Теория тонких оболочек, основанная На асимптотическом анализе трехмерных уравнений теории упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Теория тонких оболочек, основанная на асимптотическом анализе трехмерных уравнений

теории упругости

© Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, И.С. Шалыгин МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Представлены базовые соотношения новой теории тонких многослойных анизотропных оболочек, построенной на основании общих уравнений трехмерной теории упругости путем введения асимптотических разложений по малому параметру без каких-либо гипотез относительно характера распределения перемещений и напряжений по толщине. Показано, что глобальная (осредненная по определенным правилам) задача асимптотической теории оболочек близка к теории оболочек Кирхгофа — Лява, но отличается от нее определяющими соотношениями, содержащими производные второго порядка от мембранных перемещений. Решены так называемые локальные задачи теории оболочек, с помощью которых получены явные выражения для шести компонент тензора напряжений, включая поперечные нормальные напряжения и напряжения межслойного сдвига в оболочке.

Ключевые слова: многослойные тонкие оболочки, метод асимптотического осреднения, асимптотическая теория оболочек.

Введение. Проблема построения уточненных теорий пластин и оболочек, позволяющих получить как можно более точное решение для напряжений, деформаций и перемещений, приближающееся к точному трехмерному решению задачи теории упругости, но при сохранении двумерности основных разрешающих дифференциальных уравнений, продолжает оставаться весьма актуальной, несмотря на значительное число работ в этой области [1-9]. В работах [2-5] предложены теории тонких пластин и оболочек, в том числе с двумерной микроструктурой (гофрированными, сотовыми и сетчатыми конструкциями), на основе метода асимптотического осреднения (метода гомогенизации), хорошо зарекомендовавшего себя при осреднении композитов с трехмерной периодической структурой [12-18]. В [2-5] вводится допущение о линейном характере перемещений по толщине.

В [19-23] разработан метод асимптотического осреднения тонких многослойных пластин без допущения гипотезы о линейности распределения перемещений, позволяющий получить явное выражение для шести компонент тензора напряжений в тонких пластинах. В [24] проведено сравнение численных решений, получаемых с помощью разработанной асимптотической теории многослойных тонких пластин и с помощью непосредственного численного решения задачи трехмерной теории упругости на основе конечно-элементного мето-

да, реализованного в программном комплексе АКБУБ. Результаты показали высокую точность разработанного метода асимптотического осреднения, для достижения которой приходится применять очень мелкие конечно-элементные сетки при использовании конечно-элементного решения трехмерной задачи теории упругости.

Целью настоящей работы является применение метода асимптотического осреднения для тонких упругих оболочек.

Уравнения трехмерной теории упругости в криволинейных координатах. В трехмерном пространстве Я с декартовыми координатами х1 рассмотрим поверхность Е0, заданную с помощью ортогональных координат qk (х1) в виде д3(х1) = 0, где х1 еЕх0 е Я2 — область

изменения значений декартовых координат; Е хо — декартов

образ поверхности.

Рассмотрим оболочку — тело, которому соответствует область V е Я3, ограниченная внешней Е+ и внутренней Е- поверхностями, уравнения которых имеют вид qз = - И/2, qз = И/2, а также торцевой поверхностью Ет, уравнение которой в криволинейных ортогональных координатах qk выглядит так: Гq2) = 0. Соотношения qi = qi (х) между криволинейными qi и декартовыми х координатами будем полагать гладкими функциями. Параметр И — толщина оболочки, поверхность qз = 0 — срединная поверхность оболочки Е0, пересекающая торцевую поверхность по контуру д^. Будем полагать, что координатные линии q1 и q2 ориентированы по линиям главных кривизн срединной поверхности оболочки, а линия qз — по

нормали к этой поверхности. Все криволинейные координаты полагаем размерными величинами — длинами дуг по соответствующим координатным направлениям.

В криволинейных координатах qi уравнения равновесия тела (оболочки) имеют следующий вид [25]:

"^-(ЯрНу°аа) + «НУ^р) + аЯРа«У ) "

дНр дНу дНа дНа

" аррНУ ^--аУУНр ^-+ °арНу^Га + °ауНр ^Т^ - НрНу/а = 0 (1)

дЧа д2а д2р дЧу

а, р, у = 1,2,3; а^р^у.

(

Здесь Иа =

^ ( дхр^

2 Л

1/2

2

ЧР=1 Ч^^аУ у

— параметры Ламе оболочки; аар —

компоненты тензора напряжений в ортогональных координатах qi; /а — компоненты вектора плотности массовых сил. Запишем первые два уравнения системы (1) отдельно от третьего:

а

д а

Я ИрИ3ааа) + ^(ИаИ3аар)+^(ИаИрааЗ V ^а ^р ^3

а

- а И

дИр

- - а 33Ир

рр^3 я ^>3311 р -

дqа д9,

дИ3 И дИа

-3 +аарИ3

а ^р

дИ

аа3Ир—^ - ИрИ3/а = 0, (2)

дqз

а, р = 1, 2; а^р;

д д д — ((1И2а33) + — (И2 И3013) + — ((1И3а23)-

дq3 дq1 дq2

-апИ2 ^-а^И ^ + °13 И 2 ^ + ^ ~ИХИ2!Ъ =0. (3) дq3 дq3 дq1 дq2

Соотношения Коши, связывающие деформации Рар композита

с перемещениями иа, в этой криволинейной системе координат qi имеют вид [25]:

1 диа

1 дИа

р =

аа

ир+-

1 дИ а

Иа дqа И1И2 ^р ИаИ3 дq3

-и3;

2р12 =

И1 д

И 2 ^2

р33 =

1 ди3

^ и1 ^

V И1 У 1 дИ 3

И2 д

^ . Л

И1

и1 +-

V И 2 У

1 дИ3

И3 дq3 И3 И1 дq1 И3 И2 дq2

"и2;

И„ д

2р = "а 28 а3 -

( \ и

И 3 ^3

И

V а у

И 3 д

^ Л

И а ^а

V И 3 У

(4)

где Раа — компоненты тензора малых деформаций; иа — компоненты вектора перемещений в криволинейных координатах qi.

Оболочку будем считать многослойной, все слои которой ортогональны к направлению qз, являются линейно-упругими и орто-тропными, главные оси криволинейной ортотропии совпадают с ко-

ординатными линиями qi. Тогда определяющие соотношения оболочки, связывающие деформации вар и напряжения <зар, имеют следующий вид в криволинейной системе координат qi:

< и = СиКЬг КЬ + С1Л 38 k 3;

< 3 = Ci3 КЬ гКЬ + Ci 3k 3sk 3,

(5)

где СуЫ — модули упругости слоев оболочки.

На внешней и внутренней поверхностях оболочки полагаем, что задано давление р±, на торцевой поверхности Ет — перемещение

Щег :

Е т : ui = uei,

а на границе Е^ раздела слоев оболочки заданы условия идеального контакта слоев оболочки:

Е3±: ^3 = -р±53; Ет: щ = Щ*; : М =0; [Щ] =0 (6)

(\_и1 ] — скачок функций), которые могут отсутствовать, например, в

случае однослойной оболочки.

Основные допущения асимптотической теории. Рассмотрим очень тонкую оболочку, для которой выполняется соотношение

ж = И /Ь <<1,

где ж — малый параметр; Ь — диаметр срединной поверхности Е0. Введем глобальные безразмерные криволинейные координаты и локальную координату Е, :

Чк = qk/Ь; £ = Ъ/ ж

Далее все функции будем рассматривать зависящими от безразмерных координат и1 (да, £), а = 1, 2, и полагать обезразмеренными. Используем при этом следующее правило дифференцирования от безразмерных координат:

д _ д _ 1 д _

(qа, О = -==-Щ (qа, О + ~5Щ (Яа, ^ (7)

дqj дqj ж дс,

Примем несколько допущений:

1) рассмотрим случай, когда давление на внешних поверхностях оболочки мало:

3

р± = —зе р±,

где р± — конечная величина давления, р± = О (1);

2) примем, что тонкая оболочка не содержит резких изломов геометрической формы, т. е. следующие производные от параметров Ламе имеют порядок более высокий, чем 0(1), по отношению к параметру з:

^ = зЯаз; Н аз = 0(1); Н = 0(1); Н3 = 1. (8)

Как правило, для тонких оболочек принимают следующие стандартные допущения [18, 25]:

Н3 = 1; На = Аа 0 + каq3 ) ~ Аа, каq3 = << 1

где А ^2) — коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности = 0); ка = каЬ — ее безразмерные главные кривизны, и значит,

= 0. Н = зАк • Н = Ак • Н = а = 12

Тогда из формулы (8) следует, что АЬ/= 0 (1), где Яа = 1/ка —

радиусы главных кривизн. Сделанное допущение 2 означает, что оболочки не должны иметь малых радиусов кривизн, при которых возникает соотношение Аа Ь / Яа = 1/з, т. е. радиусы кривизн должны

быть много больше толщины оболочки: И/Яа ^ 1. Тогда формулы (4) с учетом (8) можно записать так:

= 1 1 Н 1 На/3

8аа = и иа, а + и и Н а, рир + и и3; Н а Н1Н 2 3 Н а

812 = о Н Н (и1,2Н1 — и1 Н1,2 + и2,1Н2 — и2Н2,1); 2Н1Н 2

= 1

833 = и3/3; 3

2 = 1 и3, а — 1 На/3

28а3 = иа/3 + ^ иа.

3 Н а 3 Н а

(9)

Асимптотические разложения для многослойной оболочки.

Компоненты тензора модулей упругости Сар полагают зависящи-

ми от координаты £ , так как этот тензор различен для разных слоев оболочки. Задача (2)-(6) содержит локальную координату £ , а также малый параметр ж в граничных условиях (это коэффициент при давлении), поэтому ее решение будем искать в виде асимптотических разложений по параметру ж :

щ = иГ (х, ) + 2 жпи<п) = 4°) (х, ) + жп{Р (х,, £) +

п=1

+ ж242>(х,, £) + ж343Чх,, £) +...

(10)

Здесь и далее индексы, обозначенные прописными буквами ,, /, К, Ь, М, а также индексы а, Р принимают значения 1, 2, причем а ^ Р, а индексы /, у, к, I — значения 1, 2, 3.

Подставим разложения (10) в соотношения Коши (9), используя правила дифференцирования функций локальных координат (7), и получим асимптотические разложения для деформаций:

в,- =2 ж ^ =40> + жв(1 + ж 2в(2 +...;

В(п) =

аа

Н

В(п) = 12 "

2Н1Н2

п=0

-и (п) +

а, а +

,(п),

(п).

Н1Н2

,(п)

На, рир

Н

(и\">И1 -<"Ни + ^^ -И2,1)

-и(п) И •

и3 Н а3;

,( п)!

В(п) = и (п+1); ь33 " м3/3 ;

,(п) = и (п+1) а3 а/3

(п)

3, а

Н

а3 Л п)

На На

и

(11)

(12)

Подставляя (11) в систему (5), получаем асимптотические разложения для напряжений:

= 2ж^ =о(0) + жа(1) + ж +...;

(13)

п=0

,_(п) = С В( п) + С В( п)-аУ " С1ЖЬЬК1 + С1Л3Ьк3 ;

п) = с В(п) + С В

г3 " С13КЬ КЬ С13к3Ьк3

,(п)

(п)

(14)

Формулировка локальных задач. Подставляя разложения (10) и (13) в уравнения равновесия и граничные условия системы (2), (3), получаем

- ((Н2°а3/3 ) + з у '

) а+((а^аоР}) в+Н а, раар - н р, ааро+

(1) рр

+ ((аНрз + 2НрНаз) а<°> + НН2аа1з)/з - нр/а ) +3 ((а« ) + (Яа^^р ), р + На, ра$ - Нр, аа + ((а Нрз + 2Н р Н аз) ааз + НН 2аа2з)/з) + +з2 (((ра£> ) + ((ааО? ), р + На, раа2р) - Нр, аа + ((а Нрз + 2Н р Н аз) а<§ + НН 2 аазз)/з) + • • • = 0

(2) рр

а, р = 1, 2;

^з± • ° 1 з

за

(1) ¿з

з 2а(з2) +... = -3 р±81з;

ЕТ • и1 = и

- „(°)

зи

(1)

з 2и(2) + з Зи,(з) +... = ие

Н а(°)

-®п Н2Н,з -а<°2>ННз

1 ( Н

з у

(а(з) Н 2),. + (а20з)Н.) +аз°з) ((Н2 + Н.2Н.з) + Н.Н2аз?/з - НН2/) (а(з) Н 2). +(а2й Н.)

+

-а..Н2Н1з -а22Н.Н

+аз1з) (Н.зН 2 + Н.2 Н.з) + НН2аз2/з) ■

22 1 2з

-... = 0.

(15)

(16)

Приравняв в уравнениях равновесия члены при з к нулю, а при остальных степенях от з к некоторым величинам Кг(0), Кг(1), К(2), не зависящим от ^, получим рекуррентную последовательность локальных задач:

¿з/з ~ °;

(Нра0а1)), а + (Нааар ), р + На, ра0р ^ Нр, аарр

+ (Н а Нрз + 2НрНаз)ааиз-1) + Н^а^ = К а, р = 1, 2;

Г(и-1Ь

,(п-1)

(п-1)

(и) = К( и-1)

а

(17)

(Н2а(И-1)),1 + (Н^ГЬ -Н2НпаГГ' -Н1Ниа +(Н1з Н2 + Н12 Н1з)азпз-1) + Н1Н2азпз/з = К

.(п-1)

(и-1)

Ди-1) 22

Лп) _ с в(п) + С в(п)• ¿3 " Ч3КХЬКХ + 3к3Ьк3 ;

вСС _ 0ссиСмС + На,Р°1°2ирП) + На30сси3

2в(п) _ 02«^ + ^1^2п1 -0102(^1,2«}п) + Н2,1^2п));

в(п) _ и(п+}); (17)

ь33 _м3/3 • (17)

2Р(п) _ и(п+1) - Н О и (п) + О и (п);

2Ьс3 " «с/3 Н с30сис 0аи3,а ;

: л(0) _ о, а(3) _ 0, а(3) _ 0, о(|) _-^±5й;

:[Л(3п)]_ 0, [иг(п+1)] _ 0; <и(п+1) >_ 0, где обозначено 0с _ 1/Нс и введена операция осреднения по тол-

0,5

щине оболочки < «(п) > _ | «(п)d

-0,5

Уравнения равновесия (15), (16) после введения функций Лг(0), Лг(1), Лг(2) принимают вид

да

2 эпАп) + эе^1 + э2^(2) +... _ 0.

п_0

Решением локальной задачи нулевого приближения (17) при п = 0 являются функции ивк0\ о^0"* (напряжения о(п) _ 0, п < 0), которые зависят от локальных координат £ и входных данных этой задачи — перемещений «(0)( XJ). Решением задачи (17) при п = 1 для первого

приближения являются функции и(2), вк/\ о^, а и^, вк0\ л(/0) в этой задаче — входные данные. В задаче (17) для второго приближения при п = 2 функции и<3>, в^\ а(2) — неизвестные, а «(2), в к/*, о((1) —

входные данные и т. д.

Решение задачи нулевого приближения. Ввиду того что задачи (17) являются одномерными по локальной переменной £, их решение можно найти аналитически. Решение уравнений равновесия с граничными условиями в локальной задаче нулевого приближения имеет вид

о(30) _ 0, : -0,5 <£< 0,5. (18)

Подставляя в (18) определяющее соотношение (четвертая группа уравнений из (17)) для ог(0), получаем

С в(0) + с в(0) _ 0 Ч3КЬЬК1+С13к3Ьк3 " 0.

Выразим из этой системы уравнений деформации б—^:

-к 3

,(0) = с—1 с в(0)

в к 3 = Ск 313С13К1в КЬ, (19)

где С—3Й — матрица компонент, обратная к С13к 3. Подставляя в (19)

в(0) вк 3

выражения для деформаций в—(3) из (12), получаем

иС1) = —2С—1 с р(0) +Н 0и(0) — 0и(0) а = 1 2

а/3 _ 2Ьа3г3Ь13КЬьКЬ+п а3^ама иаи3, а' а"1, 2;

и (1) = — С—1 С в(0) (20)

м3/3 _ 3313 13КЬЬКЬ. (20)

После интегрирования уравнений (20) с учетом условий < и(1) > = 0

находим перемещения иг(1):

и(1) = — < 0 > и(0) ,< Н 0 > и(0) — 2в(0) < с—1 с > ;

иа - <0а>£ и3, а + < Н а30а>£ иа 28КЬ < СаЗВс13КЬ >£;

и(1) =— в(0) <с—1 с > (21) и3 - КЬ с33г3сг3КЬ >£. (21)

Здесь учтено, что деформации вКЬ(), согласно (12), не зависят от координаты £ . Также здесь введено обозначение для следующей операции:

£ £

< С1313С13КЬ >£= { С1 ^¡3Сг3КЬ^£— < { С1 ^¡3Сг3КЬ^£ >. (22)

—0,5 —0,5

Подставляя выражение (19) в первую группу соотношений (14), находим, что напр ются ненулевыми:

находим, что напряжения в отличие от напряжений о(3') явля

(0) = с(0) в(0); (23) и ~с1ЖЬьКЬ; (23)

а

с(0) = с — с с—1 с

сиКЬ-с1ЖЬ с1Л3ск313с13КЬ.

Решение задач первого, второго и третьего приближений. Решение уравнений равновесия в системе (15), (16) вместе с граничными условиями на поверхности 25 и значением координаты £ = —0,5 имеет вид

£

а(1) = а3 "

0А(— | ((Нрай,а+ (НаО^)),р + На,ра$ ■

—0,5

Нр, аа)0) + (Н а Нр3 + 2 Н р Н а3)аа03)М £ + /¿0)(£ + 0,5)); (24)

%

°а3 = 0102(- | ((Яра<&), а + (Яао<55), Р+ яа, ра^ -

-0,5

- Яр, аоРР + (ЯаЯрз + 2ЯрЯаз)о23)^% + /£>(% + 0,5)); (25)

%

аа33 = 0А(- | ((Яроа2)), а+ ^ар), р+ Яа, раа2р} --0,5

- Яр, ааррр + (ЯаЯрз + 2ЯрЯаз)оа2М; (26)

%

а33з} = 0А(- | ((Я2а(2)), 1 + (Я1о22з}),2 -Я2Я1зо(2) -Я1Я2за222) +

-0,5

+ (Я13Я2 + Я12 Я1з)а(2з))^% + ^2)(% + 0,5)) - р-. Условия существования решения (24)-(26) задач (15), (16), удовлетворяющих граничным условиям а£3 = 0, а(2 = 0, а(3 = -р+ на внешней поверхности % = 0,5, приводят к следующей системе уравнений для вычисления функций ^Р,

^а0) =< ((Ярааа), а + (Яаа$), р + Яа, раЩ - Яр, аа(0)) +

+ (Яа Яр3 + 2 Я р Я а3 )аа0з) >; (27)

^ =< ((Ярааа),а + (Яааар), р + Яа, раар -Я^аЦ +

+ (Я а Ярз + 2Яр я аз)а23) >; (28)

^ =< ((Яра<2), а + (Яааа2р}), р + Яа, раа2р} - Яр, аа^ +

+ (Я а Ярз + 2Я р Я аз)аа2з}) >; (29)

¿32) =< (Я2а(2)),1 + (Я^Ь -Я2Я1за(2) -Я1Я2за222) + + (Я13Я2 + Я12Я1з)а32з} > - Ар, Ар = р+ - р-.

С учетом формул (27)-(29) выражения для напряжений а(™) (24)-(26) принимают вид

а^з =-0102 < ((Ярааа), а + (Яааа0р}), р+ Яа, раа0р} - Я, аа^) +

+(ЯаЯрз + 2Яряаз)аа0з} >%; (30)

аа2з = -О1О2 < ((Ярааа), а + (Яаа$), р + Яа, ра$ -

-Яр, аа(р1|р + (ЯаЯрз + 2ЯрЯаз)аа3) >%; (31)

°а3 = -ОРг < (ЯроСС!), а + (Наод}), р + Я роСр -

-Яр, аО^ + (НаНрз + 2НрНаз)аа3)) >4; а3з) = -О1О2 < (Нго(3)),! + (Н1о21з)),2 -НгН1зо(11) -

-Н1Нгзо212) + Н1з(Нг + Н^о^ >4; оззз) = -О1О2 < (НгО(2)), 1 + (Н1о22з)), г - НгН^? --Н1Нгзо222) + Н1з(Нг + Н^^ >4 -(р- + О1О2Ар(4 + 0,5)). В формулах (з0), (з1) а = 1, 2, з. Если подставить выражения (2з) в (з0), для сдвиговых напряжений о^^ получим следующую формулу:

4

°аз=-о1ог | (< (сссКХ( нРб КЬ), а+ССС(^^КЬХР+

-0,5

+ (На, рса0рк - Нр, аСрркх )бКЬ) > - (ССаКь (НрБКЬ), а +

^ (НаБКЬ), р + (На, рССрКх - Нр, аСррКь )бКЬ 4 С = 1, 2, или, раскрывая скобки в подынтегральном выражении:

4

оаз=-

О1О2 ( | (< (HPCа(03KLSK3, а + НаСаК1г('КК1, р + -0,5

^(0) чч (0)ч >

+

+ (2На, рСаОрК^ + Нр, а (ССоКъ СррКх ))бКЬ) : - (НрССсКьБКЬ, а + НаССрКьБКЬ, р + (2На, Рсск

+ Нр, а (са0К - срррКь ))б(0 Ж4, а = 1,2. (зг)

Используя обозначение (22), формулу (з2) можно переписать так:

о

Ссз) = О1О2 (бКЬ < (2На, рССрКь + Нр, а (ССаКЬ С№К1)) >4 +

+ Р(0) < + ЬКЬ, а <

., р арКЬ ^р, а\ ссКЬ ^ррр

: НрССССКь >4 +БКЬ, р < НаССрКх >4), а = 1 2. (зз)

Из формулы (з0) при с = з следует, что нормальное напряжение о(^1з)

тождественно равно нулю:

Озз

(0) =

озз - 0 (з4)

в силу того, что О(з; = 0.

Выразив дефор] (зз) и (з4) получим

Выразив деформации б^ из соотношений (14), с учетом формул

ВкЗ = -Сг3к 3С13КЬ ВКЬ + Сг3к 3аг(3) = 2

= - С13к3Сг3КЬВК1 - 2 Са 3к30102 (вКЬ < (2На, рСХрКъ +

а=1

+ НР, а (СХХххКЬ - СРрКь )) >£ +

+ ВКЬ, а < НРСа0а^ >£ +ВКЬ, Р < НаСХрКь >£ ). (35)

Если подставить формулу (35) в первую группу соотношений (14), то найдем оставшиеся напряжения первого приближения:

= С1/КьВКЬ - с,/к3С13к3С13КЬВКЬ - 2 СУк3Са3к30102 (вКЬЬ <

а=1

< (2На, РСа0рКЬ + НР, а (Са0аКЬ - СррКь )) >£ +

+ В

(0)

КЬ, а

< НСОК >£ +вКЬ, Р < НаС^КЬ >£). (36)

Деформации вКЬ с учетом формул (12) и (21) можно представить в виде

в(1) = 0 (- < 0 > и(0) - < 0 > и(0) + ьаа " 0а ( < 0а, а ^ и3, а <иа>г£ и3, аа +

+(< На3 >£ 0а ), а ^ +< На3 >£ 0а^а - 2вКЬ, а < СаЗг3С13КЬ >£ ) +

+На, рОО (- < 0р >£ и30Р + < НР30Р >£ иР0) - 2вКЬ < С"3 3С;3^ >£ ) +

+На30а (-ВКЬ < С33г3Сг3КЬ >£ ); 2в{12) = ОзО2(НЗ(-(< 0,2 >£ и^0З +< ОЗ >£ и^0З2) + (< Н13О1 >£),2и( + + <Н13О1 >£ и!,0]- 2в(КЬ,2 <С-3ГВСВК1 >£) +

+Н2(- < 02,1 >£ и302- < 02 >£ и3(02>1 + (< Н23020) >£),1 и20) +

+ < Н23020) >£ и201 - 2вКЬ, 1 < С2 3Г3С13КЬ >£ ) --Нз,2(-<Ог >£ и30Г +<Н13О1 >£ и|0) -2вКЬ <С^С^ >£ -Н2,1(- <02 >£ и30^ +<Н23О2 >£ и20)-2вКЬ <С-Г3С3КЬ >£)). Тогда напряжения (36) принимают вид:

= С,/аа (0а (- < 0а,а >£ U30(X- < 0а >£ и3°Ха + (< На3 >£ 0а ),аиа0) +

+ < Н(3 >£ 0аи(0а - 2вК),а < С^С^ >£) + На,р0г02(- < 0р >£ и^0" +

+ < НР30Р >£ ир0) - 2вКЬ < Ср 3Г3Сг3КЬ >£ ) +

+ На30а (—К < с^КЬ >£ )) + | с^А^—(< 01,2 >£ «3У +

+ <01 >£ и301)2) + +(<НВ01 >£ ), 2 и}0) + <Н^ >£ и1(02 —

2в(К0),2 < с1 313с13КЬ >£ ) + Н2(— < 02,1 >£ и3°2 — < 02 >£ и3°21 +

+(< Н23020) >£),1и20) +< Н23020) >£ и20)) — 2вКЬ,1 < с—г3^3КЬ >£)-—Н1,2(— <01 >£ и301 +<Н130 >£ и{0)— 2еК? <с—^^ >£ —Н2,1(— <02 >£ и302 +<Н2302 >£ и20)—2вКЬ <с2—31г3с^3КЬ >£) +

—О/к3сг 3к30102(вКЬ < (2На, рС'аОР'КЬ + Н), а (сСхоКЬ — СррКХ )) >£ +

+ВКЬ, а < НРс<хо;!Кь >£ +ВКЬ, ) < НасОфКЬ >£). (37)

Осредненные уравнения равновесия многослойных оболочек.

Осредним асимптотические разложения (16) уравнений равновесия

и учтем граничные условия 23± : а(3) = 0, а(3) = 0, а^ = 0, а(3) = — р±5г3, тогда получим

< ((НроОО), а + (НоОО)), р + На, ра00р) — Нр, аО)) + +(НаНр3 + 2НрНа3)а003)) > + 3 < ((НраО1^),а +

+(Наасф ), р + На, раОр — Нр, аарр + +(НаНр3 + 2НрНа3)аС13) > + 32(< ((НрааСС), а +

+(НааС2р)), р + На, раС2р) — Нр, аар2р) +

(Н а Нр3 + 2 Н р Н а3)аС2)) > — Н1Н2Лрба3) + ... = 0;

< (Н2О(3)),1 + (Н1а203)),2 — ^Н^аЦ — Н1Н23а202 +

+(Н13Н2 + Н12Н13)а303) > +3 < (Н2О((3)),1 + (Н^Ь —

—Н2Н13О1У — НН23а22 + (Н13Н2 + Н12Н13)о313) > + +32(< (Н2 О((2)),1 + (Н^Ь — Н2 Н13а(2) — Н1Н 23а222 + +(Н13Н2 + Н12Н13)а323) > —Н1Н2Лр) +... = 0.

Домножив уравнения равновесия системы (15) на £3 и проинтегрировав их по толщине, получим следующее вспомогательное уравнение:

ж(< £((НроХх!), а + (На^Х0"), р + Нх^Х0" - Нр, (О^ +

+(Н а Н"3 + 2Н р Н х3)аХ°3)) > - < Н^оХГ >) +

+ж2(<£((НраХ1^),х + (НхаХР),р + Н(,роХ" -Нр,ао"1" + +(НаН"3 + 2НрНа3)оХ13) > - < Нг^оХ2) >) + ... = 0,

где учтено, что < £Н1Н2о(Х3)/3 > = - < Н1Н2о(Х3) >.

Введем обозначения для усилий Ти, моментов Ыи и перерезывающих сил QI в оболочке:

Т/ =<о/ >+ж <о/ >+...; М// = ж < £о(0) > +ж2 < £о/ >+...; (38)

QI = ж < о,13) > +ж2 < о,2) > + ....

В силу (18) < о(3) > = 0, поэтому эти слагаемые в (38) далее можно не учитывать. Тогда, группируя соответствующие члены с разными степенями от ж, стоящие при Нр, Нх р и др., и учитывая, что эти

параметры Ламе не зависят от координаты £ , получаем

(НрТхх), х + (Н(Тар), р + НX, рТа" - НР, ХТРР = 0; (НРМХХ), х + (НхМхР), " + Нх, рМх" -НР, хМ"" -H1H2Qa = 0; (39)

(), 1 + (Н^ ), 2 - Н2Н13Т11 - Н1Н23Т22 - Н1Н2Ар = 0.

Это и есть искомые осредненные уравнения равновесия многослойной оболочки, где обозначено Ар = ж2Ар . Формально эти уравнения в точности совпадают с классическими осредненными уравнениями теории оболочек Кирхгофа — Лява [25].

Осредненные определяющие соотношения теории оболочек. Подставляя выражения (23), (33) для напряжений о^, о/ в формулы (38), получаем

ТП =< СШЬ > ВКЬ + ж< ^ПХа (0х (- < 0х,х >£ и30(Х - < 0х >£ и30ах +

+(< На3 >£ 0а),аиХ0) + < На3 >£ ^^ХХх - 2вКЬ,а < СаГ3С13КЬ >£) +

+Нх,р0А(- < 0р >£ и30р) + < Н"30р >£ и"0) -

-2вКЬ < Ср 3Г3Сг3КЬ >£ ) + На30а (-ВКЬ < С3 313С13КЬ >£ )) +

+ 2с|/°1)20102(Н1(—(< 01,2 >£ + < 01 >£ и301)2) +

+(< Н1301 >£), 2и(0) + < Н1301 >£ ^ — 2вКЬ,2 < сГ313^3КЬ >£) +

+Н2(— < 02,1 >£ и302— < 02 >£ и3021 + (< Н23020) >£),) + + <Н23020) >£ и2°1 — 2вКЬ, 1 <с2313^3КЬ >£ ) —

—Н1,2(— < 01 >£ u3°l) + < Н1301 >£ и^ — 2вКЬ < с—1^3КЬ >£)

—Н2,1(— <02 >£ и302 +<Н2302 >£ и20)— 2б(КЬ <с-^с^кЬ >£) + 2

X сик3са Зк30102(вКЬ < (2На, рс<0рКЬ + Нр, а (с<СаКь — СррКь )) >£ +

+ВКЬ, а < Нрс<СоКь >£ +ВКЬ, р < Нас<СрКь >£ )) >; (40)

Ми = 3 < £с1К >вКЬ + 32 < (с^а (0а (— < 0<,а >£ «30* —

— < 0а >£ и30<Оа + (< На3 >£ 0а),аиС0) + < На3 >£ 0аиа,С —

—2вКЬ,а < с<—^КЬ >£) + Н<,р0102(— < 0р >£ и30р) +

+ < Нр30р >£ ир0) — 2вКЬ < ср 3^3сг3КЬ >£ ) +

а=1

+На30< (—вКЬ < с—^КЬ >£ )) + 2 с^АЖ— —(< 01,2 >£ и301) + < 01 >£ и301)2 ) + (< Н130 >£ ),2и1(0) + + < Н1301 >£ иЦ2 — 2вКЬ,2 < с1—313сг3кь >£ ) +

+Н2(— < 02,1 >£ и302)— < 02 >£ и302)1 + (< Н2302^>) >£)ди20) + + <Н О(0) > и(0) — 2в(0) < с—1 с > ) —

+ <П2302 >£ и2,1 28КЬ,1 < с23г3сг3КЬ £)

—Н1,2(— < 01 >£ и301) + < Н1301 >£ и}0) — 2вКЬ < с—13^3КЬ >£) -—Н2,1(— < 02 >£ и302) + < Н2302 >£ и20) — 2вКЬ < с-^с3КЬ >£) +

—сик3сг3к30102 (вКЬ < (2На,рса0рКь + Нр,а ^СаКЬ — сррКь )) >£ +

+в

(0) КЬ,а

а < НрсаСКь >£ +вКЬ,р < Нас<0рКь >£)) >; (41)

01 = 3( 0102 (вКЬ) < (2На, рс0р)КЬ + Нр, а (с<0аКЬ СррКь )) >£ +

+в

, а < Нрс<СаКЬ >£ +в(КЬ, р < НасСрКЬ >£ )) + 3 < 0(2 > .

Осредненная система уравнений для многослойных оболочек.

Подставляя выражения (40), (41) и следующие кинематические соотношения из (12):

в(0) 1 =-и,

аа Н X

(0) = 1

12 2Н1Н 2

Х0Х + тт и На, Рир0) + тг и30)На3; НН 2 Н х

1 2 а (42)

(и^Нг -и{0)Нг,2 + и20))Н2 -и^0)Н2,г)

в систему (39), получаем итоговую систему уравнений теории оболочек относительно трех неизвестных функций и,0) и и30).

Напряжения межслойного сдвига и поперечные напряжения в оболочке. После того как решена осредненная система уравнений (39) и найдены функции и,0), и30), вычисляем деформации (42), а затем напряжения о/ (23). Сдвиговые напряжения о^0 и поперечное

напряжение о3(03) , как было установлено, в оболочке тождественно равны нулю. Ненулевые значения сдвиговых напряжений появляются, согласно (33), у следующего члена асимптотического разложения — о(,13) . Поэтому с точностью до членов порядка ж2 выражение для сдвиговых напряжений в оболочке имеет вид

ох3 = ж(-0А < ((НроХ0Х), х + (НхоХ0"), Р+ На, ро,0" - Нр (о^) + + (НаНр3 + 2НрНх3)оХ03) >£) + ж2(-0А < ((НроХХ),х +

+ (НаоХР),р + Нх,роХР -Нр,ао"1" + (Н,(Н"3 + 2НрНа3)оХ13) >£),

где функции о/ вычисляют по (23), оЦ — по (33), о"1" — по формулам (37).

Для поперечного напряжения первое в асимптотическом ряду ненулевое значение — это значение о32, которое вычисляют согласно (33), (34):

о33 = ж2(-002 < (Н2о(13)),1 + (Нго213)),2 - Н2Н^оЦ - НгН23о212) >£ ) + +ж3(-0А < (Н2о(2)),1 + (Нго223)),2 -Н2Н13о{2) -НгН23о222) + +(Н13Н2 + Н12Нг3)о323) >£ -(р- + 0х0гАр(£ + 0,5))).

Таким образом, разработанная асимптотическая теория тонких оболочек позволяет найти шесть компонент тензора напряжений с математической степенью точности, т. е. полученные соотношения для напряжений в оболочке представляют собой асимптотически точное выражение напряжений общей трехмерной теории упругости.

Выводы. Разработанная авторами асимптотическая теория тонких многослойных анизотропных оболочек построена без каких-

либо гипотез относительно характера распределения перемещений и напряжений по толщине на основе анализа уравнений трехмерной теории оболочек в криволинейной системе координат. В рамках предложенной теории сформулированы и решены локальные задачи теории упругости нулевого, первого, второго и третьего приближений. Осредненные уравнения равновесия многослойных оболочек, полученные с помощью разработанной теории, для случая ортотро-пии формально в точности совпадают с осредненными уравнениями теории оболочек Кирхгофа — Лява.

Разработанная теория позволяет найти распределение шести компонент тензора напряжений в оболочке.

Исследование выполнено за счет гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых — кандидатов наук (МК-5961.2015.8).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Обобщенная модель механики тонкостенных конструкций из композитных материалов. Механика композитных материалов, 1988, № 4, с. 698-704.

[2] Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин. Известия РАН. Механика твердого тела, 2006, № 6, с. 71-79.

[3] Шешенин С.В., Ходос О.А. Эффективные жесткости гофрированной пластины. Вычислительная механика сплошной среды, 2011, т. 4, № 2, с. 128139.

[4] Назаров С. А., Свирс Г.Х., Слуцкий А. С. Осреднение тонкой пластины, усиленной периодическими семействами жестких стержней. Математический сборник, 2011, т. 202, № 8, с. 41-80.

[5] Акимова Е. А., Назаров С. А., Чечкин Г. А. Асимптотика решения задачи о деформации произвольной локально периодической пластины. Тр. Моск. математ. о-ва, 65, Москва, УРСС, 2004, с. 3-34; англ. пер.: Akimo-va E.A., Nazarov S.A., Chechkin G. A. Asymptotics of the Solution of the Problem of Deformation of an Arbitrary Locally Periodic thin Plate, Trans. Mosc. Math. Soc., 2004, 1-29.

[6] Зверяев Е.М., Макаров Г.И. Общий метод построения теорий типа Тимошенко. Прикладная математика и механика, 2008, т. 72, вып. 2, с. 308-321.

[7] Зверяев Е.М. Анализ гипотез, используемых при построении теории балок и плит. Прикладная математика и механика, 2003, т. 67, вып. 3, с. 472-483.

[8] Kohn R.V., Vogelius M. A new model of thin plates with rapidly varying thickness. Int. J. Solids and Structures, 1984, vol. 20 (4), рр. 333-350.

[9] Панасенко Г.П., Резцов М.В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородной пластине. Докл. АН СССР, 1987, т. 294, № 5, с. 1061-1065.

[10] Levinski T., Telega J.J. Plates, Laminates and Shells. Asymptotic Analysis and Homogenization. Singapore, London, World Sci. Publ., 2000, 739 p.

[11] Kolpakov A.G. Homogenized Models for Thin-Walled Nonhomogeneous Structures with Initial Stresses. Berlin, Heidelberg, Springer Verlag, 2004, 228 p.

[12] Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. Москва, Изд-во Моск. ун-та, 1984, 336 с.

[13] Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Москва, Наука, 1984. 356 с.

[14] Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. Москва, Мир, 1984, 472 с.

[15] Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И. Конечно-элементный метод для вычисления эффективных характеристик пространственно-армированных композитов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2002, № 2, с. 95-108.

[16] Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И., Макашов А.А. Конечно-элементный расчет эффективных упругопластических характеристик композитов на основе метода асимптотического осреднения. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2007, № 1, с. 102-116.

[17] Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Многомасштабное моделирование упругих композиционных материалов. Математическое моделирование, 2012, т. 24, № 5, с. 3-20.

[18] Dimitrienko Yu.I. Thermomechanics of Composites under High Temperatures. Dordrecht, Boston, London, Kluwer Academic Publishers, 1999, 347 p.

[19] Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория многослойных тонких пластин. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, № 3, с. 86-100.

[20] Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Асимптотическая теория термоупругости многослойных композитных пластин. Механика композиционных материалов и конструкций. 2014, т. 20, № 2, с. 260-282.

[21] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 1, с. 36-57.

[22] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Яковлев Д.О. Асимптотическая теория вязкоупругости многослойных тонких композитных пластин. Наука и образование: электронное научно-техническое издание, 2014, № 10, с. 359382. doi: 10.7463/1014.0730105.

[23] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Юрин Ю.В. Асимптотическая теория термоползучести многослойных тонких пластин. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 4, с. 18-36.

[24] Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Сравнительный анализ решений асимптотической теории многослойных тонких пластин и трехмерной теории упругости. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 12. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/899. html

[25] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 4: Основы механики твердого тела. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013, 580 с.

Статья поступила в редакцию 05.05.2015.

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Шалыгин И.С. Теория тонких оболочек, основанная на асимптотическом анализе трехмерных уравнений теории упругости. Инженерный журнал: наука и инновации, 2015, вып. 5.

URL: http://engjournal.ru/catalog/mech/mdsb/1406.html

Димитриенко Юрий Иванович — д-р физ.-мат. наук, заведующий кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, директор Научно-образовательного центра «Суперкомпьютерное инженерное мо-

делирование и разработка программных комплексов» МГТУ им. Н.Э. Баумана, действительный член Академии инженерных наук. Автор более 300 научных работ в области механики сплошной среды, вычислительной механики, газодинамики, механики и термомеханики композитов, математического моделирования в науке о материалах. e-mail: dimit.bmstu@gmail.com

Губарева Елена Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент, заместитель заведующего кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 40 научных работ в области механики сплошных сред, механики контактного взаимодействия, математического моделирования, механики композитов. e-mail: gubareva_ea@pochta.ru

Шалыгин Иван Сергеевич — студент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: ishalygin@yandex.ru

Thin sells theory based on the asymptotic analysis of three-dimensional equations of the elasticity theory

© Yu.I. Dimitrienko, E.A. Gubareva, I.S. Shalygin Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

The article presents main relations for a new theory of thin multilayer anisotropic shells. The main equations of the shell theory suggested were deduced from general three-dimensional theory of elasticity by means of asymptotic expansions over small parameter without any hypothesis concerning displacement and stress distribution over thickness. It is shown that the averaged problem of the shell theory developed proves to be similar to the Kirchhoff—Love shell theory, but there are some differences in constitutive relations, that contain derivatives for membrane strains. The method suggested allows one to calculate all six stress tenor components including transverse normal stresses and stresses of interlayer shear of thin elastic shells.

Keywords: viscoelastic composites laminated fibrous composites, elastic-dissipative properties, steady vibrations, tangent of loss angle, complex elastic modules, method of asymptotic averaging.

REFERENCES

[1] Grigolyuk E.I., Kulikov G.M. Mekhanika kompozitnykh materialov — Mechanics of Composite Materials, 1988, vol. 24, no. 4, pp. 698-704.

[2] Sheshenin S.V. Izv. RAN. MTT — Proc. of the Russ. Acad. Sci. Mech. Rigid Body, 2006, no. 6, pp. 71-79.

[3] Sheshenin S.V., Khodos O.A. Vychislitel'naya mekhanika sploshnoi sredy — Computational Continuum Mechanics, 2011, vol. 4, no. 2, pp. 128-139.

[4] Nazarov S.A, Sweers G.H, Slutskij A.S. Matematicheskiy sbornik — Sbornik: Mathematics, 2011, vol. 202, no. 8, pp. 41-80.

[5] Akimova E.A., Nazarov S.A., Chechkin G.A. Asymptotics of the solution of the problem of deformation of an arbitrary locally periodic thin plate. Trans. Mosc. Math. Soc, 2004, pp. 1-29.

[6] Zveryaev E.M., Makarov G.I. PMM — J. Appl. Math. Mech, 2008, vol. 72, iss. 2, pp. 308-321.

[7] Zveryaev E.M. PMM—J. Appl. Math. Mech, 2003, vol. 67, iss. 3, pp. 472- 483.

[8] Kohn R.V., Vogelyus M Int. J. Solids and Struct, 1984, vol. 20, no. 4, pp. 333350.

[9] Panasenko G.P., Reztsov M.V. Dokl. AN SSSR — Reports of Acad. Sci. USSR, 1987, vol. 294, no. 5, pp. 1061-1065.

[10] Levinski T., Telega J.J. Plates, laminates and shells. Asymptotic analysis and homogenization. Singapore, London, World Sci. Publ., 2000, 739 p.

[11] Kolpakov A.G. Homogenized models for thin-walled nonhomogeneous structures with initial stresses. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2004, 228 p.

[12] Pobedrya B.E. Mekhanika kompozitsionnykh materialov [Mechanics of composite materials]. Moscow, Lomonosov MST Publ., 1984, 336 p.

[13] Bakhvalov N.S., Panasenko G.P. Osrednenie protsessov v periodicheskikh sredakh [Averaging of processes in periodic media]. Moscow, Nauka Publ., 1984, 356 p.

[14] Sanchez-Palencia E. Non-Homogeneous Media and Vibration Theory. Moscow, Mir Publ., 1984, 471 p. (in Russ.).

[15] Dimitrienko Yu.I., Kashkarov A.I. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Seriya Estestvennye nauki — Herald of the Bauman MSTU. Series: Natural sciences, 2002, no. 2, pp. 95-108.

[16] Dimitrienko Yu.I., Kashkarov A.I., Makashov A.A. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Seriya Estestvennye nauki — Herald of the Bauman MSTU. Series: Natural sciences, 2007, no. 1, pp. 102-116.

[17] Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P. Matematicheskoe Modelirovanie — Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, vol. 24, no. 5, pp. 3-20.

[18] Dimitrienko Yu.I. Thermomechanics of Composites under High Temperatures. Dordrecht; Boston; London, Kluwer Academic Publishers, 1999, 347 p.

[19] Dimitrienko Yu.I. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Seriya Estestvennye nauki — Herald of the Bauman MSTU. Series: Natural sciences, 2012, no. 3, pp. 86100.

[20] Dimitrienko Yu.I., Yakovlev D.O. Mekhanika kompositsionnykh materialov i konstruktsiy — Composite Mechanics and Design, 2014, vol. 20, no. 2, pp. 260-282.

[21] Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Sborschikov S.V. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 1, pp. 36-57.

[22] Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Yakovlev D.O. Nauka i obrazovanie. El-ektronnoe nauchno-tekhnicheskoe izdanie — Science and Education. Electronic Scientific and Technical Journal, 2014, no. 10. doi: 10.7463/1014.0730105. pp. 359-382.

[23] Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Yurin Yu.V. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 4, pp.18-36.

[24] Dimitrienko Yu.I., Yakovlev D.O. Inzhenernyi zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2013, iss. 12. Available at: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/899.html

[25] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoy sredy. Tom 4. Osnovy mekhaniki tver-dogo tela [Continuum Mechanics. Vol. 4. Fundamentals of solid mechanics]. Moscow, BMSTU Publ., 2013, 624 p.

Dimitrienko Yu.I. (b. 1962) graduated from Lomonosov Moscow State University in 1984. Dr. Sci.(Phys. & Math.), Professor, Head of the Computational Mathematics and Mathematical Physics Department, Director of Scientific-educational Center of Supercomputer Engineering Modeling and Program Software Development of Bauman Moscow State Technical University. Member of the Russian Academy of Engineering Science. Author of over 300 publications in the field of computational mechanics, gasdynamics, thermomechanics of composite materials, mathematical simulations in material science. e-mail: dimit.bmstu@gmail.com

Gubareva E.A. (b. 1982) graduated from Lomonosov Moscow State University in 2004. Ph.D., Assос. Professor of the Computational Mathematics and Mathematical Physics Department of Bauman Moscow State Technical University. Author 40 scientific publications in the field of composite mechanics, asymptotic analisys, ocontact mechanics. e-mail: gubareva_ea@pochta.ru

Shalygin I.S. (b. 1993) student of Computational Mathematics and Mathematical Physics Department of Bauman Moscow State Technical University. e-mail: ishalygin@yandex.ru