линейно-независимых функций {g;. }n=1 с L2 [0,1] и функция B(^),
где величины аг- (u) определены равенством (7.48). Это и означает выполнимость условий A .
Рассмотрим теперь случай функций вида (7.50). Для таких функций равенство (7.46) принимает вид
a(t} (Pu) = P(t)jgt (X)u(X)dX - jgt (X)u(X)dX x
00
t1
x J B(t -x)P(T)dx = Jgi(X)u(X)dXx
0 (7.55)
x (P(t) - jB(t-T)P(T)dx).
—ад
В частности, при Р(т) = с (т < t) имеем
120
РИ, 2001, № 1
a(t \cu) = cef gi (X)u(X)dX.
0
Таким образом, равенство
JB(t - x)x(X, z)dz
t
< ce 2
—ад
[ t
JeTx(Z, z)dz. (7.59)
—ад
Поэтому
a(t }(Pu) = a(t)(cu) (i = 1,2,..., n) (7.56)
выполняется тогда и только тогда, когда с = /u(t)(P),
где величина /^)(р) определена равенством (7.52). Поэтому из формулы (7.45) следует, что при фиксированном u є K для любой функции Р(х) существует единственное число c такое, что Ф( (Pu, cu) = 1, причем c определено равенством (7.52). Это означает выполнимость условий B'.
Проверим выполнимость условий 4-6. Рассмотрим при фиксированном t произвольный элемент x
пространства Kt х Z2[0,1]. Пусть величина a(t)(х) определена равенством (7.46). Положим
1t
u(X) = — (u(X, t) - JB(t -x)x(Z, x)dx). (7.57)
e —ад
Тогда в соответствии с (7.54)
a(t)(u) = Jgi (X)(x(X, t) - JB(t -x)x(X, z)dz).
0 -ад
Сравнивая это равенство с (7.46), получаем
a(t}(x) = a(t)(u) (i = 1,2,..., n). (7.58)
Поэтому из (7.45) следует, что Ф( (x, u) = 1. Нужно
лишь проверить, что функция u(X), определенная равенством (7.57), является интегрируемой с квадратом. Для этого достаточно проверить, что каждая из функций от переменной X
1 t t
J( JB(t - x)x(Z, x)dx)2dX < c2e^ JeTx2 (Z, z)dXdz.
0 —ад —ад
Поскольку интеграл (7.44) конечен, то из последнего равенства вытекает требуемый результат. Итак, условие 4 выполняется. Выполнимость условия 5 очевидна. Проверим условие 6.
Пусть {xk }“=1 с Kt х LL [0,1] - произвольная сходящаяся к нулю последовательность. Определим для каждого xk элемент uk по формуле (7.57). Тогда из (7.59) следует, что
1 -L
II uk 11^ - II xk 0, t)ll +ce 2 II xk II. (7.60)
e
Здесь II uk II — Z2[0,1] — норма элемента uk ;
II xk (., t) II — Z2 [0,1] -норма функции X^ xk (Z, t)
(Ze[0,1]); II xk II — L2 -норма функции xk . Из
(7.60) видно, что последовательность {uk }“=1 сходится к нулю. Из (7.58) имеем
a(t)(xk) = a(t)(uk), i = 1,2,..., n, k = 1,2,....
Следовательно, Ф( (xk, uk) = 1, k = 1,2,.... Необходимость доказана.
Докажем достаточность. Для любого x є Kt х Z2 [0,1] положим
a(t}(x) = a(t)(u), i = 1,2,..., n, (7.61)
t
x(X, t) и J B(t - x)x(X, x)dx
—ад
удовлетворяет этому условию. По условию, при фиксированном t функция x(X, t) є Z2[0,1]. Далее имеем
t
JB(t - x)x(X, x)dx =
= J (e^B(t - x))(e^x(X, x))dx.
—ад
Таким образом,
jB(t - x)x(X, x)dx
< I J(et TB2(t -x))dx- let Je%x(X, x)dx.
Y —ад I —ад
Отсюда и из неравенства (7.27) следует, что РИ, 2001, № 1
где u — произвольный элемент из K , связанный с x условием (7.53), ai — линейный функционал, заданный формулой (7.48). Условие 4 не гарантирует единственности элемента u, удовлетворяющего равенству (7.53). Поэтому следует проверить, что правые части равенств (7.61) не зависят от выбора элемента u . Рассмотрим какой-либо другой элемент v є K такой, что Ф( (x, v) = 1. Из равенств Ф( (x, u) = 1 и Ф( (x, v) = 1 следует, что Ф( (u, v) = 1. Поэтому на основании (7.47) можно заключить, что ai (v) = ai (u), i = 1, 2,..., n. Проверим теперь справедливость формулы (7.45). Пусть для некоторых x, у є Kt х Z2 [0,1] имеет место равенство
Ф( (x, у) = 1. (7.62)
121
Подберем элементы и, v є K, согласованные с элементами х и у соответственно условием 4, т.е.
Ф( (х, u) = 1, Ф( (у, v) = 1. (7.63)
Из равенств (7.62) и (7.63) заключаем, что Ф( (u, v) = 1. В этих условиях формула (7.47) дает
ai (и) = ai (v), i = 1, 2,..., n.. Поэтому в соответствии с определением (7.60)
a(f}(х) = а(/)(у), i = 1,2,..., n. (7.64)
Обратно, пусть для некоторых х, у є Kt х Z2 [0,1] имеет место равенство (7.64). Подберем элементы и, v є K так, чтобы
Ф( (х, и) = 1, Ф( (и, v) = 1. (7.65)
Тогда
a(t}(х) = a(t) (и),
а?ЧУ) = a(t }(v), (i = 1,2,..
Из (7.66) заключаем, что ai (и) = аг (v),
n). (7-66>
i = 1,2,..., n.
Поэтому из (7.47) следует, что Ф( (и, v) = 1. Вместе с (7.65) это дает (7.62). Справедливость формулы
(7.45) доказана. Осталось доказать, что для функционалов af\х) имеет место формула (7.46).
Функционалы а® аддитивны. Действительно, пусть
х, у — произвольные элементы из Kt х Z2 [0,1] . Нужно показать, что
a(t)( х + у) = af ^ (х) + а® (у), (i = 1,2,..., n). (7-67)
Подберем элементы и,v є K так, чтобы выполнялись равенства (7.65) и, следовательно, (7.66). Из (7.65) и условия 5 заключаем, что
Фі (х + у, и + v) = 1.
Но тогда по определению величины a(t)
a(tЧх + у) = a(t \и + v). (7.68)
Функционалы ai аддитивны:
ai (и + v) = a(t\и) + a(t)(v). (7.69)
Комбинируя равенства (7.68), (7.69) и (7.66), получаем (7.67).
Рассмотрим произвольную последовательность элементов хк є Kt х Z2 [0,1], сходящуюся к нулю в норме Z X 1}[0,1]. Пусть {хк }к=1 с K — последовательность, согласующаяся с {хк Zj в смысле условия 6:
kirn ик = 0 ф(хк, ик) = 1. (7.70)
Поскольку ai — линейные функционалы, то
lima(ик) = 0. (7.71)
к ^ад v '
Но из второго равенства (7.70) следует, что
a(t)( хк) = а{.\ик), (i = 1,2,..., n, к = 1,2,...). (7.72)
Из (7.71) и (7.72) получаем, что
Um а(/\хк) = 0, (i = 1,2,..., n).
к ^ад
Значит, функционалы a(t) на Kt х l}[0,1] аддитивны и непрерывны в нуле. Так как Kt — воспроизводящий конус в Z, то Kt х Z2 [0,1] — воспроизводящий конус пространства ~Ц х Z2 [0,1].
Следовательно, функционалы a(t) однозначно продолжаются до линейных функционалов на этом пространстве. Общий вид линейного функционала
на пространстве Z2 [0,1]
и ^ J g (к)и(Х)фк, g є Z2 [0,1],
0
а на пространстве Z
1 t _
и ^ J J eтA(t} (X, х)х(Х, x)dXdx, Л() є Zf.
0 -да
Поэтому функционалы af) запишутся в виде
a(t) (х) = Jgi (X)х(Х, x)dX +
0
1t
+ J JeTA(t^(Х, х)х(Х, x)dXdx.
0 -да
(7.73)
Пусть функция х имеет вид (7.50). Из (7.51) имеем 0t (Ри, /( >(Р)и) = 1.
Комбинируя это равенство с (7.45), получаем
«(°(Ри) = /и(0(Р)а«(и). (7.74)
Так же, как и при доказательстве теоремы 6.1, можно показать, что функция /^) (Р), в действительности, не зависит от и . Поэтому
а«(Ри) = /«(Р)а«(и)., (7.75)
а равенство (7.52) принимает вид
1t
/(t)(P) = -(P(t) - JB(t-T)P(T)dx). (7.76)
Є —ад
Подставляя в (7.74) значения af \$и), /^ЧР) и
а(р(и) в виде (6.162), (6.165) и (6.137) соответственно, получаем после упрощения
122
РИ, 2001, № 1
1 1 t
P(t)Jgt (X)u(X)dX+j jeTA( ](X, x)P(x)u(X)dXdx =
0 0 -w
t1
= (P(t) - \ B(t -x)P( x)dx) -J g} (X)u (X)dX.
-ад 0
или, после упрощения,
1t
J JeTA(t^(X, x)P(x)u(X)dXdx =
0 -ад
= -Jg} (X)u(X)dX- JB(t -x)P(x)dx).
0 -ад
Теорема Фубини позволяет переписать это равенство в виде
1t
Ju(X)( jp(x)(eтA(t) (X, х) + g} (X)B(t - x))dx)dX = 0.
0 -ад
Рассуждая так же, как и при доказательстве теоремы 5.1, из последнего равенства можно заключить, что
e * х)+gi (X) B(t -X) = 0.
Поэтому равенство (7.73) можно переписать в виде
(7.46). Теорема 7.3 доказана.
Поступила в редколлегию 12.05.99
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Левыкин В.М.
Бондаренко Михаил Федорович, д-р техн. наук, профессор, академик АН ВШ, ректор ХТУРЭ. Научные интересы: информатика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 43-30-53.
Шабанов-Кушнаренко Сергей Юрьевич, д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник кафедры ПО ЭВМ ХТУРЭ. Научные интересы: идентификация механизмов интеллекта человека. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-94-46.
УДК 536
К ВОПРОСУ ФОРМИРОВАНИЯ ИЕРАРХИЙ В СИНЕРГЕТИЧЕСКИХ* СИСТЕМАХ
Я возношу молитву, твердо зная, Что не предаст природа никогда Ее так любящего сердца.
Уордстворт [39]
СКЛЯРОВ А.Я.
Рассматривается проблема формирования отношений в синергетических системах, которые принято называть иерархическими, построенными на основе принципа подчинения. Дается анализ основных понятий теории развития и самосовершенствования. Предлагаются базовые принципы создания эволюционной теории иерархических систем.
1. Введение
Одной из важных тенденций в развитии современной науки является то обстоятельство, что объектом ее исследований становятся все более и более сложные системы. Это связано с тем, что, с одной стороны, развитие человеческого общества по технократическому пути требует значительного совершенствования средств обеспечения жизнедеятельности, создание которых неразрывно связано с дальнейшим их усложнением; с другой стороны -логика развития науки для более полного познания
*Синергетика — от греческого “synergeia” — совместное, кооперативное действие; как научный термин введен английским физиологом Шеррингтоном [6].
**Понятие “природа” здесь следует понимать в обобщенном смысле. Оно может включать физические, химические, биологические, психофизиологические, социальные и другие законы и закономерности, определяющие состав, структуру и динамику конкретной исследуемой системы [3].
РИ, 2001, № 1
объективных законов организации природы** требует принимать во внимание те эффекты, которыми раньше пренебрегали, что также связано с весьма существенным усложнением формальных представлений о реальных объектах и явлениях.
Изучение механизма и причин усложнения объектов “живой” и “неживой” природы требует не только совершенствования существующих методов исследования, но и создания новых, более мощных, в основе которых лежат фундаментальные законы, вытекающие из общих законов сохранения и принципа минимального действия, справедливых для всех форм существования материи и являющихся инвариантами в тех предметных областях, к которым относится конкретный объект исследования [1, 2].
Попытка осознания этой ситуации, с одной стороны, и широкие исследования в области оснований теории синергетических систем [2, 3, 6—13, 21] — с другой привели к тому, что к середине семидесятых годов проблема уточнения общего понятия сложности стала “носиться в воздухе”. Ныне нет по существу ни одной области знаний, не использующей понятия сложности, структуры, динамики, иерархии, которые выражают строение, внутреннюю форму организации и динамическое поведение системы в границах допустимых степеней свободы.
Сознавая, однако, невозможность сколь-нибудь полного охвата относящейся к понятию сложности проблематики, мы решили ограничиться лишь некоторыми, наиболее важными аспектами, разъясняющими это понятие и обладающими многими достоинствами как принципиального, так и методического плана.
123
