CC BY
97
4. Kravtsov Yu.A. and Surovyatkina E.D. Nonlinear saturation of prebifurcation noise amplification // Physics Letters A, Volume 319, Issues 3-4, 8 December 2003, Pages 348-351.
5. Surovyatkina E. Prebifurcation noise amplification and noise-dependent hysteresis as indicators of bifurcations in nonlinear geophysical systems // Nonlinear Processes in Geophysics (2005) 12, Pages 25-29.
6. Juel A., Darbyshire A.G., Mullin T. The effect of noise on pitchfork and Hopf bifurcations. // Proc. R. Soc. Lond. A (1997) 453, 2627-2647.
7. Anishchenko V.S., Neiman A.B. Structure and Properties of Chaos in the Presence of Noise (“Nonlinear Dynamics of Structures”. Edited by R. Z. Sagdeev, U. Frisch, F. Hussain, S.S. Moiseev and N.S. Erokhin. Singapore-New Jersey-London-Hong Kong: World Scientific, 1991, p. 21-48).
8. ., . . .: ,
1983.
9. . ., . . . -
действующих частиц. М.: Наука, 1973.
10. .- . ., . ., . .
задачи теории бифуркаций в динамической системе с шумом. M., 2005. Препринт Ин-
. . . : 39.
УДК 51-7;519.6;519.8
А.А. Кочкаров, ГX. Малинецкий
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва
ТЕОРИЯ СТОЙКОСТИ И СТРУКТУРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ И СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ*
Введение
Моделирование сложных систем позволяет исследовать особенности их функционирования в различных условиях, наделять их требуемыми характеристиками и снижать риск возникновения чрезвычайных ситуаций (УС). Закономерен вопрос - возможно ли в построенный математической модели сложной системы учесть каждый из ее многочисленных элементов.
Рассмотрим проблему с позиции теории самоорганизации - синергетики, и теории управления рисками. В математической модели исследуемой системы должны быть представлены основные элементы, по поведению, по качеству, по эффективности функционирования которых можно достоверно судить о всей системе. Такой подход в исследованиях, когда без детального представления сложных , , синтезом [1]. О результативности использования этого подхода можно судить по многим работам [1-4]. Наглядно подтверждает это цикл работ научной школы В.В. Кульбы [3], посвященный исследованиям по управлению рисками. В этих работах для моделировании поведения систем со сложной структурой были использованы методы теории взвешенных ориентированных графов. Такой подход уже
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 04-01-00510).
[4]
.
В настоящей работе этот подход реализован в виде вероятностно, -( ) . лежат формализации структуры системы в виде ориентированного графа и внешнего негативного влияния на систему в виде импульсного воздействия.
,
Под системой в кибернетике принято понимать объединение любых элементов, рассматриваемых как связное целое. Факт непосредственного (без посредни-)
.
.
С точки зрения концепции безопасности [5], всякую сложную техническую систему следует изучать с трех основных позиций: надежности системы, живучести системы и ее безопасности.
Надежность [6] - свойство системы сохранять в течение определенного промежутка времени значение параметров, характеризующих функционирование систе-.
статистики. Как правило, для оценки возможности возникновения опасного для окружающей среды состояния системы используется дерево событий (отказов).
- , -
( ), -
жающей систему среде.
Изучение живучести систем возможно на основе вероятностных моделей, в рамках математической теории надежности [6] и детерминистических, в рамках механики катастроф [5].
Особое место в механике катастроф занимает изучение процесса закритиче-
( ),
иным нежелательным событиям (авариям, катастрофам и т.д.).
Механика катастроф занимается не столько изучением различного рода воз, -.
Живучесть и надежность систем являются теми характеристиками, которые позволяют оценить риск возникновения чрезвычайных ситуаций при эксплуатации сложных технических систем. Используя эти критерии, возможно обеспечение безопасности систем при чрезвычайных ситуациях, или наделение системы необходимыми качественными характеристиками, не допускающими возникновения чрезвычай-.
( )
( ), ( ). -
тий этап предполагает изучение возможных последствий ЧС на окружающую систе-
- .
Напомним, структура системы [7] отражает общую картину причинноследственных взаимодействий элементов системы. Во многих случаях сложность системы определяется сложностью ее структуры. Для подобных технических систем исследование инициирования ЧС внешними воздействиями имеет особое значение. Важно оценивать, как от структуры системы зависит достижение системой
( ), -
вения ЧС резко возрастает.
В рамках модели, предлагаемой в настоящей работе, сложная техническая система считается подвергнутой влиянию внешних воздействий. Это соответствует попаданию системы в зону “форс-мажорных обстоятельств” (под влияние ненор-).
Стойкостью системы назовем ее способность противостоять внешним воздействиям и функционировать в штатном режиме на этапе инициирования ЧС, т.е. в докритической области функционирования системы. Другими словами, стой-
-
( ). -
рактеристикой стойкости системы будет служить время достижения системой пре.
уменьшению риска развития ЧС в системе.
Надежность как показатель качественного состояния элемента
Существуют различные виды внешних воздействий, оказывающих влияние на систему. Воздействия могут быть - механические, термические, электромагнитные, биохимические, радиационные, гидродинамические и т.д. Как правило, основными считают первые три из перечисленных. Всякое воздействие вызывает повышение нагрузки на те или иные элементы системы. Повышение нагрузки на отдельно взятый элемент системы отражается на состоянии этого элемента выполнять свои функции.
Установление связи между нагрузками 7^, 7г- ,..., 7г- , вызываемыми воздействиями различного рода, как уже отмечалось, является одной из важных задач .
С = Ф(7Г(*), 72 (),., (г)), (1)
задающий зависимость показателя качественного состояния £ некоторого эле-
7 , 7 ,... , 7 ,
1\ 12 1п
момент времени ^. Для механических систем, все элементы которых являются , (1)
См =Ф(7Ъ ),7N (^)) ,
где как показатель качественного состояния £м элементов системы выступают повреждения, накопленные элементом к моменту времени ^. Деформация 7^ и
напряжение 7N, возникающие у элемента системы, служат количественными
представлениями полученных при внешних воздействиях нагрузок и поражений.
Как показывает практика, сложные системы состоят из взаимодействующих элементов различной природы (механической, радиоэлектронной и т.д.). Поэтому
(1),
части которого как показатель качественного состояния элемента системы выступают накопленные за время внешнего поражающего воздействия повреждения. В такой ситуации как показатель качественного состояния элемента разумно исполь-
зовать его надежность. Надежность элемента уменьшается при получении им по, .
Функционирование системы предполагает постоянное взаимодействие образующих его элементов. Поэтому внешние воздействия, причинив повреждения одним элементам системы, окажут влияние на показатели качественного состояния ( ) , -средственно. Т.е. повышение нагрузки будет наблюдаться не только у тех элемен-, , -ментов, взаимодействующих (связанных) с ними. Что приведет к понижению надежности у последних. Надо отметить, что речь идет только о нагрузках, которые не являются нормативными, то есть учитываемыми при проектировании и экс. , резко ухудшающим надежность элементов системы.
Математическая модель распространения поражающих воздействий по
системе
Опыт исследования многих сложных систем показывает, что на начальном этапе анализа их элементы целесообразно представлять в виде вершин графа, наделенных определенными свойствами, а взаимодействие описывать с помощью ребер. Иначе говоря, структура - это организация целого из составных частей, тесно взаимодействующих друг с другом при функционировании системы. Будем считать тождественными следующие понятия: граф системы и структура системы, вершина графа и элемент системы, ребро графа и связь между элементами системы. Отметим, что ребра графа могут отражать различные типы связей между элементами рассматриваемой системы - механические, электронные, информационные и т.д.
Для всякого конечного графа будем использовать обозначение - О = (V, Е) [8], где V = (у;- }, I,] = 1,п - множество вершин, а Е = {е = (у;-, vJ■)|I Ф у} -
множество его ребер.
Распространение воздействия от одного элемента системы к другому на графе системы будем задавать ориентированным ребром - ребром с заданными началом и концом. Ориентированное ребро часто называют дугой, а граф с дугами -орграфом [8]. Орграф структуры моделируемой системы не будет иметь петель (т.е. дуг, конец и начало которых совпадают).
На орграфе О = (V,Е) системы для вершины е V, Iе {1,2,...,п} весом
0 < w| (^) < 1 является величина показателя качественного состояния элемента
системы, соответствующего вершине VI. А весом м(у1, ) = £у, Уе{1,2,..,п},
1 Ф ^ , дуги (V;, Vу) е Е является число 0 <£у < 1, равное сохранившейся доле передаваемого воздействия, при переходе от вершины VI к вершине Vу и называемое коэффициентом сопротивляемости.
Процесс изменения весов вершин графа системы можно отразить следующим , . импульсный процесс и заключается в следующем. Импульсное воздействие определяется импульсом 1тР,(*X ]е ^Д.. , п} в дискретном времени ^ = 0,1,2,3 ... , который задается отношением
impj (t) = Wj (t) / Wj (t -1), при t > 0 . (2)
Тогда для t > 0 для i -ой вершины графа G определим импульсное воздействие
deg Vi
w(t +1) = w(t) П £jiimPj(t), (3)
j=1
или
degvi
W (t +1) = wi(t) П (1 - £j,imPj(t)), (4)
j=1
полагая при этом, что deg Vj - число входящих в вершину Vj дуг.
Формулы (2), (3) и (4) задают изменения весов вершин графа G = (V,E), тем самым определяя динамику распространения внешних воздействий по системе. Формула (3) соответствует возрастающим импульсным воздействиям, которые увеличиваются при переходе от одной вершины к другой. А формула (4) - зату-, .
Автономное импульсное воздействие на взвешенном орграфе G определим по правилу (3) с вектором начальных значений W (0) = (w1(0), w2(0),..., wn (0)) и вектором импульсов
Imp(0) = (imp1 (0), imp2 (0),..., impn (0)), (5)
задающим импульс imp j (0) в каждой вершине V j в момент времени t = 0. Автономное импульсное воздействие в паре с вектором начальных значений описывает состояние системы в начальный момент времени, когда под влияние внешних поражающих воздействий попадают все элементы системы.
Автономное импульсное воздействие, в котором вектор
Imp(0) = (1,1,...,impt(0),...,1), impt(0) > 0 имеет только i -ую отличную от единицы компоненту, назовем простым воздействием с начальной вершиной Vi £ V. Простое импульсное воздействие описывает состояние системы в начальный момент времени, когда внешнее воздействие поражает один из элементов системы. А именно, тот, который соответствует i -ой вершине графа системы.
В соответствии с описанным импульсным воздействием на орграфе можно ввести различные критерии отказа моделируемой системы (технической, социаль-
- , . .). , , находится в состоянии отказа, если показатель качественного состояния хотя бы одного из наиболее значимых элементов системы ниже некоторого допустимого . -ния элемента V и обозначать cr(V) Если показатель качественного состояния элемента ниже критического уровня, то элемент не в состоянии выполнять возложенных на него функций или функционировать требуемое время. Элемент, находящийся в состоянии отказа, не передает распространяющееся по системе импульсное воздействие.
Представление исследуемой системы в виде взвешенного по правилу графа С = (V, Е) и формализация внешнего влияния на систему как автономного импульсного воздействия (2)-(5) определяет модель распространения поражающих воздействий по системе.
На рис. 1 изображен граф системы управления сложным техническим объектом, подверженный импульсным воздействиям, имеющим два вида связей. Граф, изображенный на рис. 1 со всеми показателями качественного состояния элементов и коэффициентов сопротивляемости, получен при экспертной поддержке специалистов соответствующего профиля.
Рис.1. Пример графа системы управления. Пунктирными линиями изображены связи, по которым подается напряжение, а сплошными - информационный сигнал
Система может быть подвержена двум типам внешних воздействий. Первый -электромагнитные воздействия, которые могут распространяться по обоим видам связей. Второй - информационные воздействия, которые могут распространяться только по связям, изображенными СПЛОШНЫМИ ЛИНИЯМИ.
Компьютерный эксперимент, в котором поочередно к каждой вершине прилагались различные затухающие импульсные воздействия (4) в соответствии с предложенным алгоритмом, выявил “окна уязвимости” исследуемой системы.
Например, если импульсное воздействие приложено к элементу 16, то из строя в течение незначительного промежутка времени выходит более 90% элемен-.
Если импульсное воздействие одновременно приложено сразу к двум элементам - 31 и 32, то из строя выходит более 80% элементов системы, в то время как те же импульсные воздействия, приложенные к этим элементам поочередно, не приносят существенного ущерба.
Обнаружены группы элементов - 1-5, 34-38 и 48-50, - которые являются внутренними источниками воздействий. Каждая из этих групп составляет в графе системы контур обратной связи. “Зацикливание” импульсного воздействия в контуре графа системы приводит к периодическому изменению весов вершин самого контура и оказывает влияние на веса соседних с вершинами контура . -тем приводят к появлению остаточного эффекта, когда из строя выходят элементы спустя длительное время после попадания системы под влияние внешних .
На практике не всегда удается получить достоверные сведения о показателях качественного состояния элементов и коэффициентах сопротивляемости. В такой ситуации о стойкости системы можно судить и по структурным параметрам стойкости - структурной уязвимости и предельной надежности [9].
Существенной особенностью построенной модели является возможность описания выхода из строя элемента с большим показателем качественного со.
показателей качественного состояния элемента системы от его положения в структуре, а также зависимость стойкости всей системы от этой структу-.
Исследование модели распространения поражающих воздействий по системе позволило выработать ряд рекомендаций по сохранению и улучшению функционирования системы и наделению системы заданной стойкостью при ее .
В рамках предлагаемого подхода возможно исследование и социально. , будет развиваться система при различных внешних воздействиях [10].
Заключение
Исследование стойкости сложных систем очерчивает новую задачу в рамках теории управления рисками - обеспечение стойкости сложных систем. На этапе проектирования сложных систем одним из решений этой задачи является структурное управление, когда, благодаря проведенным изменениям в структуре , .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Курдюмов СМ., Малинецкий ГМ. Синергетика и системный синтез // Новое в синергетике: взгляд в третье тысячелетие. - М.: Наука, 2002.
2. Новое в синергетике: взгляд в третье тысячелетие / Под ред. Малинецкого Г.Г., Кур-дюмова С.П. - М.: Наука, 2002.
3. . ., . ., . ., . . -
нариев развития социально-экономических систем. - М.: СИНТЕГ, 2004.
4. Ахромеева Т.С., Курдюмов СМ., Малинецкий ГМ., Самарский АЛ. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. - М.: Наука, 1992.
5. Безопасность России. Правовые, социально-экономические и научно-технические аспекты. Функционирование и развитие сложных народно-хозяйственных, технических, транспортных систем, систем связи и коммуникаций / Под ред. КВ. Фролова. -М.: МГФ “Знание”, 1998.
6. Острейковский В.А. Теория надежности. - М.: Высшая школа, 2003.
7. Архипова Н.И., Кульба В.В. Управление в чрезвычайных ситуациях. - М.: РГГУ, 1998.
8. . ., . ., . ., . . -фов. - М.: Наука, 1990.
9. . ., . . .
аспекты. - М., 2005. (Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН: № 53) - 34 с.
10. . . - :
Автореф. дис. ... канд. физ.-матем. наук. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2005.
УДК 681.518
М.Е. Третьяков
МГТУ им. Н.Э.Бщтана, г. Москва [email protected]
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПО ВЫБОРУ ГИПОТЕЗ В НЕЧЕТКОЙ СРЕДЕ
В докладе рассматривается актуальная задача по выбору гипотез системой принятия решений роботизированного комплекса (СПР РК) в нечеткой среде. Предлагается подход к решению этой задачи на основе понятия лингвистической истинности с использованием теории нечетких множеств и теории вероятности. Предлагается обобщение некоторых формул теории вероятности на нечеткую сре-, -ях физических и лингвистических неопределенностей. Рассмотренный подход иллюстрируется примерами расчета лингвистических истинностей сложных свиде-,
.
Задача определения истинности некоторых гипотез (например, гипотеза цель есть (нет) или гипотеза о типе цели) через объединение соответствующих свидетельств, получаемых с приборов наблюдения и прицеливания , внешнего целеуказания и т.п., является одной из важнейших задач, которые приходится
( ) ( ),
..
.
Качественно задачу выбора (принятия) гипотезы СПР РК можно сформулировать следующим образом: имеется к свидетельств, получаемых с помощью датчиковой аппаратуры, истинность которых можно установить; известна связь между полученными свидетельствами и проверяемыми гипотезами, истинность которой может быть задана или вычислена; требуется вычислить истинности интересующих гипотез и, в зависимости от их значений, принять их или откло-.
Данная задача осложняется тем, что информация, на основе которой происходит принятие решений, часто не только не точна, но и неполна и расплывчата
( . . );
